Bài giảng Lý thuyết ước lượng do TS. Trần Đình Thanh thực hiện sau đây sẽ trang bị cho các bạn những kiến thức về phương pháp ước lượng trung bình, phương pháp ước lượng phương sai, phương pháp ước lượng hiệu hai trung bình, phương pháp ước lượng tỉ số hai phương sai.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết ước lượng - TS. Trần Đình Thanh
- LÝ THUYẾT
ƯỚC
LƯỢNG
GV: TS. TRẦN ĐÌNH THANH
- Mục tiêu bài giảng
Nắm vững:
Phương pháp ước lượng Trung bình
Phương pháp ước lượng Phương sai
Phương pháp ước lượng Hiệu hai trung
bình
Phương pháp ước lượng Tỉ số hai phương
sai
- ƯỚC LƯỢNG LÀ GÌ?
Ước lượng là phỏng đoán một giá trị chưa
biết bằng cách dựa vào quan sát mẫu.
Thông thường ta cần ước lượng giá trị
trung bình, tỉ lệ, phương sai, hệ số
tương quan…
Có hai hình thức ước lượng:
Ước lượng điểm và Ước lượng khoảng
3
- a. Ước lượng điểm: Kết quả của giá trị
cần ước lượng cho bởi 1 trị số.
Thí dụ: Ta lấy mẫu và ước lượng
được chiều cao trung bình của người
VN là: µ = 160 cm
• b. Ước lượng khoảng: Kết quả của giá
trị cần được ước lượng cho bởi 1
khoảng.
Thí dụ: Ta lấy mẫu và ước lượng
được chiều cao trung bình của người
VN là: 158cm µ 162cm.
4
- Ước lượng điểm có ưu điểm là cho chúng
ta một giá trị cụ thể, có thể dùng để tính
các kết quả khác, nhưng không cho biết
được sai số ước lượng nhiều hay ít.
Ước lượng khoảng cho ta hình dung
được sai số nhiều hay ít, nhưng không
cho ta được giá trị cụ thể của đại lượng
cần ước lượng.
5
- A. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM.
I. TIÊU CHUẨN ƯỚC LƯỢNG
Coi X1, X2 , , Xn là mẫu độc lập, có hàm mật
độ f(x, ) phụ thuộc vào một tham số chưa
biết và cần ước lượng
Gọi T T X1 , X2 , ..., Xn là thống kê dùng để
ước lượng tham số .
1. Ước lượng đúng:
úng:
Ta nói T là ước lượng đúng của nếu:
E(T) = 6
- 2. Ít phân tán (phương sai bé):
Coi T1 , T2 là các ước lượng đúng của .
Ta nói T1 tốt hơn T2 nếu T1 ít phân tán hơn
T2 nghĩa là:
2 2
(T1 ) (T2 )
3. Ước lượng tốt nhất:
Thống kê T được gọi là ước lượng tốt nhất
của nếu T là ước lượng đúng và ít phân tán
nhất, nghĩa là:
(1) E(T) =
/ / 2 2 /
(2 ) T : E(T ) ; (T) (T ) 7
- 2
Thí dụ: Giả sử chiều cao X ~ N( , )
Quan sát mẫu X1, X2, …, Xn dùng để ước
lượng chiều cao trung bình
Ta có thể đặt ra nhiều thống kê dùng để
ước lượng như sau:
T1 X1
X1 X2
T2
2
X1 2 X2
T3
3
X1 Xn
T4
n 8
- Ta đánh giá mỗi các ước lượng T1, T2, T3, T4.
Ta có: E(T1 ) E(X1 )
X1 X2
E(T2 ) E
2 2
X1 2 X2 2
E(T3 ) E
3 3
X1 Xn
E(T4 ) E
n n
Vậy: T1,T2,T3,T4 là các ước lượng đúng của
.
9
- Ta tính phương sai:
2 2 2
(T1 ) (X1 )
2
2 2 X1 X2
1 2 1 2
(T2 )
2 4 4 2
2 2 X1 2 x2 1 2 4 2 5 2
(T3 )
3 9 9 9
2
2 2 X1 Xn
(T4 )
n n
Vậy trong 4 thống kê: T1, T2, T3, T4 thì
T4 là ước lượng tốt nhất
10
- T2 là ước lượng tốt thứ hai.
T3 là ước lượng tốt thứ ba.
T1 là ước lượng tốt thứ tư.
Ngoài các thống kê T1, T2, T3, T4, chúng ta có
thể đặt ra nhiều thống kê khác nữa, như:
2 X1 X2 X3
T5
4
3 X1 4 X2 2 X3 5 X4
T6 , v. v...
14
Vậy làm thế nào để biết được một ước
lượng T tốt nhất? Vấn đề này được giải
quyết bởi bất đẳng thức Rao – Cramer. 11
- II. BẤT ĐẲNG THỨC RAO – CRAMER
1. Tin lượng Fisher:
Xét biến số ngẫu nhiên X có hàm mật độ
f(x, ) phụ thuộc tham số . Tin lượng
Fisher của X là đại lượng:
2
I( ) E ln f(X, )
Ta dùng tin lượng Fisher trong việc
đánh giá ước lượng.
12
- Thí dụ:
X ~ B(1, ), hàm mật độ của X là:
x
(1 )1 x ; (x 0 ;1)
f( x , )
0 ; nôi khaùc
ln f(X, ) Xln (1 X) ln(1 )
X 1 X X
ln f(X, )
1 (1 )
(X )2 1
I( ) E 2 2 .E( X )2
(1 )2 2
(1 )
1 1
2 2 . (1 )
(1 ) (1 ) 13
- 2. Bất đẳng thức Rao – Cramer:
Nếu T là ước lượng đúng của , thì:
2 1
(T)
n.I( )
Ý nghĩa của bất đẳng thức Rao – Cramer
Bất đẳng thức Rao – Cramer cho ta một
chặn dưới (giá trị nhỏ nhất có thể có được)
của 2(T), vậy nếu ta tìm được một thống
2 1
kê T là ước lượng đúng của sao cho (T)
n.I( )
thì đó là ước lượng tốt nhất, vì không còn ước
lượng nào có độ phân tán thấp hơn 1 được
n.I( ) 14
- III. CÁCH TÌM ƯỚC
LƯỢNG:
Có nhiều phương pháp để tìm ước lượng,
trong số đó, phương pháp ước lượng cơ hội
cực đại được thường dùng nhiều hơn cả.
1. Nguyên lý cơ hội cực đại:
Thí dụ:
Giả sử có 1 hộp chứa 3 bi đỏ + 7 bi trắng
+ 5 bi xanh = 15 bi, có cùng kích thước, lấy
ngẫu nhiên 1 bi. Hãy phán đoán xem bi đó
màu gì?
15
- Hẳn nhiên mỗi chúng ta đều phán đoán
rằng bi đó màu trắng, vì số lượng nhiều
hơn, tất nhiên cơ hội để đoán trúng sẽ cao
hơn, thật vậy nếu tính xác suất ta thấy:
Ñ T X
P /15
3 7
/15 5
/15
Ta đã mặc nhiên sử dụng nguyên lý cơ
hội cực đại trong lúc phán đoán màu của
viên bi lấy ra.
16
- 2. Aùp dụng vào ước lượng:
Hàm cơ hội được định nghĩa là:
L( x , ) f(x1 , ). f(x2 , ) f(xn , )
Trong đó f(xi , ) là hàm mật độ của Xi.
Ta chọn giá trị sao cho hàm cơ hội
tại đó lớn nhất.
17
- Khi đã quan sát được mẫu, ta biết được giá
tr
X1ị, X2 , , Xn ; do đó biểu thức L( x , ) chỉ
còn phụ thuộc một đại lượng chưa biết .
Hàm L( x , ) đạt cực đại chỗ nào thì
giá trị đó làm ưlớấc l
y ượng cho .
Để ý rằng L( x , ) và ln L( x , ) có cùng
chiều biến thiên, nên L( x , ) cực đại thì
ln L( x , ) cũng cực đại.
18
- Thí dụ:
Ta muốn ước lượng tỉ lệ sản phẩm hỏng
trong một lô hàng thật nhiều.
Trước hết ta quan sát mẫu.
1, neáuñöôïc saûnphaåmhoûng
X1
0 , neáuñöôïc saûnphaåmtoát
X1 0 1
P 1
Hàm mật độ xác suất của X1:
x1 1 x1
f( x1 , ) .(1 )
19
- Tương tự, sau n lần quan sát ta được
mẫu: X1, X2, …, Xn.
Hàm cơ hội:
L( x, ) f(x1 , ). f(x2 , ) f( xn , )
xi n xi
.(1 )
ln L(x, ) xi ln n xi ln(1 )
xi n xi
ln L( x , )
1
xi n = n( f − θ ) ; f = xi
(1 ) θ (1 − θ ) n
20
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
