Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Bài 8 - ĐH Kinh tế Quốc dân

Chia sẻ: Minh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 8: Ước lượng tham số" cung cấp cho người học các kiến thức: Ước lượng tham số tổng thể, ước lượng điểm, ước lượng bằng khoảng tin cậy. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Bài 8 - ĐH Kinh tế Quốc dân

BÀI 8 - ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 8.1. Ước lượng tham số tổng thể 8.2. Ước lượng điểm 8.3. Ước lượng bằng khoảng tin cậy ▪ 1] Chương 7, trang 389 – 420, 431 – 437, 440 – 445 ▪ [2] Chapter 7, pp. 306 – 309, 328 – 330 ▪ [3] Chapter 8, pp. 342 – 365 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 144
8.1. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ TỔNG THỂ ▪ Trong tổng thể, X đã biết qui luật nhưng tham số  (tham số tổng thể) là chưa biết. ▪ Sử dụng thông tin từ mẫu ̶˃ ước lượng tham số  (parameter estimate) ̶˃ước lượng tham số tổng thể ▪ Mẫu ngẫu nhiên: xây dựng ước lượng ngẫu nhiên (estimator) ▪ Mẫu cụ thể: tính được ước lượng cụ thể (estimate), hay giá trị quan sát (observed value) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 145
8.2. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM ▪ Khái niệm ▪ Tính chất của ước lượng điểm ▪ Ước lượng hợp lý tối đa LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 146
Khái niệm ▪ Tham số tổng thể ( ) là chưa biết ̶˃ Cần ước lượng ▪ Sử dụng mẫu 𝑊 = (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 ) ̶˃ xác định thống kê 𝜃መ trên mẫu ▪ Dùng một giá trị của thống kê 𝜃መ để thay thế cho tham መ là ước lượng điểm của 𝜽 số 𝜃, giá trị kí kiệu là 𝜃, LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 147
Tính chất của ước lượng điểm ▪ Tính không chệch (unbiased) • 𝜃መ là ước lượng không chệch của   𝐸(𝜃) መ = • Nếu 𝐸(𝜃) መ   : ước lượng chệch ▪ Tính hiệu quả (efficient) • 𝜃መ1 , 𝜃መ2 là ước lượng không chệch • 𝑉(𝜃መ1 ) < 𝑉(𝜃መ2 ) thì 𝜃መ1 là ước lượng hiệu quả hơn 𝜃መ2 • 𝑉(𝜃መ1 ) là nhỏ nhất thì 𝜃መ1 là ước lượng hiệu quả ▪ Ước lượng không chệch, hiệu quả → ước lượng tốtnhất ▪ Tính vững (consistent): khi 𝑛 tiến đến vô cùng thì ước lượng hội tụ đến tham số (theo nghĩa xác suất) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 148
Ví dụ ▪ Ví dụ 8.1. ▪ Tổng thể X có trung bình là m, phương sai là 2 ▪ Với mẫu kích thước n = 3, trong các thống kê sau, đâu là ước lượng không chệch, hiệu quả hơn cho m: 1 1 1 1 1 1 G1 = X 1 + X 2 + X 3 ; G2 = X 1 + X 2 + X 3 2 2 2 2 3 6 1 1 1 1 1 1 G3 = X 1 + X 2 + X 3 ; G4 = X 1 + X 2 + X 3 2 4 4 3 3 3 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 149
Bất đẳng thức Cramer - Rao ▪ Nếu BNN X có công thức tính xác suất hoặc hàm mật độ là f(x,  ) thì với mọi 𝜃መ là ước lượng không chệch của , luôn có: 1 V (θˆ)  2   ln f ( x , θ )  nE    θ  ▪ Do đó nếu 𝜃መ là ước lượng không chệch và có phương ∗ sai bằng vế phải bất đẳng thức thì nó là ước lượng hiệu quả nhất LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 150
Một số kết luận ▪ Khi 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2) thì • 𝑋ത là ước lượng không chệch, hiệu quả của  • 𝑆2 là ước lượng không chệch của σ2 • 𝑀𝑆 là ước lượng chệch của σ2 ▪ Khi 𝑋 ~ 𝐴(𝑝) thì 𝑝Ƹ là ước lượng không chệch, hiệu quả của p. ▪ Cách thay thế tham số đặc trưng tổng thể , p, σ2 bởi ഥ, 𝒑 thống kê 𝑿 ෝ, S2 tương ứng như trên là tìm ước lượng điểm theo hàm ước lượng. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 151
Ước lượng hợp lý tối đa ▪ Mẫu 𝑊 = (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛), tại giá trị cụ thể (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ▪ Hàm hợp lý: 𝐿(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛,  ) = 𝑓(𝑥1,  ). 𝑓(𝑥2,  ) … 𝑓(𝑥𝑛,  ) ▪ 𝐿 gọi là hàm hợp lý (likelihood function) của  ▪ Giá trị 𝜃መ làm L đạt max gọi là ước lượng hợp lý tối đa của  (maximum likelihood estimator: MLE) ▪ Nếu hàm L không dễ tìm cực đại thì tính thông qua hàm logarit của L (maximum log-likelihood) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 152
Một số kết luận ▪ Khi 𝑋 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎2) thì • 𝑋ത là ước lượng hợp lý tối đa của  • MS là ước lượng hợp lý tối đa của σ2 ▪ Khi 𝑋 ~ 𝐴(𝑝) thì pො là ước lượng hợp lý tối đa của p LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 153
8.3. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY ▪ Các khái niệm ▪ Ước lượng trung bình tổng thể ▪ Ước lượng phương sai tổng thể ▪ Ước lượng tần suất tổng thể LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 154
Các khái niệm ▪ Với mẫu ngẫu nhiên, tìm khoảng ngẫu nhiên (𝐺1, 𝐺2) để khả năng khoảng đó chứa  bằng một mức xác suất cho trước: 𝑃(𝐺1 <  < 𝐺2) = 1 –  ▪ Mức xác suất (1 – ) là độ tin cậy (confidence level) ▪ (𝐺1, 𝐺2) là khoảng tin cậy (confidence interval) ▪ 𝐼 = 𝐺2 – 𝐺1 là độ dài khoảng tin cậy LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 155
Xây dựng khoảng tin cậy ▪ Xét thống kê G liên kết giữa tham số và thống kê trong mẫu, G có quy luật phân phối xác suất xác định ▪ Với 1 − 𝛼 ̶˃ xác định 𝛼1 và 𝛼2 : 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 ▪ Xác định giá trị tới hạn 𝑔𝛼1 và 𝑔𝛼2 sao cho: 𝑃 𝑔1−𝛼1 < 𝐺 < 𝑔𝛼2 = 1 − 𝛼 ▪ Biến đổi sẽ thu được khoảng 𝐺1 , 𝐺2 thỏa mãn: 𝑃(𝐺1 <  < 𝐺2) = 1 –  LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 156
Ước lượng trung bình tổng thể ▪ 𝑋 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎2) với  chưa biết ▪ Ước lượng khoảng cho  với độ tin cậy (1 − 𝛼) ▪ Ước lượng  cũng là ước lượng trung bình tổng thể trong qui luật chuẩn. ▪ Mẫu 𝑊 = (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) ▪ Chia hai trường hợp: • Khi 𝜎 là đã biết  dùng thống kê 𝑍 • Khi 𝜎 là chưa biết  Sử dụng S để thay, và dùng thống kê ( X − μ) n T= ~ T (n − 1) S LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 157
Ước lượng  khi biết σ2 𝑋ሜ − 𝜇 ▪ Do 𝑍= ~𝑁(0,1) với 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 𝜎/ 𝑛 ሜ 𝑋−𝜇 𝑃 𝑧1−𝛼1 < < 𝑧𝛼2 = 1-α 𝜎/ 𝑛 𝜎 𝜎 𝑃 𝑋ሜ − 𝑧𝛼2 < 𝜇 < 𝑋ሜ + 𝑧𝛼1 =1−𝛼 𝑛 𝑛 ▪ Có 3 khoảng tin cậy thông dụng tương ứng với: • (1) 𝛼1 = 𝛼, 𝛼2 = 0 • (2) 𝛼1 = 0, 𝛼2 = 𝛼 • (3) 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼/2 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 158
Ước lượng  khi biết σ2 ▪ Khoảng tin cậy tối đa (phía trái: left-tail) 𝜎 𝜇 < 𝑋ሜ + 𝑧𝛼 𝑛 ▪ Khoảng tin cậy tối thiểu (phía phải: right-tail) 𝜎 𝑋ሜ − 𝑧𝛼
Ước lượng  khi biết σ2 ▪ Khoảng tin cậy đối xứng có dạng: 𝑋ത ± 𝜀 hay 𝑋ത ± 𝑀𝐸 ▪ 𝜀 là sai số biên (ME: marginal error): 𝜀 = 𝑧𝛼/2 𝜎/ 𝑛 ▪ Độ dài khoảng tin cậy: I = 2𝜀 = 2𝑧𝛼/2 𝜎/ 𝑛 ▪ Xác định kích thước mẫu n0 thỏa mãn yêu cầu về sai số hoặc độ dài khoảng tin cậy: 2 𝜎 2 𝑧𝛼/2 𝜀 ≤ 𝜀0 ⇔ 𝑛0 ≥ 𝜀02 2 4𝜎 2 𝑧𝛼/2 𝐼 ≤ 𝐼0 ⇔ 𝑛0 ≥ 𝐼02 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 160
Ước lượng  khi không biết σ2 ▪ Khoảng tin cậy tối đa (𝑛−1) 𝑆 𝜇 < 𝑋ሜ + 𝑡𝛼 𝑛 ▪ Khoảng tin cậy tối thiểu S X − t α(n−1) μ n ▪ Khoảng tin cậy hai phía (đối xứng) S ( n−1) S X − t α(n/2−1)  μ  X + t α /2 n n LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 161
Ước lượng  khi không biết σ2 ▪ Khoảng tin cậy đối xứng: 𝑋ത ± 𝜀 hay : 𝑋ത ± 𝑀𝐸 (𝑛−1) ▪ Với 𝜀 = 𝑀𝐸 = 𝑡𝛼/2 𝑆/ 𝑛 (𝑛−1) ▪ Độ dài khoảng tin cậy: I = 2𝜀 = 𝑛 2𝑡𝛼/2 𝑆/ ▪ Xác định kích thước mẫu n0 (đáp ứng yêu cầu về sai số hoặc độ dài khoảng tin cậy) dựa vào mẫu sơ bộ kích thước 𝑛 cho trước 2 ( n−1) 2 S (t α / 2 ) ε  ε0  n0  2 ε0 4S 2 (t α(n/−21) )2 I  I0  n0  I02 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 162
Ước lượng phương sai tổng thể ▪ 𝑋 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎2), với tham số σ2 là chưa biết ▪ Ước lượng khoảng cho σ2 với độ tin cậy (1 − 𝛼) ▪ Ước lượng σ2 cũng là ước lượng phương sai tổng thể, độ phân tán trong phân phối chuẩn. ▪ Sử dụng thống kê Khi bình phương (n − 1)S 2 χ = 2 ~ 2 χ 2 (n − 1) σ ▪ Với 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼  2(n−1) (n − 1)S 2 2( n−1)  P  χ1−α1  2  χ α2  =1−α  σ  LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 163