Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 4 - Lê Phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 4: Ước lượng tham số, cung cấp những kiến thức như Lý thuyết mẫu về phương pháp mẫu; cách trình bày một mẫu cụ thể; các đặc trưng mẫu phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu; tính các đặc trưng mẫu cụ thể;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 4 - Lê Phương

Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể Chương 4 Các đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu Tính các đặc trưng mẫu cụ Ước lượng tham số thể Ước lượng điểm Tổng quan Bài toán ước lượng điểm Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán Các tiêu chuẩn ước lượng Các phương pháp ước lượng điểm Ước lượng khoảng Bài toán Khoảng tin cậy cho trung bình Khoảng tin cậy cho tỉ lệ Khoảng tin cậy cho phương sai Lê Phương Bộ môn Toán kinh tế Đại học Ngân hàng Tp Hồ Chí Minh Homepage: http://docgate.com/phuongle 4.1
Nội dung Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể 1 Lý thuyết mẫu Các đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các Phương pháp mẫu đặc trưng mẫu Tính các đặc trưng mẫu cụ Cách trình bày một mẫu cụ thể thể Ước lượng điểm Các đặc trưng mẫu Tổng quan Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu Bài toán ước lượng điểm Các tiêu chuẩn ước lượng Tính các đặc trưng mẫu cụ thể Các phương pháp ước lượng điểm Ước lượng khoảng 2 Ước lượng điểm Bài toán Khoảng tin cậy cho trung Tổng quan bình Khoảng tin cậy cho tỉ lệ Bài toán ước lượng điểm Khoảng tin cậy cho phương sai Các tiêu chuẩn ước lượng Các phương pháp ước lượng điểm 3 Ước lượng khoảng Bài toán Khoảng tin cậy cho trung bình Khoảng tin cậy cho tỉ lệ Khoảng tin cậy cho phương sai 4.2
Tổng thể Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể Tổng thể hay đám đông (kí hiệu C) là một tập hợp các phần tử Các đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu có một hoặc một vài dấu hiệu chung về lượng hay về chất cần Tính các đặc trưng mẫu cụ thể nghiên cứu. Ước lượng điểm Tổng quan Ví dụ. Bài toán ước lượng điểm Các tiêu chuẩn ước lượng Các phương pháp ước 1 Nếu muốn nghiên cứu chất lượng sản phẩm của một lô lượng điểm hàng thì tổng thể là các sản phẩm được lấy ra từ lô hàng Ước lượng khoảng Bài toán sản xuất, dấu hiệu nghiên cứu là sản phẩm có đạt tiêu Khoảng tin cậy cho trung bình chuẩn hay không. Khoảng tin cậy cho tỉ lệ Khoảng tin cậy cho phương 2 Nếu muốn nghiên cứu thu nhập của người Việt Nam thì sai tổng thể là toàn bộ người dân Việt nam, dấu hiệu nghiên cứu là thu nhập của từng người dân. Dấu hiệu chung thay đổi qua các phần tử của tổng thể được biểu diễn bằng một biến ngẫu nhiên X nào đó. Nghiên cứu một tổng thể là nghiên cứu về phân phối xác suất và các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên X của tổng thể đó. 4.4
Phương pháp mẫu Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể Các đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu Tính các đặc trưng mẫu cụ Trong thực tế, việc điều tra nghiên cứu các phần tử của tổng thể thể gặp những khó khăn: Ước lượng điểm Tổng quan • Số phần tử của tổng thể lớn đòi hỏi nhiều chi phí và thời Bài toán ước lượng điểm Các tiêu chuẩn ước lượng gian điều tra. Các phương pháp ước lượng điểm • Trong nhiều trường hợp không thể biết hết các phần tử Ước lượng khoảng Bài toán của tổng thể nên không thể điều tra toàn bộ được. Khoảng tin cậy cho trung bình Khoảng tin cậy cho tỉ lệ Khoảng tin cậy cho phương Phương pháp mẫu sai Là phương pháp chọn ra n phần tử đại diện cho tổng thể (hay còn gọi là chọn ra một mẫu kích thước n). Sử dụng các công cụ thống kê nghiên cứu mẫu này và dựa vào đó cho kết luận về tổng thể. 4.5
Chọn mẫu ngẫu nhiên Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể Các đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu Tính các đặc trưng mẫu cụ thể Nguyên tắc chọn mẫu Ước lượng điểm Tổng quan Mỗi phần tử của tổng thể có một xác suất được chọn vào mẫu Bài toán ước lượng điểm Các tiêu chuẩn ước lượng được biết và khác 0. Các phương pháp ước lượng điểm Ước lượng khoảng Bài toán Chọn mẫu ngẫu nhiên đơn giản Khoảng tin cậy cho trung bình Khoảng tin cậy cho tỉ lệ • mỗi lần chỉ được chọn một phần tử Khoảng tin cậy cho phương sai • mỗi phần tử đều có thể được chọn với cùng khả năng Có hai phương thức chọn: chọn hoàn lại, chọn không hoàn lại. Ưu điểm: có tính đại diện cao. Nhược điểm: phải biết toàn bộ tổng thể, chi phí chọn mẫu lớn. 4.6
Chọn mẫu ngẫu nhiên Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể Các đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu Chọn mẫu phân nhóm Tính các đặc trưng mẫu cụ thể Ước lượng điểm • chia tổng thể thành các nhóm tương đối thuần nhất Tổng quan Bài toán ước lượng điểm • từ mỗi nhóm lấy ra một mẫu ngẫu nhiên Các tiêu chuẩn ước lượng Các phương pháp ước lượng điểm Được dùng khi tổng thể có những sai khác lớn. Ước lượng khoảng Bài toán Khoảng tin cậy cho trung bình Chọn mẫu chùm Khoảng tin cậy cho tỉ lệ Khoảng tin cậy cho phương sai • chọn mẫu ngẫu nhiên từ các tập con của tổng thể (các chùm) • từ mỗi nhóm lấy ra một mẫu ngẫu nhiên Ưu điểm: tiết kiệm chi phí và thời gian. Nhược điểm: sai số chọn mẫu cao. 4.7
Chọn mẫu có suy luận Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể Nguyên tắc chọn mẫu Các đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu Dựa trên ý kiến chuyên gia về đối tượng nghiên cứu. Tính các đặc trưng mẫu cụ thể Nhược điểm: khó đảm bảo tính khách quan. Ước lượng điểm Tổng quan Bài toán ước lượng điểm Các tiêu chuẩn ước lượng Các thang đo cho đặc trưng định tính Các phương pháp ước lượng điểm Ước lượng khoảng 1 Thang đo định danh nhằm đánh giá các đặc trưng dùng Bài toán để đếm tần số, không tính toán số học được. Ví dụ: nam Khoảng tin cậy cho trung bình (0), nữ (1). Khoảng tin cậy cho tỉ lệ Khoảng tin cậy cho phương sai 2 Thang đo thứ bậc là thang đo định danh nhưng giữa các đặc trưng đã có quan hệ hơn kém, tuy nhiên khoảng cách giữa các bậc không nhất thiết đều nhau. Ví dụ: trung học, đại học, cao học. 3 Thang đo khoảng là thang đo thứ bậc có khoảng cách đều nhau, do đó có thể dùng để tính toán được. Ví dụ: chiều cao người trưởng thành (cm): [150-155], [155-160], [160-165],... 4.8
Phương pháp mẫu Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể Các đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu Giả sử cần nghiên cứu đặc trưng X của tổng thể. Với mẫu kích Tính các đặc trưng mẫu cụ thể thước n, gọi Xi là giá trị của đặc trưng X của phần tử thứ i của Ước lượng điểm Tổng quan mẫu (1, . . . , n). Bài toán ước lượng điểm Các tiêu chuẩn ước lượng Các phương pháp ước Mẫu ngẫu nhiên kích thước n là một bộ gồm n biến ngẫu nhiên lượng điểm Ước lượng khoảng độc lập X1 , X2 , . . . , Xn được lập từ biến ngẫu nhiên X và có Bài toán cùng phân phối với X . Kí hiệu W = (X1 , X2 , . . . , Xn ). Khoảng tin cậy cho trung bình Khoảng tin cậy cho tỉ lệ Khoảng tin cậy cho phương Khi thực hiện lấy mẫu thực tế, ta được sai X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , Xn = xn . Khi đó, (x1 , x2 , . . . , xn ) được gọi là mẫu cụ thể kích thước n. Một hàm của mẫu ngẫu nhiên T = T (X1 , X2 , ..., Xn ) được gọi là một thống kê. 4.9
Phương pháp mẫu Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể Các đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu Tính các đặc trưng mẫu cụ thể Ví dụ. Gọi X là số chấm xuất hiện khi tung 1 con xúc xắc cân Ước lượng điểm đối, đồng chất. Bảng phân phối xác suất của X . Tổng quan Bài toán ước lượng điểm X 1 2 3 4 5 6 Các tiêu chuẩn ước lượng Các phương pháp ước P 1/6 1/ 6 1/6 1/6 1/6 1/6 lượng điểm Ước lượng khoảng • Nếu tung con xúc xắc 4 lần và gọi Xi là số chấm xuất hiện Bài toán Khoảng tin cậy cho trung ở lần tung thứ i, (i = 1, 4), thì ta có 4 biến ngẫu nhiên độc bình Khoảng tin cậy cho tỉ lệ lập có cùng phân phối với X , khi đó ta có mẫu ngẫu nhiên Khoảng tin cậy cho phương sai W = (X1 , X2 , X3 , X4 ). • Khi tung thực tế, tung thực tế lần thứ nhất được 5 chấm, lần thứ 2 được 3 chấm, lần thứ 3 được 6 chấm, lần thứ 4 được 2 chấm thì (5, 3, 6, 2) là một mẫu cụ thể. 4.10
Cách trình bày một mẫu cụ thể Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể Các đặc trưng mẫu Giả sử một mẫu cụ thể kích thước n, trong đó giá trị xi xuất Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu hiện ni lần với x1 < x2 < . . . < xk và n1 + n2 + · · · + nk = n. Tính các đặc trưng mẫu cụ ni thể Khi đó ni được gọi là tần số của xi , fi = được gọi là tần suất Ước lượng điểm n Tổng quan của xi . Bài toán ước lượng điểm Các tiêu chuẩn ước lượng Các bảng mô tả số liệu sau được gọi là bảng phân phối thực Các phương pháp ước lượng điểm nghiệm: Ước lượng khoảng Bảng phân phối tần số thực nghiệm: Bài toán Khoảng tin cậy cho trung bình xi x1 x2 ... xk Khoảng tin cậy cho tỉ lệ Khoảng tin cậy cho phương ni n1 n2 ... nk sai Bảng phân phối tần suất thực nghiệm: xi x1 x2 ... xk fi f1 f2 ... fk Ví dụ Tung một con xúc sắc 10 lần thu được kết quả: 2, 4, 6, 1, 6, 4, 5, 2, 6, 5. Lập bảng phân phối thực nghiệm. 4.12
Các đặc trưng mẫu Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Các đặc trưng mẫu tổng quát Cách trình bày một mẫu cụ thể X1 + X2 + · · · + Xn Các đặc trưng mẫu Trung bình Xn = Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu n Tính các đặc trưng mẫu cụ XA thể Tỉ lệ Fn = Ước lượng điểm n Tổng quan n 2 Phương sai chưa hiệu chỉnh ˆ2 = 1 Sn Xi − X n Bài toán ước lượng điểm n Các tiêu chuẩn ước lượng i=1 Các phương pháp ước n 2 lượng điểm 2 1 Phương sai (hiệu chỉnh) Sn = n−1 Xi − X n Ước lượng khoảng Bài toán i=1 Khoảng tin cậy cho trung Độ lệch chuẩn (hiệu chỉnh) Sn = 2 Sn bình Khoảng tin cậy cho tỉ lệ Khoảng tin cậy cho phương Các đặc trưng mẫu cụ thể sai x1 + x2 + · · · + xn Trung bình xn = n xA Tỉ lệ fn = n n 2 1 2 Phương sai chưa hiệu chỉnh ˆn = n s (xi − x n ) i=1 n 2 1 2 Phương sai (hiệu chỉnh) sn = n−1 (xi − x n ) i=1 Độ lệch chuẩn (hiệu chỉnh) sn = 2 sn 4.14
Các số đặc trưng của các đặc trưng mẫu Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể Các đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các Cho tổng thể X có E(X ) = µ, V (X ) = σ 2 và tỉ lệ p. đặc trưng mẫu Tính các đặc trưng mẫu cụ thể Ước lượng điểm Các số đặc trưng của các đặc trưng mẫu Tổng quan Bài toán ước lượng điểm 2 Các tiêu chuẩn ước lượng σ • Trung bình mẫu: E(X n ) = µ, V (X n ) = . Các phương pháp ước lượng điểm n Ước lượng khoảng p(1 − p) Bài toán • Tỉ lệ mẫu: E(Fn ) = p, V (Fn ) = . Khoảng tin cậy cho trung n bình Khoảng tin cậy cho tỉ lệ ˆ2 n−1 2 Khoảng tin cậy cho phương • Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh: E(Sn ) = σ . sai n 2 • Phương sai mẫu (hiệu chỉnh): E(Sn ) = σ 2 . Để ngắn gọn, khi không gây hiểu nhầm, ta có thể viết các đặc trưng trung bình mẫu, tỉ lệ mẫu, phương sai mẫu (hiệu chỉnh) cho một mẫu kích thước n tương ứng là: X , x, F , f , S 2 , s2 . 4.15
Một số phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể Các đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các 2 Trường hợp tổng thể X có phân phối chuẩn: X ∼ N(µ, σ ) đặc trưng mẫu Tính các đặc trưng mẫu cụ thể X − µ√ Ước lượng điểm • n ∼ N(0, 1). Tổng quan σ Bài toán ước lượng điểm Các tiêu chuẩn ước lượng X − µ√ Các phương pháp ước • n ∼ t(n − 1). lượng điểm S Ước lượng khoảng (n − 1)S 2 Bài toán • ∼ χ2 (n − 1). Khoảng tin cậy cho trung σ2 bình Khoảng tin cậy cho tỉ lệ Khoảng tin cậy cho phương sai Trường hợp kích thước mẫu đủ lớn: n ≥ 30 X − µ√ • n N(0, 1). σ X − µ√ • n N(0, 1). S 4.17
Tính các đặc trưng mẫu cụ thể Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể Các đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu Bài toán Tính các đặc trưng mẫu cụ thể Từ một mẫu cụ thể có bảng phân phối thực nghiệm hay phân Ước lượng điểm phối ghép lớp, tính trung bình mẫu x và độ lệch chuẩn s. Tổng quan Bài toán ước lượng điểm ni xi 2 ni xi2 Các tiêu chuẩn ước lượng • x = ,x = , Các phương pháp ước lượng điểm n n n Ước lượng khoảng • s2 = (x 2 − (x)2 ), Bài toán n−1 Khoảng tin cậy cho trung √ bình Khoảng tin cậy cho tỉ lệ • s = s2 . Khoảng tin cậy cho phương sai Ví dụ. Cho bảng phân phối thực nghiệm: xi -2 1 2 3 4 5 ni 2 1 2 2 2 1 Tính trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu. 4.19
Tính các đặc trưng mẫu cụ thể Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể Lưu ý Các đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu • Với bảng phân phối ghép lớp ta thay lớp xi−1 − xi bằng một Tính các đặc trưng mẫu cụ thể xi−1 + xi Ước lượng điểm đại diện xi = . 2 Tổng quan Bài toán ước lượng điểm • Khi số liệu lớn, phức tạp, ta có thể đổi biến để giảm độ Các tiêu chuẩn ước lượng Các phương pháp ước phức tạp tính toán: lượng điểm Ước lượng khoảng Bài toán xi − a Khoảng tin cậy cho trung xi = . bình h Khoảng tin cậy cho tỉ lệ Khoảng tin cậy cho phương sai Ví dụ. Lượng xăng hao phí của một ôtô đi từ A đến B sau 30 lần chạy được kết quả cho trong bảng: Lít 9,6–9,8 9,8–10 10–10,2 10,2–10,4 10,4–10,8 Số lần 3 5 10 8 4 Tính trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu. 4.20
Bài toán ước lượng tham số Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể Các đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các Cho biến ngẫu nhiên X hình thành từ tổng thể C có luật phân đặc trưng mẫu Tính các đặc trưng mẫu cụ phối xác suất chưa biết hoặc đã biết và phụ thuộc vào một hay thể một vài tham số θ chưa biết. Phân phối xác suất của X có thể Ước lượng điểm Tổng quan được xác định nếu ta tìm được hay ước lượng được giá trị của Bài toán ước lượng điểm Các tiêu chuẩn ước lượng θ. Các phương pháp ước lượng điểm Ước lượng khoảng Ta có thể dùng một con số nào đó để ước lượng θ. Ước lượng Bài toán Khoảng tin cậy cho trung như vậy được gọi là ước lượng điểm. bình Khoảng tin cậy cho tỉ lệ Khoảng tin cậy cho phương sai Ngoài ra ta có thể chỉ ra một khoảng (θ1 , θ2 ) có thể chứa θ. Ước lượng như vậy được gọi là ước lượng khoảng. Ví dụ. Cho một mẫu khảo sát gồm 10000 người của một quốc gia được chọn ngẫu nhiên có độ tuổi trung bình là 27 và độ lệch chuẩn là 3 tuổi. Ước lượng tuổi trung bình của toàn bộ dân số thuộc quốc gia đó. 4.22
Bài toán ước lượng điểm Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể Các đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu Tính các đặc trưng mẫu cụ thể Ước lượng điểm Tổng quan Bài toán ước lượng điểm Bài toán ước lượng điểm Các tiêu chuẩn ước lượng ˆ Tìm một thống kê θ(X1 , X2 , ..., Xn ) để ước lượng (thay thế) tham Các phương pháp ước lượng điểm ˆ số θ chưa biết. Khi đó θ được gọi là hàm ước lượng cho θ. Ước lượng khoảng Bài toán ˆ ˆ Từ mẫu cụ thể (x1 , ..., xn ), ta tính được giá trị θ∗ = θ(x1 , ..., xn ). Khoảng tin cậy cho trung bình ˆ∗ được gọi là ước lượng điểm của θ. Khi đó θ Khoảng tin cậy cho tỉ lệ Khoảng tin cậy cho phương sai ˆ Có vô số cách chọn thống kê θ để ước lượng cho tham số θ cho trước. Vì vậy người ta đưa ra các tiêu chuẩn để đánh giá chất lượng của ước lượng. Từ đó tìm được hàm ước lượng tốt. 4.24
Các tiêu chuẩn ước lượng Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể Các đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu Tính các đặc trưng mẫu cụ Ước lượng không chệch thể Ước lượng điểm ˆ Thống kê θ được gọi là ước lượng không chệch của θ nếu Tổng quan Bài toán ước lượng điểm ˆ E θ = θ. Các tiêu chuẩn ước lượng Các phương pháp ước lượng điểm Ước lượng khoảng Ý nghĩa Bài toán Khoảng tin cậy cho trung Ước lượng không chệch là ước lượng có sai số trung bình bằng bình Khoảng tin cậy cho tỉ lệ ˆ 0 (vì E θ − θ = 0). Khoảng tin cậy cho phương sai (Sai số trung bình bằng 0 được gọi là sai số ngẫu nhiên, ngược lại là sai số hệ thống). Ví dụ. Tỉ lệ mẫu F , trung bình mẫu X , phương sai mẫu (hiệu chỉnh) S 2 tương ứng là ước lượng không chệch của p, µ, σ 2 . ˆ Còn S 2 là ước lượng chệch của σ 2 . 4.26
Các tiêu chuẩn ước lượng Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể Các đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu Ước lượng vững Tính các đặc trưng mẫu cụ thể ˆ Thống kê θ được gọi là ước lượng vững của θ nếu Ước lượng điểm Tổng quan ˆ P θ(X1 , ..., Xn ) −→ θ. Bài toán ước lượng điểm Các tiêu chuẩn ước lượng ˆ Do đó với n đủ lớn thì với xác suất gần 1 ta có: θ θ. Các phương pháp ước lượng điểm Ước lượng khoảng ˆ Ví dụ. F , X , S 2 , S 2 tương ứng là các ước lượng vững cho Bài toán p, µ, σ 2 , σ 2 . Khoảng tin cậy cho trung bình Khoảng tin cậy cho tỉ lệ Khoảng tin cậy cho phương Ước lượng hiệu quả sai ˆ Thống kê θ được gọi là ước lượng hiệu quả của θ nếu nó là ước lượng không chệch và có phương sai bé nhất trong các ước lượng không chệch của θ. Ví dụ. Nếu X ∼ N(µ, σ 2 ) thì X là ước lượng hiệu quả của µ. Nếu X ∼ B(1, p) thì F là ước lượng hiệu quả của p. 4.27
Các phương pháp ước lượng điểm Lý thuyết mẫu Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể Các đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu Sử dụng các đặc trưng mẫu Tính các đặc trưng mẫu cụ thể Ước lượng điểm • F , X , S 2 tương ứng là ước lượng không chệch, vững cho Tổng quan Bài toán ước lượng điểm p, µ, σ 2 . Các tiêu chuẩn ước lượng Các phương pháp ước ˆ • S 2 là ước lượng chệch, vững cho σ 2 . lượng điểm Ước lượng khoảng • Nếu X ∼ N(µ, σ 2 ) thì X là ước lượng hiệu quả cho µ. Bài toán Khoảng tin cậy cho trung Nếu X ∼ B(1, p) thì F là ước lượng hiệu quả cho p. bình Khoảng tin cậy cho tỉ lệ Khoảng tin cậy cho phương sai Hạn chế của phương pháp ước lượng điểm • Khi kích thước mẫu nhỏ thì phương pháp ước lượng điểm có thể cho sai số lớn. • Không đánh giá được độ chính xác của ước lượng. 4.29