Bài giảng Lý thuyết Xác suất và Thống kê: Chương 6 - Nguyễn Văn Tiến

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Lý thuyết Xác suất và Thống kê: Chương 6 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Phương pháp ULD; Phương pháp UL khoảng tin cậy; Ước lượng tỷ số hai phương sai. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết Xác suất và Thống kê: Chương 6 - Nguyễn Văn Tiến

CHƯƠNG 6 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 1
ƯỚC LƯỢNG • Ước lượng điểm • Ước lượng khoảng trung bình, tỷ lệ, phương sai • Ước lượng chênh lệch hai trung bình, chênh lệch hai tỷ lệ • Ước lượng tỷ số hai phương sai nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 2
Ước lượng • Tổng thể có tham số  chưa biết. • Ta muốn xác định tham số này. • Lấy một mẫu ngẫu nhiên cỡ n. • Từ mẫu này tìm cách xác định gần đúng giá trị của tham số  của tổng thể. • Ước lượng điểm: dùng một giá trị. • Ước lượng khoảng: dùng một khoảng. nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 3
Thống kê mẫu và Ước lượng điểm • Định nghĩa. Cho mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn) của tổng thể. Một hàm của các biến ngẫu nhiên X1, X2, ..., Xn được gọi là thống kê mẫu (statistic). • Định nghĩa. Một thống kê mẫu T(X1, X2, ..., Xn) được sử dụng để ước lượng cho tham số  được gọi là một ước lượng điểm của  . nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 4
6.1 Ước lượng điểm • Dùng một giá trị để thay thế cho giá trị của tham số  chưa biết của tổng thể. • Giá trị này là giá trị cụ thể của một thống kê T nào đó của mẫu ngẫu nhiên. • Cùng với một mẫu ngẫu nhiên có thể xây dựng được rất nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho tham số . • Ta dựa vào các tiêu chuẩn sau: không chệch, hiệu quả, vững … nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 5
Ước lượng không chệch (ƯLKC) • Thống kê T(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng không chệch của tham số  nếu: E(T)   • Nếu E(T) thì ước lượng T gọi là một ước lượng chệch (ƯLC) của tham số . • Độ chệch của ước lượng: E(T)   nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 6
Ví dụ 1 • Theo lý thuyết mẫu ta có:   E X  E  S *2    2 X la ULKC cua  F la ULKC cua p  2   n  1  2 E S  n S *2 , S 2 la ULKC cua  2 E S2    2  2 la UL chech cua  2 S EF   p nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 7
Ước lượng KC tốt hơn • Cho X, Y là hai ULKC của tham số . • Có nghĩa là: E  X    E Y    • Nếu: V  X   V Y  • Thì Y là ước lượng tốt hơn X (do phương sai nhỏ hơn nên mức độ tập trung xung quanh tham số  nhiều hơn). nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 8
Ví dụ 1. • Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn). a) CMR: các thống kê sau: X1  X2 X1  X2  ...  Xn Z1  X1; Z2  ; Zn  2 n đều là các ước lượng không chệch của . b) Trong các ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn. nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 9
Ước lượng hiệu quả • Thống kê T(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng hiệu quả của tham số  nếu: • T là ULKC của  • V(T) nhỏ nhất so với mọi ULKC khác xây dựng trên cùng mẫu ngẫu nhiên trên. • Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao để đánh giá. nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 10
BĐT Cramer-Rao • Biến nn gốc X có hàm mật độ hoặc công thức tính xác suất có chứa tham số θ dạng f(x,θ) và thỏa mãn một số điều kiện nhất định. • Cho T là một ƯLKC của θ. Ta luôn có: 1 V T   2   ln  f  X ,     nE        • Vậy ULKC nào thỏa mãn dấu “=“ thì đó là ULHQ nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 11
Ví dụ 2. • Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) lấy từ tổng thể có kì vọng  và phương sai 2. Xét 2 thống kê: X 1  2 X 2  ...  nX n X 1  X 2  ...  X n Z1  2 ;X n  n  1 n a) CMR: cả 2 thống kê trên đều là các ước lượng không chệch của . b) Trong hai ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn. nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 12
Ví dụ 3 Cho tổng thể có phân phối chuẩn N(μ;σ2). CMR: là ước lượng hiệu quả nhất của tham số μ. Giải. Dễ thấy, là ước lượng không chệch và: 2  Var X    n Hàm ppxs của tổng thể:  x  2 1  2 2 f  x,   f  x,    e  2 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 13
Ví dụ 3 • Ta có:  x 2       ln  2      ln f  x,     2 2      x 2    • Và: 2 X  1 2 1 E  2   4 EX    2      nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 14
Ví dụ 3 • Theo bất đẳng thức Cramer-Rao ta có: 1 2 Var T     ln  f  X ,    2  n    Var X nE        • Vậy thống kê là ƯLKC có phương sai nhỏ nhất trong các ước lượng không chệch của tham số μ của tổng thể nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 15
Các ULHQ • Ta chứng minh được: X la ULHQ cua  . 2 *2 2 S , S la ULHQ cua  . F la ULHQ cua p. nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 16
Ước lượng hợp lý tối đa • Sinh viên tự tham khảo tài liệu nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 17
6.2 Ước lượng khoảng Giả sử tổng thể có tham số  chưa biết. Dựa vào mẫu ngẫu nhiên ta tìm khoảng (a; b) sao cho: P(a < 
Ước lượng khoảng • (a; b): khoảng tin cậy hay khoảng ước lượng. • (1 - ): độ tin cậy của ước lượng. • |b - a|=2ε: độ rộng khoảng tin cậy. • ε : độ chính xác (sai số). • Vấn đề: tìm a, b như thế nào? (1 - ) là bao nhiêu thì phù hợp. • a, b là 2 thống kê mẫu nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 19
Nguyên tắc ULK • Với mẫu đã chọn, tìm thống kê T có ppxs xác định và chứa tham số cần ước lượng. • Với độ tin cậy (1-α) cho trước tìm cặp số α1; α2 sao cho: 1   2   • Tìm các giá trị tới hạn mức (1- α1) và α2 • Ta có:  P T11  T  T 2  1    • Biến đổi tương đương tìm khoảng UL cho tham số cần tìm. nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 20