zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 - Nguyễn Văn Tiến (2019)

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Báo xấu

53
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Xác suất thống kê - Chương 2: Biến ngẫu nhiên một chiều" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm và phân loại, quy luật phân phối xác suất, hệ số biến thiên, chuẩn hóa biến ngẫu nhiên. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 - Nguyễn Văn Tiến (2019)

2/14/2019 CHƯƠNG 2 2.1 Khái niệm và phân loại • Khái niệm. Biến số gọi là biến ngẫu nhiên (random BIẾN NGẪU NHIÊN variable) nếu trong kết quả của phép thử nó sẽ MỘT CHIỀU nhận một và chỉ một giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động của các nhân tố ngẫu nhiên. • Ký hiệu: X, Y, Z … hay X1,X2,… • Giá trị có thể có của bnn: chữ thường x, y, z, … • {X≤x} {Y=y} là các biến cố ngẫu nhiên. 1 2 Ví dụ 1 Phân loại bnn • X: Lượng khách vào một cửa hàng trong ngày • Y: Tuổi thọ của một chiếc điện thoại • Trả ngẫu nhiên 3 mũ bảo hiểm cho 3 người. Gọi Z: số mũ bảo hiểm được trả đúng người • T: Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mới nhập về • U: Chiều cao của một sinh viên gọi ngẫu nhiên trong lớp này 3 4 Phân loại Ví dụ 2 Biến ngẫu nhiên • Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Đặt Y là số viên bi vàng có Rời rạc Liên tục trong 2 viên lấy ra. - Giá trị lấp đầy một hay vài - Hữu hạn giá trị khoảng hữu hạn hoặc vô hạn • Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên. - Vô hạn đếm được giá - Xác suất tại từng khoảng giá • Ta có: trị trị - Xác suất tập trung tại - Xác suất không tập trung tại Y  0;1; 2 các điểm các điểm giá trị P(X=a)=0 với mọi a • “Y=0”, “Y=1”, “Y
2/14/2019 Hai biến ngẫu nhiên độc lập 2.2 Quy luật phân phối xác suất • Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập nếu hai biến cố: • Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu  X  x Y  y  nhiên và xác suất tương ứng. • Độc lập nhau với mọi giá trị của x, y. • Nói cách khác mọi biến cố liên quan đến hai biến ngẫu nhiên X, Y luôn độc lập nhau. 7 8 Luật phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất • Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu • Hàm phân phối xác suất (Cumulative Distribution nhiên và xác suất tương ứng. Function), viết tắt CDF của biến ngẫu nhiên X là • Thường gặp 3 dạng: hàm xác định: Hàm phân bố xác Rời rạc Xác suất bên trái F(x) FX ( x)  P  X  x  ;    x   suất (CDF) + Liên Tỷ lệ bên trái tục • {X≤x} : biến cố “bnn X nhận giá trị nhỏ hơn hay Hàm khối xác suất Rời rạc Xác suất tại điểm p(x) bằng x” (PMF) f(x) • Đôi khi ta còn gọi là hàm phân bố xác suất hay Hàm mật độ xác Liên tục Mật độ xác suất f(x) hàm tích lũy xác suất. suất (PDF) 9 10 Tính chất Hàm phân phối xác suất i) 0  FX  x   1, x  R ii) FX  x  là hàm không giảm, liên tục bên phải. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì F  x  là hàm liên tục trên R. iii) FX     lim FX  x   0 x FX     lim FX  x   1 x iv) P  a  X  b   FX  b   FX  a  . 11 12 2
2/14/2019 Hàm khối xác suất Bnn Rời rạc - Bảng ppxs • Probability Mass Function (PMF) • Bảng phân phối xác suất của X. pX  x   P  X  x  X x1 …. x2 …. xn • Tính chất: P p1 …. p2 …. pn i) pX  x   0 • xi : giá trị có thể có của bnn X • Dạng bảng • pi : xác suất tương ứng; ii )  p X  x   1 • Dạng đồ thị x i ) pi  p X ( xi )  P( X  xi ) iii ) P  A    p X  x  n ii )  pi  1 xA i 1 13 14 PMF và CDF PMF và CDF • Hàm phân phối xác suất được xác định như sau: FX  x   P  X  x    p x  xk  x X k 0 , x  x1 p , x1  x  x2  1 FX  x    p1  p2 , x2  x  x3 ............................................   p1  ...  pk 1 , xk 1  x  xk 15 16 Ví dụ 3 Ví dụ 3 Xét phép thử tung hai đồng xu phân biệt. X 0 1 2 Không gian mẫu là: Ω = {𝑆𝑆; 𝑆𝑁; 𝑁𝑆; 𝑁𝑁} P 1/4 1/2 1/4 Gọi X là số lần mặt sấp xuất hiện, X là bnn rời rạc. • Hàm phân phối xác suất: Hàm khối xác suất: 0 ,x  0 1/ 4 ; x  0 hay x  2 1/ 4 ,0  x  1   FX  x    p X  x   1/ 2 ;x 1 3 / 4 ,1  x  2 0 ; x  0; 1; 2 1 ,2  x  17 18 3
2/14/2019 Ví dụ 4 Ví dụ 5 • Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3 sản đạt loại A. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. phẩm xấu. Kiện 2 có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm • Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm và từ loại A lấy ra? kiện 2 ra 1 sản phẩm. • Xác định PMF, CDF? a) Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra? b) Xác định PMF, CDF 19 20 Ví dụ 6 Chú ý về BNN liên tục • Luật Benford phát biểu rằng trong một lượng rất • Nếu X là bnn liên tục thì: lớn các số thực ngoài đời, chữ số đầu tiên tuân i ) P( X  a )  0, a theo luật phân phối với 30% là số 1, 18% là số 2 và ii ) P  a  X  b   P  a  X  b  nói chung:  j 1 P  D  j   log10   , j  {1, 2,3...,9}  j  • Với D là chữ số đầu tiên của một phần tử chọn ngẫu nhiên. • Luật phân phối trên có hợp lý không? 21 22 Hàm mật độ xác suất Hàm mật độ xác suất • Probability Density Function • Viết tắt: PDF i) f  x   0 x  R  ii )  f  x  dx  1  23 24 4
2/14/2019 PDF và CDF Ví dụ 7 x • Cho biến ngẫu nhiên X có CDF dạng: F  x   f  t  dt f  x  F x  0 , x  0  F  x   kx 2 ,0  x  1 1 ,1  x f  x  • A) Xác định hệ số k • B) Tìm PDF F  x x 25 26 Ví dụ 8 2.3 Các tham số của biến ngẫu nhiên • Cho biến ngẫu nhiên X có PDF dạng: • Kỳ vọng (Expected Value) E(X) k • Phương sai (Variance) V(X), Var(X) f  x   x  1 • Độ lệch chuẩn (Standard Deviation) x2 • Mốt (Mode) m0 • A) Xác định hệ số k • Trung vị (Median) me • B) Tìm hàm CDF • Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV • C) Tính P(2
2/14/2019 Ví dụ 9 Ý nghĩa kỳ vọng • Tung một cục xúc sắc nhiều lần. Gọi X là số chấm • Là giá trị trung bình của bnn (trong một quá trình mặt ngửa của cục xúc sắc. lâu dài); phản ánh giá trị trung tâm của ppxs của • Tính kỳ vọng của X bnn • Về lâu dài (in a long run) giá trị trung bình của • Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh, nếu cần những lần tung là bao nhiêu? chọn phương án cho năng suất cao ta chọn phương án cho năng suất kì vọng cao 32 Ví dụ 10 Ví dụ 11 • Một nhân viên bán hàng có 2 cuộc hẹn trong 1 • X là tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử ngày. Với cuộc hẹn thứ nhất, khả năng thành công (ký được hợp đồng) là 0,7 và lợi nhuận dự kiến là 20.000 1000$. Với cuộc hẹn thứ 2, khả năng thành công f  x  100  x  x3 là 0,4 và lợi nhuận là 1500$. Giả sử kết quả các cuộc hẹn độc lập nhau. Lợi nhuận kỳ vọng của • Tìm tuổi thọ trung bình của loại thiết bị này. nhân viên bán hàng là bao nhiêu? 33 34 Ví dụ 12 Ví dụ 13 • Nhu cầu hàng ngày của một loại thực phẩm tươi sống ở • Cho bnn X có hàm mật độ: 1 khu vực là bnn rời rạc có ppxs: X 80 100 120 150 f  x   e x  x  0 P 0,2 0,4 0,3 0,1 • A) Kiểm tra lại tính hợp lý của PDF trên • Giả sử khu vực này chỉ có 1 cửa hàng và cửa hàng này nhập mỗi ngày 100kg thực phẩm. • B) Tính E(X) • Giá nhập là 40 ngàn/kg; bán ra là 60 ngàn/kg. Nếu thực phẩm không bán được trong ngày thì phải bán với giá • Biến ngẫu nhiên X như trên gọi là có phân phối mũ 20/kg ngàn mới hết hàng. với tham số λ. Ký hiệu: X~E(λ) • Muốn có lãi trung bình cao hơn thì cửa hàng có nên nhập thêm 20kg mỗi ngày hay không 35 36 6
2/14/2019 Ví dụ 14 Kỳ vọng của hàm của bnn • Tính kỳ vọng của bnn X rời rạc có hàm mật độ: • Cho bnn X và hàm (x). Đặt Y=(X) là bnn • Kỳ vọng toán học của Y: P X  k   p k , C k  1, 2, 3,... k2 𝜑 𝑥𝑖 𝑝 𝑥𝑖 , nếu X rời rạ𝑐 𝑖 𝐸 𝜑 𝑋 = +∞ 𝜑 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , nếu X liên tục −∞ 37 38 Ví dụ 15 Phương sai • Xét hai bnn sau: • Định nghĩa. Phương sai (variance) của bnn X, ký hiệu là V(X) được tính theo công thức: X 3 4 5 V  X   E  X  E  X  P 0,3 0,4 0,3 2 • Rút gọn: V  X   E  X 2    E  X   Y 1 2 6 8 2 P 0,4 0,1 0,3 0,2 • So sánh E(X) và E(Y) • Vẽ đồ thị và nhận xét về mức độ biến thiên của X, Y 39 40 Ý nghĩa của phương sai Tính chất của phương sai • Phương sai đo độ dao động của các giá trị của X xung quanh kỳ vọng toán E(X) • Phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị của X • Nếu X, Y cùng đơn vị, cùng ý nghĩa, V(X)>V(Y) thì: – X biến động, dao động, phân tán hơn Y – Y ổn định, đồng đều hơn X • Trong kỹ thuật phương sai đặc trưng cho sai số của thiết bị. Trong kinh tế, phương sai đo độ rủi ro của các quyết định. 41 42 7
2/14/2019 Ví dụ 16 Ví dụ 17 • Tiền lãi khi đầu tư 1 tỷ đồng vào các ngành A, B là X 0 15 30 Y -2 15 35 các bnn độc lập X, Y: P 0,3 0,5 0,2 P 0,2 0,45 0,35 X 0 15 30 Y -2 15 35 • Đầu tư a tỷ vào ngành A và b tỷ vào ngành B trong 1 P 0,3 0,5 0,2 P 0,2 0,45 0,35 tháng. Tìm trung bình và phương sai của tổng tiền lãi trong 1 tháng? • Muốn lãi trung bình cao hơn thì đầu tư vào ngành • Đầu tư 2 tỷ vào ngành A trong một tháng. Tìm trung nào? bình và phương sai của tiền lãi thu được. • Muốn rủi ro thấp hơn thì đầu tư vào ngành nào? • Mỗi tháng đầu tư vào ngành A 1 tỷ, độc lập nhau. Tìm • Muốn rủi ro thấp nhất thì chia vốn đầu tư theo tỷ trung bình và phương sai của tổng tiền lãi trong 2 lệ nào? tháng. Tính xác suất tổng tiền lãi không dưới 50 triệu. • Tìm xác suất đầu tư vào A được lãi cao hơn B? 43 44 Độ lệch chuẩn Ví dụ 18 • Định nghĩa. Độ lệch chuẩn (standard deviation) của bnn X, ký hiệu (X) hay X, là căn bậc hai của phương sai.  X   V X  • Độ lệch chuẩn cũng đo mức độ phân tán, dao động của bnn X và có ý nghĩa tương tự phương sai. • Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với bnn X. 45 46 Ví dụ 19 Chuẩn hóa biến ngẫu nhiên • Cho X là bnn có kỳ vọng  và độ lệch chuẩn >0. • Đặt: X  Z  • Ta có: E Z   0 V Z  1 • Biến Z gọi là bnn chuẩn hóa của bnn X. 47 48 8
2/14/2019 Ví dụ 20 Hệ số biến thiên Tuổi thọ của một loại côn trùng M là biến ngẫu nhiên • Định nghĩa. Hệ số biến thiên (coefficient of variation) của X ký hiệu là CV(X) được tính theo công thức: X (đơn vị: tháng) với PDF như sau: • Kí hiệu: CV(X). X CV  X   EX  .100%  E  X   0 f  x   kx 2  4  x  ,  0  x  4 • Tìm hằng số k? • Hệ số biến thiên có đơn vị là %. • Hệ số biến thiên đo độ phân tán tương đối. • Xác định CDF? • Có thể so sánh hệ số biến thiên của nhiều bnn khác • Tính tuổi thọ trung bình của loại côn trùng trên. nhau, không cần cùng đơn vị, ý nghĩa, không có cùng kỳ vọng. 49 50 Median (Trung vị) Mode X • Định nghĩa. Trung vị của bnn X, ký hiệu MedX, me • Định nghĩa. Mốt (mode) của bnn X, ký hiệu mo là là giá trị nằm ở chính giữa phân phối xác suất giá trị ứng với xác suất lớn nhất (X rời rạc) hoặc • Nếu X rời rạc: hàm mật độ f(x) lớn nhất (X liên tục).  P  X  me   0,5 • BNN X có thể có 1 mod, nhiều mod hoặc không  có mod  P  X  me   0,5 • Nếu X rời rạc: • Nếu X liên tục: P  X  m0   max P  x  xi  me i  f  x  dx  0,5 • Nếu X liên tục:  f  m0   max f  x  xR 51 52 Ví dụ 21 Ví dụ 22 • Cho bnn X có hàm mật độ xác suất Cho bnn X X 1 2 3 4 5 3  x 2  x ,0  x  2 P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,25 f  x   4 0  , x   0, 2 Ta có: X 1 2 3 4 5 • Tìm MedX và ModX? F(X) 0,1 0,3 0,45 0,75 1 Vậy Med  X   4  Mod  X  53 54 9
2/14/2019 Phân vị mức (1-𝛼) Giá trị tới hạn • Định nghĩa. Với bnn X liên tục, phân vị (percentile) • Định nghĩa. Với bnn X liên tục, giá trị tới hạn mức 1 − 𝛼 ký hiệu là 𝑥1−𝛼 là số thực thỏa mãn: (critical value) mức 𝛼 (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) ký hiệu là 𝑥𝛼 là số thực thỏa mãn: P  X  x1   1   P  X  x    𝛼 x 55 56 Ví dụ 23 Ví dụ 24 Tuổi thọ một loại côn trùng là X (tháng) có hàm mật Cho bnn X có hàm mật độ độ kx 2  4  x  , x   0;4 ax 2  bx  c , x   0;1 f  x   f  x   0 , x   0;4 0 , x   0;1 a) Tìm hằng số k và E(X)=0,6; V(X)=0,06 b) Tìm Mod(X) a) Tìm a,b,c? c) Tìm xác suất côn trùng chết trước khi nó được 1 b) Đặt Y=X3. Tính E(Y) tháng tuổi 57 58 Ví dụ 25 Ví dụ 25 • Giả sử một cửa hàng sách định nhập về một số Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33 cuốn truyện trinh thám. Nhu cầu hàng năm về loại sách này như sau: P 0,3 0,15 0,3 0,25 Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33 • Nếu nhập về 32 cuốn thì lợi nhuận bán được trung bình là bao nhiêu? P 0,3 0,15 0,3 0,25 • Xác định số lượng nhập sao cho lợi nhuận kì vọng • Cửa hàng mua sách với giá 7USD một cuốn, bán ra là lớn nhất. với giá 10USD một cuốn nhưng đến cuối năm phải hạ giá với giá 5USD một cuốn. 59 60 10
2/14/2019 Bài tập chương 2 Anscombe's quartet Anscombe's quartet • 2.1; 2.2; 2.6; 2.7; 2.9; I II III IV • 2.10; 2.11; 2.14; 2.15; 2.17; x y x y x y x y 10.0 8.04 10.0 9.14 10.0 7.46 8.0 6.58 • 2.18; 2.10; 2.23; 2.24; 2.25 8.0 6.95 8.0 8.14 8.0 6.77 8.0 5.76 • 2.26; 2.27; 2.30; 2.31; 2.32 13.0 7.58 13.0 8.74 13.0 12.74 8.0 7.71 9.0 8.81 9.0 8.77 9.0 7.11 8.0 8.84 • 2.33; 2.34; 2.37 11.0 8.33 11.0 9.26 11.0 7.81 8.0 8.47 14.0 9.96 14.0 8.10 14.0 8.84 8.0 7.04 6.0 7.24 6.0 6.13 6.0 6.08 8.0 5.25 • Tất cả 23 bài. 4.0 4.26 4.0 3.10 4.0 5.39 19.0 12.50 12.0 10.84 12.0 9.13 12.0 8.15 8.0 5.56 7.0 4.82 7.0 7.26 7.0 6.42 8.0 7.91 5.0 5.68 5.0 4.74 5.0 5.73 8.0 6.89 61 62 Anscombe's quartet Anscombe's quartet Property Value Accuracy Mean of x 9 exact Sample variance of x 11 exact Mean of y 7.50 to 2 decimal places Sample variance of y 4.125 ±0.003 Correlation between x and y 0.816 to 3 decimal places Linear regression line y = 3.00 + 0.500x to 2 and 3 decimal places, respectively Coefficient of determination of the linear 0.67 to 2 decimal places regression 63 64 11

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.