intTypePromotion=1
ADSENSE

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 7 - Đại học Kinh tế Quốc dân

Chia sẻ: Minh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

46
lượt xem
2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 7: Ước lượng tham số" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm, phương pháp ước lượng điểm, phương pháp ước lượng khoảng, ước lượng tham số, ước lượng tham số ơ2, ước lượng tham số p. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 7 - Đại học Kinh tế Quốc dân

  1. Chương 7. Chương 7. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ ▪ Tham số tổng thể (cũng là tham số của biến ngẫu nhiên) là chưa biết ▪ Có thông tin của mẫu, ước lượng các tham số tổng thể bằng các phương pháp ▪ Ba tham số cơ bản: • Trung bình tổng thể • Tỷ lệ tổng thể • Phương sai tổng thể LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 168
  2. Chương 7. Ước lượng tham số NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG 7 ▪ 7.1. Khái niệm ▪ 7.2. Phương pháp ước lượng điểm ▪ 7.3. Phương pháp ước lượng khoảng ▪ 7.4. Ước lượng tham số  ▪ 7.5. Ước lượng tham số σ2 ▪ 7.6. Ước lượng tham số p LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 169
  3. Chương 7. Ước lượng tham số 7.1 7.1. KHÁI NIỆM ▪ Trong tổng thể biến ngẫu nhiên X được đặc trưng bởi tham số  ▪ Không biết đủ thông tin tổng thể,  chưa biết, cần ước lượng tham số (parameter estimate) ▪ Sử dụng thông tin từ mẫu ▪ Mẫu ngẫu nhiên: xây dựng ước lượng ngẫu nhiên (estimator) ▪ Mẫu cụ thể: được ước lượng cụ thể (estimate), hay giá trị quan sát (observed value) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 170
  4. Chương 7. Ước lượng tham số 7.2 7.2. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM ▪ Dùng một giá trị 𝜃መ ước lượng cho tham số  ▪ Sử dụng mẫu W = (X1, X2, …, Xn) ▪ Lập thống kê tương ứng với , là một hàm trên mẫu 𝜃መ = G(X1, X2, …, Xn) ▪ Gọi là hàm ước lượng của  ▪ Có nhiều hàm ước lượng có thể sử dụng, cần có tiêu chí lựa chọn “tốt nhất” LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 171
  5. Chương 7. Ước lượng tham số 7.2. Phương pháp ước lượng điểm Tiêu chí lựa chọn hàm ước lượng ▪ Tính không chệch (unbiased) • 𝜃መ là ước lượng không chệch của   E(𝜃) መ = • Nếu E(𝜃)መ   : ước lượng chệch ▪ Tính hiệu quả (efficient) • 𝜃መ1 , 𝜃መ2 là ước lượng không chệch • 𝑉(𝜃መ1 ) < 𝑉(𝜃መ2 ) thì 𝜃መ1 là ước lượng hiệu quả hơn 𝜃መ2 • 𝑉(𝜃መ1 ) là nhỏ nhất thì 𝜃መ1 là ước lượng hiệu quả nhất ▪ Ước lượng không chệch hiệu quả nhất: tốt nhất LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 172
  6. Chương 7. Ước lượng tham số 7.2. Phương pháp ước lượng điểm Bất đẳng thức Cramer-Rao ▪ Nếu BNN X có công thức tính xác suất hoặc hàm mật độ là f(x,  ) thì với mọi 𝜃መ là ước lượng không chệch của , luôn có: ˆ 1 V (θ )  2   ln f ( x , θ )  nE    θ  ▪ Do đó nếu 𝜃መ ∗ là ước lượng không chệch và có phương sai bằng vế phải thì nó là ước lượng hiệu quả nhất LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 173
  7. Chương 7. Ước lượng tham số 7.2. Phương pháp ước lượng điểm Tiêu chí lựa chọn hàm ước lượng ▪ Tính vững (consistent): khi kích thước mẫu tiến đến vô cùng thì ước lượng hội tụ đến tham số (theo nghĩa xác suất) ▪ Tính đủ (sufficient): ước lượng sử dụng toàn bộ các thông tin trong mẫu LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 174
  8. Chương 7. Ước lượng tham số 7.2. Phương pháp ước lượng điểm Ước lượng điểm ▪ Khi X ~ N( , σ2) thì • 𝑋ത là ước lượng không chệch, hiệu quả của  • S*2 là ước lượng không chệch, hiệu quả của σ2 • S2 là ước lượng không chệch của σ2 • MS là ước lượng chệch của σ2 ▪ Khi X ~ A(p) thì f là ước lượng không chệch, hiệu quả của p. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 175
  9. Chương 7. Ước lượng tham số 7.2. Phương pháp ước lượng điểm Ví dụ 7.1 ▪ Trung bình tổng thể là m, phương sai là 2 ▪ Với mẫu kích thước n = 3, trong các thống kê sau, đâu là ước lượng không chệch, hiệu quả cho m: 1 1 1 1 1 1 G1  X 1  X 2  X 3 ; G2  X 1  X 2  X 3 2 2 2 2 3 6 1 1 1 1 1 1 G3  X 1  X 2  X 3 ; G4  X 1  X 2  X 3 2 4 4 3 3 3 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 176
  10. Chương 7. Ước lượng tham số 7.2. Phương pháp ước lượng điểm Ước lượng hợp lý tối đa ▪ Mẫu W = (X1, X2, …, Xn), tại giá trị cụ thể (x1, x2, …, xn) ▪ Hàm hợp lý: L(x1, x2, …, xn, ) = f(x1,  ). f(x2,  )… f(xn,  ) ▪ L gọi là hàm hợp lý (likelihood function) của  ▪ Giá trị 𝜃መ làm L đạt max gọi là ước lượng hợp lý tối đa của  (maximum likelihood estimator: MLE) ▪ Nếu hàm L không dễ tìm cực đại thì tính thông qua hàm logarit của L (maximum log-likelihood) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 177
  11. Chương 7. Ước lượng tham số 7.2. Phương pháp ước lượng điểm Ví dụ 7.2 ▪ (a) Xác suất sinh viên đi làm ngoài giờ p = 0,4. Trong các mẫu sau, mẫu nào hợp lý nhất, giá trị 1 ứng với có đi làm và 0 nếu ngược lại: w1 = (1, 0, 0, 1, 1) w2 = (1, 0, 1, 1, 1) w3 = (0, 1, 0, 0, 1) w4 = (1, 0, 1, 0, 0) ▪ (b) Có mẫu (0, 1, 1, 0, 1) rút từ biến A(p). Trong các giá trị ước lượng cho p sau, giá trị nào hợp lý nhất? 𝑝Ƹ1 = 0,4 𝑝Ƹ 2 = 0,5 𝑝Ƹ 3 = 0,6 𝑝Ƹ4 = 0,7 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 178
  12. Chương 7. Ước lượng tham số 7.2. Phương pháp ước lượng điểm Ước lượng hợp lý tối đa ▪ Khi X ~ N(, σ2) thì • 𝑋ത là ước lượng hợp lý tối đa của  • Biết  thì S*2 là ước lượng hợp lý tối đa của σ2 • Không biết  và thay bởi 𝑋ത thì MS là ước lượng hợp lý tối đa của σ2 ▪ Khi X ~ A(p) thì f là ước lượng hợp lý tối đa của p. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 179
  13. Chương 7. Ước lượng tham số 7.3. 7.3. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG ▪ Còn gọi là ước lượng bằng khoảng tin cậy ▪ Với mẫu ngẫu nhiên, tìm khoảng ngẫu nhiên để khả năng khoảng đó chứa  bằng một mức cho trước P(G1 <  < G2) = 1 –  ▪ Mức xác suất (1 – ) là độ tin cậy (confidence level) ▪ (G1, G2) là khoảng tin cậy (confidence interval) ▪ I = G2 – G1 là độ dài khoảng tin cậy LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 180
  14. Chương 7. Ước lượng tham số 7.3. Phương pháp ước lượng khoảng Xây dựng khoảng tin cậy ▪ Xét thống kê G liên kết giữa tham số và thống kê trong mẫu, G có quy luật phân phối xác suất xác định ▪ Với độ tin cậy (1 − 𝛼), ▪ Hai giá trị 𝛼1 và 𝛼2 sao cho: 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 ▪ Hai giá trị tới hạn: 𝑔𝛼1 và 𝑔𝛼2 ▪ 𝑃 𝑔1−𝛼1 < 𝐺 < 𝑔𝛼2 = 1 − 𝛼 ▪ Biến đổi sẽ thu được khoảng 𝐺1 , 𝐺2 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 181
  15. Chương 7. Ước lượng tham số 7.4. 7.4. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ  ▪ Hay ước lượng trung bình tổng thể phân phối chuẩn ▪ X ~ N(, σ2) ▪ Ước lượng khoảng cho  với độ tin cậy (1 − 𝛼) ▪ Mẫu W = (X1, X2, …, Xn) ▪ Chia hai trường hợp: • Khi σ là đã biết  dùng thống kê U • Khi σ là chưa biết  Sử dụng S để thay, và dùng thống kê T LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 182
  16. Chương 7. Ước lượng tham số 7.4. Ước lượng tham số µ Ước lượng  khi biết σ Xμ ▪ Do ~ N (0, 1) với α1 + α2 = α σ/ n  Xμ  P  u1α1   uα2   1  α  σ/ n   σ σ  P  X  uα2  μ  X  uα1  1α  n n ▪ Có 3 khoảng tin cậy thông dụng tương ứng với: • (1) 𝛼1 = 𝛼, 𝛼2 = 0 • (2) 𝛼1 = 0, 𝛼2 = 𝛼 • (3) 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼/2 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 183
  17. Chương 7. Ước lượng tham số 7.4. Ước lượng tham số µ Ước lượng  khi biết σ ▪ Khoảng tin cậy tối đa (phía trái: left-tail) σ μ  X  uα n ▪ Khoảng tin cậy tối thiểu (phía phải: right-tail) σ X  uα μ n ▪ Khoảng tin cậy hai phía (đối xứng: two-tail) σ σ X  uα /2  μ  X  uα /2 n n LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 184
  18. Chương 7. Ước lượng tham số 7.4. Ước lượng tham số µ Ước lượng  khi biết σ ▪ Khoảng tin cậy đối xứng có dạng: 𝑋ത ± 𝜀 hay 𝑋ത ± 𝑀𝐸 ▪ 𝜀 là sai số biên (ME: marginal error): 𝜀 = 𝑢𝛼/2 𝜎/ 𝑛 ▪ Độ dài khoảng tin cậy: I = 2𝜀 = 2𝑢𝛼/2 𝜎/ 𝑛 ▪ Xác định kích thước mẫu khi có yêu cầu về sai số hoặc độ dài khoảng tin cậy: σ 2uα2 / 2 ε  ε0  n0  ε02 4σ 2uα2 / 2 I  I0  n0  I02 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 185
  19. Chương 7. Ước lượng tham số 7.4. Ước lượng tham số µ Ước lượng  khi không biết σ ▪ Khoảng tin cậy tối đa S μX  t α(n1) n ▪ Khoảng tin cậy tối thiểu ( n1) S X  tα μ n ▪ Khoảng tin cậy hai phía (đối xứng) S ( n1) S X  t α(n/21)  μ  X  t α /2 n n LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 186
  20. Chương 7. Ước lượng tham số 7.4. Ước lượng tham số µ Ước lượng  khi không biết σ ▪ Khoảng tin cậy đối xứng: 𝑋ത ± 𝜀 hay : 𝑋ത ± 𝑀𝐸 (𝑛−1) ▪ Với 𝜀 = 𝑀𝐸 = 𝑡𝛼/2 𝑆/ 𝑛 (𝑛−1) ▪ Độ dài khoảng tin cậy: I = 2𝜀 = 2𝑡𝛼/2 𝑆/ 𝑛 ▪ Khi có yêu cầu về sai số hoặc độ dài khoảng tin cậy S 2 (t α(n/21) )2 ε  ε0  n0  ε02 4S 2 (t α(n/21) )2 I  I0  n0  I02 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 187
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD


intNumView=46

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2