zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 0 - Nguyễn Văn Tiến

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Báo xấu

51
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp 1 - Chương 0: Hàm số, giới hạn, liên tục" cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa hàm một biến, đồ thị hàm số, hàm xác định từng khúc, hàm số tăng, giảm, hàm số ngược,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 0 - Nguyễn Văn Tiến

03/04/2017 CHƯƠNG 0 Định nghĩa hàm một biến • Cho D, E là tập con của tập số thực R. Hàm số f là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x trong tập D với duy nhất một phần tử f(x) trong tập E. HÀM SỐ, GIỚI HẠN, D f E f 1 1 LIÊN TỤC a f a  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa hàm một biến Đồ thị hàm số • D: miền xác định (domain) • Cho hàm số: f : D  E • E: miền giá trị (range) • Đồ thị của hàm f là tập hợp tất cả các điểm (x,y) • x: biến độc lập (independent variable) thỏa y=f(x) với xD. • f(x): biến phụ thuộc (dependent variable) • Ký hiệu đồ thị hàm f là G(f). Ta có: G f   x, f x  x  D  • Biểu diễn tập G(f) lên mặt phẳng Oxy ta được một đường (cong hoặc thẳng), đường này gọi là đồ thị của hàm số f. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số • Đồ thị hàm số y=2x+x2 y range  mgt y  f x  f 2  f 2  0 x domain  mxd 2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 1
03/04/2017 Tiêu chuẩn đường thẳng đứng Ví dụ • Đường cong trong mặt phẳng Oxy là đồ thị của y  hàm f khi và chỉ khi không có đường thẳng x a đứng nào cắt đường cong nhiều hơn một điểm. • Chú ý: đường thẳng đứng trong Oxy có dạng: x=a 0 x Đây là đồ thị của hàm một biến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Hàm xác định từng khúc y  • Được định nghĩa khác nhau trên mỗi tập con khác nhau của miền xác định. Ví dụ 1: Hàm giá trị tuyệt đối  x ,x  0 f x   x     mxd  ???   x ,x  0  0 x Ví dụ 2:  1  x , x  1 f x     2  mxd  ???  x ,x  1   Đây không phải là đồ thị của hàm một biến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm xác định từng khúc Hàm xác định từng khúc y y y  x2 y  x yx f 0   1  1  x , x  1 f x    f 1  0  2  x ,x  1   f 0   0 f 2   4 1 x 1 x 0  x ,x  0 0 f x     y  1 x   x ,x  0 Đồ thị f(x) có màu đỏ.  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 2
03/04/2017 Tính đối xứng Ví dụ • Hàm số chẵn: f là hàm chẵn trên miền D nếu: • Hàm số sau đây là chẵn, lẻ hay không chẵn x  D  x  D và f x   f x  không lẻ? a ) f x   x 5  x b ) g x   1  x 4 • Hàm số lẻ: f là hàm lẻ trên miền D nếu: c ) h x   x  x 2 d ) k x   3x x  D  x  D và f x   f x  • Giải: f x   x   x   x 5  x   f x  5 • Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy là trục đối xứng. • Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O là tâm đối • Vậy hàm f(x) là hàm lẻ. xứng. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ b) Ta có: d) Tập xác định: g x   1  x   1  x 4  g x  4  D  ; 3   Vậy g là hàm chẵn. c) h x   x  x 2   Vì:  4  D  ; 3  m à 4  D Nên hàm số đã cho có tập xác định không đối h x   x  x   x  x 2 2 xứng. Vậy hàm số không chẵn, không lẻ. h x   h x  h x   h x  Vậy hàm h không chẵn, không lẻ. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm số tăng, giảm Ví dụ y • Hàm số f tăng trên khoảng I nếu: y  f x  x 1  x 2  f x 1   f x 2 , x 1, x 2  I Hàm số đã cho • Hàm số f giảm trên khoảng I nếu: tăng trên đoạn [a;b] và giảm trên x 1  x 2  f x 1   f x 2  , x 1, x 2  I đoạn [c;d] a0 b c d x • Đồ thị hàm số tăng đi lên từ trái sang phải. • Đồ thị hàm số giảm đi xuống từ trái sang phải. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 3
03/04/2017 Hàm số ngược Ví dụ • Định nghĩa hàm 1-1: Hàm số f gọi là hàm 1-1 • Hàm f là hàm 1-1; hàm g không là hàm 1-1. nếu nó không nhận cùng một giá trị nào đó 2 lần trở lên. Nghĩa là: 1 3 10 2 f x 1   f x 2 ,  x 1  x 2 1 21 15 2 3 • Tiêu chuẩn đường nằm ngang: Hàm f là hàm 1- 8 5 4 1 khi và chỉ khi không có đường thẳng nằm 3 g ngang nào cắt đồ thị của nó tại nhiều hơn một 6 điểm. 4 f Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Hàm số sau có là hàm 1-1? • Đồ thị hàm số y f(x)=x3 f x   x 3 • Ta có: • Ta thấy mọi đường nằm ngang chỉ cắt x 1  x 2  x 13  x 23  f x 1   f x 2  đồ thị tại một điểm duy nhất. Không có đường nào cắt x • Theo định nghĩa f là hàm 1-1. nhiều hơn một 0 điểm. Vậy f là hàm 1-1. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Xét trên toàn y • Hàm số: g(x)=x2 có phải hàm 1-1? trục số g • Đáp số: không là 1-1. Vì 1-1 nhưng g(1)=1=g(-1) nên hàm đã cho không là hàm 1-1. • Xét trên miền Tuy nhiên xét riêng trên miền [0, +) thì hàm g là [0; +) hàm g hàm 1-1. là 1-1. Vì: x  x  x 2  x 2  g x   g x  x 1 2 1 2 1 2 0 x , x 1 2   0;     Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 4
03/04/2017 Hàm số ngược Ví dụ Định nghĩa: • Hàm số ngược của hàm f. 10 10 • Cho f là hàm 1-1, có miền xác định A và miền 1 21 1 21 giá trị B. • Hàm ngược của hàm f kí hiệu là f -1, có miền xác 2 2 định B, miền giá trị A. 5 5 3 3 • Được xác định theo hệ thức sau: 6 6 4 4 f f 1 f 1 y   x  f x   y , y  B f 1  10 f  1 10   1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chú ý Ví dụ • Miền xác định của f -1 = miền giá trị của f. • Hàm ngược của hàm: • Miền giá trị của f -1 = miền xác định của f. f x   x 3 • Ta thường ký hiệu y là biến phụ thuộc và x là biến độc lập nên hàm số ngược thường viết f 1 x   x 1/3  3 x • Là: dạng: y  f 1 x   f y   x     3 • Vì: f y   f x 1/3  x 1/3 x Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cách tìm hàm ngược Ví dụ • Tìm hàm ngược của hàm: 1. Viết: y  f x  f x   x 3  2 • Giải: 2. Giải phương trình trên tìm x theo y (nếu được). y  x3 2  x3  y 2  x  3 y 2 3. Hoán đổi x và y. Ta có kết quả: • Hoán đổi: y  3 x 2 yf 1 x  • Vậy hàm ngược: y  f 1 x   3 x 2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 5
03/04/2017 Ví dụ Chú ý • Tìm hàm ngược của: • Từ định nghĩa ta có: g x   x 2, 0  x   • Chú ý: trên miền đã cho g là hàm 1-1 nên có hàm ngược.   i ) f 1 f x   x , x  A • Ta có: ii ) f  f x   x , 1 x  B y  x , 0  x    x  y  x   y 2 2 • Hoán đổi: Vậy hàm ngược: • Đồ thị hàm ngược f-1 đối xứng với hàm f qua đường thẳng y=x (phân giác góc phần tư thứ y x  x g 1 x   x 0  x   nhất) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đồ thị Các phép toán hàm số • Cho hai hàm số f, g có miền xác định là A, B. Khi đó: Đồ thị hàm ngược • Tổng và hiệu của f và g: f-1 đối xứng với hàm f qua đường thẳng y=x (phân  f  g x   f x   g x , mxd : A  B giác góc phần tư • Tích của f và g: thứ nhất)  f .g x   f x .g x ; mxd : A  B • Thương của f và g:  f  f x    x    g  g x   mxd : x  A  B g x   0  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm số hợp Ví dụ • Cho hai hàm: • Cho f :X  R g :Y  R g x   x  3; f x   x 2 • Thỏa: g Y   X • Ta có:   fo g x   f g x   f x  3  x  3 2 • Khi đó tồn tại hàm hợp:  fog   h • Ta có: g f x   g  f x   g x   x o 2 2 3 fog : X  Z  h x    fog x   f g x   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 6
03/04/2017 Ví dụ Giải • Cho hai hàm số: • Ta có: f x   x ; g x   2  x f x   x  mxd : A   0;     g x   2  x  mxd : B  ;2   • Xác định và chỉ ra miền xác định của các hàm sau: • Vậy: a ) f  g; f  g; fg ; f  f  g x   x  2x mxd : A  B   0;2 g b) fog; go f ; fo f ; gog  f  g x   x  2x mxd : A  B   0;2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải Giải • Vậy: g f x   g  f x   g   x  2 x  fg x   mxd : A  B   0;2 0 x. 2x   x  0  f  x DK :   0  x  4  mxd : 0; 4   x   2  x  0   g    2x   mxd : A  B \ x g x   0   0;2 \ 2   0;2  f f x   f  f x   f  x   x  4x 0  f g x   f g x   f  0 2x   2 x  4 2x mxd : 0;       mxd : ; 2  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải Ví dụ • Cho hàm số: F x   cos2 x  9 g g x   g g x   g  0 2x  2   2x  • Tìm các hàm f, g, h sao cho: F  f0g 0h 2  x  0   x  2 • Đặt:  DK :     2  x  2 h x   x  9, g x   cos x, f x   x 2  2  2  x  0  2  x  4     mxd : 2; 2 • Khi đó:   f0g 0h x   f0g h x   f0g x  9    f g x  9  f cos x  9   2  cos x  9  cos2 x  9  F x    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 7
03/04/2017 Hàm tuyến tính • Ta nói y là hàm tuyến tính của x nếu: CÁC LOẠI y  ax  b HÀM SỐ THƯỜNG GẶP • Đồ thị hàm y là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ b, hệ số góc là a. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đa thức Hàm hữu tỷ • Hàm P gọi là một đa thức nếu: • Dạng: P x  P x   an x  an 1x n n 1 2  ...  a2x  a1x  a 0 f x   Q x  n   • Trong đó P, Q là các đa thức. • a0,a1, …, an: hệ số của đa thức • Miền xác định: là tập các giá trị x thỏa Q(x) 0. • n: bậc của đa thức (an0) • Ví dụ: • Miền xác định: D=R x 5  3x 2  1 f x   x2  9  ; mxd : x  R x  3  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm đại số Hàm lũy thừa • Sử dụng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, • Dạng: lấy căn các hàm đa thức ta được hàm đại số. • Ví dụ: y  x ,   ,   0 f x   x 2  2x  5 • >0 : hàm số tăng. 2 x 1 • 
03/04/2017 Hàm lũy thừa Hàm số mũ • Miền xác định: tùy thuộc vào số mũ  • Dạng: Giá trị của  Miền xác định y  a x ,(a  0, a  1) • Miền xác định: D=R .   • Miền giá trị: (0; +) . Z  *   \ 0 • Nếu a>1: hàm số tăng. Q   0;    • Nếu 0
03/04/2017 Đồ thị log2x và log1/3 x Hàm logarit • Tính chất: Hàm số tăng nếu a>1 và giảm nếu 0
03/04/2017 Đồ thị hàm tan(x) 4. Hàm lượng giác • 3. Hàm cot: y  cot x • Điều kiện xác định: x  k • Tập giá trị là R. • Tăng trên các khoảng: (k ,   k ) • Tuần hoàn với chu kỳ π. cot x  k    cot x , k Z Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Quan hệ hàm lượng giác Hàm arcsinx • Ta hay dùng công thức sau: • Đồ thị hàm sinx trên [-; ] sin x i) sin2 x  cos2 x  1 ii) tan x  cos x cos x iii) cot x  iv ) tan x . cot x  1 sin x 1 1 v ) 1  tan2 x  vi ) 1  cot2 x  cos2 x sin2 x • Sinh viên tự ôn lại các kiến thức lượng giác. • Đồ thị y=sinx trên [-/2; /2] Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm lượng giác ngược Hàm arcsinx 1. Hàm arcsin: (đọc là ác – sin) hay sin-1 • Đồ thị hàm arcsin x: 1 y  arcsin x  sin x Tập xác định: [-1,1]. Tập giá trị: [-/2; /2] Là hàm ngược của hàm y=sin(x) Là hàm lẻ, tăng.    y  arcsin x  x  sin y   y    2 2     Tập xác định: [-1,1]. Tập giá trị:  ,   2 2 Là hàm lẻ, tăng.   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 11
03/04/2017 Đồ thị hàm sin(x) và arcsin(x) Ví dụ • Tính: 1  1 a )sin1   b) tan arcsin   2   3  • Giải: 1    1      sin1    vì sin    và   ;  2  6  6  2 6  2 2  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ   • Tính: b) tan arcsin 1  • Tìm   3        7  a )sin1 sin   b)sin1 sin    c) sin sin1 2  • Đặt:   6    6  1 1   • Giải: x  arcsin  sin x  và   x  3 3 2 2           • Vậy: a)   ;  sin1 sin     1 1 6  2 2    6  6 tan arcsin   tan x   3  2 2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Hàm lượng giác ngược • Ta có: 2. Hàm arccos: (đọc là ác – cô sin) hay cos-1 7       7  7 y  arccos x  cos1 x   ;  sin1 sin    6     6  Là hàm ngược của hàm y=cos(x)  2 2 6 • Tính trực tiếp: y  arccos x  x  cos y, 0  y     7   1   sin1 sin    sin1    Tập xác định: [-1,1]. Tập giá trị: [0; ]   6   2  6   Là hàm giảm.      vì sin   và   ;  6  6  2 2   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 12
03/04/2017 Hàm arccos x Hàm arccos(x) và cos(x) y=cosx trên miền [0; 2] y=cosx trên miền [0; 2] Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm lượng giác ngược Ví dụ 3. Hàm arctan: (đọc là ác – tang) • Đơn giản biểu thức: y  arctan x  tan1 x  cos tan1 x  Là hàm ngược của hàm y=tan(x) • Ta có:       y  arctan x  x  tan y,   y   y  tan1 x  x  tan y,   y    2 2   2 2  Là hàm lẻ, tăng. 1 1 1  tan2 y   cos2 y  Tập xác định: R. cos2 y 1  tan2 y 1 1 Tập giá trị:  / 2;  / 2  cos y   2  1  tan y 1  x2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm lượng giác ngược Hàm siêu việt 4. Hàm arccot: (đọc là ác – cô tang) • Các hàm không phải hàm đại số gọi là hàm siêu y  arccot x  cot1 x việt. Là hàm ngược của hàm y=cot(x) • Các hàm siêu việt đã biết: hàm lượng giác, hàm y  arccot x  x  cot y, 0  y    lượng giác ngược, hàm mũ, hàm logarit. Tập xác định: R. Tập giá trị: 0,  Là hàm giảm. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 13
03/04/2017 Một số hàm trong phân tích Kinh tế GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ • Hàm sản xuất: Q=Q(L) • Giới hạn dãy số • Hàm doanh thu: R=R(Q) • Giới hạn hàm số • Hàm chi phí: C=C(Q) • Tính chất • Hàm lợi nhuận: π= π(Q)=R(Q)-C(Q) • Công thức giới hạn cơ bản • Hàm cung: Qs=S(p), tăng theo p • Vô cùng lớn • Hàm cầu: Qd=D(p), giảm theo p • Vô cùng bé • Ngắt bỏ vô cùng bé tương đương • Ghi chú: L là lao động; Q là sản lượng; p là giá Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dãy số Dãy số • Cho dãy số: n 1 • Dãy số: hàm số xác định trên tập các số tự u n   nhiên khác 0. 2n  1 u : N*  R • Ta có: n  u n  u1  11 4  2; u2  1; u3  ;... • Ta thường ký hiệu dãy số là (un). 2.1  1 5 • un gọi là số hạng thứ n của dãy. • Hỏi: u100  ? u999  ? u9999999  ? • Khi n rất lớn thì giá trị của dãy số là bao nhiêu? Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dãy số Dãy số • Nhận xét: n 1 • 10 giá trị đầu của dãy: • Các giá trị tiếp theo: u n   n un n un 2n  1 1 2 100 0.507537688 • Giá trị của dãy càng ngày càng gần với số 0.5. 2 1 101 0.507462687 3 0.8 • Khi n càng lớn thì chênh lệch giữa dãy số và 0.5 4 0.714285714 9999 0.500075011 càng nhỏ (tại số hạng thứ 1 tỷ chênh lệch là 10- 5 0.666666667 9). 6 0.636363636 10000 0.500075004 7 0.615384615 • Độ chênh lệch này có thể nhỏ hơn nữa nếu tăng 8 0.6 10000000 0.500000075 100000000 0.500000008 n lên và có thể nhỏ tùy ý miễn là n đủ lớn. 9 0.588235294 10 0.578947368 10^ 9 1000000000 0.500000001 • Vậy ta nói giới hạn của dãy số là 0.5. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 14
03/04/2017 Định nghĩa giới hạn dãy số Ví dụ • Dãy số (un) có giới hạn là a nếu: • Chứng minh: • Chênh lệch (un) và a có thể nhỏ tùy ý khi n đủ lớn. n 1 1 lim  0, 5    0, n 0  0 : n  n 0  un  a  . n  2n  1 2 nhỏ tùy ý n đủ lớn Chênh lệch • Bước 1. Lấy >0 • Ký hiệu: • Bước 2. Lập hiệu: un  a n  lim un  a hay un  a • Bước 3. Tìm điều kiện của n để: (nếu có) n  hay lim un  a un  a   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Bước 4. Chọn n0, viết lại dưới dạng định nghĩa • Chọn 3 1 và kết luận. n 0     • Giải.  2 2  • Với mọi >0. Ta có: • Ta có: n 1 1 3 3 un  a     1 1 2n  1 2 2 2n  1   0, n0     : n  n 0  un     2 2  2 3 3 1  2n  1   n     Vậy theo định nghĩa: 2   4 2  1 lim un  n  2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Hệ quả • Chứng minh giới hạn sau bằng định nghĩa: • Số a không là giới hạn của dãy (un) nếu: n   0, n0  0 : n1  n0 và un  a  . lim 1 1 n  n 1 • Tồn tại >0 sao cho với mọi n0 đều tồn tại n1>n0 để chênh lệch giữa un1 và a lớn hơn . • Nói cách khác luôn tồn tại một khoảng cách giữa dãy (un) và a. Độ chênh lệch giữa (un) và a không thể nhỏ tùy ý. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 15
03/04/2017 Giới hạn vô cực của dãy số. Giới hạn vô cực của dãy số. • Ta nói dãy (un) tiến đến + khi và chỉ khi: • Ta nói dãy (un) tiến đến - khi và chỉ khi: A  0, n 0  0 : n  n 0  un  A. A  0, n0  0 : n  n0  un  A. • (un) có thể lớn hơn một số dương tùy ý khi n đủ • (un) có thể nhỏ hơn một số âm tùy ý khi n đủ lớn. lớn. • Ký hiệu: • Ký hiệu: lim un   lim un   n  n  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất Tính chất • 1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.   vn lim vn e) lim un  lim un n  , lim un  0 • 2. Cho lim un ; lim vn tồn tại hữu hạn. Khi đó: n  n  n  n  n  f ) lim un  0  lim un  0 n  n  a ) lim un  vn   lim un   lim vn  n  n  n  • Định lý giới hạn kẹp: Cho ba dãy số thỏa: b) lim un .vn   lim un . lim vn  n  n  n  un  vn  zn n  n 0   u  lim un  c) lim  n   n n   v   n  nlim  , lim v   0 vn  n n  • Nếu:  d ) lim un  lim un  lim un  lim zn  a thì lim v  a n  n  n  n  n  n Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Minh họa Ví dụ un  vn  zn n  n  0 • Tìm giới hạn dãy số: sin n 5n a)un  2 b)vn  n 1 nn • Ta có: sin n 1 0  un   0 n2  1 n2  1 a • Vậy: lim un  0  lim un  0 n  n  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 16
03/04/2017 Công thức giới hạn Các dạng vô định 1) lim C  C  0 ,q 1 • Có 7 dạng vô định: 3) lim q n   n      0   n    ,q  1 2) lim n      0  n  0      0 ; ;   ; 0.; 1 ; 00 ; 0 0  n  1 n  a • Quy tắc cần nhớ: 4) lim 1    e 5) lim 1    ea n   n  n    n   ln n  n   a n  n ! ,   0;a  1 1 6) lim   0 a  0 n p 7) lim n  1, p n  ln n n  ln p n np 8) lim   0   0 9) lim 0 n  n n  e n Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tìm giới hạn dãy số Ví dụ • Tìm các giới hạn sau: • Biến đổi đại số (nhân liên hợp, các hằng đẳng thức …)  a ) lim n  n 2  1 n   • Chia tử và mẫu cho biểu thức khác 0 (thường   1 1 1 chia cho n hay an…) b) lim    ...    n  1.2  2.3 n n  1  • Dùng công thức giới hạn dãy số e.  1  2  ...  n  2 2 2 c) lim    • Dùng định lý kẹp n  n3    n2 3 n   d ) lim   2 n  n  1  n  1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Tìm các giới hạn sau: • Tìm các giới hạn sau: 2n  3n  3n a ) lim 2  n  2n  3n a ) lim 1    n   n  1 2n 1  3n 1 b) lim n  n 2  1  3n 2 1 b) lim  2 n  2  3n  5.2n  3.5n 1 n   n  5  c) lim   n  100.2n  2.5n 6  5n 1 n d ) lim n 1 5  6 n  n Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 17
03/04/2017 Ví dụ Giới hạn hàm số • Tìm các giới hạn sau: • Để có cái nhìn trực quan về giới hạn n sin n a ) lim hàm số ta xét ví dụ n  n2  1 arctan n sau. b) lim n  n • Cho hàm số: sin2 n  cos3 n c) lim f x   x 2  x  2 n  n n  1. sin n ! d ) lim n  n Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số • Bảng giá trị của hàm số khi x gần 2 (nhưng • Từ bảng giá trị và đồ thị ta thấy. Khi x dần về 2 không bằng 2) (cả 2 phía) thì giá trị của f(x) dần về 4. Có nghĩa • Ta có: x f(x) x f(x) là giá trị f(x) có thể gần 4 một cách tùy ý nếu ta 1 2 3 8 chọn x đủ gần 2. 1.5 2.75 2.5 5.75 1.75 3.3125 2.2 4.64 • Ta nói: Giới hạn của hàm số f(x)=x2-x+4 khi x 1.9 3.71 2.1 4.31 dần đến 2 bằng 4. 1.95 3.8525 2.05 4.1525 1.99 3.9701 2.01 4.0301 x 2  lim x 2  x  2  4  1.995 3.985025 2.005 4.015025 1.999 3.997001 2.001 4.003001 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa Ví dụ • Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến a bằng L nếu giá trị của f(x) có thể gần L một cách tùy ý • CMR:  lim x 2  x  2  4 x 2  khi lấy giá trị của x đủ gần a nhưng x không • B1. Lấy >0 tùy ý. bằng a. • B2. Lập hiệu: • Ký hiệu: lim f x   L f x   4  x 2  x  2   x a • Dạng toán học: lim f x   L  • B3. Khi x gần 2. Từ bất phương trình trên giải: x a   0,   0, x  D : 0  x  a    f x   L   x  2  ??? Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 18
03/04/2017 Ví dụ Ví dụ • B3. Vì x gần 2 nên ta có thể giả sử: • B4. Viết lại theo định nghĩa: x  1; 3  2  x  1  4  • Ta có:   0,   4   : 0  x 2    x2 x  2  4   x 2  x  2  x  2x  1  4 x  2 • Kết luận: • Vậy:  lim x 2  x  2  4 x 2   x 2   4 x 2    x2 x 2   4 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa Giới hạn bên trái • Ta chỉ quan tâm đến giá trị • Định nghĩa: Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần x (sinx)/x hàm số f(x) khi x gần a nhưng 1 0.841470985 đến a từ bên trái bằng L nếu giá trị của hàm số xa. Do đó ta không quan tâm việc hàm số có xác định 0.5 0.958851077 f(x) có thể gần L một cách tùy ý khi giá trị của x tại a hay không. 0.4 0.973545856 đủ gần a và x nhỏ hơn a. • Chẳng hạn hàm f(x)=sinx/x 0.3 0.985067356 • Ký hiệu: lim f x  L x a   không xác định tại 0. Nhưng 0.2 0.993346654 ta có: 0.1 0.998334166 lim f x   L  x a  sin x 0.01 0.999983333   0,   0, x  D : 0  a  x    f x   L   lim 1 0.005 0.999995833 x 0 x 0.001 0.999999833 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giới hạn bên trái Giới hạn bên phải y • Định nghĩa: Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần y  f x  đến a từ bên phải bằng L nếu giá trị của hàm số f(x) có thể gần L một cách tùy ý khi giá trị của x f x  đủ gần a và x lớn hơn a. • Ký hiệu: lim f x  L x a   L x lim f x   L  x a  0 x a   0,   0, x  D : 0  x  a    f x   L   lim f x   L x a Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 19
03/04/2017 Giới hạn bên trái Định lý y y  f x  • Hàm số f có giới hạn L khi x tiến tới a khi và chỉ khi: • f có giới hạn trái và giới hạn phải tại a. • Hai giới hạn đó bằng nhau f x  • Bằng L L x   f x   L  xlim a x 0 lim f x   L    a  x a  lim f x   L lim f x   L    x a  x a Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Luật tính giới hạn Luật tính giới hạn (tt) 1. lim C  C 2. lim x  a 3. lim x n  a n f x  lim f x  x a x a x a 6. lim x a g x   x a lim g x   lim g x   0 x a x a • Cho các giới hạn sau tồn tại hữu hạn: n 7. lim  f x    lim f x  n lim f x  ; lim g x  x a    x a  x a x a • Ta có: 8. lim f x   lim f x  4. lim  f x   g x   lim f x   lim g x  n n x a x a x a   x a x a Với điều kiện các biểu thức 5. lim  f x  .g x   lim f x  . lim g x  9. lim n x  n a có nghĩa x a   x a x a x a Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất Ví dụ • Nếu f là một đa thức hay một hàm hữu tỷ và a • Tính: nằm trong tập xác định của f thì: 2x 2  1 x 2  a ) lim x 2  3x  4  b ) lim x  2 5  3x lim f x   f a  x a • Giải: • Nếu f x   g x ,  x  a và tồn tại giới hạn:   a ) lim x 2  3x  4  2 2  3.2  4  2 lim g x   L x 2 x a 2.  2   1 2 thì: 2x 2  1 7 lim f x   lim g x   L b ) lim   x a x a x  2 5  3 x 5  3.  2  11 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.