Bài giảng Ma trận nghịch đảo - Nguyễn thị Hồng Nhung

Chia sẻ: Trần Ngọc Lâm | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

337
lượt xem 31
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu bài giảng Ma trận nghịch đảo là giúp sinh viên hiểu hơn về các khái niệm ma trận nghịch đảo, điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo, cách tìm ma trận nghịch đảo bằng công thức và phép biến đổi sơ cấp. Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Ma trận nghịch đảo - Nguyễn thị Hồng Nhung

(Học phần Đại số tuyến tính) Ngày giảng :4/11/2010 Tiết thứ: 2 Tiết theo chương trình: 47 Lớp dạy: CĐSP toán tin K30 Giảng viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Đại số tuyến tính (90 tiết) VII. Quy hoạch tuyến tính VI. Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương V. Ma trận VI. Hệ phương trình tuyến tính III. Ánh xạ tuyến tính II. Không gian véc tơ I. Định thức
Chương V. Ma trận 1. Định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính 2. Các phép toán trên ma trận 3. Ma trận nghịch đảo 4. Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau
Tiết 47, 48: MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 1. Khái niệm ma trận nghịch đảo 2. Cách tìm ma trận nghịch đảo 3. Ứng dụng của ma trận nghịch đảo
1. Mục tiêu tiết học - Kiến thức: hiểu được khái niệm ma trận nghịch đảo, các điều kiện tồn tại của ma trận nghịch đảo, cách tìm ma trận nghịch đảo bằng công thức và bằng phép biến đổi sơ cấp. - Kĩ năng: Xây dựng khái niệm, tìm điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo, thực hiện tốt việc tìm ma trận nghịch đảo bằng 2 phương pháp: Tìm ma trận nghịch đảo dựa vào công thức và phép biến đổi sơ cấp. - Thái độ: Yêu thích học toán, rèn khả năng tư duy biện chứng về sự phát triển của nội dung môn toán từ toán THCS đến toán cao cấp.
2. Phương pháp - Phát hiện và giải quyết vấn đề, - Thuyết trình 3. Phương tiện - Dạy: Máy chiếu, bảng. - Học: Giáo trình đại số tuyến tính, Nguyễn Duy Thuận, nxb Giáo dục 2006 giấy A1, máy tính.
4. Tài liệu tham khảo
Kiểm tra bài cũ Bài toán 1. Tìm các ma trận sao cho : a. � b � 3 −5 � ới1giả0thiết nào của a � V� � .� =� � � d � −1 2 � ma trận đã cho để �c �� 1� 0 �bài toán có nghiệm � 4 2 −8 � a11 − � a12 a13 � � 0 0 � 1 b. � �� −3 12 � a21 6 .� a22 a23 �= � 1 0 � . 0 � −5 9 � a 1 � a32 a33 � � 0 1 � 0 � � 31 � � � � Đáp số: a) a=2, b=5, c=1, d=3 b) Vô nghiệm
� b � 3 −5 � � 0 � a � 1 .� = � d � −1 2 � � 1 � �c �� 0 �3a − 1b = 1 �3c − d = 0 � ,� � 5a + 2b = 0 � 5c + 2d = 1 − − � = 2 � =1 a c � ,� �=5 � =3 b d
� 4 2 − 8 �� 11 a12 a13 � � 0 0 � − a 1 � �� 6 − 3 12 �� 21 a22 a23 �= � 1 0 � . a . 0 �1 − 5 9 �� a a � � 0 1 � a 0 � �� 31 32 33 � � � � 4a11 + 2a12 − 8a31 = 1 � 4a12 + 2a22 − 8a32 = 0 − 4a13 + 2a23 − 8a33 = 0 − − � � � � a11 − 3a21 + 12a31 = 0, �6a12 − 3a22 + 12a32 = 1 , 6a13 − 3a23 + 12a33 = 1 6 �1a − 5a + 9a = 0 �1a − 5a + 9a = 0 1a − 5a + 9a = 0 � 11 21 31 � 12 22 32 13 23 33 Các hệ trên đều vô nghiệm vì hạng của ma trận hệ số =2 , khác hạng của ma trận bổ sung = 3.
� 5 � 3 −5 � � 0 � 2 � 1 � � .� = �� 3 � −1 2 � � 1 � 1 � 0 X A = I A X = I Nói: Ma trận vuông A là ma trận khả nghịch, X là ma trận nghịch đảo của ma trận A −1 Kí hiệu : X=A
1. Khái niệm ma trận nghịch đảo ĐỊnh nghĩa Ma trËn vu«ng A cÊp n gäi lµ ma trËn kh¶ nghÞ nÕ ch u tån t¹i ma trËn vu«ng X cÊp n sao cho: AX = XA = I n . X ®ưî c gäi lµ ma trËn nghÞ ®¶o cña A vµ ký hiÖ A − 1 . ch u Ví dụ 1. −1 � 0� 1 � 0� 1 � 1� =� � 0 � � � 1� 0
Ví dụ 2. −1 −1 3 −5 � � 5 � � h¶i mäi ma −5 � � 5 � 2 �3 2 � � = �ã p � C � � =� � 1 −1 2 � tr Òu � 3 � �Ën vu«ng ® −1 2 � � 3 � � 1 cã nghÞ ch ®o? ¶ Ma trËn nghÞ ch ® o cã duy nhÊt ¶ kh«ng ?
2. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo Ma trận nghịch đảo là duy nhất ! Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi detA khác 0!
Ma trËn nghÞc h ®¶o lµ duy nhÊt ! Giả sử X và Y là ma trận nghịch đảo của A, XA = AX = I   ⇒ X = XI = X ( AY ) = ( XA)Y = IY = Y . YA = AY = I 
Ma trËn vu«ng A kh¶ ng hÞc h khi vµ c hØ khi de tA kh¸c 0! Nếu ma trận A khả nghịch thì các phương trình ẩn X: XA = I n và AX = I n có nghiệm duy nhất là X = A −1 , 1 khi đó det(AX) = detA.det X = 1 nên det A ≠ 0 và det A −1 = det A � 11 A21... An1 � A � � Có thể tìm ma −1 1 � A12 A22 ... An 2 � trận nghịch đảo A = . bằng công thức det A �................. � � � như thế nào? � 1n A2 n ... Ann � A
3. Cách tìm ma trận nghịch đảo Cách 1: Tìm ma trận nghịch đảo bằng công thức A11, A21, ..., An1  Bước 1: Tính định thức:Det A A12, A22, ..., An 2 ....................  Bước 2: Tìm các phần bù đại số A1n , A2 n , ..., Ann � 11 A21... An1 � A � �  Bước 3:Thiết lập ma 1 � A12 A22 ... An 2 � trận nghịch đảo A−1 = . det A �................. � � � � 1n A2 n ... Ann � A
Ví dụ 3. Tìm ma trận nghịch đảo � 3 0� 1 A = � 2 −1 � 0 � � � 1 5� 3 � � Cách 1: Tìm ma trận nghịch đảo bằng công thức  Bước 1: Tính định det A= 2 thức:Det A A11 = 11 A21 = −15 A31 = −3  Bước 2: Tìm các phần bù đại số A12 = −3 A22 = 5 A32 = 1 A13 = −6 A23 = 8 A33 = 2 �11 −15 −3 �  Bước 3:Thiết lập ma �2 2 2 � � � trận nghịch đảo −3 5 1 � A−1 = � �2 2 2 � � � − �3 4 1 � � � � �
Cách 2. Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp (PP Gauss Jordan) ( A| I) (I | A ) −1 Bước 1: Viết ma trận I bên phải ma trận A Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng để đưa ma trận A về ma trận đơn vị I, đồng thời cũng dùng phép biến đổi đó với ma trận phía bên phải Bước 3: Khi ma trận A được biến đổi thành ma trận đơn vị I thì ma trận I cũng được biến đổi thành ma tr ận ngh ịch đ ảo của A.
Cách 2: Tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp � 1� 1 Ví dụ 4. Tìm ma trận nghịch đảo A = � 2 3� � � 1 1 1 0 Ta có     d . ( −dd →  2 )+ → 1  2 2 1 1  1 0 0 1  − 2 1  2 3 0 1   1 0  3 − 1 d 2 . (-1) + d1 → d1 :   0 1  −2 1   3 − 1 1 1 1 0 Thử lại:   2 3 = 0 1 = I − 2 1   