BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 4

Chia sẻ: Lan Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

203
lượt xem 45
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định nghĩa tích phân 2-lớp: 1.1.1 Khái niệm về miền đo được: Miền đa giác là miền đo được (có diện tích). Giả sử D là một miền phẳng bị chặn, được giới hạn bởi một hay một số hữu hạn đường cong Jordan đóng. Gọi Q là một miền đa giác chứa trong D, S(Q) là diện tích của nó. Gọi Q’ là một miền đa giác chứa D, S(Q’) là diện tích của nó. Giả thiết thêm biên của D và biên của Q, Q’ không có điểm chung. Tập hợp các miền đa giác Q, Q’...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 4

Trường ĐHQN Khoa Toán BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 4 (Số tín chỉ: 3) Dành cho sinh viên : Khoa Toán Hệ : Sư phạm Khóa : 33 Năm học : 2011-2012 Giảng viên : Nguyễn Thị Phương Lan 1
Chương I: TÍCH PHÂN BỘI $1 TÍCH PHÂN 2-LỚP 1.1 Định nghĩa tích phân 2-lớp: 1.1.1 Khái niệm về miền đo được: Miền đa giác là miền đo được (có diện tích). Giả sử D là một miền phẳng bị chặn, được giới hạn bởi một hay một số hữu hạn đường cong Jordan đóng. Gọi Q là một miền đa giác chứa trong D, S(Q) là diện tích của nó. Gọi Q’ là một miền đa giác chứa D, S(Q’) là diện tích của nó. Giả thiết thêm biên của D và biên của Q, Q’ không có điểm chung. Tập hợp các miền đa giác Q, Q’ là khác rỗng và vô hạn. Do đó tập hợp các giá trị S(Q), S(Q’) là khác rỗng và vô hạn. {S(Q)} bị chặn trên bởi diện tích của một đa giác Q’ nào đó ⇒ ∃P+ = sup {S ( Q )} . {S(Q’)} bị chặn dưới bởi diện tích của một đa giác Q nào đó ⇒ ∃P− = inf {S ( Q')} . P+ , P− lần lượt gọi là diện tích trên, dưới của D. Ta có ∀Q,Q': S ( Q ) ≤ P+ ≤ P− ≤ S ( Q') . 1. Định nghĩa. Nếu P+ = P− = S ( D ) thì D được gọi là miền đo được (có diện tích) và số S(D) được gọi là độ đo (diện tích) của D. Từ định nghĩa về miền đo được ta có các kết quả sau: a) D đo được ⇔ ∀ε > 0 bé tùy ý, tồn tại các miền đa giác Q ⊂ D,Q' ⊃ D sao cho S ( Q') − S ( Q ) < ε . b) D đo được ⇔ tồn tại hai dãy các miền đa giác {Q n } ,{Q'n } ; Q n ⊂ D,Q'n ⊃ D, ∀n sao cho limS ( Q'n ) = limS ( Q n ) ( = S ( D ) ) . n →∞ n →∞ c) D đo được ⇔ tồn tại hai dãy các miền đo được {D n } ,{D'n } ; D n ⊂ D , D'n ⊃ D , ∀n sao cho limS ( D'n ) = limS ( D n ) ( = S ( D ) ) . n →∞ n →∞ 2. Tính chất của miền đo được. Giả sử D1 ⊂ D,D 2 ⊂ D, D = D1 ∪ D 2 ;D1 , D 2 không có điểm trong chung. Nếu D1 , D 2 đo được thì D đo được và S ( D ) = S ( D1 ) + S ( D 2 ) . 3. Ví dụ về miền đo được. Định nghĩa. Đường cong (C) được gọi là đường cong có diện tích - không (đường cong đo được) nếu ∀ε > 0 bé tùy ý , tồn tại miền đa giác Q chứa (C) sao cho S(Q ) < ε . 2
Đối với miền phẳng D ta có các kết quả sau: D đo được ⇔ biên ∂D của nó có diện tích – không. Định lý. Nếu đường cong (C) có một trong các dạng dưới đây thì (C) là đường cong có diện tích - không. a) y = f(x), x ∈ [a ;b ] , trong đó f(x) có đạo hàm liên tục trên [a ; b]. b) x = g(y), y ∈ [c;d ] , trong đó g(y) có đạo hàm liên tục trên [c ; d]. c) x = x(t), y = y(t), t ∈ [a ;b ] , trong đó x(t), y(t) có đạo hàm liên tục trên [a ; b] và thỏa mãn điều kiện x '2 ( t ) + y '2 ( t ) ≠ 0, ∀t ∈ [ a ;b ] . Hệ quả. Nếu biên của D gồm một số hữu hạn các đường có dạng a), b), c) thì D là miền đo được. 4. Tương tự, có thể xây dựng được khái niệm độ đo (thể tích) của miền T ⊂ R 3 dựa vào thể tích khối đa diện. Nếu T được giới hạn bởi một số hữu hạn các mặt z = z(x,y), ( x, y ) ∈ D trong đó z(x,y) là hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong D thì miền T đo được. 1.2 Định nghĩa tích phân 2-lớp: 1.2.1 Giả sử D là miền phẳng, đo được, bị chặn. Ta gọi đường kính của miền D là supremum của các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc D. d ( D ) = sup dist ( M,M') M,M '∈D Định nghĩa. Tập hợp các miền phẳng đo được D1 , D 2 ,...,D n được gọi là một phép phân hoạch π của miền D, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: a) D = U Di , Di ⊂ D , ∀i = 1,n . n i =1 b) Với ∀i ≠ j, Di và D j không có điểm trong chung. Ta thấy π chia D thành n miền con đôi một không có điểm trong chung. 1.2.2 Định nghĩa tích phân 2-lớp: Cho hàm số f(x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn và đo được D. Thực hiện một phép phân hoạch π chia D thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có ( ) điểm trong chung D1 ,D 2 ,...,D n . Gọi ∆Di là diện tích của mỗi miền con Di i = 1,n , d ( Di ) là đường kính của Di , d (π ) = max d ( Di ) là đường kính phân hoạch. Trong 1≤ i ≤ n mỗi miền con Di chọn một cách tùy ý điểm N i (ξi ,ηi ) . Lập tổng tích phân: n n σ π = ∑ f ( N i ) ∆Di = ∑ f (ξi ,ηi ) ∆Di . i =1 i =1 Ta thấy σ π phụ thuộc vào π và các điểm chọn N i (ξi ,ηi ) . Định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn I = lim σ π d ( π ) →0 3
mà giới hạn đó không phụ thuộc vào π và các điểm chọn N i (ξi ,ηi ) thì I được gọi là tích phân 2-lớp (tích phân Riemann) của hàm số f(x,y) lấy trong miền D và ký hiệu là ∫∫ f ( x, y ) dxdy . D Khi đó hàm số f(x,y) được gọi là khả tích (Riemann) trong miền D. Chú ý. Tương tự như hàm một biến, tính bị chặn của hàm số f(x,y) là điều kiện cần để nó khả tích. 1.2.3 Tổng Darboux. Cho hàm số bị chặn f(x,y) trong miền D. Đối với mỗi phân hoạch π chia D thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có điểm trong chung D1 , D 2 ,...,D n . Đặt n n n s (π ) = ∑ mi ∆Di ; S (π ) = ∑ M i ∆Di và ω (π ) = S (π ) − s (π ) = ∑ ω i ∆Di i =1 i =1 i =1 trong đó mi = inf f ( x, y ) ; M i = sup f ( x, y ) , i = 1,n ( x,y )∈Di ( x,y )∈Di ω i = M i − mi , i = 1,n và gọi là dao độ (dao động) của hàm số f(x,y) trong miền Di . Các tổng s (π ) , S (π ) lần lượt được gọi là tổng dưới và tổng trên Darboux của f(x,y) ứng với phân hoạch π . Tập hợp các tổng dưới {s (π )} và tổng trên {S (π )} Darboux là các tập khác rỗng và bị chặn trên và dưới. Định nghĩa. Đại lượng I* = sup {s (π )} được gọi là tích phân dưới Darboux. Đại lượng I* = inf {S (π )} được gọi là tích phân trên Darboux. Định lý. Nếu I* = I* = I thì f(x,y) khả tích trong miền D. 1.2.4 Tiêu chuẩn khả tích. Định lý 1. Giả sử D ⊂ R 2 là miền đóng, bị chặn và đo được. Hàm số bị f(x,y) bị chặn trong D là khả tích nếu và chỉ nếu n ∑ω ∆D lim ω (π ) = lim = 0. d(π )→0 d(π )→0 i i i =1 Chứng minh. ( ⇒ ) Vì f(x,y) khả tích nên I* = I* = I ⇔ ∀ε > 0 bé tùy ý đều ∃δ > 0 : ∀π mà d (π ) < δ thì ε ε S (π ) < I + s (π ) > I − (tính chất của infimum và supremum) và 2 2 Vậy ω (π ) = S (π ) − s (π ) < ε ⇒ lim ω (π ) = 0 . d (π )→ 0 4
( ⇐ ) Giả sử có d(lim 0 ω (π ) = 0 . Khi đó từ các bất đẳng thức s (π ) ≤ I* ≤ I* ≤ S (π ) , ∀π π )→ mà d (π ) < δ ⇒ I* − I* ≤ S (π ) − s (π ) < ε với mọi d (π ) < δ . W Vậy I* = I* = I và f(x,y) khả tích trong D. 1.2.5 Các lớp hàm khả tích. Định lý 2. Giả sử D ⊂ R 2 là miền đóng, bị chặn và đo được, f(x,y) liên tục trong D khi đó f(x,y) khả tích trong D. Chứng minh. Dùng tiêu chuẩn khả tích. Vì f(x,y) liên tục trong miền đóng, bị chặn và đo được D nên f(x,y) bị chặn và liên tục đều trong D ⇔ ∀ε > 0, ∃δ = δ ( ε ) > 0 sao cho trong miền con bất kỳ của D ε có đường kính bé hơn δ thì dao độ ω i< , trong đó S(D) là diện tích của D. S( D ) Khi đó với mỗi phân hoạch π mà d (π ) < δ ta có εn ε n ∑ ω i ∆Di < ∑ ∆Di = S( D ) S( D ) = ε S ( D ) i=1 i =1 n ∑ω ∆D ⇒ lim ω (π ) = lim = 0. d(π )→0 d(π )→0 i i i =1 Vậy f(x,y) khả tích trong D. Định lý 3. Giả sử D ⊂ R 2 là miền đóng, bị chặn và đo được, f(x,y) liên tục trong D, chỉ gián đoạn trên một số hữu hạn đường có diện tích – không khi đó f(x,y) khả tích trong D. Chứng minh. Dùng tiêu chuẩn khả tích. Lấy ε > 0 bé tùy ý. Do f(x,y) bị chặn trong D nên ∃K > 0 : f (x, y) ≤ K, ∀ ( x, y ) ∈ D . Giả sử f(x,y) chỉ gián đoạn trên một đường (C) có diện tích – không. Phủ (C) ε bởi hình đa giác Q có diện tích S ( Q ) < . 4K ° ° Đặt D = D \ int Q ⇒ D là miền đóng, bị chặn và đo được, nên f(x,y) liên tục ° ° đều trong D . Chọn δ > 0 đủ bé sao cho với mỗi miền con Di ⊂ D có đường kính d ( Di ) < δ thì dao độ của f(x,y) trong miền đó là ε () ° ° ω i< , S D là diện tích của D . () ° 2S D ° Xét phân hoạch π sao cho D1 ≡ Q , các miền con D 2 ,D3 ,...D n ⊂ D có đường kính d ( Di ) < δ , i = 2,n . Khi đó ε n n ω (π ) = ω 1∆D1 + ∑ ω i ∆Di < ( M1 − m1 ) S ( Q ) + ∑ ∆Di ()° 2S D i=2 i=2 5
ε ε () ° < 2K + S D =ε . () ° 4K 2S D W Vậy f(x,y) khả tích trong miền D. Ví dụ. Dùng định nghĩa tính tích phân I = ∫∫ xydxdy,D = {( x, y ) : 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1} . D 1.2.6 Các tính chất của tích phân 2-lớp. (tích phân 2-lớp có các tính chất tương tự như tích phân xác định). Giả sử các hàm dưới dấu tích phân khả tích trong miền lấy tích phân. 1. ∫∫ dxdy = S ( D ) , trong đó S(D) là diện tích miền D. D 2. ∫∫ α f ( x, y ) ± β g ( x, y )dxdy = α ∫∫ f ( x, y ) dxdy ± β ∫∫ g ( x, y )dxdy; α , β = const .   D D D 3. Giả sử D1 ⊂ D,D 2 ⊂ D, D = D1 ∪ D 2 ;D1 , D 2 không có điểm trong chung, f(x,y) khả tích trong các miền D1 , D 2 khi đó f(x,y) khả tích trong D và ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy + ∫∫ f (x, y)dxdy . D D1 D2 4. Nếu f(x,y) khả tích trong D thì f ( x, y ) cũng khả tích trong D và ∫∫ f (x, y)dxdy ≤ ∫∫ f (x, y) dxdy . D D 5. Nếu f ( x, y ) ≥ 0 , ∀ ( x, y ) ∈ D ⇒ ∫∫ f (x, y)dxdy ≥ 0 . D Nếu f ( x, y ) ≤ g ( x, y ) , ∀ ( x, y ) ∈ D ⇒ ∫∫ f (x, y)dxdy ≤ ∫∫ g(x, y)dxdy . D D 6. (Định lý giá trị trung bình) Nếu f(x,y) liên tục trong D thì ∃(ξ ,η ) ∈ D : ∫∫ f (x, y)dxdy = f (ξ ,η ).S ( D ) . D $2 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN 2-LỚP 2.1 Tích phân 2-lớp trong hệ Đề các. Để tính tích phân 2-lớp ta có thể đưa tích phân 2-lớp về tích phân lặp. 2.1.1 Các tích phân lặp. Các tích phân dưới đây được gọi là các tích phân lặp. b d d b 1. ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy (1) 2. ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx ( 2) a c c a y2 ( x ) x2 ( y) b d ∫ f ( x, y ) dy ( 3) ∫ f ( x, y ) dx ( 4 ) 3. ∫ dx 4. ∫ dy y1 ( x ) x1 ( y ) a c 6
trong đó các hàm y1 ( x ) , y 2 ( x ) liên tục trên [a;b], các hàm x1 ( y ) , x 2 ( y ) liên tục trên [c;d]. Điều kiện để các tích phân lặp tồn tại: - Nếu hàm f(x,y) liên tục trong D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d} thì các tích b d d b phân (1) và (2) tồn tại và ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx . a c c a - Nếu hàm f(x,y) liên tục trong D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x )} thì tích phân (3) tồn tại. - Tương tự nếu hàm f(x,y) liên tục trong D = {( x, y ) : c ≤ y ≤ d, x1 ( y ) ≤ x ≤ x 2 ( y )} thì tích phân (4) tồn tại. 2.1.2 Định lý Fubini. (1870 – 1943 nhà toán học Ý) Định lý 1. Nếu hàm f(x,y) liên tục trong D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x )} và nếu các hàm y1 ( x ) , y 2 ( x ) liên tục trên [a;b] thì tồn tại tích phân ∫∫ f ( x, y )dxdy và D y2 ( x ) b ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy . y1 ( x ) D a Để chứng minh định lý ta cần bổ đề sau. y2 ( x ) b Bổ đề. Nếu m ≤ f ( x, y ) ≤ M , ∀ ( x, y ) ∈ D thì m.S ( D ) ≤ ∫ dx ∫ f ( x, y )dy ≤ M.S( D ) , y1 ( x ) a trong đó S(D) là diện tích của D. Chứng minh Định lý1. y2 ( x ) b ∫ f ( x, y ) dy , I tồn tại. Đặt I = ∫ dx y1 ( x ) a Vì f (x,y) liên tục trong D nên tích phân ∫∫ f ( x, y )dxdy cũng tồn tại. Ta cần D chứng minh I = ∫∫ f ( x, y )dxdy . D Chọn phân hoạch π xác định bởi các phương trình: x = x 0 , x = x1 ,..., x = x n ( a = x 0 < x1 < ... < x n = b ) và y = ϕ0 ( x ) , y = ϕ1 ( x ) ,..., y = ϕn ( x ) 1 trong đó ϕ0 ( x ) = y1 ( x ) ,ϕ1 ( x ) = y1 ( x ) +  y 2 ( x ) − y1 ( x )  ,..., n  n ϕ n ( x ) = y1 ( x ) +  y 2 ( x ) − y1 ( x )  = y 2 ( x ) . n  7
ϕ j( x ) y2 ( x ) y2 ( x ) xk xk b n n n ∫ f ( x, y ) dy = ∑ ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy = ∑∑ ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy . Xét I = ∫ dx y1 ( x ) y1 ( x ) ϕ j−1 ( x ) k =1 x k −1 k =1 j=1 x k −1 a Vì f(x,y) liên tục trong các miền con D k j = {( x, y ) : x k −1 ≤ x ≤ x k ,ϕ j−1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ j ( x )} nên nó đạt giá trị lớn nhất M kj và bé nhất m kj trong miền đó ⇒ m kj ≤ f ( x, y ) ≤ M kj , ∀ ( x, y ) ∈ D kj . Từ bổ đề ϕj( x ) xk ∫ dx ∫ f ( x, y )dy ≤ M ⇒ m kj∆D kj ≤ ∆D kj , ( ∆D kj là diện tích của D kj ) . kj ϕ j−1 ( x ) x k −1 Vậy n n n n ∑∑ mkj∆Dkj ≤ I ≤ ∑∑ M kj∆Dkj ⇔ s (π ) ≤ I ≤ S(π ) . (*) k =1 j=1 k =1 j=1 Mặt khác vì f(x,y) khả tích trong D nên lim s (π ) = lim S (π ) = ∫∫ f ( x, y ) . d(π )→0 d (π )→0 D Vậy từ (*) ta có y2 ( x ) b ∫ f ( x, y ) dy = ∫∫ f ( x, y ) dxdy . W I = ∫ dx y1 ( x ) a D Nhận xét. Trong định lý nếu thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì ta có 1. Định lý 1’. Nếu hàm f(x,y) liên tục trong D = {( x, y ) : c ≤ y ≤ d, x1 ( y ) ≤ x ≤ x 2 ( y )} và nếu các hàm x1 ( y ) , x 2 ( y ) liên tục trên [c;d] thì tồn tại tích phân ∫∫ f ( x, y )dxdy và D x2 ( y) d ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx . x1 ( y ) D c 2. Trong trường hợp miền D không thỏa mãn các điều kiện của định lý thì cần chia D thành hợp hữu hạn miền, đôi một không có điểm trong chung, thỏa mãn các điều kiện của định lý. 3. Nếu D là hình chữ nhật D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d} và hàm f(x,y) liên tục trong D thì b d d b ∫∫ f ( x, y ) dxdy =∫ dx ∫ f ( x, y ) dy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx . D a c c a Đặc biệt nếu f ( x, y ) = f1 ( x ).f 2 ( y ) và D là hình chữ nhật thì b d ∫∫ f ( x, y ) dxdy =∫ f1 ( x ) dx.∫ f 2 ( y ) dy . D a c 8
2.1.3 Các ví dụ. ∫∫ f ( x, y )dxdy về tích phân lặp theo các thứ tự khác Ví dụ 1. Đưa tích phân 2-lớp I = D nhau trong đó : a) D là hình thang với các đỉnh O(0;0),A(2;0),B(1;1) và C(0;1). 1 b) D giới hạn bởi: x = 2, y = x, y = . x Ví dụ 2. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân lặp sau : y2 4− x 2 0 2 ∫ f ( x, y ) dy , ∫ f ( x, y ) dx . b) I = ∫ dy a) I = ∫ dx −1 −2 y −1 1 0 ∫∫ ( x + y 2 ) dxdy , D giới hạn bởi: Ví dụ 3. Tính tích phân sau: 2 D y = x, y = x + 1, y = 1, y = 3. 2.2 Đổi biến số trong tích phân 2-lớp. 2.2.1 Công thức đổi biến số trong tích phân 2-lớp. Giả sử D ⊂ Oxy là miền đóng, bị chặn và đo được. ∫∫ f ( x, y )dxdy , trong đó f(x,y) liên tục trong D. Xét tích phân I = D Thực hiện một phép đổi biến số x = x(u,v), y = y(u,v), ( u, v ) ∈ D* (5) thỏa mãn các điều kiện sau : 1. Các hàm x(u,v), y(u,v) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng, bị chặn và đo được D* ⊂ O'uv . 2. Các công thức (5) xác định một song ánh từ miền D* lên miền D. 3. Định thức hàm Jacobi D ( x, y ) x 'u y'u ≠ 0, ∀ ( u, v ) ∈ D* (có thể trừ một số điểm). J= = D ( u, v ) x 'v y'v Khi đó ta có công thức đổi biến số trong tích phân 2-lớp ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f  x ( u, v ) , y ( u, v ) J dudv . (6)   * D D Ví dụ. Tính các tích phân a) ∫∫ ( 2x + 3y ) dxdy , D giới hạn bởi: D y = -x +1, y = -x + 3, y = 2x-1, y =2x-3. x−y b) ∫∫ e x+ y dxdy,D : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1 . D 2.2.2 Tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực. Công thức liên hệ của điểm M trong hệ tọa độ Đề các (x,y) và hệ tọa độ cực ( r,ϕ ) là x = r cosϕ , y = r sin ϕ , r ≥ 0,0 ≤ ϕ ≤ 2π . 9
Nếu r > 0,0 ≤ ϕ < 2π thì các công thức trên là một song ánh giữa tọa độ Đề các và tọa độ cực nên có thể xem chúng như một phép đổi biến số, ta có D ( x, y ) x 'r y'r cosϕ sin ϕ = r ≠ 0, ∀ ( r,ϕ ) ∈ D* (trừ tại gốc O(0,0)). J= = = D ( r,ϕ ) x 'ϕ y'ϕ − r sin ϕ rcosϕ Từ công thức đổi biến số tổng quát (6) ta có công thức tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( r cosϕ ,r sin ϕ ) rdrdϕ (7) D* D Chú ý. - Công thức (7) vẫn đúng trong trường hợp D có chứa gốc tọa độ. - Nếu D có chứa gốc tọa độ hoặc bao quanh gốc tọa độ thì 0 ≤ ϕ ≤ 2π . - Công thức (7) thích hợp khi D là hình tròn, vành tròn hoặc một phần của hình tròn, vành tròn và hàm số dưới dấu tích phân có chứa biểu thức x 2 + y 2 . Ví dụ 1. Chuyển sang tọa độ cực, rồi thay đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân lặp: 1− x 2 1 I = ∫ dx ∫ f (x, y)dy . 1− x 0 Ví dụ 2. Tính các tích phân : dxdy a) ∫∫ ,D :1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 , 1+ x + y 2 2 D b) ∫∫ ( x 2 + y 2 ) dxdy, D : x 2 + y 2 ≤ 2x . D c) ∫∫ x 2 + y 2 dxdy, D : x 2 + y 2 ≥ 2y, x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 . D 2.2.3 Tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực mở rộng. x 2 y2 - Trong trường hợp D là hình elip 2 + 2 ≤ 1 , vành elip hoặc một phần của a b hình elip, vành elip có thể đổi biến số x = a r cos ϕ , y = b r sin ϕ . - Trong trường hợp D là hình tròn tâm I(a,b) bán kính R, có thể đổi biến số x = a + r cos ϕ , y = b + r sin ϕ . Ví dụ 4. Tính tích phân: x 2 y2 x 2 y2 ∫∫ 1− − 2 dxdy,D : 2 + 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0;a,b > 0 . a2 b a b D $3 TÍCH PHÂN 3-LỚP 3.1 Định nghĩa tích phân 3-lớp. Cho hàm số f(x, y, z) xác định trong miền đóng, bị chặn và đo được T ⊂ R 3 . Thực hiện một phép phân hoạch π chia T thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có điểm trong chung T1 ,T2 ,...,Tn . Gọi ∆Ti là thể 10
( ) tích của mỗi miền con Ti i = 1,n , d ( Ti ) là đường kính của Ti , d (π ) = max d ( Ti ) là 1≤ i ≤ n đường kính phân hoạch. Trong mỗi miền con Ti chọn một cách tùy ý điểm N i ( x i , yi ,zi ) . Lập tổng tích phân n n σ π = ∑ f ( N i ) ∆Ti = ∑ f ( x i , yi ,zi ) ∆Ti . i =1 i =1 Ta thấy σ π phụ thuộc vào π và các điểm chọn N i ( x i , yi ,z i ) . Định nghĩa. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn I = lim σ π d ( π ) →0 mà giới hạn đó không phụ thuộc vào π và các điểm chọn N i ( x i , yi ,zi ) thì ta nói I là tích phân 3-lớp (tích phân Riemann) của hàm số f(x, y, z) lấy trong miền T và ký hiệu là ∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz . T Khi đó hàm số f(x, y, z) được gọi là khả tích (Riemann) trong miền T. Tích phân 3-lớp cũng có các kết quả và tính chất tương tự như tích phân 2-lớp. 3.2 Cách tính tích phân 3-lớp. Tương tự như tích phân 2-lớp, phương pháp cơ bản để tính tích phân 3-lớp là đưa tích phân 3-lớp về tích phân lặp và tính liên tiếp 3 tích phân đơn. 3.2.1 Tích phân 3-lớp trong hệ Đề các. Giả sử T ⊂ R 3 là miền đóng, bị chặn và đo được. Xét tích phân I = ∫∫∫ f ( x, y,z ) dxdydz , trong đó f(x, y, z) liên tục trong T. T Gọi D(x,y) là hình chiếu của T lên mặt phẳng O(x,y). Nếu miền T được giới hạn bởi các mặt z = z1 ( x, y ) ,z = z 2 ( x, y ) trong đó z1 ( x, y ) ≤ z 2 ( x, y ) , ∀ ( x, y ) ∈ D ( x, y ) và là các hàm số liên tục trong D(x,y) thì z 2 ( x,y ) ∫ f ( x, y,z ) dz . ∫∫ I= (1) dxdy D( x,y ) z1 ( x,y ) - Nếu D ( x, y ) = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x )} thì từ (1) y2 ( x ) z 2 ( x,y ) b ∫ f ( x, y, z ) dz . ⇒ I = ∫ dx ∫ dy y1 ( x ) z1 ( x,y ) a - Nếu D ( x, y ) = {( x, y ) : c ≤ y ≤ d, x ( y ) ≤ x ≤ x ( y )} thì từ (1) 1 2 x2 ( y) z 2 ( x,y ) d ∫ f ( x, y, z ) dz . ⇒ I = ∫ dy ∫ dx x1 ( y ) z1 ( x,y ) c Vì vai trò của x, y, z như nhau nên có thể xét đến hình chiếu của T lên các mặt phẳng tọa độ khác và ta có các tích phân lặp theo các thứ tự khác nhau. 11
Đặc biệt nếu T là hình hộp chữ nhật T = {( x, y,z ) : a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d,e ≤ z ≤ f } thì b d f I = ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x, y,z ) dz (2) a c e và ngoài ra có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân ở vế phải của (2) một cách tùy ý. Nếu f ( x,y,z ) = f1 ( x ) .f 2 ( y ).f 3 ( z ) và T là hình hộp chữ nhật thì b d f I = ∫ f1 ( x ) dx.∫ f 2 ( y ) dy.∫ f 3 ( z ) dz . a c e Ví dụ. Tính các tích phân a) ∫∫∫ xydxdydz,T : x ≥ 0, y ≥ 0,z ≥ 0, x + y + z ≤ 1 , T ∫∫∫ zdxdydz,T : 0 ≤ z ≤ R 2 − x 2 − y2 . b) T 3.2.2 Đổi biến số trong tích phân 3-lớp. 1. Công thức đổi biến số trong tích phân 3-lớp. Xét tích phân I = ∫∫∫ f ( x, y,z ) dxdydz , trong đó f(x, y, z) liên tục trong T. T Thực hiện một phép đổi biến số x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u,v,w); ( u, v, w ) ∈ T* (3) thỏa mãn các điều kiện sau: a) Các hàm x(u,v,w), y(u,v,w) và z(u,v,w) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng, bị chặn và đo được T* ⊂ O'uvw . b) Các công thức (3) xác định một song ánh từ miền T* lên miền T. c) Định thức hàm Jacobi x 'u y'u z 'u D ( x, y,z ) = x 'v y'v z 'v ≠ 0, ∀ ( u, v, w ) ∈ T* (có thể trừ một số điểm). J= D ( u, v, w ) x 'w y'w z 'w Khi đó ta có công thức đổi biến số trong tích phân 3-lớp ∫∫∫ f ( x, y,z )dxdydz = ∫∫∫ f  x ( u, v, w ) , y ( u, v, w ) ,z ( u, v, w ) J dudvdw . (4)   T* T 2. Tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ trụ. Tọa độ trụ của điểm M ( x, y,z ) ∈ Oxyz là bộ ba số ( r,ϕ ,z ) , trong đó ( r,ϕ ) là tọa độ cực của M’(x,y) là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxy. Giữa tọa độ Đề các và tọa độ trụ của điểm M có mối liên hệ x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , z = z ;r ≥ 0,0 ≤ ϕ ≤ 2π , −∞ < z < +∞ . Nếu r > 0, 0 ≤ ϕ < 2π , − ∞ < z < +∞ thì các công thức trên là một song ánh giữa tọa độ Đề các và tọa độ trụ, nên có thể xem chúng như một phép đổi biến số, ta có 12
cosϕ sin ϕ 0 D ( x, y,z ) = −r sin ϕ rcosϕ 0 = r ≠ 0, ∀ ( r,ϕ ,z ) ∈ T* (trừ các điểm thuộc trục J= D ( r,ϕ ,z ) 0 0 1 Oz). Từ công thức đổi biến số tổng quát (4) ta có công thức tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ trụ ∫∫∫ f ( x, y,z )dxdydz = ∫∫∫ f ( r cosϕ ,r sin ϕ ,z ) rdrdϕ dz . (5) T* T Chú ý: - Công thức (5) vẫn đúng trong trường hợp T có chứa các điểm thuộc Oz. - Công thức (5) thích hợp khi T là hình trụ, nón, paraboloit tròn xoay hoặc các miền hình chiếu lên các mặt phẳng tọa độ là hình tròn, một phần của hình tròn. Ví dụ. Tính các tích phân a) ∫∫∫ z x 2 + y 2 dxdydz,T : x 2 + y 2 ≤ 2y,0 ≤ z ≤ a . T b) ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 ) dxdydz,T : x 2 + z 2 ≤ y ≤ a . T 3. Tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ cầu. Tọa độ cầu của điểm M ( x, y,z ) ∈ Oxyz là bộ ba số ( r,θ ,ϕ ) , trong đó r = OM, uur uuuu r uuu uuuur r ( ) ( ) θ = Oz,OM , ϕ = Ox,OM ' , M’ là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxy. Giữa tọa độ Đề các và tọa độ cầu của điểm M có mối liên hệ x = r sin θ cos ϕ , y = rsinθ sin ϕ , z = r cosθ ; r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π . Nếu r > 0, 0 ≤ ϕ < 2π , 0 ≤ θ < π thì các công thức trên là một song ánh giữa tọa độ Đề các và tọa độ cầu, nên có thể xem chúng như một phép đổi biến số, ta có D ( x, y,z ) = r 2 sin θ ≠ 0, ∀ ( r,θ ,ϕ ) ∈ T* (trừ các điểm thuộc trục Oz). J= D ( r,θ ,ϕ ) Từ công thức đổi biến số tổng quát (4) ta có công thức tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ cầu ∫∫∫ f ( x, y,z )dxdydz = ∫∫∫ f ( r sin θ cosϕ , r sin θ sin ϕ , rcosθ ) r sin θ dr dθ dϕ . 2 (6) T* T Chú ý: -Công thức (6) vẫn đúng trong trường hợp T có chứa các điểm thuộc Oz. π - Nếu T nằm hoàn toàn ở phía trên mặt phẳng Oxy thì 0 ≤ θ ≤ . 2 - Biểu thức x + y + z trong hệ tọa độ cầu chính là r . 2 2 2 2 - Công thức (6) thích hợp khi T là hình cầu, vành cầu hoặc một phần của hình cầu, vành cầu. Ví dụ : Tính các tích phân a) ∫∫∫ ( x 2 + y 2 ) dxdydz,T : x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0;R > 0 , T b) ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 dxdydz,T : x 2 + y 2 + z 2 ≤ z . T 13
$4 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2-LỚP, 3-LỚP 4.1 Ứng dụng trong hình học. 4.1.1 Tính diện tích của hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đóng, bị chặn và đo được D được tính theo công thức S ( D ) = ∫∫ dxdy . D Ví dụ. Tính diện tích của hình phẳng D giới hạn bởi các đường a) y 2 = 2px, y 2 = 2qx, x 2 = 2ry, x 2 = 2sy;0 < p < q,0 < r < s . 3 b) x 2 + y 2 = ax, x 2 + y 2 = 2ax ( a > 0 ) , y = x, y = x. 2 4.1.2 Tính diện tích của mặt. Giả sử (S) là một mặt trơn, có phương trình là z = f(x,y), trong đó f(x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền D là hình chiếu của (S) lên mặt phẳng Oxy. Khi đó diện tích của mặt (S) được tính theo công thức S = ∫∫ 1 + p 2 + q 2 dxdy , trong đó p = z 'x ,q = z 'y ,dS = 1 + p 2 + q 2 dxdy . D Ví dụ. Tính diện tích của phần mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4 nằm trong mặt trụ x 2 + y 2 = 2x . 4.1.3 Tính thể tích của vật thể. 1. Thể tích của vật thể đóng, bị chặn và đo được T ⊂ R 3 được tính theo công thức V ( T ) = ∫∫∫ dxdydz . T 2. Đặc biệt nếu T là vật thể hình trụ được giới hạn phía dưới bởi mặt z = z1 ( x, y ) , phía trên bởi mặt z = z 2 ( x, y ) , trong đó các hàm z1 ( x, y ) và z 2 ( x, y ) liên tục trong miền D là hình chiếu của T lên mặt phẳng Oxy, xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz và đường chuẩn là biên của D thì thể tích của T được tính theo công thức V ( T ) = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫  z 2 ( x, y ) − z1 ( x, y )dxdy .   T D Ví dụ. Tính thể tích của phần hình trụ x + y 2 = 2ax , a > 0 nằm giữa paraboloid 2 x 2 + y 2 = 2az và mặt phẳng Oxy . 4.1 Ứng dụng trong vật lý. 4.1.1 Ứng dụng của tích phân 2-lớp trong vật lý. Cho bản phẳng D không đồng chất có khối lượng riêng (tỉ khối) tại điểm M(x,y) ∈ D là ρ ( x, y ) , giả thiết hàm ρ ( x, y ) liên tục trong miền D. Ta có 1. Khối lượng của bản phẳng D được tính theo công thức m = ∫∫ ρ (x, y)dxdy . D 2. Tọa độ trọng tâm của bản phẳng D được tính theo công thức 14
1 1 ∫∫ xρ (x, y)dxdy ; yG = m ∫∫ yρ (x, y)dxdy . xG = mD D Đặc biệt: Nếu D là bản phẳng đồng chất thì 1 1 ∫∫ xdxdy ; yG = S(D) ∫∫ ydxdy , xG = S(D) D D trong đó S(D) là diện tích của miền D. Ví dụ. Cho bản phẳng D là tam giác vuông OAB có các cạnh góc vuông OA = a, OB = b. Khối lượng riêng tại mỗi điểm thuộc D bằng khoảng cách từ điểm đó đến cạnh OA. Tìm tọa độ trọng tâm của bản phẳng. 4.1.2 Ứng dụng của tích phân 3-lớp trong vật lý. Cho vật thể T không đồng chất có khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z)∈ T là ρ ( x, y,z ) , giả thiết hàm ρ ( x, y,z ) liên tục trong miền T. Ta có 1. Khối lượng của vật thể T được tính theo công thức m = ∫∫∫ ρ ( x, y,z )dxdydz . T 2. Tọa độ trọng tâm của vật thể T được tính theo công thức 1 1 1 x G = ∫∫∫ xρ ( x, y, z )dxdydz ; yG = ∫∫∫ yρ ( x, y, z )dxdydz ; z G = ∫∫∫ zρ ( x, y,z )dxdydz mT mT mT . Đặc biệt. Nếu T là vật thể đồng chất thì 1 1 1 ∫∫∫ xdxdydz ; yG = V ( T ) ∫∫∫ ydxdydz ; zG = V ( T ) ∫∫∫ zdxdydz , xG = V (T) T T T trong đó V(T) là thể tích của miền T. Ví dụ 1.Tính khối lượng của vật thể T: a 2 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ b 2 ,0 < a < b . Biết rằng khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z)∈ T bằng lập phương khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ. Ví dụ 2. Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi mặt nón z = x 2 + y 2 và mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 1 . TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Chương II $1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT 1.1 Một số khái niệm về đường cong: Giả sử (C) là đường cong phẳng được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: x = x(t), y = y(t) ; t ∈ [ a;b ] (1) 15
Định nghĩa 1: Đường cong (C) được gọi là: 1. Đường cong Jordan ( đơn, không tự cắt ) nếu các hàm x(t), y(t) liên tục trên [a;b] và thỏa mãn điều kiện ( x ( t1 ) , y ( t1 ) ) ≠ ( x ( t 2 ) , y ( t 2 ) ) ; ∀t1 , t 2 ∈ ( a;b ) , t1 ≠ t 2 . Ngoài ra nếu ( x ( a ) , y ( a ) ) ≡ ( x ( b ) , y ( b ) ) thì (C) là đường cong đóng (kín). Ngược lại (C) được gọi là đường cong không đóng ( không kín). 2. Đường cong trơn nếu các hàm x(t), y(t) có đạo hàm liên tục trên [a;b] và thỏa mãn điều kiện x '2 ( t ) + y '2 ( t ) ≠ 0, ∀t ∈ [a;b ] . 3. Đường cong trơn từng khúc nếu nó gồm hữu hạn cung trơn. Nhận xét: Trên đường cong (C) có thể xác lập một hướng nếu quy ước điểm M ( x ( t1 ) , y ( t1 ) ) đứng trước điểm N ( x ( t 2 ) , y ( t 2 ) ) ⇔ t1 < t 2 , ∀t1 , t 2 ∈ [a;b ] . Khi đó điểm A = ( x ( a ) , y ( a ) ) gọi là điểm đầu, điểm B = ( x ( b ) , y ( b ) ) gọi là điểm cuối. Đường cong phẳng (C) trên đó xác lập một hướng được gọi là đường cong có hướng. Đường cong (C) với điểm đầu A, điểm cuối B còn được ký hiệu là C(A,B). Nhà toán học Jordan (Pháp) đã chứng minh: mọi đường cong phẳng, đóng, Jordan (C) đều chia mặt phẳng thành hai miền khác nhau với biên chung (C), một miền bị chặn (phần trong), một miền không bị chặn (phần ngoài). Giả sử (C) là đường cong phẳng, đóng, Jordan. Ta quy ước hướng dương là hướng khi một điểm chuyển động trên (C) theo hướng đó thì phần trong của (C) luôn nằm ở bên trái. Hướng ngược lại gọi là hướng âm. Chú ý: 1. Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ Đề các y = y ( x ) , x ∈ [a;b ] , có thể tham số hóa (C) bằng cách đặt x = t, y = y ( t ) ; t ∈ [a;b ] . 2. Đường cong không gian (ghềnh) được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: x = x(t), y = y(t), z = z(t) ; t ∈ [a;b ] cũng được định nghĩa tương tự. 1.2 Định nghĩa tích phân đường loại một (tích phân đường theo độ dài): 1.2.1 Định nghĩa tích phân đường loại một (tích phân đường theo độ dài): Giả sử ( C ) = C(A,B) là đường cong phẳng, Jordan, trơn. Trên ( C ) cho hàm f(x,y) liên tục. Thực hiện một phép phân hoạch π chia ( C ) thành n cung nhỏ tùy ý bởi các điểm chia: A ≡ A 0 ,A1 ,...,A n ≡ B . Đặt ∆si là độ dài của cung nhỏ thứ i, ¼ i = 1, n ; d (π ) = max ∆s là đường kính phân hoạch. Trên mỗi cung nhỏ A A lấy i −1 i i 1≤ i ≤ n điểm M i (ξi ,ηi ) bất kỳ. Lập tổng tích phân: n n σ π = ∑ f ( M i ) ∆si = ∑ f (ξi ,ηi ) ∆si . i =1 i =1 Ta thấy σ π phụ thuộc vào π và các điểm chọn M i (ξi ,ηi ) . 16
Định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim σ π = I mà giới hạn đó không phụ d(π )→0 thuộc vào π và các điểm chọn M i (ξi ,ηi ) thì I được gọi là tích phân đường loại một (tích phân đường theo độ dài) của hàm f(x,y) lấy trên ( C ) . Ký hiệu ∫ f ( x, y ) ds (2) (C) Nếu tích phân (2) tồn tại thì nói hàm f(x,y) là khả tích trên ( C ) . Nhận xét: 1. Tích phân đường loại một không phụ thuộc vào hướng của ( C ) . 2. Tương tự có thể định nghĩa tích phân đường loại một của hàm f(x,y,z) lấy trên đường cong không gian ( C ) và ký hiệu ∫ f ( x, y,z ) ds . ( C) 3. Nếu ( C ) trơn hoặc trơn từng khúc và f(x,y) liên tục trên ( C ) thì tồn tại ∫ f ( x, y ) ds . tích phân đường loại một ( C) 4. Độ dài của đường cong ( C ) được tính theo công thức l = ∫ ds . (C) 5. Khối lượng của đường cong phẳng ( C ) được tính theo công thức ∫ ρ ( x, y ) ds , trong đó ρ ( x, y ) là khối lượng riêng tại điểm M(x,y) thuộc ( C ) , m= (C) ρ ( x, y ) liên tục trên ( C ) . Khối lượng của đường cong không gian ( C ) được tính theo công thức ∫ ρ ( x, y,z ) ds , trong đó ρ ( x, y,z ) m= là khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z) thuộc (C) ( C ) , ρ ( x, y,z ) liên tục trên ( C ) . 6. Tích phân đường loại một có các tính chất tương tự như tích phân xác định. 1.3 Cách tính tích phân đường loại một: 1.3.1 Định lý: Giả sử ( C ) là đường cong phẳng, Jordan, trơn được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số (1). Nếu f(x,y) liên tục trên ( C ) thì tồn tại tích phân đường loại ∫ f ( x, y ) ds và một (C) b ∫ f ( x, y ) ds = ∫ f  x ( t ) , y ( t ) x '2 ( t ) + y'2 ( t ) dt . (3)   ( C) a Chứng minh: Từ các giả thiết của định lý thì tích phân I ở vế phải của (3) tồn tại. Ta cần chứng minh tích phân ở vế trái của (3) cũng tồn tại và xảy ra đẳng thức. Giả sử π là một phép phân hoạch chia [a ; b] thành n đoạn con [ t i−1;t i ],i = 1,n . Lập tổng tích phân: 17
   ti  n n σ π = ∑ f (ξi ,ηi ) ∆si = ∑ f  x (τ i ) , y (τ i )  ∫ x '2 ( t ) + y'2 ( t ) dt    (4) i =1     i =1 t i −1 trong đó τ i ∈ [ t i −1; t i ],i = 1,n và M i (ξi ;ηi ) = Mi ( x (τ i ) ; y (τ i ) ) . Mặt khác tích phân I ở vế phải của (3) có thể biểu diễn dưới dạng: ti n I=∑ ∫ f  x ( t ) , y ( t ) x '2 ( t ) + y'2 ( t ) dt (5)   i =1 t i −1 Từ (4) và (5) ta có: ti ∫ {f  x (τ ) , y (τ ) − f  x ( t ) , y ( t )} n σπ − I = ∑ x '2 ( t ) + y'2 ( t ) dt (6)     i i i =1 t i −1 vì f(x,y) và x(t), y(t) liên tục nên hàm hợp f [x(t), y(t)] cũng liên tục trên [a ; b] do đó liên tục đều trên đoạn đó. Ngoài ra khi d (π ) → 0 thì ∆t i = t i − t i−1 → 0, ∀i = 1,n . Do đó ∀ε > 0 bé tùy ý, ∃δ > 0 : ∀π mà d (π ) < δ thì ε f  x (τ i ) , y (τ i ) − f  x ( t ) , y ( t )  < (7)     l trong đó l là độ dài của đường cong (C). Giả sử d (π ) < δ khi đó từ (7) ta được ε ti n ∑∫ x '2 ( t ) + y'2 ( t ) dt = ε . σπ − I < l i =1 t i −1 W Vậy lim σ π = I . d(π )→0 Hệ quả: 1. Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ Đề các y = y ( x ) , x ∈ [a;b ] thì: b f ( x, y ) ds = ∫ f  x, y ( x ) 1 + y'2 ( x ) dx ∫   ( C) a 2. Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ cực r = r (ϕ ) ,ϕ ∈ [α ; β ] thì: β ∫ f ( x, y ) ds = ∫ f r (ϕ ) cosϕ ,r (ϕ ) sin ϕ  r 2 (ϕ ) + r '2 (ϕ ) dϕ .   (C) α 3. Nếu ( C ) đường cong không gian được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: x = x(t), y = y(t), z = z(t) ; t ∈ [ a;b ] và f(x,y,z) liên tục trên ( C ) thì: b ∫ f ( x, y,z ) ds = ∫ f  x ( t ) , y ( t ) ,z ( t ) x '2 ( t ) + y'2 ( t ) + z '2 ( t ) dt .   (C) a Chú ý: Nếu (C) trơn từng khúc cần chia ( C ) thành hữu hạn cung trơn. 18
1.3.2 Các ví dụ: 1. Tính các tích phân: a) I = ∫ ( x + y ) ds, ( C ) là biên của tam giác với các đỉnh O(0;0), A(1;0), (C ) B(0;1). ∫ xyz ds, ( C ) là một đoạn của đường đinh ốc: b) I = (C) x = a cos t, y = a sin t,z = b t; t ∈ [0;2π ],a, b > 0 . 2. Tính khối lượng của đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 = ax,a > 0 , biết rằng khối lượng riêng tại điểm M(x;y) thuộc ( C ) bằng khoảng cách từ điểm đó đến gốc toạ độ. $2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI 2.1 Định nghĩa tích phân đường loại hai (tích phân đường theo tọa độ): Giả sử ( C ) = C(A,B) là đường cong phẳng, Jordan, trơn, không đóng. Trên ( C ) cho các hàm hai biến P = P ( x, y ) ,Q = Q ( x, y ) liên tục. Thực hiện một phép phân hoạch π chia ( C ) thành n cung nhỏ tùy ý bởi các điểm chia ¼ A ≡ A ,A ,...,A ≡ B . Đặt ∆s là độ dài của cung A A ; ∆x , ∆y , i = 1, n lần lượt là i −1 i 0 1 n i i i ¼ hình chiếu của cung A i−1A i lên trục hoành và trục tung, d (π ) = max ∆si là đường 1≤ i ≤ n ¼ kính phân hoạch. Trên mỗi cung nhỏ A i−1A i lấy điểm M i (ξi ,ηi ) bất kỳ. Lập các tổng tích phân n n n n ∑ P ( M ) ∆x = ∑ P (ξ ,η ) ∆x và ∑ Q ( M ) ∆y = ∑ Q (ξ ,η ) ∆y . i i i i i i i i i i i =1 i =1 i =1 i =1 Định nghĩa: Nếu tồn tại các giới hạn hữu hạn n n ∑ P (ξi ,ηi ) ∆x i và lim ∑ Q (ξ ,η ) ∆y lim d(π )→0 d (π )→ 0 i i i i =1 i =1 mà các giới hạn đó không phụ thuộc vào π và các điểm chọn M i (ξi ,ηi ) thì chúng được gọi là các tích phân đường loại hai (tích phân đường theo tọa độ) của các hàm P = P ( x, y ) ,Q = Q ( x, y ) lấy trên đường cong ( C ) . Ký hiệu ∫ P ( x, y ) dx ∫ Q ( x, y ) dy . và (C) (C) Tổng của chúng được gọi là tích phân đường loại hai tổng quát. Ký hiệu ∫ P dx + Qdy . ( C) Nhận xét: 1. Tích phân đường loại hai phụ thuộc vào hướng của ( C ) : ∫ ∫ P dx + Qdy = − P dx + Qdy C( A,B ) C( B,A ) 19
2. Đối với đường cong đóng, có hướng dương tích phân đường loại hai được định nghĩa: i Pdx + Qdy = ∫ P dx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy , ∫ ( C) ( AmB) ( BnA ) trong đó A,B là hai điểm bất kỳ thuộc ( C ) . Tích phân đường loại hai có hướng âm được định nghĩa: j Pdx + Qdy = − i Pdx + Qdy . ∫ ∫ (C ) 3. Nếu ( C ) trơn hoặc trơn từng khúc và các hàm P = P ( x, y ) ,Q = Q ( x, y ) liên tục trên ( C ) thì tồn tại tích phân đường loại hai ∫ Pdx + Qdy . (C) 4. Tương tự có thể định nghĩa các tích phân đường loại hai của các hàm ba biến P = P ( x, y, z ) ,Q = Q ( x, y,z ) ,R = R ( x, y,z ) lấy trên đường cong không gian ( C ) . Ký ∫ P ( x, y,z ) dx , ∫ Q ( x, y,z ) dy và ∫ R ( x, y,z ) dz . hiệu là ( C) (C) ( C) Tổng của chúng cũng được gọi là tích phân đường loại hai tổng quát và ký hiệu là ∫ Pdx + Qdy + Rdz . (C) 5. Tích phân đường loại hai có các tính chất tương tự như tích phân xác định. 2.2 Cách tính tích phân đường loại hai: 2.2.1 Định lý: Giả sử ( C ) là đường cong phẳng, Jordan, trơn được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số (1). Nếu các hàm P = P ( x, y ) ,Q = Q ( x, y ) liên tục trên ( C ) thì tồn tại tích phân đường loại hai ∫ Pdx + Qdy và (C) b ∫ Pdx + Qdy = ∫ {P  x ( t ) , y ( t ) x ' ( t ) + Q  x ( t ) , y ( t ) y'( t )} dt .     (C) a Chứng minh: Chỉ cần chứng minh b ∫ P ( x, y ) dx = ∫ P  x ( t ) , y ( t )x ' ( t ) dt (1)   ( C) a Dễ thấy tích phân I ở vế phải của (1) tồn tại. Ta cần chứng minh tích phân ở vế trái của (1) cũng tồn tại và xảy ra đẳng thức. Giả sử π là một phép phân hoạch chia [a;b] thành n đoạn con [ t i−1;t i ],i = 1,n ; τ i ∈ [ t i −1; t i ],i = 1,n và Mi (ξi ;ηi ) = M i ( x (τ i ) ; y (τ i ) ) . n Lập tổng tích phân σ π = ∑ P (ξi ,ηi ) ∆x i . i =1 ti ti n ∫ x '( t ) dt nên I = ∑ ∫ P  x ( t ) , y ( t ) x ' ( t )dt Vì ∆x i = x i − x i−1 = x ( t i ) − x ( t i −1 ) =   i =1 t i −1 t i −1 20