intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng trọng tâm hàm số - Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Dương Lữ Điện | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:137

Thêm vào BST
Báo xấu
179
lượt xem 56
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu bài giảng trọng tâm môn khảo sát hàm số của thầy Đặng Việt Hùng, gồm có lý thuyết và bài tập kèm theo giúp các bạn dễ dàng tiếp thu bài nhanh hơn khi tham khảo tài liệu này. Hy vọng các bạn sẽ hài lòng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng trọng tâm hàm số - Đặng Việt Hùng

  1. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 LUY N THI I H C TR C TUY N §ÆNG VIÖT HïNG BÀI GI NG TR NG TÂM V HÀM S H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  2. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Bài m u: CHU N KĨ NĂNG IS 1. KĨ NĂNG XÉT D U C A BI U TH C Nguyên t c: + Phân tích bi u th c c n xét d u hay b t phương trình v d ng tích, r i lo i b nh ng h ng t là lũy th a b c ch n. + S p x p các nghi m c a các h ng t sau khi ã “thanh l c” các h ng t ch n theo th t t bé n l n trong b ng xét d u. + Ti n hành xét d u theo quy t c an d u khi bi t d u c a m t kho ng nào ó. + Vi c xét d u bi u th c chúng ta ch ư c quy ng m u s mà không ư c nhân chéo. Các ví d i n hình: Ví d 1: Xét d u các bi u th c sau x+2 1 3 a) f ( x ) = + 3. b) f ( x) = 2 − − . 3 − 4x x x −1 ( x + 3)(3 − 2 x) 4x − 2 2x + 1 5 c) f ( x) = . d) f ( x) = − − . 1− x 3 2 4 x 2 − 3x + 2 x+2 x−2 e) f ( x) = − x. f) f ( x) = − . x −1 3x + 1 2 x − 1 1 x −1 2 1 2 3 g) f ( x) = + − 2 . h) f ( x) = + − . x x +1 x + x x−2 x+2 x Ví d 2: Gi i các b t phương trình sau 1 2 3 2 1 −4 a) + < . b) + ≤ 2 . x x+3 x+2 x + 2 2 x + 2x x − 2 x − 3 x 2 + 4 x + 15 x 4 − 3 x3 + 2 x 2 c) + ≥ . d) > 0. 1− x x +1 x2 − 1 x 2 − x − 30 x4 − 4x2 + 3 x3 − 3 x 2 − x + 3 e) 2 ≥ 0. f) > 0. x − 8 x + 15 x(2 − x) 2. KĨ NĂNG S D NG LƯ C HOOCNER CHIA A TH C Nguyên t c: f ( x) k + f(x) chia cho g(x) ư c h(x) và dư là k thì ta có th vi t f ( x ) = g ( x ) .h ( x ) + k ⇔ = h( x) + g ( x) g ( x) + chia a th c b ng lư c Hoocner ta ph i s p x p a th c chia theo lũy th a gi m d n, s h ng nào khuy t ta cho h s b ng 0. + Th c hi n chia theo quy t c: u rơi - nhân ngang - c ng chéo. Các ví d i n hình: Ví d : Th c hi n các phép chia sau x 4 + 3 x3 − 2 x 2 + x −3x 3 + x 2 − 2 x + 10 a) = ………........................... b) = ………................................. x+3 x −1 2 x 2 + mx + m 2 x2 + ( 2 − m ) x2 + 2 c) = ………................................... d) = ………................................ x −1 2x + 1 3. KĨ NĂNG NH M NGHI M C A PHƯƠNG TRÌNH A TH C Xét phương trình: f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e = 0, (1) . H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  3. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 ( N u x = xo là m t nghi m c a phương trình (1) thì (1) ⇔ f ( x ) = ( x − xo ) ax3 + b′x 2 + c′x + d ′ = 0 ) f ( x)  → = ax 3 + b′x 2 + c′x + d ′ x − xo Nguyên t c: + N u t ng các h s c a phương trình b ng 0 thì phương trình có m t nghi m x = 1. + N u t ng các h s b c ch n c a x b ng t ng h s b c l c a x thì phương trình có m t nghi m x = − 1. + N u phương trình không tuân theo hai quy t c trên thì chúng ta nh m nghi m b t u t các nghi m ơn gi n như 0; ±1; ±2… + V i các phương trình có ch a tham s , nh m nghi m c a phương trình ta cho ph n h s c a tham s m b ng 0, ư c nghi m x ta thay vào phương trình ki m tra l i. Các ví d i n hình: Ví d 1: Phân tích các a th c sau thành nhân t a) f ( x ) = 2 x 4 + 4 x3 − 3x 2 − 2 x − 1 b) f ( x ) = 4 x 3 − 2 x 2 − 7 x − 1 c) f ( x ) = x3 − ( m + 1) x 2 − ( m − 1) x + 2m − 1 Hư ng d n gi i : a) f ( x ) = 2 x + 4 x − 3x − 2 x − 1 4 3 2 Xét phương trình f ( x ) = 0 ⇔ 2 x 4 + 4 x3 − 3x 2 − 2 x − 1 = 0 Ta nh n th y phương trình có t ng các h s b ng 0 nên có m t nghi m là x = 1. 2 x 4 + 4 x3 − 3x 2 − 2 x − 1 Khi ó f ( x ) = 0 ⇔ ( x − 1) .g ( x ) = 2 x 4 + 4 x3 − 3x 2 − 2 x − 1  g ( x ) = → x −1 Dùng lư c Hoocner ta ư c 2 x 4 + 4 x3 − 3x 2 − 2 x − 1 x −1 ( = 2 x3 + 6 x 2 + 3 x + 1  2 x 4 + 4 x3 − 3 x 2 − 2 x − 1 = ( x − 1) 2 x 3 + 6 x 2 + 3 x + 1 → ) b) f ( x ) = 4 x 3 − 2 x 2 − 7 x − 1 Xét phương trình f ( x ) = 0 ⇔ 4 x3 − 2 x 2 − 7 x − 1 = 0 T ng h s b c ch n là −2 − 1 = −3, t ng h s b c l c a phương trình là 4 − 7 = −3 T ó ta th y phương trình có m t nghi m x = −1. 4 x3 − 2 x 2 − 7 x − 1 Khi ó f ( x ) = ( x + 1) .g ( x ) ⇔ 4 x3 − 2 x 2 − 7 x − 1 = ( x + 1) .g ( x )  g ( x ) = → x +1 Dùng lư c Hoocner ta ư c 4 x3 − 2 x 2 − 7 x − 1 g ( x) = x +1 ( = 4 x 2 − 6 x − 1  f ( x ) = 4 x3 − 2 x 2 − 7 x − 1 = ( x + 1) 4 x 2 − 6 x − 1 → ) c) f ( x ) = x3 − ( m + 1) x 2 − ( m − 1) x + 2m − 1 T ng các h s a th c là 1 − ( m + 1) − ( m − 1) + 2m − 1 = 0 nên f(x) = 0 có m t nghi m x = 1. ( Ti n hành chia a th c ta ư c f ( x ) = x3 − ( m + 1) x 2 − ( m − 1) x + 2m − 1 = ( x − 1) x 2 − mx − 2m + 1 ) Ví d 2: Phân tích các a th c sau thành nhân t a) f ( x ) = −3 x 4 − x 2 + 2 x + 6 = ……………………………………………………………... b) f ( x ) = x3 + 4 x 2 − 6 x + 1 = ……………………………………………………………… c) f ( x ) = x3 + mx 2 − x − m = ………………………………………………………………. d) f ( x ) = x3 − 2 x 2 + (1 − m ) x + m = ………………………………………………………. e) f ( x ) = x3 + x 2 − 6 x − 8 = ………………………………………………………………. f) f ( x ) = −2 x3 − x 2 + 4 x − 4 = ……………………………………………………………. H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  4. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 4. KĨ NĂNG X LÝ V I TAM TH C B C HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH B C HAI Xét phương trình b c hai: f ( x ) = ax 2 + bx + c = 0, (1) a) Gi i và bi n lu n phương trình (1): N u a = 0 thì (1) ⇔ bx + c = 0, (*) + n u b = 0 và c = 0 thì (*) nghi m úng v i m i x. + n u b = 0 và c ≠ 0 thì (*) vô nghi m. c + n u b ≠ 0 thì (*) ⇔ x = − b  ∆ = b 2 − 4ac N u a ≠ 0 thì (1) là phương trình b c hai có bi t th c   ∆′ = b′ − ac; ( b′ = 2b ) 2  −b ± ∆ −b ± b 2 − 4ac + n u ∆ > 0 thì (1) có hai nghi m phân bi t x1;2 = = . 2a 2a −b + n u ∆ = 0 thì (1) có nghi m kép x = . 2a + n u ∆ = 0 thì (1) vô nghi m. b) H th c Vi-ét:  b  S = x1 + x2 = − a  Khi (1) có hai nghi m phân bi t x1 và x2 thì ta có h th c Vi-ét:  P = x x = c   1 2 a M t s các k t qu c n lưu ý: x12 + x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = S 2 − 2 P 2 2 x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = S 3 − 3SP 3 3 3 ( ) ( ) 2 2 x14 + x2 = x12 + x2 4 2 − 2 x12 x2 = S 2 − 2 P 2 − 2P2 ( x1 − x2 )2 = ( x1 + x2 )2 − 4 x1 x2 = S 2 − 4 P c) Tính ch t nghi m c a phương trình b c hai:  b 2 − 4ac > 0  ∆ > 0  −b Phương trình có hai nghi m dương phân bi t khi  ⇔  S = x1 + x2 = >0  x1 ; x2 > 0  a  c  P = x1 x2 = a > 0   b 2 − 4ac > 0  ∆ > 0  −b Phương trình có hai nghi m âm phân bi t khi  ⇔  S = x1 + x2 = 0  Phương trình có hai nghi m trái d u ⇔ ac < 0. Phương trình có hai nghi m phân bi t và u l n hơn α khi  b 2 − 4ac > 0 b 2 − 4ac > 0 ∆ > 0   ∆ > 0   −b  −b  ⇔  x1 + x2 > 2α ⇔  S = x1 + x2 = > 2α ⇔  S = x1 + x2 = > 2α  x1 ,x2 > α  x −α x −α >0  a  a ( 1 )( 2 )  x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α 2 > 0 c b   a + α. a + α > 0 2  H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  5. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Phương trình có hai nghi m phân bi t và u nh hơn α khi  b 2 − 4ac > 0 b 2 − 4ac > 0 ∆ > 0   ∆ > 0   −b  −b  ⇔  x1 + x2 < 2α ⇔  S = x1 + x2 = < 2α ⇔  S = x1 + x2 = < 2α  x1 ,x2 < α  x −α x −α >0  a  a ( 1 )( 2 )  x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α 2 > 0 c b   a + α. a + α > 0 2  ∆ > 0 ∆ > 0  ∆ > 0  Phương trình có hai nghi m phân bi t và u khác α khi  ⇔ ⇔ 2  x1 ; x2 ≠ α  g ( α ) ≠ 0  aα + bα + c ≠ 0   Phương trình có m t nghi m và nghi m này l n hơn α khi  ∆ = 0  ∆ = 0  ∆ = 0  ∆ = 0       x1 = x2 = −b > α   x1 = x2 = −b > α   x = x = −b > α   x = x = −b > α    1  1  2a ⇔  2 ⇔  2  2a 2a 2a ⇔     ∆ > 0   ∆ > 0  ∆ > 0   ∆ > 0   c    x1 < α < x2  ( x1 − α )( x2 − α ) < 0  x x − α ( x + x ) + α2 < 0 b   + α. + α < 0 2    1 2  1 2  a a Phương trình có m t nghi m và nghi m này nh hơn α khi  ∆ = 0  ∆ = 0  ∆ = 0  ∆ = 0         x = x2 = −b < α  −b   x =x = −b   x =x = −b  x1 = x2 = 0   ∆ > 0   c   x1 < α < x2  ( x1 − α )( x2 − α ) < 0  x x − α ( x + x ) + α2 < 0 b   + α. + α < 0 2     1 2 1 2  a a Ví d 1: Cho phương trình ( m + 1) x 2 + 4mx + 2m + 3 = 0, (1) a) Gi i và bi n lu n phương trình ã cho. b) Tìm m phương trình có hai nghi m dương phân bi t. c) Tìm m phương trình có hai nghi m phân bi t, và c hai nghi m u nh hơn −1. Hư ng d n gi i : a) Gi i và bi n lu n phương trình. 5 N u m + 1 = 0 ⇔ m = −1 thì (1) ⇔ −4 x − 5 = 0 ⇔ x = − . 4 N u m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 thì (1) là phương trình b c hai có ∆′ = 4m 2 − ( m + 1)( 2m + 3) = 2m 2 − 5m − 3 1 + N u ∆′ < 0 ⇔ 2m 2 − 5m − 3 < 0 ⇔ − < m < 3 thì (1) vô nghi m. 2 m = 3 b′ −2m +N u ∆ ′ = 0 ⇔ 2m 2 − 5m − 3 = 0 ⇔  thì (1) có nghi m kép x = − = . m = − 1 a m +1  2 m > 3 + N u ∆ ′ > 0 ⇔ 2m 2 − 5m − 3 > 0 ⇔  thì (1) có 2 nghi m phân bi t m < − 1  2 −2m ± 2m 2 − 5m + 3 x1;2 = . m +1 m > 3 b) Phương trình (1) có hai nghi m phân bi t khi ∆′ > 0 ⇔ 2m 2 − 5m − 3 > 0 ⇔  m < − 1 ( *)  2 G i hai nghi m phân bi t là x1 ; x2 v i x2 > x1. H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  6. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95  b 4m  x1 + x2 = − a = m + 1  Theo nh lí Vi-ét ta có   x x = c = 2m + 3  1 2 a m +1   4m −1 < m < 0  x1 + x2 > 0 − m + 1 > 0   m > −1   Hai nghi m u dương khi  ⇔ ⇔   vno . →  x1 x2 > 0  2m + 3 >0 m < − 3  m +1    2 c) Hai nghi m u nh hơn −1 khi  2m + 3 4 m  −m + 4 −1 < m < 4    m +1 − m +1 +1 > 0  m +1 > 0 ( x1 + 1)( x2 + 1) > 0  x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 1 > 0     ⇔  ⇔ ⇔ m > 1 ⇔ 1 < m < 4.  x1 + x2 < −2   x1 + x2 < −2  − 4m < −2  4 m − 2 > 0   m < −1   m +1  m +1  i chi u v i i u ki n (*) v t n t i hai nghi m phân bi t ta ư c 3 < m < 4 là giá tr c n tìm. ( ) Ví d 2: Cho phương trình ( x + 2 ) x 2 + mx − 2m + 1 = 0, (1) . a) Tìm m phương trình có ba nghi m phân bi t. b) Tìm m phương trình có ba nghi m phân bi t, trong ó có hai nghi m âm. c) Tìm m phương trình có ba nghi m phân bi t x1; x2; x3 th a mãn x1 + x2 + x3 < 7. 2 2 2 Hư ng d n gi i :  x = −2 a) Ta có (1) ⇔   g ( x) = x + mx − 2m + 1 = 0, ( 2 ) 2  Phương trình (1) có ba nghi m phân bi t khi phương trình (2) có hai nghi m phân bi t và khác −2.   m > −4 + 2 5  ∆ g > 0  m − 4 (1 − 2m ) > 0  2 m2 + 8m − 4 > 0   m < −4 − 2 5 i u ó x y ra khi  ⇔ ⇔ ⇔  (*)  g (−2) ≠ 0 4 − 2m − 2m + 1 ≠ 0 4m ≠ 5    5 m ≠  4   m > −4 + 2 5   V y v i   m < −4 − 2 5 thì phương trình ã cho có 3 nghi m phân bi t.  5 m ≠  4 b) Do nghi m x = −2 < 0 nên (1) có 3 nghi m trong ó 2 nghi m âm thì (2) ph i có hai nghi m trái d u. 1 T ó ta có P < 0 ⇔ 1 − 2m < 0 ⇔ m > . 2 Giá tr này th a mãn i u ki n (*) nên là giá tr c n tìm. c) Không m t tính t ng quát, gi s x1 = −2. Khi ó x2 ; x3 là hai nghi m phân bi t c a (2).  x2 + x3 = −m Theo nh lí Vi-ét ta ư c   x2 x3 = 1 − 2m Khi ó x12 + x2 + x3 < 7 ⇔ 4 + ( x2 + x3 ) − 2 x2 x3 < 7 ⇔ m 2 − 2 (1 − 2m ) − 3 < 0 ⇔ m 2 + 4m − 5 < 0 ⇔ −5 < m < 1. 2 2 2 K t h p v i i u ki n (*) ta ư c −4 + 2 5 < m < 1 là giá tr c n tìm. BÀI T P LUY N T P: Bài 1: Cho phương trình ( m − 1) x 2 − 2mx + m + 1 = 0. a) Ch ng minh r ng phương trình luôn có hai nghi m phân bi t v i m i giá tr c a m ≠ 1. b) Xác nh giá tr c a m phương trình có tích hai nghi m b ng 5, t ó hãy tính t ng hai nghi m c a phương trình. H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  7. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 x1 x2 5 c) Tìm m phương trình có nghi m x1, x2 tho mãn h th c + + = 0. x2 x1 2 Bài 2: Cho hàm s y = (x – 1)(x2 + mx + m). a) V i m = 2, tính y’ và gi i phương trình y’ = 0. b) Tìm m ti p tuy n t i i m có hoành x = −1 song song v i ư ng th ng d: y = −2x − 3 c) Tìm m phương trình y = 0 có ba nghi m phân bi t x1; x2; x3 th a mãn x12 + x2 + x3 < 4. 2 2 d) Tim m phương trình y = 0 có ba nghi m phân bi t, trong ó có m t nghi m l n hơn 2. Bài 3: Cho phương trình mx2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0. a) Tìm m phương trình có nghi m. b) Tìm m phương trình có 2 nghi m trái d u. Khi ó trong hai nghi m, nghi m nào có giá tr tuy t il n hơn? c) Xác nh m các nghi m x1, x2 c a phương trình tho mãn x1 + 4x2 = 3. d) Tìm m t h th c gi a x1, x2 mà không ph thu c vào m. Bài 4: Cho phương trình x 2 − mx + m − 1 = 0 , (v i m là tham s ). a) Ch ng t r ng phươnh trình có nghi m x1, x2 v i m i m. Tính nghi m kép (n u có) c a phương trình và giá tr c a m tương ng b) t A = x12 + x2 − 6 x1 x2 . 2 Ch ng minh A = m2 – 8m + 8. Tìm m A = 8, Tìm giá tr nh nh t c a A và giá tr c a m tương ng. c) Tìm m sao cho phương trình có nghi m này b ng hai l n nghi m kia. d) Tim m phương trình có hai nghi m u l n hơn 1. Bài 5: Cho phương trình ( x − 1) ( x 2 + 2mx + m − 3) = 0. a) Tìm m phương trình có ba nghi m phân bi t. b) Tìm m phương trình có ba nghi m phân bi t u dương. c) Tìm m phương trình có ba nghi m phân bi t x1; x2; x3 th a mãn x12 + x2 + x3 = 15. 2 2 d) Tìm m phương trình có ba nghi m phân bi t, trong ó có hai nghi m âm. H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  8. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Bài 1: C C TR C A HÀM S D NG 1. C C TR C A HÀM A TH C B C BA Xét hàm s b c ba : y = ax 3 + bx 3 + cx + d ⇒ y′ = 3ax 2 + 3bx + c D NG 1. TÌM I U KI N V S C C TR C A HÀM S c N u a = 0 thì y′ = 3bx + c  y ′ = 0 ⇔ x = − → 3b Trong trư ng h p này hàm s có 1 c c tr . N ua≠0: + Hàm s không có c c tr khi y′ không i d u, t c là phương trình y′ = 0 vô nghi m ho c có nghi m kép, t c là ∆ ≤ 0. + Hàm s có 2 i m c c tr khi y′ i d u hai l n, t c là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân bi t. T ó ta có i u ki n hàm s có hai c c tr là ∆ > 0. V y, v i hàm b c ba thì hàm s ch có hai c c tr ho c không có c c tr . 1 Ví d 1: Bi n lu n s c c tr c a hàm s y = x 3 + (1 − m ) x 2 − mx − 1 tùy theo giá tr c a tham s m. 3 Hư ng d n gi i: Ta có y′ = x 2 + 2 (1 − m ) x + m. Hàm s không có c c tr khi y′ không i d u trên mi n xác nh (hay hàm s luôn ng bi n ho c ngh ch bi n trên mi n xác nh), i u ó x y ra khi y′ = 0 vô nghi m ho c có nghi m kép. 3− 5 3+ 5 T ó ta có i u ki n ∆′ ≤ 0 ⇔ (1 − m ) − m ≤ 0 ⇔ m 2 − 3m + 1 ≤ 0 ⇔ ≤m≤ 2 . 2 2 Hàm s có hai c c tr khi y′ i d u trên mi n xác nh, i u ó x y ra khi y′ = 0 có hai nghi m phân bi t.  3+ 5 m > 2 ⇔ ∆ > 0 ⇔ m 2 − 3m + 1 > 0 ⇔   3− 5 m <  2 K t lu n : 3− 5 3+ 5 - Hàm s không có c c tr khi ≤m≤ 2 2 3+ 5 3− 5 - Hàm s có hai c c tr khi m ≥ ; m≤ . 2 2 Ví d 2: Bi n lu n s c c tr c a hàm s y = mx 3 + ( m − 2 ) x 2 + 2mx + 3 − m tùy theo giá tr c a tham s m. Hư ng d n gi i: Ta có y′ = 3mx + 2 ( m − 2 ) x + 2m. 2 TH1 : m = 0. Khi ó y ′ = −4 x; y ′ = 0 ⇔ x = 0 , trong trư ng h p này hàm s có m t c c tr . TH2 : m ≠ 0. m ≠ 0   −2 + 2 6 m ≠ 0 m ≠ 0   m ≥ −2 + 2 6 m ≥   5 Hàm s không có c c tr khi  ⇔ ⇔ 5 ⇔  ∆′ ≤ 0 5m 2 + 4m − 4 ≥ 0     −2 − 2 6  m ≤   m ≤ −2 − 2 6  5   5 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  9. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Hàm s có hai c c tr khi y′ = 0 có hai nghi m phân bi t  −2 − 2 6 −2 + 2 6 m ≠ 0 m ≠ 0   0 5m + 4m − 4 < 0  m ≠ 0   K t lu n : −2 + 2 6 −2 − 2 6 - Hàm s không có c c tr khi m ≥ ;m≤ . 5 5 - Hàm s có m t c c tr khi m = 0.  −2 − 2 6 −2 + 2 6  0, (*) + Tìm i u ki n c a tham s c c tr có tính ch t K nào ó ch ng h n. + i chi u giá tr tìm ư c v i i u ki n (*) ư c k t lu n cu i cùng. Ta xét m t s d ng tính ch t i n hình. Tính ch t 1: Hàm s tc c i, c c ti u t i i m x = xo Cách 1 (s d ng b ng bi n thiên) : + Hàm s t c c tr t i x = xo ⇔ y′ ( xo ) = 0  m. → + V i m tìm ư c, thay vào hàm s r i kh o sát, t b ng bi n thiên ta có k t lu n v hàm s tc c i, hay c c ti u t i i m xo hay không. Cách 2 (s d ng i u ki n c n, i u ki n ; hay y’’) :  y ′ ( xo ) = 0  + Hàm s tc c i t i x = xo ⇔   m. →  y ′′ ( xo ) < 0   y ′ ( xo ) = 0  + Hàm s t c c ti u t i x = xo ⇔   m. →  y ′′ ( xo ) > 0   y ′ ( xo ) = 0  Chú ý: Hàm s t c c tr t i x = xo ⇔   y ′′ ( xo ) ≠ 0  1 3 Ví d m u: Cho hàm s y= x − ( m + 2) x 2 − mx + 1. 3 a) Tìm m hàm s có c c i, c c ti u. b) Tìm m hàm s t c c i t i t i x = 0. H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  10. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 c) Tìm m hàm s t c c ti u t i x = 2. Hư ng d n gi i : Ta có y′ = x − 2(m + 2) x − m ⇒ y′′ = 2 x − 2 ( m + 2 ) . 2  m > −1 a) Hàm s có c c tr khi phương trình y′ = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ ∆′ > 0 ⇔ m 2 + 5m + 4 > 0 ⇔   m < −4 b) Tìm m hàm s t c c i t i t i x = 0. Cách 1: + Hàm s t c c i t i x = 0 thì y ′ ( 0 ) = 0 ⇔ m = 0. x = 0 + V i m = 0 thì ta có y′ = x 2 − 4 x = 0 ⇔  x = 4 Ta có b ng bi n thiên: x −∞ 0 4 +∞ y’ + 0 − 0 + C +∞ y −∞ CT T b ng bi n thiên ta th y hàm s ã cho t c c i t i x = 0. V y m = 0 là giá tr c n tìm. Cách 2:  y′ ( 0 ) = 0  m = 0 Hàm s tc c it i x=0⇔ ⇔ ⇔m=0  y′′ ( 0 ) < 0 −2(m + 2) < 0  V y m = 0 thì hàm s ã cho t c c i t i x = 0. c) Tìm m hàm s t c c ti u t i t i x = 2. Cách 1: 4 + Hàm s t c c ti u t i x = 2 thì y ′ ( 2 ) = 0 ⇔ 4 − 4(m + 2) − m = 0 ⇔ 5m = −4 ⇔ m = − . 5 x = 2 4  4 4 12 4 + V i m = −  y′ = x 2 − 2  2 −  x + ⇔ y′ = x 2 − x + = 0 ⇔  → 5  5 5 5 5 x = 2   5 Ta có b ng bi n thiên: x 2 −∞ 2 +∞ 5 y’ + 0 − 0 + C +∞ y −∞ CT T b ng bi n thiên ta th y hàm s ã cho t c c ti u t i x = 2. 4 V y m = − là giá tr c n tìm. 5 Cách 2:   y′ ( 2) = 0  4 5m + 4 = 0 m = − 4 Hàm s t c c ti u t i x = 2 ⇔  ⇔ ⇔ 5 ⇔m=− .  y ′′ ( 2 ) > 0  −2m > 0 m < 0 5  4 V y m = − thì hàm s ã cho t c c ti u t i x = 2. 5 BÀI T P LUY N T P: Cho hàm s y = − x3 + (2m − 1) x 2 + 2mx − 3. a) Tìm m hàm s có c c i, c c ti u. b) Tìm m hàm s t c c ti u t i t i x = −1. c) Tìm m hàm s t c c i t i x = 3. H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  11. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Tính ch t 2: Các i m c c tr có hoành cùng dương, cùng âm, cùng l n hơn ho c nh hơn α cho trư c. Hai i m phân bi t c c tr cùng có hoành dương.  −B >0  S = x1 + x2 > 0  A  Khi ó ta có x2 > x1 > 0   → ⇔  P = x1 x2 > 0 C > 0 A  Hai i m c c tr cùng có hoành âm.  −B  S = x1 + x2 < 0  A 0 C > 0 A  Hai i m c c tr có hoành trái d u. C Khi ó ta có x1 < 0 < x2 ⇔ P = x1 x2 < 0 ⇔ 0  − α  +α >0 ( x1 − α )( x2 − α ) > 0  1 2  A  A  Khi ó ta có x2 > x1 > α ⇔  ⇔  −B ⇔  x1 + x2 > 2α   > 2α  − B > 2α  A  A  Hai i m c c tr cùng có hoành nh hơn α. C  −B  2  x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α 2 > 0  − α  +α >0 ( x1 − α )( x2 − α ) > 0   A  A  Khi ó ta có x1 < x2 < α ⇔  ⇔  −B ⇔  x1 + x2 < 2α   < 2α  − B < 2α  A  A  Hai i m c c tr có hoành th a mãn x1 < α < x2. C  −B  2 Khi ó ta có x1 < α < x2 ⇔ ( x1 − α )( x2 − α ) < 0 ⇔ x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α 2 < 0 ⇔ − α +α ⇔ ∆′ > 0 ⇔ (m − 1)2 + 9m > 0 ⇔ m 2 + 7 m + 1 > 0 ⇔  2 ( *)  −7 − 3 5 m <  2 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  12. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95  −7 + 3 5 m > 2 V yv i  thì hàm s ã cho có c c i, c c ti u.  −7 − 3 5 m <  2 b) G i x1 ; x2 là hoành i m c c i, c c ti u. Khi ó x1 ; x2 là hai nghi m c a phương trình y′ = 0.  2(1 − m)  x1 + x2 = Theo nh lí Vi-ét ta ư c  3  x1 x2 = − m  1 1 x +x 2(1 − m) −1 ± 13 Ta có + = 2 x1 x2 ⇔ 1 2 = 2 x1 x2 ⇔ = 2m 2 ⇔ 3m 2 + m − 1 = 0 ⇔ m = . x1 x2 x1 x2 3 6 −1 + 13 i chi u v i i u ki n (*) ta ư c m = là giá tr c n tìm. 6 c) G i x1 ; x2 là hoành i m c c i, c c ti u. Khi ó x1 ; x2 là hai nghi m c a phương trình y′ = 0.  2(1 − m) x + x = Theo nh lí Vi-ét ta ư c  1 2 3  x1 x2 = − m   x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) + 4 > 0  4(1 − m) ( x1 − 2 )( x2 − 2 ) > 0   −m − +4>0 Theo bài ta có x2 > x1 > 2 ⇔  ⇔  2(1 − m) ⇔ 3  x1 + x2 > 4   >4 1 − m > 6  3  m + 8  > 0 m > −8 ⇔ 3 ⇔ ⇔ −8 < m < −5. m < −5 m < −5  −7 − 3 5 i chi u v i i u ki n (*) ta ư c −8 < m < là giá tr c n tìm. 2  1 − m − ∆′  x = x1 = d) Ta có y′ = 0 ⇔ 3x 2 + 2(m − 1) x − 3 = 0 ⇔  6  x1 < x2 →  1 − m + ∆′  x = x2 =  6 B ng bi n thiên x −∞ x1 x2 +∞ y’ + 0 − 0 + C +∞ y −∞ CT 1 − m − ∆′ Ta th y hàm s tc c i t i i m có hoành x1 = 6 1 − m − ∆′ −m − 5 ≥ 0  Theo bài ta có x1 = > 1 ⇔ 1 − m − ∆′ > 6 ⇔ ∆′ < − m − 5 ⇔   ∆′ < ( − m − 5 ) 2 6  m ≤ −5  m ≤ −5 ⇔ 2 ⇔ ⇔ −8 < m ≤ −5. m + 7m + 1 < m + 10m + 25 3m > −24 2  −7 − 3 5 i chi u v i i u ki n (*) ta ư c −8 < m < là giá tr c n tìm. 2 Ví d 2: Cho hàm s y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x − m . Tìm m hàm s tc c i, c c ti u t i x1 ; x2 th a mãn x1 − x2 ≤ 2. Hư ng d n gi i: Ta có y′ = 3x − 6(m + 1) x + 9. 2 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  13. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Hàm s tc c i, c c ti u t i x1; x2 khi y′ = 0 có hai nghi m phân bi t x1 ; x2 ⇔ ∆′ > 0  m > −1 + 3 ⇔ (m + 1)2 − 3 > 0 ⇔  ( *)  m < −1 − 3   x1 + x2 = 2(m + 1) Theo nh lý Vi-et ta có   x1 x2 = 3 Khi ó: x1 − x2 ≤ 2 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 ≤ 4 ⇔ 4 ( m + 1) − 12 ≤ 4 ⇔ (m + 1) 2 ≤ 4 ⇔ −3 ≤ m ≤ 1 2 2  −3 ≤ m < −1 − 3 i chi u v i i u ki n (*) ta ư c  là các giá tr c n tìm.  −1 + 3 < m ≤ 1  Ví d 3: Cho hàm s y = x 3 + (1 − 2m ) x 2 + (2 − m ) x + m + 2. 1 Tìm m hàm s tc c i, c c ti u t i x1 ; x2 th a mãn x1 − x2 > . 3 Hư ng d n gi i: Ta có y ′ = 3x2 + 2(1 − 2m) x + 2 − m. Hàm s t c c i, c c ti u t i x1; x2 khi y′ = 0 có hai nghi m phân bi t x1; x2  5 m> ⇔∆ ′ = (1 − 2m) 2 − 3(2 − m) = 4m 2 − m − 5 > 0 ⇔  4 ( *)   m < −1  2(1 − 2m)  x1 + x2 = −  3 Theo nh lý Vi-et ta có  . x x = 2−m  1 2  3 1 1 Khi ó x1 − x2 > ⇔ ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 > ⇔ 4(1 − 2m)2 − 4(2 − m) > 1 2 2 3 9  3 + 29 m > 8 ⇔ 16m 2 − 12m − 5 > 0 ⇔   3 − 29 m <  8  3 + 29 i chi u v i i u ki n (*) ta ư c m > là các giá tr c n tìm.  8  m < −1  1 3 1 Ví d 4: Cho hàm s y= x − ( m − 1) x 2 + 3( m − 2) x + . 3 3 Tìm m hàm s t c c i, c c ti u t i x1 ; x2 th a mãn x1 + 2 x2 = 1. Hư ng d n gi i: Ta có y′ = x 2 − 2(m − 1) x + 3(m − 2). Hàm s tc c i, c c ti u t i x1; x2 khi y′ = 0 có hai nghi m phân bi t x1; x2 ⇔ ∆′ = m 2 − 5m + 7 > 0, ∀m  x1 + x2 = 2(m − 1) 1 − 2 x2 + x2 = 2(m − 1)  x = 3 − 2m    2 Khi ó ta có  x1 x2 = 3(m − 2) ⇔  x1 x2 = 3(m − 2) ⇔  x1 = 1 − 2(2 − 2m) = 4m − 3  x1 + 2 x2 = 1   x1 + 2 x2 = 1   x1 x2 = 3(m − 2) ⇒ ( 3 − 2m )( 4m − 3) = 3m − 6  −4 ± 34 −4 ± 34 ⇔ 8m 2 + 16m − 9 = 0 ⇔ m = . V y m= là các giá tr c n tìm. 4 4 Ví d 5: Cho hàm s y = x 3 + (1 – 2m ) x 2 + (2 – m ) x + m + 2. Tìm m hàm s có c c i, c c ti u ng th i hoành i m c c ti u nh hơn 1. Hư ng d n gi i: Ta có y′ = 3x 2 + 2(1 − 2m) x + 2 − m = g ( x). Do h s a = 3 > 0 nên yêu c u bài toán tr thành y′ = 0 có hai nghi m phân bi t x1; x2 th a mãn H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  14. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 ∆′ = 4m 2 − m − 5 > 0  5 7 x1 < x2 < 1 ⇔  g (1) = −5m + 7 > 0 ⇔ < m <  4 5  S = 2m − 1 < 1 2  3 Ví d 6: Cho hàm s y = 4 x 3 + mx 2 – 3 x . Tìm m hàm s t c c i, c c ti u t i x1 ; x2 th a mãn x1 = −4 x2 . Hư ng d n gi i:   x1 = −4 x2   m 9 Ta có y′ = 12 x + 2mx − 3 ⇒ ∆′ = m + 36 > 0. Khi ó  x1 + x2 = −  m = ± . 2 2 →  6 2  1  x1 x2 = − 4  BÀI T P LUY N T P: Bài 1: Cho hàm s y = x3 + (m + 2) x 2 − (m − 1) x + 2. a) Tìm m hàm s có c c i, c c ti u. b) Tìm m hàm s t c c ti u t i t i x = 3. c) Tìm m hàm s t c c i, c c ti u t i x1 ; x2 th a mãn x12 + x2 < 10. 2 d) Tìm m hàm s t c c i, c c ti u t i các i m có hoành u nh hơn −1. Bài 2: Cho hàm s y = 2 x − 3 ( m + 3) x + 6 ( 5m + 1) x − 4m − 1. 3 2 3 a) Tìm m hàm s có c c i, c c ti u. b) Tìm m hàm s có hai i m c c tr có hoành u nh hơn 2. Bài 3: Tìm m hàm s y = x + (1 − 2m ) x + ( 2 − m ) x + m + 2 có hai i m c c i, c c ti u ng th i hoành 3 2 i m c c ti u nh hơn 2. Bài 4: Cho hàm s y = x3 + ( m + 1) x 2 + ( m2 + 4m + 3) x + m + 2. G i x1, x2 là hoành d hai i m c c tr c a hàm 2 3 s . a) Tìm m hàm s t c c tr t i ít nh t m t i m có hoành l n hơn 1. b) Tìm m sao cho bi u th c P = x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) t giá tr nh nh t. 1 Bài 5: Cho hàm s y = x3 + mx 2 + (m + 6) x − 1. 3 Tìm giá tr c a m a) hàm s có c c tr . 1 1 x1 + x1 b) hàm s tc c i, c c ti u t i x1, x2 th a mãn + = . x1 x2 3 c) hàm s t c c i t i i m có hoành x = 1. d) hàm s t c c ti u t i i m có hoành x = 0. Tính ch t 4: Các c c tr n m cùng phía, khác phía v i các tr c t a . + Các i m c c tr n m cùng phía v i tr c Oy khi y′ = 0 có hai nghi m phân bi t cùng d u. + Các i m c c tr n m khác phía v i tr c Oy khi y′ = 0 có hai nghi m trái d u. + Các i m c c tr n m khác phía v i tr c Ox khi th c t tr c Ox t i ba i m phân bi t ho c hàm s có c c tr v i yC .yCT < 0. + Các i m c c tr n m cùng phía v i tr c Ox khi th c t tr c Ox t i m t i m ho c hàm s có c c tr v i yC .yCT > 0. Ví d 1: Cho hàm s y = x 3 + 3 x 2 + mx + m – 2 , v i m là tham s . Tìm m hàm s có c c i, c c ti u và các i m c c i, c c ti u n m v hai phía c a tr c hoành. Hư ng d n gi i: Ta có y′ = 3x + 6 x + m , hàm s có c c i, c c ti u khi phương trình y′ = 0 có hai nghi m phân bi t. 2 T c là ∆′ = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3. H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  15. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95  x = −1 Phương trình hoành giao i m c a (Cm) và Ox: x3 + 3x 2 + mx + m – 2 = 0 ⇔   g ( x) = x + 2 x + m − 2 = 0, (1) 2 Hàm s có 2 i m c c tr n m v 2 phía i v i tr c Ox khi (1) có 2 nghi m phân bi t khác –1  ′ Ta có i u ki n  ∆ = 3 − m > 0 ⇔ m 0 ⇔ ( 2m + 1) − 3 m2 − 3m + 2 > 0 2 )  −13 + 3 21 m > 2 ⇔ m 2 + 13m − 5 > 0 ⇔   −13 − 3 21 m <  2 Hàm s có các i m c c i, c c ti u n m v hai phía c a tr c tung khi y′ = 0 có hai nghi m trái d u ( ) 3 m 2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2. K t h p i u ki n ta ư c 1 < m < 2 th a mãn yêu c u bài toán. 1 Ví d 3: Cho hàm s y = x 3 − mx 2 + (2m − 1) x − 3 , v i m là tham s . 3 Tìm m hàm s có c c i, c c ti u và các i m c c i, c c ti u n m v cùng m t phía c a tr c tung. Hư ng d n gi i: Ta có y ′= x 2 − 2mx + 2m − 1 Hàm s có c c i, c c ti u khi y′ = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ ∆′ > 0 ⇔ m2 − 2m + 1 > 0 ⇔ m ≠ 1 Hàm s có các i m c c i, c c ti u n m v cùng m t phía c a tr c tung khi phương trình y′ = 0 có hai nghi m 1 cùng d u ⇔ ac > 0 ⇔ 2m − 1 > 0 ⇔ m > . 2 1 K t h p i u ki n ta ư c < m ≠ 1 th a mãn yêu c u bài toán. 2 Tính ch t 5: Các bài toán c c tr khi y′ = 0 gi i ư c nghi m ‘ p’ b Khi phương trình y′ = 0 có ∆ = ( ax + b ) thì i u ki n hàm s có c c tr là ∆ > 0 ⇔ ( ax + b ) > 0 ⇔ x ≠ − . 2 2 a  x = x1 Khi ó, y′ = 0 ⇒  và s d ng yêu c u c a bài gi i ra tham s .  x = x2 Ví d 1: Cho hàm s y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − m 3 + m. Tìm giá tr c a m hàm s có c c tr . Khi ó, tìm m kho ng cách t i m c c i ng ct a b ng 2 l n kho ng cách t i m c c ti u n g c t a O. Hư ng d n gi i : Ta có y ′ = 3x − 6mx + 3(m − 1) ⇒ y ′ = 0 ⇔ x − 2mx + m 2 − 1 = 0 2 2 2 Hàm s có c c i, c c ti u khi y′ = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ ∆′ = 1 > 0, ∀m  x = m − 1 ⇒ A ( m − 1;2 − 2m ) Khi ó y′ = 0 ⇔   x = m + 1 ⇒ B ( m + 1; −2 − 2m )  Do h s a = 1 > 0 và m + 1 > m − 1 nên A là i m c c i và B là i m c c ti u c a hàm s .  m = −3 + 2 2 Theo bài ta có OA = 2OB ⇔ m 2 + 6m + 1 = 0 ⇔   m = −3 − 2 2  V y m = −3 ± 2 2 là các giá tr c n tìm. H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  16. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 1 3 ( 3m − 1 ) x 2 Ví d 2: Cho hàm s y= x − + (3m − 2) x + m − 1. 3 2 Tìm giá tr c a m a) hàm s có c c i, c c ti u. b) hàm s t c c i, c c ti u t i các i m có hoành l n hơn 2. c) hàm s t c c i, c c ti u t i các i m có hoành x1 ; x2 th a mãn x1 + x2 > 28 3 3 d) hàm s tc c i, c c ti u t i các i m có hoành x1 ; x2 th a mãn 2 x1 + x2 = 12 2 2 Hư ng d n gi i : Ta có y′ = x − ( 3m − 1) x + 3m − 2 ⇒ y ′ = 0 ⇔ x 2 − ( 3m − 1) x + 3m − 2 = 0. 2 a) Hàm s có c c i, c c ti u khi y′ = 0 có hai nghi m phân bi t. Ta có i u ki n ∆ > 0 ⇔ ( 3m − 1) − 4. ( 3m − 2 ) > 0 ⇔ 9m2 − 18m + 9 > 0 ⇔ m ≠ 1 2  3m − 1 − 3 ( m − 1) x = =1 b) V i m ≠ 1 ⇒ y ′ = 0 ⇔  2  3m − 1 + 3 ( m − 1) x = = 3m − 1  2 Hoành các i m c c i, c c ti u l n hơn 2 khi 3m − 1 > 2 ⇔ m > 1. V y v i m > 1 thì hàm s ã cho có c c i, c c ti u và hoành c c i, c c ti u l n hơn 2. 4 c) Ta có x1 + x2 > 28 ⇔ 1 + ( 3m − 1) > 28 ⇔ 3m − 1 > 3 ⇔ m > . 3 3 3 3 d) Do vai trò bình ng c a x1 ; x2 nên ta có hai trư ng h p x y ra 1 ± 10 V i x1 = 1; x2 = 3m − 1 ⇒ 2 x12 + x2 = 12 ⇔ 2 + ( 3m − 1) = 12 ⇔ 3m − 1 = ± 10  m = 2 2 → 3 1 ± 10 K t h p v i i u ki n t n t i c c tr ta ư c m = . 3 22 2 ± 22 V i x1 = 3m − 1; x2 = 1 ⇒ 2 x12 + x2 = 12 ⇔ 2 ( 3m − 1) + 1 = 12 ⇔ 3m − 1 = ± 2 2  m = → 2 6 2 ± 22 K t h p v i i u ki n t n t i c c tr ta ư c m = . 6 Ví d 3: Cho hàm s y = x3 + 3 x2 + m Tìm m hàm s tc c i, c c ti u t i các i m A, B sao cho AOB = 1200. Hư ng d n gi i : x = 0 ⇒ y = m Ta có y ′ = 3x 2 + 6 x ⇒ y ′ = 0 ⇔   x = −2 ⇒ y = m + 4 V y hàm s có hai i m c c tr A(0 ; m) và B(−2 ; m + 4). 1 Ta có OA = (0; m), OB = (−2; m + 4). AOB = 1200 ⇒ cos AOB = − 2 m(m + 4) −4 < m < 0 = − ⇔ m 2 ( 4 + (m + 4) 2 ) = −2m(m + 4) ⇔  2 1 ⇔ m ( 4 + (m + 4) ) 2 2 2 3m + 24m + 44 = 0 −4 < m < 0  −12 + 2 3 2 ⇔ −12 ± 2 3 ⇔ m = = −4 +  m= 3 3  3 2 V y m = −4 + là giá tr c n tìm. 3 Ví d 4: Cho hàm s y = − x 3 + 3mx 2 − 3m − 1 Tìm m hàm s có c c i, c c ti u và các i m này i x ng nhau qua (d): x + 8y − 74 = 0. Hư ng d n gi i : x = 0 Ta có y ′ = −3 x 2 + 6mx = −3 x ( x − 2m ) ⇒ y ′ = 0 ⇔   x = 2m Hàm s có c c i, c c ti u khi y′ = 0 có hai nghi m phân bi t ⇒ m ≠ 0 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  17. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Khi dó, các i m c c tr c a hàm s là A(0; −3m − 1), B(2m;4m3 − 3m − 1) ⇒ AB(2m;4m3 ) Trung i m I c a AB có to I (m; 2m3 − 3m − 1) ư ng th ng d: ( d ) : x + 8 y − 74 = 0 có m t véc tơ ch phương u = (8; −1) . I ∈ d m + 8(2m3 − 3m − 1) − 74 = 0  A và B i x ng v i nhau qua d ⇔ ( d ) ⇔  ⇔ ⇔m=2  AB ⊥ d  AB.u = 0  V y m = 2 là giá tr c n tìm. 3m 2 Ví d 5: Cho hàm s y = x 3 − x + 3 ( m − 1) x + 1 2 Tìm m a) hàm s có c c i, c c ti u. b) hàm s t c c ti u t i i m x = 2. c) hàm s t c c i t i x = 0. d) hàm s không có c c i, c c ti u. e) ư ng th ng qua các i m c c i, c c ti u song song v i ư ng th ng d: y = 9x + 1 Hư ng d n gi i : a) Ta có y = x3 − 3m 2 2 ( ) x + 3 ( m − 1) x + 1 ⇒ y ′ = 3x 2 − 3mx + 3 ( m − 1) = 3 x 2 − mx + m − 1 Hàm s có c c i, c c ti u khi y′ = 0 có hai nghi m phân bi t. Ta có i u ki n ∆ > 0 ⇔ ( m − 2 ) > 0 ⇔ m ≠ 2. 2 V y v i m ≠ 2 thì hàm s ã cho có c c i, c c ti u.  y′(2) = 0 b) Hàm s t c c ti u t i i m x = 2 khi h sau có nghi m  , (I )  y′′(2) > 0  4 − 2m + m − 1 = 0 m = 3 Ta có y′′ = 6x – 3m, khi ó ( I ) ⇔  ⇔ ⇒m=3 12 − 3m > 0 m < 4 Giá tr m = 3 th a mãn i u ki n (*) nên là giá tr c n tìm.  y′(0) = 0 c) Hàm s t c c i t i i m x = 0 khi h sau có nghi m  , (I )  y′′(0) > 0 m − 1 = 0 m = 1 Ta có y′′ = 6x – 3m, khi ó h ( I ) ⇔  ⇔ ⇒ m =1  −3m < 0 m > 0 Giá tr m = 1 th a mãn i u ki n (*) nên là giá tr c n tìm. d) Hàm s không có c c i, c c ti u khi y′ không i d u ⇔ y′ = 0 vô nghi m ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ (m – 2)2 ≤ 0 B t phương trình trên ch có nghi m duy nh t m =2. V y v i m = 2 thì hàm s ã cho không có c c tr . e) Xét phương trình y’ = 0 ta ư c x2 – mx + m – 1 = 0  m+m−2  3m − 2  x1 = = m − 1  y1 = 2 ∆ = ( m − 2) ⇒  2 2 ⇒ x = m−m+2  3m 2 − 5m + 4 =1  y2 =  2  2  2  3m 2 − 8m + 6  G i A(x1, y1) và B(x2, y2) là các i m c c i, c c ti u. Khi ó AB =  2 − m;   2  ư ng th ng qua các i m c c i, c c ti u song song v i d : y = 9x + 1 khi 3m 2 − 8m + 6 2−m AB / / ud ⇔ 9 = 2 −1 ( ) ⇔ 2m − 4 = 9 3m 2 − 8m + 6 ⇔ 27 m 2 − 74m + 58 = 0  vno → BÀI T P LUY N T P: Bài 1: Cho hàm s y = x3 − 1 ( 2m − 1) x 2 − 2(2m + 1) x + 3. 3 2 Tìm giá tr c a m a) hàm s có c c i, c c ti u. b) hàm s t c c i, c c ti u t i các i m có hoành âm. H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  18. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 c) hàm s tc c i, c c ti u t i các i m có hoành x1 ; x2 th a mãn x1 + x2 > 17 4 4 d) hàm s tc c i, c c ti u t i các i m có hoành x1 ; x2 th a mãn 2 x1 + x2 = 12 2 2 1 ( 3m + 1) x 2 Bài 2: Cho hàm s y = x3 − − (2m 2 + m) x − 2. 3 2 Tìm giá tr c a m a) hàm s có c c i, c c ti u. b) hàm s t c c i t i i m x = 3. c) hàm s t c c i, c c ti u t i các i m có hoành x1 ; x2 th a mãn x1 − x2 = 40 2 2 d) hàm s t c c i, c c ti u ng th i các i m c c i, c c ti u n m hai phía c a tr c Oy. Bài 3: Cho hàm s y = x3 − 3mx + 2 a) Tìm m ư ng th ng i qua i m c c i, c c ti u c a hàm s c t ư ng tròn tâm I(1; 1) bán kính b ng 1 t i hai i m phân bi t A, B sao cho di n tích tam giác IAB t giá tr l n nh t. b) Tìm m hàm s có C , CT và kho ng cách t O n ư ng th ng i qua C , CT l n nh t. Tính ch t 6: Phương trình ư ng th ng qua c c i, c c ti u và m t s ng d ng i n hình L y y chia cho y′ ta ư c y = y′.g ( x) + ax + b, khi ó ư ng th ng d : y = ax + b chính là ư ng th ng i qua các i m c c i, c c ti u c a hàm s . Tác d ng l n nh t c a vi c tìm ư c phương trình ư ng th ng qua c c i, c c ti u là l y ư c tung c a chúng. Th t v y, g i M, N là các i m c c i, c c ti u thì M ( x1 ; ax1 + b ) , N ( x2 ; ax2 + b ) , trong ó x1 ; x2 là hai nghi m c a phương trình y′ = 0 và ta có th dùng Vi-et ư c. Ví d 1: Cho hàm s y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 Tìm m hàm s có c c i, c c ti u. Khi ó, hãy vi t phương trình ư ng th ng qua các i m ó. Hư ng d n gi i : Ta có y ′ = −3 x + 6mx + 3(1 − m ) ⇒ y ′ = 0 ⇔ x − 2mx + m 2 − 1 = 0 2 2 2 Hàm s có c c i, c c ti u khi y′ = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ ∆′ = 1 > 0, ∀m V y hàm s luôn có c c i, c c ti u v i m i giá tr c a m. 1 m Chia y cho y′ ta ư c y =  x −  y ′ + 2 x − m 2 + m 3 3  1 m  y1 =  3 x1 − 3  y(′x1 ) + 2 x1 − m + m 2   G i A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các i m c c tr , khi ó    y2 =  1 x2 − m  y ′ + 2 x2 − m 2 + m     3 3  ( x2 )  y = 2 x1 − m 2 + m Do y(′x1 ) = y(′x2 ) = 0 ⇒  1 ⇔ A, B ∈ ( d ) : y = 2 x − m 2 + m  y2 = 2 x2 − m + m 2 V y, phương trình ư ng th ng qua hai i m c c tr c a th hàm s ã cho là y = 2 x − m 2 + m . Ví d 2: Cho hàm s y = x 3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m hàm s có c c i, c c ti u và ư ng th ng i qua các i m c c tr song song v i ư ng th ng d: y = −4x + 3. Hư ng d n gi i : Ta có y ′ = 3x 2 − 6 x − m Hàm s có c c i, c c ti u khi y′ = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ ∆′ > 0 ⇔ 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3, (*) 1 1  2m   m Chia y cho y′ ta ư c y =  x −  y′ −  + 2 x +  2 −  3 3  3   3 G i A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các i m c c tr , khi ó phương trình ư ng th ng qua A, B là (∆) : y = −  2m m  + 2 x + 2 −  3  3   2m  −  3 + 2  = −4  Theo bài ta có d / / ∆ : y = −4 x + 3 ⇒⇔    ⇔m=3 2 − m ≠ 3   3 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  19. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 i chi u v i (*) ta ư c m = 3 là giá tr c n tìm. Ví d 3: Cho hàm s y = x 3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m hàm s có c c i, c c ti u và các i m này cách u ư ng th ng (d): y = x − 1. Hư ng d n gi i : Ta có y ′ = 3x 2 − 6 x − m Hàm s có c c i, c c ti u khi y′ = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ ∆′ > 0 ⇔ 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3, ( *) 1 1  2m   m Chia y cho y′ ta ư c y =  x −  y′ −  + 2 x +  2 −  3 3  3   3 G i A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các i m c c tr , khi ó phương trình ư ng th ng qua A, B là ( AB ) : y = −   2m m  + 2 x + 2 −  3  3 Các i m c c tr cách u ư ng th ng (d) : y = x − 1 nên x y ra 1 trong 2 trư ng h p: TH1: ư ng th ng i qua 2 i m c c tr song song ho c trùng v i ư ng th ng (d)  2m  3 ⇔ − + 2  = 1 ⇔ m = − , (th a mãn)  3  2 y + y2 x1 + x2 TH2: Trung i m I c a AB n m trên ư ng th ng ( d ) ⇔ yI = xI − 1 ⇔ 1 = −1 2 2  2m   m  2m  2m ⇔ − + 2  ( x1 + x2 ) + 2  2 −  = ( x1 + x2 ) − 2 ⇔  + 3  .2 = 6 − ⇔m=0  3   3  3  3 3 V y m = 0; m = − là các giá tr c n tìm. 2 Ví d 4: Cho hàm s y = x 3 − 3 x 2 + mx Tìm m hàm s có c c i, c c ti u và các i m này i x ng nhau qua (d): x − 2y − 5 = 0. Hư ng d n gi i : Ta có y ′ = 3x − 6 x + m 2 Hàm s có c c i, c c ti u khi y′ = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ ∆′ > 0 ⇔ 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3, (*) 1 1 2  1 Chia y cho y′ ta ư c y =  x −  y ′ +  m − 2  x + m 3 3 3  3 2  1 2 G i A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các i m c c tr , khi ó ( AB ) : y =  m − 2  x + m ⇒ k AB = m − 2 3  3 3 1 Ta có ( d ) : x − 2 y − 5 = 0 ⇒ kd = 2 1 2  A, B i x ng nhau qua (d) thì ta ph i có ( AB ) ⊥ ( d ) ⇔ k AB .kd = −1 ⇔  m − 2  = −1 ⇔ m = 0 2 3  V i m = 0 thì th có hai i m c c tr là (0; 0) và (2; –4), nên trung i m c a chúng là I(1; –2). Ta th y I ∈ (d), do ó hai i m c c tr i x ng v i nhau qua (d). V y m = 0 là giá tr c n tìm. BÀI T P LUY N T P: Bài 1: Cho hàm s y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x + m − 2 1 Tìm m hàm s có i m c c i và i m c c ti u i x ng v i nhau qua ư ng th ng ( d ) : y = x. 2 /s: m = 1 Bài 2: Cho hàm s y = x3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m hàm s có i m c c i và i m c c ti u và ư ng th ng qua các i m ó t o v i ư ng th ng ( d ) : x + 4 y − 5 = 0 m t góc 450. 1 /s: m = − . 2 Bài 3: Cho hàm s y = x3 − 3x 2 + m 2 x + m H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  20. Bài gi ng tr ng tâm Hàm s – Th y ng Vi t Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 1 5 Tìm m hàm s có c c i, c c ti u và các i m này i x ng nhau qua ư ng th ng d : y = x− 2 2 /s : m = 0 Bài 4: Cho hàm s y = x3 − 3mx 2 + 4m3 Tìm m hàm s có c c i, c c ti u và các i m này i x ng nhau qua ư ng th ng d : y = x. 2 /s : m = ± . 2 Bài 5: Cho hàm s y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x + m − 2 1 Tìm m hàm s có c c i, c c ti u và các i m này i x ng nhau qua ư ng th ng d : y = x 2 /s : m = 1 Bài 6: Cho hàm s y = x 3 − 3 x 2 + mx Tìm m hàm s có c c i, c c ti u và các i m này i x ng nhau qua ư ng th ng d : x − 2 y − 5 = 0 /s : m = 0 Bài 7: Cho hàm s y = x3 + mx 2 + 7 x + 3 Tìm m hàm s có c c i, c c ti u và ư ng th ng i qua c c i, c c ti u vuông góc v i ư ng th ng d : 3 x − y − 7 = 0. 3 10 /s : m = ± . 2 Bài 8: Cho hàm s y = x3 − 3( m − 1) x 2 + (2m 2 − 3m + 2) x − m 2 + m Tìm m hàm s có c c i, c c ti u và ư ng th ng i qua c c i, c c ti u t o v i ư ng th ng d : 4 x + y − 20 = 0 góc 450. 3 ± 15 /s : m = . 2 Bài 9: Cho hàm s y = x3 − 3 x 2 + 2 Tìm m hàm s có c c i, c c ti u và ư ng th ng i qua c c i, c c ti u ti p xúc v i ư ng tròn (C ) : ( x − m) + ( y − m − 1) = 5 . 2 2 4 /s : m = 2; m = − . 5 M TS BÀI GI I M U V C C TR HÀM B C BA CH N L C 1 3 1 Bài 1: Cho hàm s y= x − (m − 1) x 2 + 3(m − 2) x + 3 3 Tìm m hàm s có c c i, c c ti u t i x1 ; x2 sao cho x1 + 2 x2 = 1. Gi i : TX : D = R Ta có y ' = x 2 − 2 ( m − 1) x + 3 ( m − 2 ) hàm s có c c i c c ti u t i x1 ; x2 thì phương trình y ' = 0 có 2 nghi m phân bi t x1 ; x2 hay ∆ ' = ( m − 1) − 3 ( m − 2 ) = m 2 − 5m + 7 > 0 luôn úng v i m i m 2  x1 + x2 = 2 ( m − 1)  Theo nh lí Viète ta có:   x1 x2 = 3 ( m − 2 )  H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n DH Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2