Bài giảng toán giải tích

Chia sẻ: Bui Van Vuong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:112

Thêm vào BST

Báo xấu

728
lượt xem 237
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Bài giảng toán giải tích dành cho sinh viên không chuyên toán, GIẢI BÀI TOÁN BẰNG HAI PHÉP TÍNH ( TIẾP) A- Mục tiêu: - Giúp học sinh tiếp tục làm quen với bài toán giải bằng 2 phép tính, - Rèn kỹ năng trình bày bài giải các loại toán có lời văn giải bằng 2 phép tính. - Rèn tính cẩn thận cho HS B- Đồ dùng dạy học: - GV: Phiếu học tập BT2 - HS: SGK, VBT C- Các hoạt động dạy học: NỘI DUNG 1- Giới thiệu bài: (1 phút) 2-...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng toán giải tích

Đ I H C ĐÀ N NG TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M KHOA TOÁN ∼∼ ∼∼ Bài Gi ng Gi i Tích I (Dùng cho sinh viên không chuyên Toán) Đà N ng, tháng 03 năm 2008
M cl c 1 Hàm s m t bi n s th c 4 1.1 Hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Đ nh nghĩa hàm s . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Các phương pháp cho hàm s . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . 4 1.1.3. Hàm s h p và hàm s ngư c . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . 5 1.1.4. Các l p hàm s có c u trúc đ c bi t . . . . . . ... . . . . . . . . . . 7 1.1.5. Các hàm s sơ c p . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . 9 1.2 Gi i h n hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . 10 1.2.1. Gi i h n dãy s . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . 10 1.2.2. Gi i h n hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . 11 1.2.3. Tiêu chu n t n t i gi i h n c a hàm s . . . . ... . . . . . . . . . . 15 1.2.4. Các nguyên lý cơ b n v gi i h n c a hàm s ... . . . . . . . . . . 17 1.2.5. Vô cùng bé và vô cùng l n . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . 18 1.2.6. Nguyên t c thay th VCB, VCL. Kh d ng vô đ nh . . . . . . . . . . 20 1.3 Hàm s liên t c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . 21 1.3.1. Các đ nh nghĩa cơ b n . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . 21 1.3.2. Đi m gián đo n và phân lo i đi m gián đo n . ... . . . . . . . . . . 23 1.3.3. Các phép toán v i hàm liên t c . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . 23 1.3.4. Các đ nh lý cơ b n c a hàm liên t c . . . . . ... . . . . . . . . . . 24 2 Đ o hàm c a hàm m t bi n 25 2.1 Đ o hàm c a hàm s m t bi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1. Đ o hàm (c p 1) c a hàm s ........... . . . . . . . . . . . 25 2.1.2. þ nghĩa hình h c c a đ o hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3. Đ o hàm c p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Vi phân hàm m t bi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1. Đ nh nghĩa vi phân c a hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.2. Ý nghĩa hình h c c a vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.3. Cách tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.4. Vi phân các hàm s sơ c p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.5. ùng d ng vi phân vào tính g n đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.6. Vi phân c p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Các đ nh lý v hàm kh vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1. Các đ nh lý v giá tr trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2. Đ nh lý Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.3. Công th c s gia gi i n i. Đ nh lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.4. Quy t c Lôpitan đ kh d ng vô đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.5. Công th c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4 ng d ng đ o hàm đ kh o sát hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4.1. Các đ nh lý v tính tăng, gi m và c c tr c a hàm s . . . . . . . . . 41 1
-2- 2.4.2. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s . . . . . . . . . . 42 2.4.3. Tính l i lõm, đi m u n c a hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4.4. Xác đ nh ti m c n c a hàm s - Sơ đ kh o sát hàm s . . . . . . . . 44 3 Tích phân hàm m t bi n 47 3.1 Nguyên hàm và tích phân b t đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.1. Khái ni m nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.2. Tích phân b t đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.3. Các tính ch t c a tích phân b t đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.4. B ng nguyên hàm c a các hàm s cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.5. Các phương pháp tìm tích phân b t đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.6. Tích phân c a các hàm thư ng g p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Tích phân xác đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.1. Bài toán di n tích hình thang cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.2. Đ nh nghĩa tích phân xác đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.3. Các tính ch t c a tích phân xác đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2.4. M t s đ nh lý v tích phân xác đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.5. Phương pháp đ i bi n trong tích phân xác đ nh . . . . . . . . . . . . 59 3.2.6. Phương pháp tích phân t ng ph n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tích phân suy r ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.1. Tích phân suy r ng v i c n h u h n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.2. Tích phân suy r ng v i c n vô h n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.3. M t s tiêu chu n h i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4 ng d ng c a tích phân xác đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4.1. Di n tích hình ph ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4.2. Th tích v t th . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4.3. Đ dài cung ph ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4 Hàm nhi u bi n s 67 4.1 Các đ nh nghĩa cơ b n và ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67 4.1.1. Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67 4.1.2. Mi n trong m t ph ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68 4.2 Hàm nhi u bi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69 4.2.1. Đ nh nghĩa hàm hai bi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69 4.2.2. Gi i h n c a hàm hai bi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69 4.2.3. S liên t c c a hàm hai bi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70 4.3 Đ o hàm riêng và vi phân toàn ph n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71 4.3.1. Đ o hàm riêng c p m t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71 4.3.2. Vi phân riêng và vi phân toàn ph n. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72 4.3.3. Đ o hàm c a hàm h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73 4.3.4. Đ o hàm riêng c p cao và vi phân c p cao . . . . . . . . . . . . . .. 74 4.3.5. Hàm n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76 4.4 C c tr hàm hai bi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77 4.4.1. C c tr không đi u ki n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77 4.4.2. C c tr có đi u ki n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79 4.4.3. GTLN (GTNN) c a hàm s nhi u bi n s trong m t mi n đóng b ch n 80 BÀI GI NG GI I TÍCH 1 Lê Ng c Long
-3- 5 Phương trình vi phân 82 5.1 Phương trình vi phân c p 1 . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 82 5.1.1. Đ i cương v phương trình vi phân c p 1 . . . .. . . . . . . . . . . . 82 5.1.2. Phương trình bi n s phân li và phân li đư c . .. . . . . . . . . . . . 83 5.1.3. Phương trình thu n nh t . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 84 5.1.4. Phương trình vi phân tuy n tính c p 1 . . . . .. . . . . . . . . . . . 85 5.1.5. Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 87 5.2 Phương trình vi phân c p 2 . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 88 5.2.1. Đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 88 5.2.2. Phương trình vi phân c p 2 gi m c p đư c . . .. . . . . . . . . . . . 89 5.2.3. Phương trình vi phân tuy n tính c p 2 . . . . .. . . . . . . . . . . . 90 5.2.4. Phương trình vi phân tuy n tính c p 2 h s h ng . . . . . . . . . . . 93 5.2.5. Nguyên lý x p ch ng nghi m . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 96 6 Phương trình sai phân 97 6.1 Khái ni m sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ....... . . 97 6.1.1. Bài toán m đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ....... . . 97 6.1.2. Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ....... . . 97 6.2 Phương trình sai phân tuy n tính c p 1 . . . . . . . . . .. ....... . . 99 6.2.1. Các khái ni m chung . . . . . . . . . . . . . . . . .. ....... . . 99 6.2.2. Nghi m riêng c a phương trình không thu n nh t vi h s h ng . . 101 6.3 Phương trình sai phân tuy n tính c p 2 . . . . . . . . . . .. ....... . . 104 6.3.1. Các khái ni m chung . . . . . . . . . . . . . . . . .. ....... . . 104 6.3.2. Nghi m t ng quát c a phương trình thu n nh t v ih s h ng . . . . 104 6.3.3. Nghi m riêng c a phương trình không thu n nh t vi h s h ng . . 105 BÀI GI NG GI I TÍCH 1 Lê Ng c Long
Chương 1 HÀM S M T BI N S TH C 1.1 HÀM S 1.1.1. Đ nh nghĩa hàm s Đ nh nghĩa 1.1.1. Cho t p h p s th c X ⊆ R. Ta g i m t ánh x f t t p X vào t p s th c R là m t hàm s . T p X đư c g i là mi n xác đ nh thư ng đư c kí hi u Df và t p nh Y = f (X ) c a ánh x đư c g i là mi n giá tr c a hàm s f . Hàm s thư ng đư c ký hi u: f : X −→ Y ho c y = f ( x) . (1.1) x −→ f (x) = y Ký hi u trên cho phép ta xác đ nh đư c giá tr c a hàm s t i đi m x. x đư c g i là bi n s đ c l p và y = f (x) là giá tr c a hàm s t i x. Ví d 1.1. 1) ¡nh x f : R −→ R √ x −→ f (x) = y = x, (0 ≤ x < +∞) là m t hàm s có mi n xác đ nh là Df = R+ . 2) ¡nh x f : R −→ R 1 x −→ f (x) = y = , x=0 x là m t hàm s có mi n xác đ nh là Df = (−∞, 0) ∪ (0, +∞). 1 n uxh ut 3) f (x) = 0 n u x vô t Mi n xác đ nh là Df = R, mi n giá tr là t p {0, 1} 4) y = n2 , n = 1, 2, 3, . . .. Mi n xác đ nh là t p m i s t nhiên, mi n giá tr là t p m i s chính phương. 1.1.2. Các phương pháp cho hàm s Có nhi u phương pháp cho hàm s , ta ch xét ba phương pháp thư ng g p sau: cho hàm s b ng bi u th c gi i tích, b ng b ng và b ng đ th . 4
-5- 1.1.2.1. Phương pháp cho hàm s b ng bi u th c gi i tích Đây là phương pháp đư c dùng ph bi n nh t, đ c bi t trong vi c nghiên c u các v n đ lý thuy t. Trong phương pháp này hàm s đư c cho b ng m t phương trình mà v ph i là giá tr y c a hàm s t i đi m x, v trái là m t ho c nhi u bi u th c gi i tích đ i v i x. (ch a các phép toán c ng, tr , nhân, chia, lu th a, l y căn, phép logarit, phép mũ, các phép toán lư ng giác,. . . ) Trong phương pháp gi i tích thông thư ng mi n xác đ nh không đư c ch rõ mà đư c hi u ng m t cách vi t c a nó. Mi n xác đ nh đây là t p t t c các giá tr c a x đ bi u th c có nghĩa. √ Ví d 1.2. 1) Cho hàm s y = 4 − x2 . Mi n xác đ nh là −2 ≤ x ≤ 2. 2) Hàm s y = sin x xác đ nh trên toàn tr c s . 1 3) Hàm s y = √ + log2 (x − 3). Bi u th c có nghĩa khi 5 − x ≥ 0; x − 3 > 0. T đó 5−x mi n xác đ nh c a  s là kho ng (3, 5). hàm 2 n u x < −1   1 − x n u −1 < x ≤ 0 4) Hàm s y = xác đ nh trên toàn tr c s .  1+x n u 0
-6- Khi không t n t i x đ d u b ng trong (1.2) x y ra thì ta nói f (x) l n hơn (nh hơn) g (x) . 1.1.3.2. Các phép toán s h c trên hàm s Gi s f (x) và g (x) là hai hàm s xác đ nh trên D. Khi đó, các hàm s đ nh nghĩa như sau: (i). (f ± g )(x) := f (x) ± g (x) (ii). (f.g )(x) := f (x).g (x) f f ( x) (iii). ( )(x) := khi g (x) = 0 g g ( x) l n lư t đư c g i là t ng, hi u, tích và thương c a hai hàm s f (x) và g (x) trên D. 1.1.3.3. Hàm s h p Cho hàm s u = f (x) xác đ nh trên D ⊆ R và hàm s y = g (u) xác đ nh trên U ⊆ R sao cho f (D) ⊆ U . Ta có đ nh nghĩa sau: Đ nh nghĩa 1.1.2. Hàm h p c a f và g , kí hi u g ◦ f là m t hàm s xác đ nh b i công th c (g ◦ f )(x) = g (f (x)), ∀x ∈ X. Ch ng h n, y = sin(x2) là hàm h p c a hai hàm s y = sin u và u = x2. C n chú ý r ng (g ◦ f ) = (f ◦ g ). 1.1.3.4. Hàm s ngư c Đ nh nghĩa 1.1.3. Cho hàm s f : D −→ Y x −→ f (x) là m t song ánh. Khi đó hàm s f −1 : Y −→ D y −→ f −1 (y ) = x sao cho f (x) = y đư c g i là hàm s ngư c c a hàm s f . Ví d 1.3. 1) Hàm s y = 2x có hàm s ngư c là x = log2 y. y+3 2) Hàm s y = 2x − 3 có hàm s ngư c là x = . 2 Như v y, mi n xác đ nh c a hàm f −1 chính là mi n giá tr c a hàm f và ngư c l i. Đ th c a hàm s y = f −1 (x) đ i x ng v i đ th c a hàm y = f (x) qua đư ng phân giác th nh t n u ta d ng đ th c a hai hàm s này trên cùng m t h tr c Đ -các vuông góc xOy . Đ nh lý 1.1.1. N u f là hàm s tăng nghiêm ng t(gi m nghiêm ng t) thì t n t i hàm s ngư c f −1 c a f . Hàm s f −1 cũng là hàm s tăng nghiêm ng t( gi m nghiêm ng t). BÀI GI NG GI I TÍCH 1 Lê Ng c Long
-7- 1.1.4. Các l p hàm s có c u trúc đ c bi t 1.1.4.1. Hàm s đơn đi u Cho hàm s f xác đ nh trên X và D ⊆ X Đ nh nghĩa 1.1.4. Ta nói hàm s f đơn đi u tăng( ho c đơn đi u gi m) trên D n u v i m i x1, x2 ∈ D thì t x1 < x2 suy ra f (x1 ) ≤ f (x2 ) (ho c f (x1 ) ≥ f (x2 )). Đ nh nghĩa 1.1.5. Ta nói hàm s f tăng nghiêm ng t( ho c gi m nghiêm ng t) trên D n u v i m i x1 , x2 ∈ D thì t x1 < x2 suy ra f (x1 ) < f (x2 ) (ho c f (x1 ) > f (x2 )). Hàm s đơn đi u tăng ho c gi m g i chung là hàm đơn đi u. Tính đơn đi u cho ta hình dung dáng đi u đ th c a hàm s trên D, đ th c a hàm đơn đi u tăng (gi m) đi lên (đi xu ng) t trái sang ph i. Ví d 1.4. 1) Hàm s f (x) = x3 tăng nghiêm ng t trên R. Th t v y, V i x1 < x2 ta có: f (x2 ) − f (x1 ) = x3 − x3 = (x2 − x1)(x2 + x2x1 + x2) > 0. 2 1 2 1 vì x2 > x1 và x2 + x2 x1 + x2 > 0. 2 1 Do đó f (x1 ) < f (x2 ). 2) Hàm s y = [x] (hàm ph n nguyên) tăng trên toàn tr c s nhưng không tăng nghiêm ng t. π π 3) Hàm s y = sin x tăng nghiêm ng t trên các kho ng − + 2kπ, + 2kπ và gi m 2 2 π 3π nghiêm ng t trong các kho ng + 2kπ, + 2kπ . 2 2 1 nu xh ut 4) Hàm Dirichlet χ(x) = là hàm không đơn đi u trên b t kì 0 nu x vô t kho ng nào. 1.1.4.2. Hàm s b ch n Đ nh nghĩa 1.1.6. Hàm s f (x) b ch n trên (ho c b ch n dư i) trong mi n D n u t n t i m t s M sao cho f (x) ≤ M (ho cf (x) ≥ M ) v i m i x ∈ D. N u hàm s f (x) v a b ch n trên, v a b ch n dư i trên D thì ta nói r ng f (x) b ch n trên D. Hay nói cách khác, hàm s f (x) b ch n trong mi n D n u t n t i m t s dương M sao cho |f (x)| ≤ M v i m i x ∈ D. Ví d 1.5. 1) Hàm s y = sin x b ch n vì | sin x |≤ 1. 2) Hàm s y = x2 không b ch n trên R nhưng b ch n dư i vì x2 ≥ 0, ∀x ∈ R. 1.1.4.3. Hàm s ch n và hàm s l Ta nói m t t p h p s D ⊆ R là đ i x ng n u ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Đ nh nghĩa 1.1.7 (Hàm s ch n). Hàm s f (x) xác đ nh trên t p s đ i x ng D đư c g i là hàm ch n n u v i m i x ∈ D ta đ u có f (x) = f (−x). BÀI GI NG GI I TÍCH 1 Lê Ng c Long
-8- Ch ng h n, các hàm s y = x2; y = cos x; y = 2|x| , . . . là nh ng hàm ch n trên R. Đ th c a hàm s ch n nh n tr c tung làm tr c đ i x ng. Đ nh nghĩa 1.1.8 (Hàm s l ). Hàm s f (x) xác đ nh trên t p s đ i x ng D đư c g i là hàm l n u v i m i x ∈ D ta đ u có f (−x) = −f (x). Các hàm s y = x3; y = sin x; . . . là nh ng hàm s l trên R. Hàm l có đ th đ i x ng qua g c t a đ . 1.1.4.4. Hàm s tu n hoàn Đ nh nghĩa 1.1.9. Hàm s f (x) đư c g i là hàm s tu n hoàn n u t n t i s T = 0 sao cho f ( x + T ) = f ( x) (1.3) v i m i x thu c mi n xác đ nh. T đ nh nghĩa ta th y n u T tho mãn (1.3) thì t t c nh ng s có d ng nT, n ∈ N đ u tho mãn (1.3). Do đó t p xác đ nh c a hàm s tu n hoàn không b ch n. Đ nh nghĩa 1.1.10. S dương nh nh t (n u có) trong các s T tho mãn (1.3) đư c g i là chu kỳ c a hàm s tu n hoàn f (x). Khi kh o sát các tính ch t và dáng đi u c a hàm s tu n hoàn ta ch c n kh o sát hàm s này trong m t kho ng có đ dài b ng chu kỳ c a nó. Ví d 1.6. 1) Hàm s sin x, cos x tu n hoàn v i chu kỳ 2π . Hàm s tg x, cotg x tu n hoàn v i chu kỳ π . 1 n uxh ut 2) Hàm s y = là hàm tu n hoàn, không có chu kỳ. 0 n u x vô t Th t v y, v i m i s h u t r, ta có x + r là s h u t n u x h u t , ngư c l i x + r là s vô t . Do đó f (x + r) = f (x), ∀x ∈ R. 3) Hàm s h ng f (x) = c cũng là hàm tu n hoàn không có chu kỳ. 1.1.4.5. Hàm l i Đ nh nghĩa 1.1.11. Hàm s f (x) xác đ nh trên m t kho ng D đư c g i là l i trên D n u b t đ ng th c f (αx1 + (1 − α)x2 ) ≤ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) đư c nghi m đúng v i m i x1, x2 ∈ D và m i α ∈ [0, 1]. Hàm f (x) đư c g i là lõm trên D n u −f (x) là hàm l i trên D. Ví d 1.7. Hàm y = x2 , y = |x| là nh ng hàm l i trên R. Hàm y = x3 là l i trên (0, +∞) và lõm trên (−∞, 0). Hàm l i có tính ch t là: + T ng c a hai hàm l i trên D là m t hàm l i trên D. + N u y = g (u) là m t hàm l i đơn đi u tăng còn u = f (x) là hàm l i thì g ◦ f cũng là m t hàm l i. BÀI GI NG GI I TÍCH 1 Lê Ng c Long
-9- 1.1.5. Các hàm s sơ c p Hàm s lu th a y = xα, α là m t s th c khác 0 1.1.5.1. Mi n xác đ nh c a hàm s này ph thu c vào α. N u α ∈ N thì mi n xác đ nh là R. N u α ∈ Z− thì mi n xác đ nh là R∗ . N u α ∈ Q+ thì mi n xác đ nh là R+ . N u α ∈ Q− ho c α ∈ R \ Q thì mi n xác đ nh là R∗ . + Hàm s tăng nghiêm ng t n u α > 0 và gi m nghiêm ng t n u α < 0. Đ th hàm s luôn đi qua đi m (1, 1) và đi qua g c (0, 0) n u α > 0 và không qua g c n u α < 0. Hàm s mũ y = ax, (a > 0, a = 1) 1.1.5.2. Mi n xác đinh: X = R. Mi n giá tr R∗ . + Hàm s tăng n u a > 1 và gi m n u 0 < a < 1. Đ th hàm s luôn đi qua đi m (0, 1), n m phía trên và ti m c n v i tr c hoành. 1.1.5.3. Hàm s lôgarit: y = loga x, (a > 0, a = 1). Mi n xác đ nh X = R∗ , là hàm s ngư c c a hàm s mũ y = ax . Đ th hàm s đ i x ng + v i đ th hàm mũ y = ax qua đư ng phân giác th c nh t. Hàm s tăng n u a > 1 và gi m n u 0 < a < 1. Các tính ch t c a hàm s lôgarit: loga xy = loga x + loga y x loga = loga x − loga y, (x > 0, y > 0) y loga xα = α loga x = aloga N N loga c = loga b. logb c 1.1.5.4. Các hàm s lư ng giác. a) Hàm s y = sin x; y = cos x. Mi n xác đ nh R, mi n giá tr [0, 1], tu n hoàn v i chu kỳ 2π . b) Hàm s y = tg x; y = cotg x: π + Hàm s y = tg x xác đ nh v i m i x = (2k + 1) , tăng nghiêm ng t trong các kho ng 2 π π − + kπ, + kπ , tu n hoàn v i chu kỳ π . 2 2 + Hàm s y = cotg x xác đ nh v i m i x = kπ , tăng nghiêm ng t trong các kho ng (kπ, (k + 1)π ), tu n hoàn v i chu kỳ π . 1.1.5.5. Các hàm s lư ng giác ngư c a) Hàm s y = arcsin x. ππ Hàm s y = sin x tăng nghiêm ng t trên đo n [− , ] nên có hàm ngư c ký hi u là 22 x = arcsin y . N u dùng ch x ch bi n s đ c l p và bi n y ch bi n s ph thu c, thì hàm s đư c ký hi u là: y = arcsin x b) Hàm s y = arccos x. Hàm s ngư c c a hàm s y = cos x trên đo n [0, π ] đư c ký hi u y = arccos x. BÀI GI NG GI I TÍCH 1 Lê Ng c Long
-10- c) Hàm s y = arctg x là hàm ngư c c a hàm s y = tg x trong − π , π 22 d) Hàm s y = arccotg x là hàm ngư c c a hàm s y = cotg x trong (0, π ). Các hàm s lu th a, mũ, logarit, các hàm lư ng giác và hàm s lư ng giác ngư c đư c g i chung là các hàm sơ c p cơ b n. T nh ng hàm sơ c p cơ b n, b ng m t s h u h n các phép toán c ng, tr nhân, chia và phép h p hàm ta xây d ng đư c nh ng hàm ph c t p hơn và g i là các hàm sơ c p. xπ + 5 Ví d : Hàm s y = sin(x2 +x+1) là m t hàm sơ c p. 2 1.2 GI I H N HÀM S 1.2.1. Gi i h n dãy s 1.2.1.1. Dãy s Đ nh nghĩa 1.2.1. Ta g i ánh x t t p h p s t nhiên vào t p s th c là m t dãy s : u : N −→ R n → u( n ) = un Ngư i ta ký hi u dãy s như sau: u1 , u2, . . . , un , . . . ho c g n hơn (un ). M i s un , (n = 1, 2, 3, . . . , n, . . .) là m t s h ng hay m t ph n t c a dãy; un đư c g i là s h ng t ng quát c a dãy còn n là ch s c a nó. Ví d 1.8. N u các dãy có s h ng t ng quát un cho b i m t trong các công th c: un = 1 + (−1)n 1; un = (−1)n ; un = thì các dãy s tương ng là: n 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . . , 1, . . . − 1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, . . . , (−1)n , . . . 1 + (−1)n 1 1 0, 1, 0, , 0, ,..., ,... 2 3 n 1.2.1.2. Gi i h n dãy s Đ nh nghĩa 1.2.2. S th c đư c g i là gi i h n c a dãy s (un ) n u v i m i > 0, nh tuỳ ý, t n t i s t nhiên n0 sao cho v i m i n ≥ n0, ta đ u có |un − | < . Ký hi u lim un = (ho c lim un = , ho c un → khi n → ∞) n→∞ S n0 nói chung ph thu c vào . N u dãy (un ) có gi i h n h u h n là , ta nói dãy (un ) h i t v (ho c ti n t i ). Ngư c l i, n u (un ) không có gi i h n, ta nói dãy phân kỳ. Ví d 1.9. n+1 1) Cho dãy (un ), trong đó un = . Ch ng minh r ng lim un = 1. n Gi i: Xét hi u n+1 1 |un − 1| = | − 1| = n n 1 1 1 Do đó, ta có |un − 1| = < ⇔ n > . N u ta ch n n0 = + 1 thì v i m i n > n0 ta có n |un − 1| < . Vì là s dương b t kỳ nên ta có lim un = 1. BÀI GI NG GI I TÍCH 1 Lê Ng c Long
-11- 1 + (−1)n 2) Cho dãy (un ), trong đó un = . Tương t ta có lim un = 0. n n 3) Dãy (un ) v i un = (−1) là m t dãy phân kỳ. Th t v y, gi s là gi i h n c a dãy. 1 + N u = 1 thì | − 1| = 0. Ta ch n = | − 1| > 0. Ta có dù ch n n0 như th nào ta 2 cũng có nh ng ch s n > n0 sao cho un = 1, do đó |un − | = | − 1| > . V y không th là gi i h n c a dãy. + N u = 1 lý lu n tương t ta cũng th y un không th h i t đ n . 4) Dãy (un ) v i un = n cũng là m t dãy phân kỳ. 1.2.1.3. Các tính ch t c a dãy h i t Sau đây ta li t kê m t s tính ch t cơ b n c a dãy s . Tính ch t 1.2.1. Gi i h n c a m t dãy s n u có là duy nh t. Tính ch t 1.2.2. N u dãy (un ) có gi i h n là và >p ( < q ) thì ∃n0 : ∀n > n0 ⇒ un > p ( un < q ) . Tính ch t 1.2.3. N u dãy (un ) có gi i h n là và un ≥ p (un ≤ q ) thì ≥ p ( ≤ q ). Tính ch t 1.2.4. N u dãy (un ) có gi i h n thì b ch n, nghĩa là ∃M > 0 :| un |≤ M, ∀n. Tính ch t 1.2.5. N u hai dãy có gi i h n (un ) và (vn ) tho mãn un = vn , ∀n ∈ N thì lim un = lim vn . Tính ch t 1.2.6. N u hai dãy có gi i h n (un ) và (vn ) tho mãn un ≤ vn , ∀n ∈ N thì lim un ≤ lim vn . Tính ch t 1.2.7. N u ba dãy (un ), (vn ) và (wn ) tho mãn un ≤ vn ≤ wn , ∀n ∈ N và n u lim un = lim wn = thì dãy (vn ) cũng có gi i h n và lim vn = . un Tính ch t 1.2.8. N u các dãy (un ) (vn ) có gi i h n thì các dãy (un ± vn ), (un .vn ), và vn (lim vn = 0) cũng có gi i h n và ta có: lim(un ± vn ) = lim un ± lim vn lim un .vn = lim un . lim vn un lim un lim = vn lim vn Đi u ki n c n và đ đ m t dãy s h i t đư c cho b i tiêu chu n h i t Cauchy phát bi u như sau: Đ nh lý 1.2.9 (Tiêu chu n Cauchy). Dãy s th c (un ) h i t khi và ch khi v i m i ε > 0 cho trư c, tìm đư c n0 ∈ N∗ sao cho v i m i m, n ≥ n0 ta có |um − un | < ε. 1.2.2. Gi i h n hàm s 1.2.2.1. Gi i h n hàm s t i m t đi m Đ nh nghĩa 1.2.3. Cho m t đi m x0 ∈ R, ta g i kho ng s th c d ng (x0 − , x0 + ) v i > 0 là −lân c n c a x0. M t t p h p ch a m t −lân c n nào đó c a x0 đư c g i là m t lân c n c a x0, ký hi u là U (x0). BÀI GI NG GI I TÍCH 1 Lê Ng c Long
-12- Đ nh nghĩa 1.2.4. Cho f là m t hàm s xác đ nh trong lân c n U (x0 ) (có th tr x0). Ta nói r ng hàm s f (x) có gi i h n là s th c L khi x d n đ n x0 (ho c t i đi m x0) n u v i m i ε > 0 nh tuỳ ý, t n t i m t s δ > 0 sao cho |f ( x ) − L | < ε v i m i x ∈ U (x0 ) mà 0 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ U (x0 ) : 0 0, nh tuỳ ý cho trư c, ta tìm đư c s δ = ε > 0 sao cho |x2 − 0| < ε v i m i x ∈ R mà 0 0 nh tuỳ ý cho trư c, ch n δ = ε. Do |sin α| ≤ 1, ∀α ∈ R nên v i m i x ∈ (−1, 1) mà 0
-13- ⇒ lim | f (xn ) |= 0 (vì lim xn = 0). 1 1 2) Hàm s y = sin không có gi i h n t i đi m 0. Th t v y, ch n xn = và x nπ 1 , n ∈ N. Khi đó các dãy (xn ) và (xn ) cùng ti n v 0, nhưng xn = π + 2nπ 2 lim sin xn = 0 = 1 = lim sin xn . 1.2.2.2. Gi i h n m t phía Đ nh nghĩa 1.2.5. Ta nói hàm s f (x) có gi i h n bên ph i là s th c L khi x d n đ n x0 (ho c t i đi m x0 ) n u v i m i ε > 0 nh tuỳ ý, t n t i m t s δ (ε) > 0 sao cho | f ( x ) − L |< ε v i m i x ∈ U (x0 ) mà 0 < x − x0 < δ (ε). Khi đó ta ký hi u lim f (x) = L hay f (x) → L khi x → x+ 0 + x→x0 Đ nh nghĩa gi i h n bên trái c a hàm s đư c phát bi u tương t . Đ nh nghĩa 1.2.6. Ta nói hàm s f (x) có gi i h n bên trái là s th c L khi x d n đ n x0 (ho c t i đi m x0 ) n u v i m i ε > 0 nh tuỳ ý, t n t i m t s δ (ε) > 0 sao cho | f ( x ) − L |< ε v i m i x ∈ U (x0 ) mà 0 < x0 − x < δ (ε). Ký hi u lim f (x) = L hay f (x) → L khi x → x− . 0 − x→x0 Trong cách vi t gi i h n m t bên kí hi u x → x+ có nghĩa là x d n đ n x0 nhưng luôn 0 có x > x0, tương t x → x− có nghĩa là x d n đ n x0 nhưng luôn có x < x0. 0 Ví d 1.12. Hàm d u S (x) = sign x có lim S (x) = −1. Vì v i m i ε > 0 ta đ u có x→0− | S (x) + 1 |= 0 < ε n u x < 0. Ta cũng có lim S (x) = 1 +x→0 Đ nh lý sau cho ta m i liên h gi a gi i h n và gi i h n m t phía c a hàm s Đ nh lý 1.2.11. Đi u ki n c n và đ đ lim = L là lim f (x) = lim f (x) = L. x→x0 x→x+ x→x− 0 0 Ch ng minh. Đi u ki n c n suy ra t đ nh nghĩa. Ta ch ng minh đi u ki n đ . Gi s lim f (x) = lim f (x) = L. Khi đó v i m i ε > 0, t lim f (x) = L suy ra + − + x→x0 x→x0 x→x0 t n t i δ1 > 0 sao cho | f (x) − L |< ε v i m i x ∈ U (x0 ) mà 0 < x − x0 < δ1. Tương t , t lim f (x) = L suy ra t n t i δ2 > 0 sao cho | f (x) − L |< ε v i m i x ∈ U (x0 ) x→x− 0 mà 0 < x0 − x < δ2. Đ t δ = min {δ1, δ2} ta có | f (x) − L |< ε v i m i x ∈ U (x0 ) mà 0 < |x − x0 | < δ. V y lim = L. x→x0 BÀI GI NG GI I TÍCH 1 Lê Ng c Long
-14- 1.2.2.3. Gi i h n hàm s khi x d n ra vô cùng Cho hàm s y = f (x) xác đ nh v i m i x có giá tr tuy t đ i l n tuỳ ý. Đ nh nghĩa 1.2.7. Ta nói hàm s f (x) có gi i h n là s th c L khi x d n ra vô cùng n u ∀ε > 0, ∃N > 0 : | x |> N ⇒ | f (x) − L |< ε. Ký hi u: lim f (x) = L ho c f (x) → L khi x → ∞. x→∞ 1 Ví d 1.13. Hãy ch ng minh lim = 0. x→∞ x Th t v y 1 1 1 −0 = < ε ⇔ |x| > x x ε 1 1 Nên ∀ε > 0, ∃N = : |x | > N ⇒ −0 0, ∃N > 0 : x > N ⇒ | f (x) − L |< ε. Ký hi u: lim f (x) = L ho c f (x) → L khi x → +∞. x→+∞ Đ nh nghĩa 1.2.9. Ta nói hàm s f (x) có gi i h n là s th c L khi x d n t i âm vô cùng nu ∀ε > 0, ∃N > 0 : x < −N ⇒ | f (x) − L |< ε. Ký hi u: lim f (x) = L ho c f (x) → L khi x → −∞. x→−∞ 1.2.2.4. Gi i h n hàm s b ng vô cùng Đ nh nghĩa 1.2.10. Ta nói hàm s f (x) có gi i h n b ng +∞ (−∞) khi x d n đ n x0 (ho c t i đi m x0 ) n u ∀M > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ U (x0) : 0 < |x − x 0 | < δ ⇒ f ( x ) > M ( f ( x ) < M ) . Ký hi u: lim f (x) = +∞; ho c f (x) → +∞ khi x → x0 x→x0 lim f (x) = −∞; ho c f (x) → −∞ khi x → x0 . x→x0 Đ nh nghĩa 1.2.11. Cho f là hàm s xác đ nh trên t p không b ch n. Ta nói hàm s f (x) có gi i h n b ng +∞ (−∞) khi x d n ra +∞ n u ∀M > 0, ∃N > 0 : |x | > N ⇒ f ( x ) > M ( f ( x ) < M ) . Ký hi u: lim f (x) = +∞; lim f (x) = −∞ . x→+∞ x→+∞ Hoàn toàn tương t cho lim f (x) = +∞; lim f (x) = −∞. x→−∞ x→−∞ Ví d 1.14. Xét hàm mũ y = ax . V i a > 1 ta có: lim ax = +∞; lim ax = 0. x→+∞ x→−∞ V i 0 < a < 1 ta có: lim ax = 0; lim ax = +∞. x→+∞ x→−∞ BÀI GI NG GI I TÍCH 1 Lê Ng c Long
-15- 1.2.3. Tiêu chu n t n t i gi i h n c a hàm s Đ nh lý 1.2.12 (Cauchy-Bolzano). Cho hàm s f (x) xác đ nh trên t p D. Đi u ki n t có và đ đ lim f (x) = L là v i m i ε > 0, t n t i δ > 0 sao cho x→x0 | f ( x 1 ) − f ( x 2 ) |< ε v i m i c p x1, x2 ∈ D tho mãn b t đ ng th c: 0 0 x→x0 sao cho ε |f ( x ) − L | < , ∀x ∈ D, 0 < |x − x0| < δ. 2 Khi đó v i m i x1, x2 ∈ D tho mãn 0 0 sao cho v i m i m, n ≥ n0 thì 0 0 sao cho v i m i n ∈ N, n > n0 , ta có ε ε ε |f ( x n ) − L | < ; |f ( x n ) − L | < ; |f ( x n ) − f ( x n ) | < . 3 3 3 Suy ra |L − L | ≤ |f (xn ) − L| + |f (xn ) − f (xn )| + |f (xn ) − L | < ε = |L − L | . Đi u vô lý đó cho phép ta k t lu n r ng L = L. T Đ nh lý 1.2.10, ta có lim f (x) = L. x→x0 Đ nh lý này v n còn đúng khi thay x0 b i vô cùng, ch ng minh hoàn toàn tương t . 1.2.3.1. Các tính ch t c a hàm s có gi i h n Gi s U (x0) là m t lân c n nào đó c a x0 và D là mi n xác đ nh c a hàm f . Tương t như gi i h n c a dãy s , gi i h n c a hàm s cũng có nh ng tính ch t sau: Tính ch t 1.2.13 (Tính duy nh t c a gi i h n). Gi i h n c a hàm s f khi x d n v x0 n u có là duy nh t. Ch ng minh. Suy t tính t n t i duy nh t c a gi i h n dãy s và Đ nh lý 1.2.10. Tính ch t 1.2.14 (Tính b ch n). N u có hai s th c A, B sao cho A < f (x) < B, ∀x ∈ U (x0 ) và t n t i lim f (x) = L thì A ≤ L ≤ B. x→x0 Đ o l i, n u t n t i lim f (x) = L và A < L < B thì ∃δ > 0 : ∀x ∈ D, |x − x0 | < δ ⇒ x→x0 A < f (x) < B. BÀI GI NG GI I TÍCH 1 Lê Ng c Long
-16- Ch ng minh. Ph n thu n đư c suy ra t đ nh nghĩa. Đ o l i, ch n ε = min {L − A, B − L} . Do lim f (x) = L nên t n t i δ > 0 sao cho x→x0 L − ε < f (x) < L + ε v i m i x ∈ D mà 0 < |x − x0 | < δ. Suy ra A = L − (L − A) < f (x) < B − L + L = B. Tính ch t 1.2.15 (B o toàn th t ). N u f (x) ≥ g (x) v i m i x ∈ U (x0 ) và t n t i lim f (x) = L1 , lim g (x) = L2 thì L1 ≥ L2. x→x0 x→x0 Đ o l i, n u t n t i lim f (x) = L1 , lim g (x) = L2 và L1 > L2 thì ∃δ > 0 : ∀x ∈ x→x0 x→x0 D, |x − x0| < δ ⇒ f (x) ≥ g (x). Ch ng minh. Ph n thu n: Gi s ngư c l i L1 < L2 . Ch n L sao cho L1 < L < L2. Theo Tính ch t 1.2.14, t n t i các s δ1 , δ2 > 0 sao cho f (x) < L v i m i x ∈ D, 0 < |x − x0 | < δ1 và L < g (x) v i m i x ∈ D, 0 < |x − x0| < δ2 . Đ t δ = min {δ1 , δ2} , ta có f (x) < L < g (x) v i m i x ∈ D, 0 < |x − x0 | < δ. Đi u này mâu thu n v i gi thi t f (x) ≥ g (x), cho nên ta ph i có L1 ≥ L2 . Ph n đ o: Suy ra t ph n đ o c a Tính ch t 1.2.14. Tính ch t 1.2.16. N u lim f (x) = L thì lim |f (x)| = |L| . x→x0 x→x0 Ch ng minh. V i ε > 0, và lim f (x) = L nên t n t i s δ > 0 sao cho x→x0 |f (x) − L| < ε v i m i x ∈ D, 0 < |x − x0| < δ. Do ||f (x)| − |L|| ≤ |f (x) − L| < ε suy ra lim |f (x)| = |L| . x→x0 Đ o l i là không đúng, ch ng h n lim |sign x| = 1, tuy nhiên lim sign x không t n t i. x→0 x→0 Các phép toán s h c c a gi i h n hàm s cho b i tính ch t sau: Tính ch t 1.2.17. N u t n t i các gi i h n lim f (x) = L1 ; lim g (x) = L2 thì các hàm s x→x0 x→x0 f f ± g ; f.g ; và (L2 = 0) cũng có gi i h n khi x → x0 và ta có: g lim f (x) + g (x) = lim f (x) + lim g (x) x→x0 x→x0 x→x0 lim f (x).g (x) = lim f (x). lim g (x) x→x0 x→x0 x→x0 lim f (x) f ( x) x→x0 lim = g ( x) lim f (x) x→x0 x→x0 Ch ng minh. Suy t các tính ch t c a gi i h n dãy s và Đ nh lý 1.2.10. BÀI GI NG GI I TÍCH 1 Lê Ng c Long
-17- Tính ch t 1.2.17 v n còn đúng n u thay x0 b i vô cùng. Nó cũng đúng cho gi i h n m t phía và cho phép ta tính gi i h n c a các hàm ph c t p thông qua các hàm đơn gi n hơn, tuy nhiên nó đòi h i các gi i h n c a f và g ph i t n t i h u h n. T tính ch t đó ta cũng có n n lim a.f (x) = a. lim f (x), lim f (x) = lim f (x) . x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 Tính ch t 1.2.18. Cho f và g là hai hàm s sao cho mi n giá tr c a f n m trong mi n xác đ nh c a g . Ngoài ra, lim f (x) = A, lim g (y ) = L. Khi đó x→x0 y →A lim g (f (x)) = L. x→x0 Ch ng minh. Dành cho b n đ c xem như bài t p. 1.2.4. Các nguyên lý cơ b n v gi i h n c a hàm s Đ nh lý 1.2.19 (Nguyên lý k p). Cho f, g, h là các hàm s cùng xác đ nh trên t p D ch a m t lân c n nào đó c a đi m x0 và g (x) ≤ f (x) ≤ h(x), ∀x ∈ D. N u lim g (x) = lim h(x) = L x→x0 x→x0 thì lim f (x) = L. x→x0 Ch ng minh. V i ε > 0, do lim g (x) = lim h(x) = L nên t n t i δ1, δ2 > 0 sao cho x→x0 x→x0 |g (x) − L| < ε ∀x ∈ D, 0 < |x − x0| < δ1 |h ( x ) − L | < ε ∀x ∈ D, 0 < |x − x0| < δ2. Đ t δ = min {δ1 , δ2}. Do tính b k p c a f nên v i m i x ∈ D, 0 < |x − x0 | < δ ta có L − ε < g (x) ≤ f (x) ≤ h(x) < L + ε =⇒ |f (x) − L| < ε. V y lim f (x) = L. x→x0 Đ nh lý 1.2.20 (Gi i h n c a hàm đơn đi u bi ch n). (i). N u f là m t hàm đơn đi u tăng và b ch n trên kho ng (a, +∞) thì lim f (x) = L x→+∞ (h u h n). (ii). N u f là m t hàm đơn đi u gi m và b ch n trên kho ng (−∞, b) thì lim f (x) = L x→−∞ (h u h n). Chúng ta không ch ng minh đ nh lý này, b n đ c có th tham kh o ch ng minh đ nh lý này trong [1]. T hai đ nh lý trên, chúng ta có m t s h qu như sau: 1 lim C = C lim = 0 (α > 0) x→∞ xα x→x0 sin x 1x lim =1 lim 1 + =e x→0 x x x→0 ex − 1 1 lim =1 lim 1 + x =e x x x→x0 x→∞ Ví d 1.15. BÀI GI NG GI I TÍCH 1 Lê Ng c Long
-18- tg x 1). lim = 1. x→0 x 1 − cos x 1 2). lim =. 2 x 2 x→0 x x = e−1. 3). lim x→0 x + 1 1.2.5. Vô cùng bé và vô cùng l n Đ nh nghĩa 1.2.12. (i). Hàm α(x) đư c g i là vô cùng bé (V CB ) khi x → x0 n u lim α(x) = 0. x→x0 (ii). Hàm u(x) đư c g i là vô cùng l n (V CL) khi x → x0 n u lim | u(x) |= +∞. x→x0 Ví d 1.16. 1 1). Các hàm sin x, ln(1 + x), x2 , tg x, cos x − 1, là các VCB khi x → 0, đ i lư ng là VCB x π khi x → ∞, còn cotg x là VCB khi x → . 2 2). Các hàm ex, lnx, xp(p > 0) là nh ng đ i lư ng VCL khi x → +∞, đ i lư ng (−1)x x là π VCL khi x → ∞ còn tg x là VCL khi x → . 2 Đ nh lý 1.2.21. Đi u ki n c n và đ đ hàm f là hàm có gi i h n L khi x → x0 là α(x) = f (x) − L là m t vô cùng bé khi x → x0 . Tính ch t 1.2.22. (i). N u α(x), β (x) là các VCB khi x → x0 thì cα(x); α(x) + β (x); α(x).β (x) cũng là các VCB khi x → x0. (ii). N u α(x) là VCB khi x → x0 và f (x) là hàm b ch n trong m t lân c n nào đó c a x0 (có th tr x0) thì thì α(x).f (x) cũng là m t VCB khi x → x0. (iii). N u u(x), v (x) là các VCL khi x → x0 thì c.u(x); u(x).v (x) cũng là các VCL khi x → x0 . (iv). N u u(x) là VCL khi x → x0 và f (x) là hàm b ch n trong m t lân c n nào đó c a x0 (có th tr x0) thì thì u(x) + f (x) cũng là m t VCL khi x → x0 . Các tính ch t suy ra tr c ti p t đ nh nghĩa gi i h n và VCB, VCL. 1.2.5.1. So sánh các VCB và các VCL α ( x) (i). Gi s α(x), β (x) là các VCB khi x → x0 và lim = k. Khi đó β ( x) x→x0 + k = 1 ta nói α(x), β (x) là các VCB tương đương, ký hi u α(x) ∼ β (x). + k là m t s h u h n,(k = 0) ta nói α(x), β (x) là hai VCB cùng b c, ký hi u α(x) = O(β (x)). α ( x) + k = 0 ( hay t s cũng là m t VCB khi x → x0 ) ta nói α(x) là VCB b c cao β ( x) hơn so v i β (x), ký hi u α(x) = o(β (x)). BÀI GI NG GI I TÍCH 1 Lê Ng c Long
-19- α ( x) + k = ∞ ( hay t s cũng là m t VCL khi x → x0 ) ta nói α(x) là VCB b c th p β ( x) hơn so v i β (x) hay β (x) là VCB b c cao hơn so v i α(x). α ( x) N ut s không có gi i h n thì α(x) và β (x) là hai VCB không so sánh đư c v i β ( x) nhau. 1 Chú ý r ng n u α(x) là m t VCB thì là m t VCL. α ( x) u( x) (ii). Gi s u(x), v (x) là các VCL khi x → x0 và lim = k. Khi đó v ( x) x→x0 + k = 1 ta nói u(x), v (x) là các VCL tương đương, ký hi u u(x) ∼ v (x). + k là m t s h u h n,(k = 0) ta nói u(x), v (x) là hai VCL cùng b c, ký hi u u(x) = O(v (x)). + k = ∞ ta nói u(x) là VCL b c cao hơn so v i v (x), ký hi u u(x) = o(v (x)). + k = 0 ta nói u(x) là VCL b c th p hơn so v i v (x). u( x) N ut s không có gi i h n thì u(x) và v (x) là hai VCL không so sánh đư c v i v ( x) nhau. Ví d 1.17. sin x sin x x 1). Vì lim = lim . = 1 nên sin x và ln(1 + x) là các VCB tương x→0 ln(1 + x) x→0 x ln(1 + x) đương khi x → 0. Ta vi t sin x ∼ ln(1 + x) khi x → 0. x x 2 sin . sin 1 − cos x 2 2 = 0 nên 1 − cos x là VCB c p cao hơn x khi 2). Ta có lim = lim x x x→0 x→0 2 2 x → 0. M t khác x x 2 sin . sin 1 − cos x 2 = 1. 2 lim = lim xx 2 x 2 x→0 x→0 2 .2 22 nên 1 − cos x và x2 là hai VCB cùng c p khi x → 0. 1 1 x 3). Xét hai đ i lư ng cotg x và khi x → 0, c hai là nh ng VCL, m t khác = x cotg x 1 tg x sin x sin x 1 và lim x = = = 1. V y cotg x và là các VCB tương đương x x cos x x→0 cotg x x cos x x khi x → 0. 1.2.5.2. Ph n chính c a các VCB, VCL 1 Ch n các VCB cơ s là x, x − x0 , trong quá trình x → 0, x → x0, x → ∞, . . . Các x 1 1 VCL cơ s là x, , trong quá trình x → ∞, x → 0, x → x0. x x − x0 α ( x) Ta g i α(x) là VCB c p m khi x → 0(so sánh v i x) n u α(x) = O(xm ). N u lim m = k x→0 x thì kxm đư c g i là ph n chính c a α(x) BÀI GI NG GI I TÍCH 1 Lê Ng c Long