Bài giảng Nguyên lý thống kê - Chương 3: Ước lượng tham số thống kê

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

6
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Nguyên lý thống kê - Chương 3: Ước lượng tham số thống kê, cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Ước lượng điểm; ước lượng cho giá trị trung bình; ước lượng cho giá trị tỷ lệ; ước lượng cho độ lệch hai giá trị trung bình; ước lượng cho độ lệch hai giá trị tỷ lệ;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Nguyên lý thống kê - Chương 3: Ước lượng tham số thống kê

3/2020 CHƯƠNG 3 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ 3.1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM • Cho tổng thể đặc trưng bởi biến ngẫu nhiên , và , ,…, là các biến ngẫu nhiên độc lập quan sát từ tổng thể có cùng phân phối xác suất và tham số chưa biết cần ước lượng. • Thống kê = ( , , …, ) dùng để ước lượng cho tham số gọi là hàm ước lượng và với mỗi bộ giá trị quan sát , ,…, thì giá trị = ( , ,…, ) gọi là giá trị ước lượng. 3.1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH ƯỚC LƯỢNG TIỆM CẬN Cho hàm ước lượng = ( , ,…, ). • được gọi là ước lượng không chệch cho nếu ( )= • Khi lấy mẫu nhiều lần, trung binh của tham số mẫu bằng với tham số tổng thể, vậy nghĩa là tham số mẫu gần bằng tham số tổng thể, nghĩa là = → ≈ Ước lượng không Ước lượng chệch cho chệch cho 1
3/2020 3.1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH Định lý. Giả sử , ,…, là các biến ngẫu nhiên lấy từ tổng thể có trung bình là và độ lệch chuẩn là , và một tiêu chuẩn về phần tử loại A với tỷ lệ phần tử loại A là . + +. . . + : Là ước lượng không chệch cho = (trung bình tổng thể) 1 : Là ước lượng không chệch cho = − −1 (Phương sai tổng thể) 1 : Là ước lượng không chệch cho = +⋯+ = (Tỷ lể tổng thể) Trong đó: = nếu thỏa phần tử A và = nếu không thỏa phần tử A 3.1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH 1 1 1 Với ~ , = = = = 1 1 1 ~ , = = = = 1 1 ( )= − = −2 + −1 1 1 = −2 + = + − + −1 −1 1 1 −1 , = −1 + − + = −1 = ( )= và ~ 3.1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Tn • Hàm ước lượng dùng để ước lượng T n  ;Tn   không chệch cho tham số .   • Khoảng ( − ; + ) gọi khoảng tin cậy, giá trị sai số gọi là độ chính xác cho ước lượng. • Độ tin cậy ( − ) là giá trị xác suất để khẳng định khả năng tham số thuộc vào khoảng ước lượng ( − ; + ) − < < + = − 2
3/2020 3.2 ƯỚC LƯỢNG CHO GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH  PHÂN TÍCH • , ,…, ∶ mẫu từ tổng thể ~ ( ; ) • Hàm ước lượng cho : + +. . . + = = • Khoảng ước lượng cho trung binh tổng thể với độ tin cậy (1 − ) là : − < < + = − • Để kiểm soát được độ chính xác , ta sẽ kiểm soát thông qua quy luật phân phối của 3.2 ƯỚC LƯỢNG CHO GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH  PHÂN TÍCH Định lý 1. , , … , có cùng quy luật phân phối chuẩn ; , thì có quy luật phân phối chuẩn. ~ ( ; ). Hệ quả. , ,…, có cùng quy luật phân phối chuẩn ; , thì có quy luật phân phối chuẩn ~ ( ; ).  2  X   X ~ N ,      ~ N 0,1  n     n 3.2 ƯỚC LƯỢNG CHO GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH  PHÂN TÍCH Định lý 2. , ,…, có cùng quy luật phân phối chuẩn ; ,với là phương sai mẫu có hiệu chỉnh. Ta có − , ~ Hệ quả. , ,…, có cùng quy luật phân phối chuẩn ; ,với là phương sai mẫu có hiệu chỉnh. Ta có X-m ~ T n-1 S n 3
3/2020 3.2 ƯỚC LƯỢNG CHO GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Xét trường hợp ước lượng cho  , trường hợp cỡ mẫu lớn ( ≥ 30) và phương sai tổng thể  2 đã biết : X  Hệ quả định lý 1 : Z  n ~ N 0;1  Với độ tin cậy 1   , thì tồn tại cận  2 sao cho : P   z / 2  Z  z /2   1    X       P   z /2  n  z / 2   1    P  X  z / 2    X  z / 2   1      n n      Vậy khoảng ước lượng cho  là X  z  ; X  z /2    /2    n n 3.2 ƯỚC LƯỢNG CHO GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH  QUY TẮC THỰC HÀNH Khoảng ước lượng cho : ( − ; + ) N  0;1 Mẫu VarX ≥ 30 < 30 1  đã biết = = chưa biết = = / T n1 X 1   X  X   3.2 ƯỚC LƯỢNG CHO GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Biễu đồ sai số 2 quy luật phân phối 0.14 0.12 0.1 ĐỘ LỆCH HAI PHÂN PH 0.08 r =1 r = 10 0.06 r = 30 r=5 0.04 0.02 0 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 Axis Title 4
3/2020 3.2 ƯỚC LƯỢNG CHO GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Ví dụ: Một công ty muốn ước lượng số tài liệu trung bình được chuyển bằng fax trong một ngày. Kết quả thu được từ 15 ngày cho thấy trung bình một ngày có 267 trang tài liệu được chuyển bằng fax, và theo kinh nghiệm từ các văn phòng tương tự thì độ lệch chuẩn là 32 trang. Với số tài liệu chuyển bằng fax trong một một ngày có quy luật phân phối chuẩn, thì với độ tin cậy 95% ta ước lượng được số tài liệu trung bình chuyển trong ngày nằm trong khoảng nào. 3.2 ƯỚC LƯỢNG CHO GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Ví dụ: Công ty điện thoại một thành phố muốn ước lượng thời gian trung bình của một cuộc điện đàm đường dài vào cuối tuần, mẫu ngẫu nhiên 20 cuộc gọi đường dài vào cuối tuần cho thấy thời gian gọi trung bình là 14,8 phút và độ lệch chuẩn là 5,6 phút. Như vậy với độ tin cậy 95% ta ước lượng thời gian gọi trung bình nằm trong khoảng nào. 3.3 ƯỚC LƯỢNG CHO GIÁ TRỊ TỶ LỆ  PHÂN TÍCH • Với là tỷ lệ phần tử loại A của tổng thể. • , ,…, là lượng biến quan sát từ tổng thể, mang giá trị theo nguyên tắc sau X  0 Phần tử thứ i là không phần tử loại A  i   X i  1 Phần tử thứ i là phần tử loại A   • Hàm ước lượng cho là X1  X 2  ...  X n f  n • Trong đó là tỷ lệ mẫu về phần tử loại A, và khoảng ước lượng cho có dạng : − < < + = − 5
3/2020 3.3 ƯỚC LƯỢNG CHO GIÁ TRỊ TỶ LỆ  PHÂN TÍCH X  0 Phần tử thứ i là không phần tử loại A  i   X i  1 Phần tử thứ i là phần tử loại A   0 1 X i ~ N p, pq  = X1  X 2  ...  X n  pq  f  f ~ N p,     n  n     QUY TẮC THỰC HÀNH Khoảng ước lượng cho :( − ; + ) f 1  f    z /2 • : tỷ lệ phần tử loại A trên bộ dữ liệu. n 3.3 ƯỚC LƯỢNG CHO GIÁ TRỊ TỶ LỆ Ví dụ. Trong một cuộc điều tra gần đây về 1600 hộ gia đình thu nhập cao tại năm vùng đô thị, 24% những người đàn ông tự xem mình là những người mua sắm chính về hàng hóa cho hộ gia đình của mình (Số liệu Dholakia, 1994). Mặc dù những người đàn ông đi mua hàng trong cuộc điều tra này là những người có trình độ hiểu biết về máy tính rất cao, nhưng chỉ có 25% nói rằng việc mua hàng được vi tính hóa mang lại sự thỏa mãn. Tìm ước lượng khoảng tin cậy 90% cho tỷ lệ phần trăm những người đàn ông mà tự xem mình là những người mua sắm chính về hàng hóa cho hộ gia đình của mình thỏa mãn về việc mua sắm được vi tính hóa. 3.4 ƯỚC LƯỢNG CHO ĐỘ LỆCH HAI GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH  PHÂN TÍCH: TRƯỜNG HỢP HAI MẪU ĐỘC LẬP • , , …, là các lượng biến từ tổng thể có chưa biết. • , ,…, là các lượng biến từ tổng thể có chưa biết. • , độc lập hoàn toàn và có phân phối chuẩn lần lượt ; , ( ; ) • Hàm ước lượng cho ( − ): T= − Trong đó X 1  X 2 ~ N  0,   12  22     n1 n2  6
3/2020 3.4 ƯỚC LƯỢNG CHO ĐỘ LỆCH HAI GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH  QUY TẮC THỰC HÀNH Khoảng ước lượng cho ( − ):( − − ; − + ) Mẫu VarX ; ≥ 30 ; < 30 2 2 2 2   1 2  2 , đã biết   z /2    z /2 1  n1 n2 n1 n2 S12 S22 S2 S2 , chưa biết   z /2    t1/2n2 2 n  n1 n2 n1 n2 Trong đó S 2   n1  1 S12   n2  1 S22 n1  n2  2 3.4 ƯỚC LƯỢNG CHO ĐỘ LỆCH HAI GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH  PHÂN TÍCH: TRƯỜNG HỢP HAI MẪU QUAN SÁT THEO CẶP n cặp dữ liệu , ;…; , Khoảng ước lượng :( ̅− ; ̅+ ) lấy từ 2 tổng thể có trung bình lần lượt ≥ 30 < 30 là ; chưa biết. Lặp bộ dữ liệu mới là độ lệch của các = = đã biết cặp giá trị quan sát : , ,…, Với = − ~ ( ; ) = = / chưa biết Bài toán chuyển thành ước lượng cho giá trị trung bình . ; / : là phân vị chuẩn và Student 3.4 ƯỚC LƯỢNG CHO ĐỘ LỆCH HAI GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH  QUY TẮC THỰC HÀNH Khoảng ước lượng cho :( ̅− ; ̅+ ) N  0;1 Mẫu ≥ 30 < 30 1  VarX đã biết = = chưa biết = = / T n1 1  • ; / : lần lượt là phân vị chuẩn và Student 7
3/2020 3.4 ƯỚC LƯỢNG CHO ĐỘ LỆCH HAI GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Ví dụ: Công ty điện lực thực hiện Hộ gia đình Lượng điện tiêu thụ (kwh) các biện pháp khuyến khích tiết Trước Sau kiệm điện. Lượng điện tiêu thụ ghi 1 73 69 2 50 54 nhân ở 12 hộ gia đình trước và sau 3 83 82 khi có các biện pháp khuyến khích 4 78 67 tiết kiệm điện như sau: 5 56 60 6 74 73 7 74 75 8 87 78 9 69 64 10 72 72 11 77 70 12 75 63 3.5 ƯỚC LƯỢNG CHO ĐỘ LỆCH HAI GIÁ TRỊ TỶ LỆ  PHÂN TÍCH • Với ; là tỷ lệ phần tử loại A của 2 tổng thể. • , , …, và , ,…, là lượng biến quan sát từ lần lượt 2 tổng thể, mang giá trị theo nguyên tắc sau X  0  ji Phần tử thứ i là không phần tử loại A  j  1, 2  X ji  1  Phần tử thứ i là phần tử loại A  • Hàm ước lượng cho độ lệch ( − ) là X11  ...  X1n X11  ...  X1n T1n T2n  f1  f2  1  2 n1 n2 3.5 ƯỚC LƯỢNG CHO ĐỘ LỆCH HAI GIÁ TRỊ TỶ LỆ  PHÂN TÍCH X  0 Phần tử thứ i là không phần tử loại A  i   X i  1 Phần tử thứ i là phần tử loại A   0 1 0 1 X 1i ~ N  p1, p1q1  = = X 2i ~ N  p2 , p2q 2  X11  ...  X 1n X11  ...  X 1n T1n T2n  f1  f2  1  2 n1 n2  pq pq  T1n T2n ~ N p1  p2 , 1 1  2 2        n1 n2  8
3/2020 3.5 ƯỚC LƯỢNG CHO ĐỘ LỆCH HAI GIÁ TRỊ TỶ LỆ  QUY TẮC THỰC HÀNH Khoảng ước lượng cho ( − ):( − − ; − + ) • , : tỷ lệ phần tử loại A trên 2 bộ dữ liệu. f1 1  f1  f 2 1  f 2  • Độ chính xác   z /2  n1 n2 Ví dụ. Một cuộc điều tra ngân hàng về các khoản chi trả thẻ tín dụng trễ hạn đã tìm thấy rằng tỷ lệ trễ hạn trong một tháng cho trước đối với 414 chủ doanh nghiệp nhỏ là 3.8% so với chỉ 3.6% của 1029 nhà hoạt động chuyên nghiệp. Giả định rằng dữ liệu cho hai loại hình người dùng thẻ này có thể được xem như các mẫu ngẫu nhiên độc lập của những tài khoản hàng tháng qua một khoảng thời gian tương đối dài, ví dụ, một hoặc hai năm. Tìm khoảng tin cậy 95% trong các tỷ lệ về những sự trễ hạn cho hai loại hình người sử dụng thẻ tín dụng này. 3.6 ƯỚC LƯỢNG CHO PHƯƠNG SAI  PHÂN TÍCH • , ,…, các biến ngẫu nhiên từ tổng thể có chưa biết. • , ,…, có cùng quy luật phân phối chuẩn ( ; ). • Hàm ước lượng cho : 1 n 2 S2   Xi  X n  1 i 1   Định lý. • , ,…, có cùng quy luật phân phối chuẩn ; ,với là phương sai mẫu có hiệu chỉnh. Ta có −1 , ~ 3.6 ƯỚC LƯỢNG CHO PHƯƠNG SAI  QUY TẮC THỰC HÀNH −1 , ~ là phân phối Chi-bình phương với ( − 1) bậc tự do. Với độ tin cậy (1 − ) tá có vùng xác suất  n P  12,1   n  1 S 2   2,n1   1    /2  /2   2  Khoảng ước lượng cho ( ):   n  1 S  n  1 S 2  2  2, n1 ;    / 2 n 12,1   /2 9
3/2020 3.6 ƯỚC LƯỢNG CHO PHƯƠNG SAI Ví dụ. Đinh tán được đóng vào lỗ. Một mẫu = 15 cây đinh được đóng vào, và đường kính của các lỗ đinh được đo. Độ lệch chuẩn mẫu có hiệu chỉnh cho đường kính lỗ đinh là = 0,008 . Xây dựng khoảng tin cậy 99% cho giá trị của phương sai tổng thể của đường kính lỗ đinh. Ví dụ. Lượng đường trong một hộp đào đóng hộp có quy luật phân phối chuẩn. Chọn ra 10 hộp đo lượng đường thì có độ lệch chuẩn mẫu là = 4,8 . Tìm chặn dưới với độ tin cậy 95% cho phương sai của lượng đường trong một hộp. 3.7 ƯỚC LƯỢNG CHO GIÁ TRỊ DỰ ĐOÁN  PHÂN TÍCH • , ,…, có cùng quy luật phân phối chuẩn ( ; ). • Hàm ước lượng cho giá trị dự đoán : X 1  X 2  ...  X n Tn  X  n • Ta đánh giá thông qua độ lệch X n1  X ; trong đó:  E X n1  X  0  1   Var X n 1  X   2 1    n 3.7 ƯỚC LƯỢNG CHO GIÁ TRỊ DỰ ĐOÁN  QUY TẮC THỰC HÀNH • Khoảng ước lượng cho là  X ;X   • Sai số : Mẫu ≥ 30 < 30 VarX 1 1 đã biết = 1+ = 1+ 1 1 chưa biết = 1+ = 1+ / 10
3/2020 3.7 ƯỚC LƯỢNG CHO GIÁ TRỊ DỰ ĐOÁN Ví dụ. Độ nén của bê tông trong các công trình được đo bởi các kỹ sư xây dựng, họ lấy ra 12 mẫu và thu được bảng số liệu sau: 2216 2237 2249 2204 2225 2301 2281 2263 2318 2255 2275 2295 a. Xây dựng khoảng chặn dưới cho trung bình độ nén bê tông với độ tin cậy 95%. b. Lập khoảng tin cây 90% cho giá trị dự đoán độ nén bê tông của mẫu tiếp theo. KẾT THÚC CHƯƠNG 3. 11