Bài giảng Tích phân đường loại 2

Chia sẻ: Sung Sung | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

707
lượt xem 77
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Tích phân đường loại 2 trình bày về định nghĩa tích phân đường loại 2; tính chất tích phân đường loại 2; cách tính tích phân đường loại 2; định lý Green; tích phân không phụ thuộc đường đi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Tích phân đường loại 2

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2
NỘI DUNG 1.Định nghĩa tp đường loại 2 2.Tính chất tp đường loại 2 3.Cách tính tp đường loại 2 4.Định lý Green 5.Tích phân không phụ thuộc đường đi.
ĐỊNH NGHĨA Trong mp Oxy, cho cung AB và 2 hàm số P(x,y), Q(x,y) xác định trên AB. Phân hoạch AB bởi các điểm {A0, A2, .., An}, với A0 = A, An = B. Giả sử Ak = (xk, yk), k = 0,…,n. Gọi xk = xk+1 – xk , yk = yk+1 – yk, k = 0,…, n-1.
Trên cung AkAk+1, lấy điểm Mk, xét tổng tp B An ∆y k Mk Ak +1 Ak A A0 ∆xk n −1 Sn = [ P (Mk )∆xk + Q (Mk )∆y k ] k =0
n −1 Sn = [ P (Mk )∆xk + Q (Mk )∆y k ] k =0 P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy = lim Sn n AB là tp đường loại 2 của P, Q trên AB Quy ước: ￑ Pdx + Qdy C chỉ tích phân trên chu tuyến (đường cong kín) C
TÍNH CHẤT TP ĐƯỜNG LOẠI 2 1.Tp đường loại 2 phụ thuộc vào chiều đường đi B A Đổi chiều đường đi thì tp � A � Pdx + Qdy = − Pdx + Qdy B đổi dấu. 2.Nếu C = C1 C2 � Pdx + Qdy = C � C Pdx + Qdy + � C Pdx + Qdy 1 2
CÁCH TÍNH TP ĐƯỜNG LOẠI 2 Khi tham số hóa đường cong, lưu ý về chiều đường đi. TH1: (C) viết dạng tham số x = x(t), y = y(t), t1 :điểm đầu, t2: điểm cuối P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy C t2 = [ P ( x (t ), y (t )) x (t ) + Q( x (t ), y (t )) y (t ) ] dt t1
TH2: (C) viết dạng y = y(x), x = a : điểm đầu, x = b : điểm cuối P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy C b = [ P ( x , y ( x )) + Q( x , y ( x )) y ( x ) ] dx a TH3: (C) viết dạng x = x(y), y = c : điểm đầu, y = d : điểm cuối d [ P ( x ( y ), y ) x ( y ) + Q ( x ( y ), y ) ] dy P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy = � � C c
Nhắc lại Khi tham số hóa cho cung tròn, elippse, ngược chiều kim đồng hồ là tham số tăng dần, cùng chiều kim đồng hồ là tham số giảm dần.
Cách tính Tp đường loại 2 trong không gian I = P ( x , y , z )dx + Q ( x , y , z )dy + R ( x , y , z )dz C Cách tính: (C) x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1 :điểm đầu, t2: điểm cuối Pdx + Qdy + Rdz C t2 = [ P ( x (t ), y (t ), z(t )) x (t ) + Q( −, −, −) y (t ) + R ( −, −, −) z (t ) ] dt t1
VÍ DỤ 2 1/ Tính: I = x dx + xydy C C là đoạn nối từ A(0,0) đến B(1,1) theo các đường cong sau đây: a.Đoạn thẳng AB b.Parabol: x = y2 c.Đường tròn: x2+y2 = 2y, lấy ngược chiều KĐH
2 I = x dx + xydy A(0, 0), B(1, 1) C a/ Đoạn thẳng AB: y = x, x : 0 1 1 2 1 I= � x � + x .x .y ( x ) � dx � 0 1 2 22 1 = ( x + x )dx = 3 0 b/ Parabol: x = y2 , y : 0 1 1 1 I= �� 2 2 2 � dy = (2 y 5 + y 3 )dy = 7 ( y ) .2 y + y .y � 0 12 0
c/ x2+y2 = 2y x2+(y – 1)2 = 1, lấy ngược chiều KĐH x = cost, y = 1+sint, π A(0,0) t =− 2 B(1,1) t=0 0 2 π I= [cos t (− sin t ) + cos t (1 + sin t )cos t ]dt = 4 −π 2
2/ Tính: I = 2 ydx + xdy C với C là cung ellipse x2 + 3y2 = 3 đi từ (0, 1) đến giao điểm đầu tiên của ellipse với đường thẳng y = x, lấy theo chiều KĐH. x = 3cos t , y = sin t 1 ( x , y ) = (0,1) � t = π / 2 3 Tại giao điểm với đt y = x: π 3cos t = sin t � t = 3
x = 3cos t , y = sin t I = 2 ydx + xdy C π 3 = � 2sin t ( − 3sin t ) + 3cos t .cos t � dt � � π 2
3/ Tính: I = 2 ydx + zdy + 3ydz C với C là gt của mặt cầu x2 + y2 + z2 = 6z và mp z = 3 - x lấy ngược chiều KĐH nhìn từ phía dương trục Oz 3 2x + y = 9 2 2 x= cos t , 2 y = 3sin t , 3 z = 3− cos t 2 t:0 2
I = 2 ydx + zdy + 3ydz C 3 3 x= cos t , y = 3sin t , z = 3 − cos t 2 2 2 y (t ) x (t ) + z(t ) y (t ) + 3y (t )z (t ) 3 3 = 6sin t (− sin t ) + (3 − cos t )(3cos t ) 2 2 3 +9sin t sin t = 9cos t 2