Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Biến đổi z - TS. Đặng Quang Hiếu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng này cung cấp cho người học những kiến thức cơ bản về biến đổi z. Những nội dung cơ bản được trình bày trong bài gồm có: Giới thiệu về biến đổi z, định nghĩa biến đổi z, liên hệ với biến đổi fourier, các điểm cực và không, các tính chất của ROC,… Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Biến đổi z - TS. Đặng Quang Hiếu

ET 2060 - Tín hiệu và hệ thống Biến đổi z TS. Đặng Quang Hiếu http://ss.edabk.org om Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông .c 2013-2014 ng co an th Giới thiệu về biến đổi z g on du u cu ◮ Do Ragazzini và Zadeh giới thiệu vào năm 1952. ◮ Tương đương với biến đổi Laplace trong hệ thống liên tục. ◮ Chập trên miền n ≡ tích trên miền z. ◮ Phân tích, tổng hợp, đánh giá hệ thống LTI. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Định nghĩa biến đổi z z n z z −1 z x[n] ←− −→ X (z) trong đó z là biến số phức z = re jω , và ∞ X x[n]z −n om X (z) = n=−∞ .c Miền hội tụ: ng ROC{X (z)} = {z ∈ C : |X (z)| < ∞} co Ví dụ: Tìm biến đổi z của x1 [n] = δ[n] và x2 [n] = u[n]. an th Liên hệ với biến đổi Fourier g on du ◮ Biến đổi Fourier là biến đổi z xét trên vòng tròn đơn vị z = e jω . X (e jω ) = X (z)|z=e jω u cu ◮ Biến đổi z là biến đổi Fourier của x[n]r −n ∞ X X (z) = x[n](re jω )−n = FT{x[n]r −n } n=−∞ ◮ Điều kiện hội tụ: ∞ X |x[n]r −n |dt < ∞ n=−∞ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Ví dụ Tìm biến đổi z và vẽ miền hội tụ cho các trường hợp sau: (a) x[n] = 2δ[n − 2] + δ[n] − 3δ[n + 1] (b) x[n] = an u[n] (c) x[n] = −an u[−n − 1] (d) x[n] = 2n u[n] − (3j)n u[−n − 1] (e) x[n] = (−3)n u[n] + 2n u[−n − 1] om (f) x[n] = cos(ω0 n)u[n] .c ng co an th Các điểm cực và không g on du b0 + b1 z + · · · + bM z M u N(z) X (z) = = cu D(z) a0 + a1 z + · · · + aN z N ◮ Các điểm không (zeros) z0r : X (z0r ) = 0 → nghiệm của N(z) ◮ Các điểm cực (poles) zpk : X (zpk ) = ∞ → nghiệm của D(z) Ví dụ: Cho dãy x[n] = an rectN [n]. (a) Tìm biến đổi z và miền hội tụ. (b) Tìm các điểm cực, điểm không và vẽ trên mặt phẳng phức. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Các tính chất của ROC (i) ROC có dạng tổng quát là hình vành khuyên: r1 < |z| < r2 . (ii) ROC không chứa các điểm cực (iii) Nếu x[n] có chiều dài hữu hạn thì ROC sẽ là cả mặt phẳng phức (có thể bỏ đi 0 hoặc ∞). (iv) Nếu x[n] là dãy một phía (trái hoặc phải) thì ROC ntn? om (v) Nếu x[n] là dãy hai phía thì ROC ntn? (vi) Nếu X (z) hữu tỷ với các điểm cực zpk ? .c ng co an th Biến đổi z ngược g on du Áp dụng biến đổi Fourier ngược: u cu Z −n 1 x[n]r = X (re jω )e jωn dω 2π 2π Ta có: I 1 x[n] = X (z)z n−1 dz 2πj C trong đó, C là đường cong khép kín nằm trong ROC{X (z)}. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Các tính chất ◮ Tuyến tính z ◮ −→ z −n0 X (z) Dịch thời gian: x[n − n0 ] ←− z ◮ Co dãn trên miền z: an x[n] ←− −→ X (z/a) z ◮ Đảo trục thời gian: x[−n] ←− −→ X (1/z) z ◮ Liên hợp phức: x ∗ [n] ←− −→ X ∗ (z ∗ ) z ◮ Chập: x1 [n] ∗ x2 [n] ←− −→ X1 (z)X2 (z) z ◮ −→ −z dXdz(z) Đạo hàm trên miền z: nx[n] ←− om ◮ Định lý giá trị đầu: Nếu tín hiệu nhân quả (x[n] = 0, ∀n < 0) thì .c x[0] = lim X (z) z→∞ ◮ Tương quan, tích? ng co an th Biến đổi z ngược: Khai triển thành chuỗi lũy thừa g on Cho trước X (z) và ROC, khai triển X (z) thành chuỗi lũy thừa có dạng du ∞ X cn z −n u X (z) = cu n=−∞ hội tụ trong ROC đã cho. Khi đó, x[n] = cn , ∀n. Nếu X (z) là hàm hữu tỷ, thực hiện phép chia đa thức. Ví dụ: Tìm biến đổi z ngược của 1 + 2z −1 X (z) = 1 − 2z −1 + z −2 khi (a) x[n] là dãy nhân quả (b) x[n] là dãy phản nhân quả CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Khai triển thành các phân thức tối giản (1) N(z) b0 + b1 z + · · · + bM z M X (z) = = D(z) a0 + a1 z + · · · + aN z N Xét M < N, khai triển X (z) về dạng N X Ak X (z) = z − zpk k=1 trong đó zpk là các cực đơn của X (z) và
om Ak = (z − zpk )X (z)
z=zpk N ′ (z) Nếu M ≥ N thì chia đa thức: X (z) = G (z) + với M ′ < N. .c D(z) Ví dụ: Cho biến đổi z X (z) = 1 ng co 1 − 1.5z −1 + 0.5z −2 Tìm x[n]? an th Khai triển thành các phân thức tối giản (2) g on Trường hợp điểm cực bội zpk bậc ℓ, khai triển của X (z) phải chứa du các phân thức tối giản sau: u A1k A2k Aℓk cu + + · · · + z − zpk (z − zpk )2 (z − zpk )ℓ ◮ Phương pháp tính Aik ? ◮ 1 Biến đổi ngược của (z−zpk )m ? Ví dụ: Tìm biến đổi z ngược của z X (z) = 1 2 (z − 2 ) (z − 1) Trường hợp nghiệm phức? Tự đọc! CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Hàm truyền đạt H(z) của hệ thống LTI rời rạc x[n] h[n] y [n] y [n] = x[n] ∗ h[n] Biến đổi z cả hai vế, áp dụng tính chất chập, ta có hàm truyền đạt của hệ thống: Y (z) om H(z) = X (z) .c X (z) H(z) Y (z) ng co an th Hàm truyền đạt (2) g on Hệ thống LTI được biểu diễn bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng du N X M X u y [n] = − ak y [n − k] + br x[n − r ] cu k=1 r =0 Biến đổi z cả hai vế, rút gọn PM −r r =0 br z H(z) = PN 1+ −k k=1 ak z → Hệ thống cực - không (pole-zero system). ◮ Nếu ak = 0, 1 ≤ k ≤ N → hệ thống FIR gồm toàn điểm không và một điểm cực bội bậc M tầm thường tại gốc. ◮ Nếu br = 0, 1 ≤ r ≤ M → hệ thống IIR gồm toàn điểm cực và một điểm không bội bậc N tầm thường tại gốc. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Hệ thống LTI nhân quả và ổn định ◮ Nhân quả: ROC{H(z)} nằm ngoài vòng tròn và có chứa ∞. ◮ Ổn định: ROC{H(z)} chứa vòng tròn đơn vị (z = e jω ). ◮ Nhân quả, ổn định, H(z) hữu tỷ: Tất cả các điểm cực của H(z) nằm bên trong vòng tròn đơn vị. ◮ Tiêu chuẩn ổn định Jury, Schur-Cohn: Kiểm tra xem liệu tất om cả các nghiệm của một đa thức có nằm trong vòng tròn đơn vị không. Thường được thực hiện trên máy tính. .c ng co an th Hàm truyền đạt và sơ đồ khối của hệ thống g on du Hãy viết phương trình sai phân của hệ thống LTI được biểu diễn bởi sơ đồ dưới đây u cu −1 0.5 X (z) b b Y (z) z −1 z −1 2 3 −1 b z −1 −2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Biến đổi z một phía ∞ X + + X (z) = ZT {x[n]} = x[n]z −n n=0 Các tính chất tương tự như biến đổi z hai phía, ngoại trừ: ◮ Trễ k X −k ZT {x[n − k]} = z + + [X (z) + x[−n]z n ], k >0 n=1 om k−1 X ZT+ {x[n + k]} = z −k [X + (z) − x[n]z −n ], k >0 n=0 .c ◮ Định lý giá trị cuối ng lim x[n] = lim (z − 1)X + (z) co n→∞ z→1 an th Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng g on du u Ví dụ: Giải phương trình sai phân (tìm y [n], n ≥ 0): cu y [n] − 3y [n − 1] + 2y [n − 2] = x[n] với đầu vào x[n] = 3n−2 và các điều kiện đầu: 4 1 y [−2] = − , y [−1] = − 9 3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tập Matlab 1. Sử dụng hàm zplane để vẽ cực và không của một hệ thống LTI rời rạc. 2. Dùng hàm residuez để thực hiện biến đổi z ngược trong trường hợp X (z) là một hàm hữu tỷ. 3. Viết chương trình kiểm tra tính ổn định của hệ thống theo om tiêu chuẩn Jury, Schur-Cohn .c ng co an th g on du u cu CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt