zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán kinh tế - Chương 2: Đạo hàm – Vi phân

Chia sẻ: Phuc Nguyen | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:18

Báo xấu

100
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm và vi phân, đạo hàm của hàm số hợp, công thức Leibniz, chiều biến thiên của hàm số, điều kiện cần của cực trị,... Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kinh tế - Chương 2: Đạo hàm – Vi phân

C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) và x0 (a,b). Nếu tồn tại f (x) f (x 0 ) lim x x0 x x0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x 0. Ký hiệu f’(x0), y’(x0) Đặt x = x – x0, ta có x = x0 + x và đặt y = f(x0 + x) – f(x0) thì y y' lim x 0 x Ký hiệu dy/dx, df/dx 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 1
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN y - Đạo hàm bên phải: y' lim x 0 x y - Đạo hàm bên trái: y' lim x 0 x - Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, - f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 2
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: 1) u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ 2) u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u ' u u ' v v' u 3) u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x) 0 và v v2 Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f0u có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 3
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f-1(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x): 1 1 1 (f )' ( y) 1 f ' (x) f '[ f ( y)] Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 4
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: (c)’ = 0 (c: hằng số) 1 (log x )' a (a 0, a 1, x 0) (x )’ = x -1 ( R, x > 0) x ln a (ax)’ = axlna (a > 0, a ≠ 1) 1 (ln x )' ( x 0) x (ex)’ = ex 1 (sinx)’ = cosx (arcsin x )' ( x 1) 2 1 x (cosx)’ = -sinx 1 (arccos x )' ( x 1) 2 1 x 1 1 ( tgx )' 2 (x /2 k , k Z) (arctgx )' cos x 1 x2 1 1 (cot gx )' (x k , k Z) (arc cot gx )' sin x 2 1 x2 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 5
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cao cấp: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) d 2 y d 2f 2 , 2 dx dx Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x). dn y dnf n , n dx dx Ví dụ: Cho y = x ( R, x > 0), y = kex, tìm y(n) 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 6
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) n (uv) (n ) C kn u ( n k) .v k trong đó u(0) = u, v(0) = v k 0 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 7
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2. VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f. Ví dụ: tìm dy với y 1 ln x Vi phân của tổng, tích, thương: Từ công thức của đạo hàm ta suy ra: 1) d(u + v) = du + dv 2) d(u.v) = vdu + udv u vdu udv d v v2 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 8
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: Khi x 0, thì f(x0+ x) – f(x0) và f’(x0) x là hai VCB tương đương, nên khi x khá nhỏ, ta có công thức gần đúng f(x0+ x) f(x0) + f’(x0) x Ví dụ, tìm 4 15,8 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f. 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 9
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c (a,b) sao cho f’(c) = 0. Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c (a,b) sao cho f ( b) f (a ) f ' (c) b a Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a). 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 10
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x (a,b) thì tồn tại c (a,b) sao cho f ( b ) f (a ) f ' (c) g ( b ) g (a ) g ' ( c) Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x. 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 11
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN QUI TẮC L’HOSPITAL khử dựng vô định khi tìm giới hạn 1. Dạng 0/0, / Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x (a,b) lim f ( x ) lim g ( x ) 0 Nếu lim f ' ( x ) L thì lim f (x) L x a x a x a g' (x ) x a g(x ) Nhận xét: (1) Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu: lim f ( x ) lim g ( x ) 0 x x lim f ( x ) lim g ( x ) x a x a lim f ( x ) lim g( x ) x x (2) Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần. 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 12
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0) x 3 27 tgx x lim lim x 3 x2 4x 8 x 0 x sin x x sin x arctgx lim 3 lim 2 x 0 x x 1 x ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng / ) ln x ln x xn lim lim n lim x 0 cot gx x x x ex 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 13
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2. Dạng 0. , - : Tìm cách chuyển chúng về dạng 0/0, / . Ví dụ: 5 2 1 lim x ln x lim (4 x ) tg ( x / 4) lim ( tgx ) x 0 x 2 x / 2 cos x 3. Dạng vô định: 00, 1 , 0 : Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0) Ví dụ: 2 1 x2 lim x lim x 1 x lim (cot gx ) ln x x 0 x 1 x 1 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 14
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN CỰC TRỊ Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x) f(x0) (f(x) f(x0)). Chiều biến thiên của hàm số: Định lý: Cho f khả vi trong (a,b): 1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x (a,b) thì f tăng trong khoảng đó. 2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x (a,b) thì f giảm trong khoảng đó. Điều kiện cần của cực trị: Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0 và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0. 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 15
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: Hàm số y = x3, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không đạt cực trị. Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không tồn tại. Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f: a) Không tồn tại f’(x) b) f’(x) = 0 Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là điểm dừng của f. 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 16
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện đủ của cực trị: Định lý: Giả sử f khả vi trong khoảng (a,b) chứa điểm x0 a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x0. b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x0. c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x0. Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x 0 và f’(x) = 0. a) Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu. b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại. 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 17
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn: 1. Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút. 2. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị được tính trên là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất cần tìm. Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số: f(x) = x3 – 3x2 +1 trên đoạn [-1/2, 4] 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 18

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.