Trong chương này, người học sẽ đi vào tìm hiểu kiến thức tổng quan về chuỗi tiền tệ, giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi tiền tệ, giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi tiền tệ đều.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Toán tài chính - Chương 4: Chuỗi tiền tệ
- 12/30/2009
CHƯƠNG
CHƯƠNG IV
CHU I TI N T (ANNUITIES)
I.T NG QUAN
• Chu i ti n t là m t lo t các kho n ti n phát sinh
đ nh kỳ theo nh ng kho ng cách th i gian b ng
nhau.
• M t chu i ti n t hình thành khi đã xác đ nh đư c:
– S kỳ phát sinh (s lư ng kỳ kho n) : n
– S ti n phát sinh m i kỳ (thu ho c chi) :a
– Lãi su t tính cho m i kỳ :i
– Đ dài c a kỳ: kho ng cách th i gian c đ nh gi a 2 kỳ tr
(có th là năm, quý, tháng…)
1
- 12/30/2009
I.T NG QUAN
• Phân lo i chu i ti n t :
– Theo s ti n phát sinh m i kỳ:
– Chu i ti n t c đ nh (constant annuities): s ti n
phát sinh trong m i kỳ b ng nhau.
– Chu i ti n t bi n đ i (variable annuities): s ti n
phát sinh trong m i kỳ không b ng nhau.
I.T NG QUAN
Năm 0 1 2 3 4 n-1 n
a1 a2 a3 a4 an-1 an
Năm 0 1 2 3 4 n-1 n
a2 an
a3
a1 a4 an-1
2
- 12/30/2009
I.T NG QUAN
• Phân lo i chu i ti n t :
– Theo s kỳ kho n phát sinh:
• Chu i ti n t có th i h n: s kỳ phát sinh là h u h n.
• Chu i ti n t không kỳ h n: s kỳ phát sinh là vô h n.
– Theo phương th c phát sinh:
• Chu i phát sinh đ u kỳ: s ti n phát sinh đ um i
kỳ.
• Chu i phát sinh cu i kỳ: s ti n phát sinh cu i m i
kỳ.
I.T NG QUAN
• Chu i ti n t phát sinh cu i kỳ
Năm 0 1 2 3 4 n-1 n
a2 an
a3
a1 an-1
a4
3
- 12/30/2009
I.T NG QUAN
• Chu i ti n t phát sinh đ u kỳ
Năm 0 1 2 3 4 n-1 n
a3
a1
a2 a4 an
a5
II. GIÁ TR TƯƠNG LAI VÀ HI N GIÁ C A M T
CHU I TI N T
• Giá tr tương lai (definitive value): là t ng
giá tr tương lai c a các kỳ kho n đư c xác
đ nh vào th i đi m cu i cùng c a chu i ti n
t (cu i kỳ th n).
• Hi n giá (giá tr hi n t i – present value): là
t ng hi n giá c a các kỳ kho n đư c xác
đ nh th i đi m g c (th i đi m 0)
4
- 12/30/2009
II. GIÁ TR TƯƠNG LAI VÀ HI N GIÁ C A M T
CHU I TI N T
• 2.1 Giá tr tương lai c a m t chu i ti n t phát
sinh cu i kỳ.
Năm 0 1 2 3 n-1 n
a2 a3
a1 an-1
an
an-1 (1 + i)
…
a2 (1 + i)n-2
a1 (1 + i)n-1
II. GIÁ TR TƯƠNG LAI VÀ HI N GIÁ C A
M T CHU I TI N T
• V y giá tr tương lai (giá tr cu i) c a chu i ti n
t đư c bi u di n như sau:
Vn = a1 (1+i)n-1 + a2 (1+i)n-2 + a3 (1+i)n-3 +…+ an
• N u ta g i:
– ak : giá tr c a kỳ kho n th k
– i : lãi su t.
–n : s kỳ phát sinh.
n
Vn = ∑ a k (1 + i ) n − k
k =1
5
- 12/30/2009
II. GIÁ TR TƯƠNG LAI VÀ HI N GIÁ C A M T
CHU I TI N T
• 2.1 Hi n giá c a m t chu i ti n t phát sinh cu i
kỳ. Năm 0 1 2 n-1 n
a2
a1 an-1
an
a1 (1 + i)-1
a2 (1 + i)-2
…
an-1(1 + i)-(n-1)
an (1 + i)-n
II. GIÁ TR TƯƠNG LAI VÀ HI N GIÁ C A M T
CHU I TI N T
V0= a1(1+i)-1 + a2(1+i)-2 + a3(1+i)-3 +…+ an(1+i)-n
n
V0 = ∑ a k (1 + i ) − k
k =1
6
- 12/30/2009
II. GIÁ TR TƯƠNG LAI VÀ HI N GIÁ C A M T
CHU I TI N T
2.2 Giá tr tương lai c a m t chu i ti n t phát sinh
đ u kỳ (Vn’)
Năm 0 1 2 n-1
n
an
a1 a2 an (1 + i)
…
a2 (1 + i)n-1
a1 (1 + i)n
II. GIÁ TR TƯƠNG LAI VÀ HI N GIÁ C A M T
CHU I TI N T
Vn’ = a1(1+i)n + a2(1+i)n-1 +…+ an(1+i)
n
Vn′ = ∑ a k (1 + i) n − k +1 = Vn (1 + i)
k =1
7
- 12/30/2009
II. GIÁ TR TƯƠNG LAI VÀ HI N GIÁ C A M T
CHU I TI N T
• Hi n giá c a m t chu i ti n t phát sinh đ u
kỳ (V0’)
Năm 0 1 2 3 n-1 n
a3
a2 an
a1
a2 (1 + i)-1
a3 (1 + i)-2
…
an (1 + i)-(n-1)
II. GIÁ TR TƯƠNG LAI VÀ HI N GIÁ C A M T
CHU I TI N T
V0’ = a1 + a2(1+i)-1 + a3(1+i)-2 +…+ an(1+i)-(n-1)
n
V0′ = ∑ a k (1 + i ) − k +1 = V0 (1 + i )
k =1
8
- 12/30/2009
III. GIÁ TR TƯƠNG LAI VÀ HI N GIÁ C A M T
CHU I TI N T Đ U
3.1 Giá tr tương lai và hi n giá c a m t chu i
ti n t đ u phát sinh cu i kỳ
3.2 Giá tr tương lai và hi n giá c a chu i ti n
t c đ nh phát sinh đ u kỳ
III. GIÁ TR TƯƠNG LAI VÀ HI N GIÁ C A M T
CHU I TI N T Đ U
• Giá tr tng lai c a m t chu i ti n t đ u
phát sinh cu i kỳ
Chu i ti n t đ u, giá tr c a t t c các kỳ
kho n đ u b ng nhau:
a1 = a2 = ……= an-1 = an
9
- 12/30/2009
III. GIÁ TR TƯƠNG LAI VÀ HI N GIÁ C A M T
CHU I TI N T Đ U
Vn = a (1 + i ) n −1 + a (1 + i ) n − 2 + ... + a (1 + i) + a
⇒ Vn =a
(1 + i )n − 1
i
III. GIÁ TR TƯƠNG LAI VÀ HI N GIÁ C A M T
CHU I TI N T Đ U
• Hi n giá c a 1 chu i ti n t đ u phát sinh
cu i kỳ
V0 = a (1 + i ) − n + a (1 + i ) − (n −1) + ... + a (1 + i ) −2 + a (1 + i ) −1
1 − (1 + i ) − n
Vo = a
i
10
- 12/30/2009
III. GIÁ TR TƯƠNG LAI VÀ HI N GIÁ C A M T
CHU I TI N T Đ U
• Hi n giá c a m t chu i ti n t c đ nh phát
sinh vĩnh vi n (n →∞)
a
Vo =
n → +∞ i
H qu t công th c tính Vn c a chu i ti n t
đ u
• Tính kỳ kho n a
Vn i
⇒a=
(1 + i) n − 1
• Tính lãi su t i (tra b ng tài chính 3 hay áp
d ng công th c n i suy)
(1 + i ) n − 1 Vn
=
i a
11
- 12/30/2009
H qu t công th c tính Vn c a chu i ti n t
đ u
• Tính s lư ng kỳ kho n n
Vn i
log( + 1)
n= a
log(1 + i )
Trong trư ng h p n không ph i là s nguyên
ta ph i bi n lu n thêm
H qu t công th c tính Vn c a chu i ti n t
đ u
G i
• n1 là s nguyên nh hơn g n nh t v i n
• n2 là s nguyên l n hơn g n nh t v i n
12
- 12/30/2009
H qu t công th c tính Vn c a chu i ti n t
đ u
• CÁCH 1: ch n n = n1 nghĩa là quy tròn n sang
s nguyên nh hơn g n nh t. Lúc đó Vn1Vn.
Đ đ t đư c giá tr Vn sau n2 kỳ kho n, chúng
ta ph i gi m b t kỳ kho n cu i cùng s còn
th a (Vn2-Vn) nên
an2 = a - (Vn2 -Vn)
13
- 12/30/2009
H qu t công th c tính Vn c a chu i ti n t
đ u
• CÁCH 3: ch n n = n1 và thay vì tăng thêm 1
kho n kỳ kho n cu i cùng, ta có th đ Vn1
trên tài kho n thêm m t th i gian x đ Vn1
ti p t c phát sinh l i t c (kép) cho đ n khi
đ t đư c giá tr Vn
H qu t công th c tính V0 c a chu i ti n t
đ u
• Tính giá tr kỳ kho n a
i
a = V0
1 − (1 + i ) −n
• Tính giá tr c a lãi su t i
1 − (1 + i ) − n V0
=
i a
14
- 12/30/2009
H qu t công th c tính V0 c a chu i ti n t
đ u
• Tính s kỳ kho n n 1
log
1 − V 0 i
a
⇒n=
log(1 + i )
• Trư ng h p n không ph i là s nguyên, ta đ t
– n1: là s nguyên nh hơn g n nh t v i n
– n2: là s nguyên l n hơn g n nh t v i n
• Có 2 cách đ quy tròn s n
H qu t công th c tính V0 c a chu i ti n t
đ u
• CÁCH 1: ch n n = n1, nghĩa là quy tròn n sang
s nguyên nh hơn g n nh t. Lúc đó V01< V0
Đ đ t đư c hi n giá V0, ph i tăng thêm vào
kỳ kho n cu i cùng n1 m t kho n x.
Vì V0 = V01 + x(1+i)-n1
⇒ x = (Vo − Vo1 )(1 + i ) n1
15
- 12/30/2009
H qu t công th c tính V0 c a chu i ti n t
đ u
• CÁCH 2: ch n n = n2, nghĩa là quy tròn n sang
s nguyên l n hơn g n nh t, lúc đó V02 >V0.
Đ đ t đư c hi n giá V0, ph i gi m b t kỳ
kho n cu i cùng n2 m t kho n x
Vì V0 = V01 - x(1+i)-n2
⇒ x = (Vo1 − Vo )(1 + i ) n 2
3.2 Giá tr tương lai và hi n giá c a chu i ti n t c
đ nh phát sinh đ u kỳ:
• Giá tr tng lai c a chu i ti n t c đ nh
phát sinh đ u kỳ (Vn’)
T công th c Vn’ = Vn (1+i)
(1 + i ) n − 1
⇒ Vn' = a (1 + i )
i
16
- 12/30/2009
3.2 Giá tr tương lai và hi n giá c a chu i ti n t c
đ nh phát sinh đ u kỳ:
• Hi n giá c a chu i ti n t c đ nh phát sinh
đ u kỳ (Vo’)
T công th c V0’ = V0 (1+i)
1 − (1 + i) − n
⇒V = a 0
'
(1 + i )
i
IV. CHU I TI N T BI N Đ I CÓ QUY LU T:
4.1 Chu i ti n t bi n đ i theo c p s c ng
4.2 Chu i ti n t bi n đ i theo c p s nhân
17
- 12/30/2009
4.1 Chu i ti n t bi n đ i theo c p s c ng
(phát sinh cu i kỳ):
• Giá tr tng lai c a 1 chu i ti n t bi n đ i
theo c p s c ng.
Xét 1 chu i ti n t bi n đ i theo c p s c ng
có giá tr c a kỳ kho n đ u tiên là a1=a, công
sai là r và lãi su t i.
a2 = a1 + r = a + r
a3 = a2 + r = a + 2r
…
an = an-1 + r = a + (n-1)r
4.1 Chu i ti n t bi n đ i theo c p s c ng
(phát sinh cu i kỳ):
r (1 + i ) n − 1 nr
Vn = a + −
i i i
−n
r 1 − (1 + i) nr
Vo = a + + nr −
i i i
18
- 12/30/2009
4.2 Chu i ti n t bi n đ i theo c p s nhân
(phát sinh cu i kỳ)
• Giá tr tng lai c a m t chu i ti n t bi n đ i
theo c p s nhân:
Xét m t chu i ti n t bi n đ i theo c p s nhân có
giá tr c a kỳ kho n đ u tiên là a1=a, công b i là q và
lãi su t i
a2 = a1 q = a q
a3 = a2q = a q2
a4 = a3q = a q3
…
an = an-1q = a qn-1
4.2 Chu i ti n t bi n đ i theo c p s nhân
(phát sinh cu i kỳ)
q n − (1 + i ) n Vo = a
q n − (1 + i) n
(1 + i) − n
Vn = a
q − (1 + i ) q − (1 + i)
•ð c bi t q= (1+ i)
Vn = na (1 + i) n −1 Vo = na (1 + i) −1
19
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
