Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 4: Biến ngẫu nhiên liên tục và phân phối xác suất

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 4: Biến ngẫu nhiên liên tục và phân phối xác suất" trình bày các nội dung: Biến ngẫu nhiên liên tục, hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất, các tham số đặc trưng, phân phối đều, phân phối chuẩn, phân phối khác. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 4: Biến ngẫu nhiên liên tục và phân phối xác suất

BÀI 4 – BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ▪ 4.1. Biến ngẫu nhiên liên tục ▪ 4.2. Hàm phân phối xác suất ▪ 4.3. Hàm mật độ xác suất ▪ 4.4. Các tham số đặc trưng ▪ 4.5. Phân phối Đều ▪ 4.6. Phân phối Chuẩn ▪ 4.7. Phân phối khác [1] Chương 2, trang 79 – 146; Chương 3, tr 167 – 208. [2] Mục 2, trang 5 - 9. [3] Chapter 5, pp. 197 – 244. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 102
4.1. BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC ▪ Biến ngẫu nhiên liên tục (Continuous Random Variable) là biến ngẫu nhiên có thể nhận mọi giá trị trong một khoảng 𝑎; 𝑏 , 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. ▪ Ví dụ 4.1. • Thời gian đi từ nhà đến trường của sinh viên • Lợi nhuận của nhà đầu tư cổ phiếu sau một năm • Cân nặng của trẻ sơ sinh ở Việt Nam LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 103
4.2. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm phân phối xác suất (hàm phân phối tích lũy - Cumulative Distribution Function) của BNN 𝑋 là: 𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋< 𝑥 , 𝑥∈ℝ 1 𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑋 < 𝑥) 𝑥 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 104
Tính chất ▪ 𝑃 𝑎< 𝑋< 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 1 𝐹(𝑏) 𝐹(𝑎) 𝑎 𝑏 ▪ Nếu 𝑋 là biến ngẫu nhiên liên tục thì: 𝑃 𝑋 = 𝑥0 = 0 ⇒ 𝑃 𝑎< 𝑋< 𝑏 = 𝑃 𝑎≤ 𝑋≤ 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 105
Ví dụ Ví dụ 4.2. Tuổi thọ của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên liên tục (đơn vị:năm) có hàm phân phối xác suất: 0 𝑛ế𝑢 𝑥 < 0 1 2 𝐹 𝑥 = ൞ 𝑥 𝑛ế𝑢 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 4 1 𝑛ế𝑢 𝑥 > 2 Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính xác suất để: a) Sản phẩm có tuổi thọ nhỏ hơn 1 năm. b) Sản phẩm có tuổi thọ từ 1 đến 2 năm. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 106
4.3. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT 𝐹 𝑥 𝑋 là biến ngẫu nhiên 1 liên tục, hàm mật độ xác suất (Probability Density Function) của 𝑋, ký hiệu 𝑓 𝑥 , là: 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝐹′ 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ 𝑓 𝑥 𝑥 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 107
Tính chất ▪ 𝑓 𝑥 ≥ 0 với ∀𝑥 𝑥 ▪ 𝐹 𝑥 = ‫∞−׬‬ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 +∞ ▪ ‫∞−׬‬ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑏 ▪ 𝑃 𝑎< 𝑋< 𝑏 = ‫𝑎׬‬ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 108
Ví dụ Ví dụ 4.3. Thời gian để công nhân hoàn thành một sản phẩm là biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 (đơn vị: phút) có hàm mật độ xác suất: 1 𝑥 𝑛ế𝑢 𝑥 ∈ 2; 6 𝑓 𝑥 = ቐ16 0 𝑛ế𝑢 𝑥 ∉ 2; 6 a) Tìm tỷ lệ sản phẩm có thời gian hoàn thành từ 3 đến 5 phút. b) Tính xác suất để trong 5 sản phẩm bất kì có đúng 2 sản phẩm có thời gian hoàn thành nhiều hơn 4 phút. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 109
4.4. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG ▪ Kỳ vọng: +∞ 𝐸 𝑋 =න 𝑥. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −∞ ▪ Phương sai: 𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2 +∞ 𝐸 𝑋2 = න 𝑥 2 . 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −∞ ▪ Độ lệch chuẩn: 𝜎𝑋 = 𝑉 𝑋 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 110
Trung vị và Mốt ▪ Trung vị (median) của BNN liên tục X, kí hiệu 𝑚 𝑑 , là giá trị chia phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên thành hai phần bằng nhau. 𝑚𝑑 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0,5 ‫∞−׬‬ ▪ Mốt (mode) của BNN liên tục X, kí hiệu 𝑚 𝑜 , là giá trị mà tại đó hàm mật độ xác suất 𝑓 𝑥 đạt giá trị cực đại. 𝑓 𝑥 𝑚𝑑 𝑚0 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 111
Giá trị tới hạn Giá trị tới hạn mức 𝛼 của biến ngẫu nhiên 𝑋, ký hiệu 𝑥 𝛼 , là giá trị của 𝑋 thỏa mãn: 𝑃 𝑋> 𝑥𝛼 = 𝛼 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 112
4.5. PHÂN PHỐI ĐỀU ▪ Biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có phân phối Đều (Uniform Distribution) trên khoảng 𝑎; 𝑏 nếu hàm mật độ xác suất của 𝑋 có dạng: 1 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) 𝑓 𝑥 =ቐ𝑏− 𝑎 0 𝑥 ∉ (𝑎; 𝑏) ▪ Ký hiệu: 𝑋 ∼ 𝑈 𝑎; 𝑏 ▪ Đồ thị hàm 𝑓(𝑥) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 113
Phân phối đều 𝑎+𝑏 ▪ 𝐸 𝑋 = 2 𝑏−𝑎 2 ▪ 𝑉 𝑋 = 12 𝑑−𝑐 ▪ 𝑃 𝑐< 𝑋< 𝑑 = 𝑏−𝑎 a c d b ▪ Ví dụ 4.4. Thống kê cho thấy, thời gian một chuyến xe buýt A đi hết một hành trình ít nhất là 40 phút và nhiều nhất là 60 phút. Tìm hàm mật độ xác suất của thời gian đi hết hành trình của xe buýt A. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 114
4.6. PHÂN PHỐI CHUẨN ▪ 𝐵 (𝑛; 𝑝 = 0,5) với 𝑛 = 10; 20; 100 0.25 0.25 0.2 0.2 0.15 0.15 0.1 0.1 0.05 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0.025 0.025 0.02 0.02 0.015 0.015 0.01 0.01 0.005 0.005 0 0 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 0 20 40 60 80 100 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 115
Phân phối Chuẩn ▪ Biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có phân phối Chuẩn (Normal Distribution) nếu hàm mật độ có dạng: 1 𝑥−𝜇 2 − 𝑓 𝑥 = 𝑒 2𝜎2 𝜎 2𝜋 1 𝑓 𝑥 𝜎 2𝜋 ▪ Đồ thị 𝑓 𝑥 dạng quả chuông, đối xứng qua đường 𝑥 = 𝜇 ▪ Ký hiệu: 𝑋 ∼ 𝑁 𝜇, 𝜎 2 0 𝜇 𝑥 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 116
Các tham số 𝑋 ∼ 𝑁 𝜇, 𝜎 2 ▪ 𝐸 𝑋 = 𝜇 ▪ 𝑉 𝑋 = 𝜎2 Khi 𝜇 tăng thì đồ thị của Khi 𝜎 tăng thì đồ thị của 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) dịch sang phải thấp xuống và rộng ra LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 117
Phân phối Chuẩn hóa ▪ Biến 𝑍 phân phối Chuẩn hóa (Standardized Normal), nếu 𝑍 phân phối Chuẩn với 𝜇 = 0 và 𝜎 2 = 1. 𝑍 ∼ 𝑁 0; 1 𝑧2 1 −2 ▪ Hàm mật độ xác suất: 𝜑 𝑧 = 𝑒 2𝜋 ▪ Đồ thị 𝜙(𝑧) đối xứng 𝜑 𝑧 qua trục tung. 0 𝑧 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 118
Phân phối Chuẩn hóa ▪ Hàm phân phối xác suất: xác suất về bên trái một điểm 𝑧 Φ 𝑧 = 𝑃(𝑍 < 𝑧) = න 𝜑 𝑡 𝑑𝑡 −∞ Tính chất: Φ −𝑧 + Φ 𝑧 = 1 Bảng giá trị Φ(𝑧): bảng số 𝑋−𝜇 ▪ Nếu 𝑋 ∼ 𝑁 𝜇; 𝜎2 thì 𝑍 = ∼ 𝑁(0,1) 𝜎 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 119
Công thức tính xác suất 𝑋 ∼ 𝑁 𝜇; 𝜎 2 𝑋−𝜇 𝑏−𝜇 𝑏−𝜇 𝑏−𝜇 ▪ 𝑃 𝑋< 𝑏 = 𝑃 < = 𝑃 𝑍< =Φ 𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 𝑎−𝜇 ▪ 𝑃 𝑎 < 𝑋 =1−Φ 𝜎 𝑏−𝜇 𝑎−𝜇 ▪ 𝑃 𝑎< 𝑋< 𝑏 =Φ −Φ 𝜎 𝜎 𝜑 𝑧 𝑓 𝑥 𝜇 𝑏 𝑥 𝑏−𝜇 𝜎 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 120
Công thức tính xác suất Ví dụ 4.5. Lợi nhuận (đv: triệu) của một dự án là biến ngẫu nhiên phân phối Chuẩn, với trung bình bằng 500, phương sai bằng 400. Tính xác suất để: a) Lợi nhuận cao hơn 540. b) Lợi nhuận thấp hơn 570. c) Lợi nhuận từ 480 đến 550. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 121