Bài giảng Xác suất thống kê: Không gian xác suất

Chia sẻ: Hera_02 Hera_02 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:86

Thêm vào BST

Báo xấu

131
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Xác suất thống kê: Không gian xác suất tập trung trình bày các vấn đề cơ bản về biến cố ngẫu nhiên; xác suất; xác suất điều kiện; sự độc lập ngẫu nhiên;... Hy vọng tài liệu là nguồn thông tin hữu ích cho quá trình học tập và nghiên cứu của các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê: Không gian xác suất

1 kh«ng gian x¸c suÊt A.- BiÕn cè ngÉu nhiªn Trong v« sè c¸c hiÖn t−îng x¶y ra chung quanh, ta cã thÓ ph©n biÖt 1.- Kh¸i niÖm: thµnh hai lo¹i: a) HiÖn t−îng tÊt yÕu: lµ hiÖn t−îng mµ nÕu ®−îc thùc hiÖn trong cïng mét ®iÒu kiÖn nh− nhau th× chóng cho c¸c kÕt qu¶ gièng nhau. b) HiÖn t−îng ngÉu nhiªn: lµ hiÖn t−îng mµ dï ®−îc thùc hiÖn trong cïng mét ®iÒu kiÖn chóng vÉn cho c¸c kÕt qu¶ kh¸c nhau. VÝ dô: • Gieo mét ®ång xu, kÕt qu¶ sÊp hay ng÷a lµ hiÖn t−îng ngÉu nhiªn, • Khi gieo mét con xóc s¾c, sè nèt xuÊt hiÖn ë mÆt trªn cña nã lµ mét hiÖn t−îng ngÉu nhiªn. §èi t−îng nghiªn cøu cña lý thuyÕt x¸c suÊt lµ c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn, do vËy ta cÇn trang bÞ cho chóng mét cÊu tróc to¸n häc thÝch hîp. §ã lµ ®¹i sè c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn. Ta sÏ lu«n coi r»ng c¸c biÕn cè trong mét ®¹i sè c¸c biÕn cè ®Òu cã liªn quan tíi kÕt qu¶ cña mét "phÐp thö" nµo ®ã. ë ®©y "phÐp thö" ®−îc hiÓu lµ sù thùc hiÖn mét sè ®iÒu kiÖn nhÊt ®Þnh. Mçi phÐp thö g¾n víi mét tËp hîp c¸c kÕt qu¶ cã thÓ x¶y ra. víi mçi biÕn cè thuéc ®¹i sè c¸c biÕn cè ta ph¶i kh¼ng ®Þnh ®−îc r»ng: khi mét kÕt qu¶ nµo ®ã cña phÐp thö ®−îc thùc hiÖn nã x¶y ra hay kh«ng x¶y ra. Gi¶ Sö A, B, C, ... lµ c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn cã liªn quan tíi kÕt qu¶ cña mét phÐp thö F nµo ®ã. • Ta nãi A, B lµ ®ång nhÊt, vµ viÕt A = B, nÕu víi mçi kÕt qu¶ cã thÓ cña phÐp thö chóng cïng x¶y ra hoÆc cïng kh«ng x¶y ra. • Sù kh«ng xuÊt hiÖn cña A ®−îc xem lµ sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè ®èi A, ký hiÖu Ac , hay A. • Sù xuÊt hiÖn ®ång thêi hai biÕn cè A, B ®−îc coi lµ sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè giao A giao B, ký hiÖu A ∩ B hay A.B. • Sù kh«ng thÓ xuÊt hiÖn ®−îc coi lµ mét biÕn cè, gäi lµ biÕn cè kh«ng thÓ cã hay kh«ng, ký hiÖu lµ ∅ hay V . • A, B gäi lµ xung kh¾c nÕu AB = ∅. • Sù xuÊt hiÖn Ýt nhÊt mét trong hai biÕn cè A, B ®−îc coi lµ sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè hîp A hîp B, ký hiÖu A ∪ B. Khi A.B = ∅ ta viÕt A + B thay A ∪ B . • Sù ch¾c ch¾n xuÊt hiÖn ®−îc coi lµ mét biÕn cè, gäi lµ biÕn cè ch¾c ch¾n, ký hiÖu Ω. This lesson was typed by pdfLATEX
2 • Ta ®Þnh nghÜa A \ B = A.B c . • NÕu sù xuÊt hiÖn cña A kÐo theo sù xuÊt hiÖn cña B th× ta nãi A kÐo theo B, ký hiÖu A ⊂ B. • Ta nãi hä biÕn cè {B1 , B2 , ..., Bn } lµ ®Çy ®ñ nÕu chóng tõng ®«i mét xung Pn kh¾c vµ Bi = Ω. i=1 2.- Mét sè tÝnh chÊt: 1. NÕu A = B th× B = A; A.A = A 2. (Ac )c = A; A.Ac = ∅ 3. A.B = B.A; (A.B).C = A(B.C) 4. A ∪ B = B ∪ A; (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 5. A + Ac = Ω, do ®ã Ac = Ω \ A 6. A = B ⇐⇒ A ⊂ B vµ B ⊂ A 7. A ⊂ B ⇐⇒ B c ⊂ Ac 8. A ∪ (B.C) = (A ∪ B).(A ∪ C) 9. A.(B ∪ C) = A.B ∪ A.C 10. (A.B)c = Ac ∪ B c ; (A ∪ B)c = Ac .B c 11. A ∪ B = A + B.Ac ... ViÖc chøng minh c¸c tÝnh chÊt trªn ®¬n gi¶n, chØ cÇn ¸p dông ®Þnh nghÜa vµ c¸c qui t¾c l«gic. Chó ý: Tõ c¸c tÝnh chÊt 3. 4. suy ra c¸c phÐp to¸n lÊy giao, hîp cã thÓ më réng cho hä h÷u h¹n c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn. C¸c hÖ thøc trong 10. cã thÓ më réng thµnh: n !c n n !c n \ [ [ \ c Ai = Ai ; A i = Ai c i=1 i=1 i=1 i=1 VÝ dô: XÐt phÐp thö F: gieo ®ång thêi hai xóc s¾c ®Òu, ®ång chÊt. Gäi A, B, C, D, E lµ c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn liªn quan ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: A: "Tæng sè nèt xuÊt hiÖn trªn hai xóc s¾c lµ sè ch½n" B: "Tæng sè nèt xuÊt hiÖn trªn hai xóc s¾c lµ sè lÎ" C: "Sè nèt xuÊt hiÖn trªn mçi xóc s¾c lµ sè lÎ" D: "Sè nèt xuÊt hiÖn trªn mçi xóc s¾c lµ sè ch½n" E: "Sè nèt xuÊt hiÖn trªn hai xóc s¾c cïng lÎ hoÆc cïng ch½n". Khi ®ã ta cã c¸c hÖ thøc (dÔ dµng kiÓm tra ®−îc): A = E; Ac = B; A.B = ∅; A = C + D; D ⊂ A; ... 3.- §Þnh nghÜa ®¹i sè vµ σ ®¹i sè: This lesson was typed by pdfLATEX
3 TËp A c¸c phÇn tö tïy ý A, B, C, ... ®−îc gäi lµ mét ®¹i sè Boole hay mét tr−êng khi c¸c ®iÒu kiÖn sau ®−îc thùc hiÖn: 1. Ω ∈A. 2. A ∈ A =⇒ Ac ∈ A. n S 3. Ak ∈ A =⇒ Ak ∈ A. k=1 NhËn xÐt: Trong ®¹i sè, c¸c phÐp to¸n lÊy giao (tÝch), hîp thùc hiÖn ®−îc víi mét sè h÷u h¹n phÇn tö. • §¹i sè Boole ®−îc gäi lµ σ ®¹i sè (σ tr−êng) nÕu nã ®ãng kÝn víi phÐp lÊy hîp ®Õm ®−îc hay víi phÐp giao ®Õm ®−îc. • Gi¶ sö C lµ mét ®¹i sè, σ ®¹i sè nhá nhÊt chøa C ®−îc gäi lµ σ ®¹i sè sinh bëi C, ký hiÖu σ(C). VÝ dô: 1) TËp hîp c¸c kÕt qu¶ cã thÓ cã liªn quan tíi mét phÐp thö víi c¸ch x¸c ®Þnh biÕn cè ®èi, giao c¸c biÕn cè, hîp c¸c biÕn cè, biÕn cè kh«ng thÓ cã, biÕn cè ch¾c ch¾n nh− trªn, lËp nªn mét ®¹i sè Boole (dÔ dµng kiÓm tra). Nã ®−îc gäi lµ ®¹i sè c¸c biÕn cè. 2) Gi¶ sö Ω lµ tËp kh¸c rçng, ký hiÖu C(Ω) lµ líp mäi tËp con cña Ω. Víi c¸c phÐp to¸n tËp hîp ®· biÕt (lÊy giao, hîp, phÇn bï) cïng víi tËp rçng, C(Ω) lËp nªn mét ®¹i sè Boole. 3) Gi¶ sö A ⊂ Ω, Ω 6= ∅. XÐt líp CA = {∅, Ω, A, Ac } víi c¸c phÐp to¸n tËp hîp th«ng th−êng CA t¹o nªn mét σ- ®¹i sè. 4.- Liªn hÖ gi÷a ®¹i sè c¸c biÕn cè vµ ®¹i sè c¸c tËp hîp: Mèi liªn hÖ nÇy ®−îc thÓ hiÖn qua ®Þnh lý Stone d−íi ®©y: §Þnh lý: Mçi ®¹i sè c¸c biÕn cè cã mét ®¹i sè c¸c tËp hîp ®¼ng cÊu víi nã. • Mét biÕn cè A ®−îc gäi lµ phøc hîp nÕu nã cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng hîp hai biÕn cè kh«ng ®ång nhÊt víi nã. • Mét biÕn cè A kh«ng ph¶i lµ phøc hîp ®−îc gäi lµ biÕn cè s¬ cÊp. Tõ c¸c kÕt qu¶ trªn ta suy ra: mét biÕn cè phøc hîp cã thÓ xuÊt hiÖn theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau. Mét biÕn cè s¬ cÊp chØ xuÊt hiÖn theo mét c¸ch duy nhÊt. C¸c biÕn cè s¬ cÊp th× xung kh¾c nhau. Trong ®¹i sè c¸c biÕn cè, mçi biÕn cè ngÉu nhiªn biÓu diÔn ®−îc d−íi d¹ng tæng mét sè h÷u h¹n c¸c biÕn cè s¬ cÊp mét c¸ch duy nhÊt. Nh− vËy mét biÕn cè A øng víi mét tËp c¸c biÕn cè s¬ cÊp mµ sù xuÊt hiÖn cña mçi biÕn cè nÇy kÐo theo sù xuÊt hiÖn cña A. Chóng ®−îc gäi lµ c¸c biÕn cè thÝch hîp víi A. T−¬ng øng nÇy b¶o tån c¸c phÐp to¸n trong A; biÕn cè "kh«ng thÓ cã" øng víi tËp rçng ∅. BiÕn cè "ch¾c ch¾n" Ω øng víi tËp tÊt c¶ c¸c biÕn cè s¬ cÊp cña phÐp thö v× vËy Ω ®−îc ®ång nhÊt víi kh«ng gian biÕn cè s¬ cÊp. This lesson was typed by pdfLATEX
4 B.- X¸c suÊt Quan s¸t c¸c hiÖn t−îng ngÉu nhiªn ta thÊy cã nh÷ng hiÖn t−îng th−êng x¶y ra, cã nh÷ng hiÖn t−îng Ýt x¶y ra. X¸c suÊt lµ mét ®¹i l−îng thÓ hiÖn møc ®é x¶y ra (th−êng xuyªn hay Ýt khi) cña mét biÕn cè. trong lÞch sö to¸n häc ®· cã nhiÒu ®Þnh nghÜa cho kh¸i niÖm x¸c suÊt. ë gi¸o tr×nh nÇy ta sÏ tiÕp xóc víi mét sè ®Þnh nghÜa tiªu biÓu 1.- §Þnh nghÜa cæ ®iÓn cña x¸c suÊt: NÕu A lµ biÕn cè cã n(A) biÕn cè s¬ cÊp thÝch hîp víi nã trong mét kh«ng gian n(A) biÕn cè s¬ cÊp gåm n(Ω) biÕn cè cïng kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn th× tØ sè P (A) = n(Ω) ®−îc gäi lµ x¸c suÊt cña A. Nh− vËy ®iÒu kiÖn ®Ó ¸p dông ®Þnh nghÜa nÇy lµ: ∗ n(Ω) < ∞ ∗ C¸c biÕn cè s¬ cÊp ph¶i cã cïng kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn. VÝ dô: 1) Gieo mét h¹t xóc s¾c c©n ®èi ®ång chÊt mét c¸ch ngÉu nhiªn. T×m x¸c suÊt ®Ó mÆt cã sè nèt ch½n xuÊt hiÖn. 2) Tõ mét hép cã 13 bi ®á vµ 7 bi tr¾ng cã kÝch th−íc nh− nhau, rót ngÉu nhiªn mét bi. Khi ®ã: 13 X¸c suÊt ®Ó rót ®−îc bi ®á lµ: P (§) = . 20 7 X¸c suÊt ®Ó rót ®−îc bi tr¾ng lµ: P (T ) = . 20 Chó ý: §Ó tÝnh x¸c suÊt theo ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn ta ph¶i t×m n(Ω) vµ n(A). mét c«ng cô ®−îc sö dông nhiÒu lµ gi¶i tÝch tæ hîp ®· ®−îc chuÈn bÞ ë trung häc. 2.- §Þnh nghÜa x¸c suÊt theo quan ®iÓm h×nh häc: Khi n(Ω) v« h¹n, ta kh«ng thÓ ¸p dông ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn ®Ó tÝnh x¸c suÊt. trong nhiÒu tr−êng hîp ta cã thÓ sö dông ®Þnh nghÜa x¸c suÊt theo quan ®iÓm h×nh häc nh− sau: Gi¶ sö mét ®iÓm ®−îc r¬i ngÉu nhiªn vµo miÒn D, A lµ mét miÒn con cña D. Khi ®ã x¸c suÊt ®Ó ®iÓm r¬i ngÉu nhiªn vµo miÒn A ®−îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc: sè ®o miÒnA P (A) = sè ®o miÒnD (Sè ®o ë ®©y cã thÓ lµ ®é dµi, diÖn tÝch hay thÓ tÝch tïy thuéc vµo miÒn xÐt trªn ®−êng th¼ng, mÆt ph¼ng hay kh«ng gian ba chiÒu) Mét vÝ dô ®iÓn h×nh lµ "bµi to¸n gÆp gì": Hai ng−êi hÑn gÆp nhau t¹i mét ®Þa ®iÓm vµo kho¶ng tõ 11 giê ®Õn 12 giê. Hä qui −íc r»ng ng−êi ®Õn tr−íc sÏ chØ ®îi 20 phót, nÕu kh«ng gÆp sÏ ®i. Gi¶ sö viÖc This lesson was typed by pdfLATEX
5 ®Õn ®iÓm hÑn cña hai ng−êi lµ ngÉu nhiªn. t×m x¸c suÊt ®Ó hai ng−êi gÆp nhau? 3.- §Þnh nghÜa x¸c suÊt theo quan ®iÓm thèng kª: TiÕn hµnh n phÐp thö ®éc lËp, nh− nhau vµ theo dâi sù xuÊt hiÖn biÕn cè A cã liªn quan. Gäi n lµ sè phÐp thö ®· tiÕn hµnh, n(A) lµ sè phÐp thö cã A xuÊt hiÖn, n(A) tØ sè ®−îc gäi lµ tÇn suÊt xuÊt hiÖn A. n Khi sè phÐp thö n ®ñ lín ta cã thÓ lÊy tÇn suÊt cña A thay cho x¸c suÊt P (A) n(A) (mµ ta ch−a biÕt). NÕu tån t¹i lim th× giíi h¹n nÇy lµ P (A). n→∞ n 4.- §Þnh nghÜa tiªn ®Ò cña x¸c suÊt: Cho Ω lµ mét kh«ng gian; gäi A lµ σ - ®¹i sè c¸c tËp con cña Ω. P (.) lµ hµm tËp x¸c ®Þnh trªn A. Ta gäi P lµ hµm x¸c suÊt nÕu c¸c tiªn ®Ò sau ®©y ®−îc tháa m·n: ∞≥ 0, (i) P (A) ∀A ∈ A ∞ P P (ii) P An = P (An ) n=1 n=1 (iii) P (Ω) = 1. Bé ba (Ω; A; P ) ®−îc gäi lµ kh«ng gian x¸c suÊt. Tõ hÖ tiªn ®Ò trªn ng−êi ta chøng minh ®−îc c¸c tÝnh chÊt cña x¸c suÊt sau ®©y (ta chÊp nhËn kh«ng chøng minh ®Ó sö dông tÝnh to¸n x¸c suÊt): MÖnh ®Ò 1: Trªn kh«ng gian x¸c suÊt (Ω; A; P ) ta cã: a) P (∅) = 0 b) NÕu {A n1 , A2 ,..., Ann} lµ hä h÷u h¹n c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn tõng ®«i xung P P kh¾c th× P Ak = P (Ak ). k=1 k=1 MÖnh ®Ò 2: Gi¶ sö A, B lµ lµ c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn bÊt kú. Khi ®ã: a) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A.B) b) chulucNÕu A ⊂ B th× P (A) ≤ P (B). c) ∀A ∈A, cã 0 ≤ P (A) ≤ 1 vµ P (Ac ) = 1 − P (A). VÝ dô: Mét hép chøa 5 cÇu tr¾ng, 3 cÇu xanh vµ 4 cÇu ®en cïng kÝch th−íc. Chän ngÉu nhiªn cïng lóc 3 cÇu. T×m x¸c suÊt ®Ó: a) C¶ ba cÇu cïng mµu. b) Cã ®óng hai cÇu cïng mµu. c) Cã Ýt nhÊt hai cÇu cïng mµu. d) C¶ ba cÇu kh¸c mµu. C.- X¸c suÊt ®iÒu kiÖn This lesson was typed by pdfLATEX
6 Trong môc nÇy ta sÏ x©y dùng mét ®¹i l−îng ®Ó biÓu thÞ kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn mét biÕn cè A khi cã mét biªn cè B ®· xuÊt hiÖn víi x¸c suÊt nµo ®ã. 1.- §Þnh nghÜa: XÐt kh«ng gian x¸c suÊt (Ω; A, P ). Gi¶ sö B lµ biÕn cè ngÉu nhiªn cã P (B) > 0, A ∈A. §¹i l−îng P (A/B) = P (A ∩ B) ®−îc gäi lµ x¸c suÊt cña A víi ®iÒu kiÖn B. P (B) Cã tµi liÖu dïng ký hiÖu: PB (A), P B (A). NhËn xÐt: n(A ∩ B) • Trong ®Þnh nghÜa x¸c suÊt cæ ®iÓn ta cã: P (A/B) = , nghÜa lµ x¸c n(B) suÊt ®iÒu kiÖn P (A/B) cã thÓ xem nh− x¸c suÊt cña A xÐt trong kh«ng gian B. • Víi B ∈ A, P (B) > 0, ¸nh x¹ P (./B) tõ A vµo R+ lµ mét hµm x¸c suÊt. Ta cã c¸c mÖnh ®Ò sau: MÖnh ®Ò 1: (c«ng thøc nh©n x¸c suÊt) Gi¶ sö {A1 , A2 , ..., An } lµ hä c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn sao cho P (A1 .A2 ...An ) > 0, khi ®ã: P (A1 .A2 ...An ) = P (A1 ).P (A2 /A1 ).P (A3 /A1 A2 )...P (An /A1 A2 ...An−1 ) MÖnh ®Ò nÇy cã thÓ chøng minh ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p qui n¹p. VÝ dô: (S¬ ®å hép Polia). Mét hép lóc ®Çu chøa a cÇu tr¾ng, b cÇu ®á. Sau mçi lÇn chän ngÉu nhiªn mét cÇu, ta tr¶ cÇu ®ã vµo hép cïng víi c cÇu cïng mµu víi cÇu ®· chän. T×m x¸c suÊt ®Ó cÇu tr¾ng ®−îc chän ë ba lÇn ®Çu. §Æt Ai : "cÇu tr¾ng ®−îc chän ë lÇn i' (i = 1, 2, 3). Ta cÇn tÝnh P (A1 A2 A3 ). Theo c«ng thøc nh©n x¸c suÊt: P (A1 A2 A3 ) = P (A1 ).P (A2 /A1 ).P (A3 /A1 .A2 ) = a a+c a + 2c = . . a + b a + b + c a + b + 2c MÖnh ®Ò 2: (c«ng thøc x¸c suÊt toµn phÇn ) Gi¶ sö {B1 , B2 , ..., Bn } lµ hä ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn cã x¸c suÊt d−¬ng. Khi ®ã víi ∀A ∈A ta cã: n P P (A) = P (Bi ).P (A/Bi ) i=1 1 VÝ dô: Mét n«ng tr−êng cã 4 ®éi s¶n xuÊt. §éi 1 s¶n tæng s¶n l−îng n«ng 3 1 1 s¶n cña n«ng tr−êng. §éi 2 s¶n xuÊt tæng s¶n l−îng. §éi 3 s¶n xuÊt tæng s¶n 4 4 This lesson was typed by pdfLATEX
7 1 l−îng. §éi 4 s¶n xuÊt tæng s¶n l−îng. TØ lÖ phÕ phÈm t−¬ng øng víi c¸c ®éi s¶n 6 xuÊt lµ 0, 15; 0, 08; 0, 05; 0, 01. LÊy ngÉu nhiªn mét s¶n phÈm trong kho cña n«ng tr−êng. T×m x¸c suÊt ®Ó lÊy ph¶i mét phÕ phÈm. MÖnh ®Ò 3: (c«ng thøc BayÌs ) NÕu A lµ biÕn cè cã x¸c suÊt d−¬ng, {B1 , B2 , ..., Bn } lµ hä ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn cã x¸c suÊt d−¬ng. Khi ®ã víi mçi j(j = 1, n), ta cã: P (Bj ).P (A/Bj ) P (Bj /A) = Pn P (Bi ).P (A/Bi ) i=1 VÝ dô: Hai nhµ m¸y cïng s¶n x uÊt mét lo¹i s¶n phÈm. Nhµ m¸y sè 1 s¶n xuÊt gÊp k lÇn nhµ m¸y sè 2. TØ lÖ thø phÈm cña hai nhµ m¸y lµ p1 , p2 . LÊy ngÉu nhiªn mét s¶n phÈm trong kho chung cña hai nhµ m¸y ®Ó kiÓm tra th× gÆp ph¶i thø phÈm. T×m x¸c suÊt ®Ó thø phÈm ®ã do nhµ m¸y thø hai s¶n xuÊt. D.- Sù ®éc lËp ngÉu nhiªn XÐt kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, A, P ) 1.- §Þnh nghÜa: Gi¶ sö B lµ líp nµo ®ã c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn (B ⊂ A). Ta nãi líp B ®éc lËp nÕu x¸c suÊt cña mét giao h÷u h¹n bÊt kú c¸c biÕn cè trong B b»ng tÝch cña c¸c x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè ®ã. VÝ dô: B1 = {A, B} ®éc lËp ⇐⇒  P (A.B) = P (A).P (B)   P (A.B) = P (A).P (B)  P (A.C) = P (A).P (C) B2 = {A, B, C} ®éc lËp ⇐⇒   P (B.C) = P (B).P (C)  P (A.B.C) = P (A).P (B).P (C) Chó ý: 1) Khi B cã h¬n hai biÕn cè th× râ rµng nÕu B ®éc lËp lóc ®ã x¸c suÊt cña giao hai biÕn cè bÊt kú trong B còng b»ng tÝch c¸c x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè ®ã. Ta nãi cã sù ®éc lËp tõng ®«i. Nh−ng sù ®éc lËp tõng ®«i trong B kh«ng ®ñ suy ra B ®éc lËp. XÐt thÝ dô sau: Mét khèi tø diÖn ®Òu, ®ång chÊt cã ba mÆt s¬n t−¬ng øng c¸c mµu tr¾ng, xanh, ®á. MÆt thø t− s¬n c¶ ba mµu tr¾ng, xanh, ®á. Gieo ngÉu nhiªn c¸c khèi ®ã lªn mÆt ph¼ng. NÕu gäi A, B, C t−¬ng øng lµ: "mÆt cã mµu tr¾ng (xanh, ®á) cña tø diÖn ®ã tiÕp víi mÆt ph¼ng". Khi ®ã ta thÊy B = {A, B, C} ®éc This lesson was typed by pdfLATEX
8 lËp tõng ®«i. 2) DÔ thÊy r»ng nÕu P (B) > 0 th× {A, B} ®éc lËp khi vµ chØ khi P (A/B) = P (A). ThËt vËy: • Gi¶ sö A, B ®éc lËp, do P (B) > 0 cã P (A.B) P (A).P (B) P (A/B) = = = P (A). P (B) P (B) • Ng−îc l¹i, nÕu P (A/B) = P (B) th× tõ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn suy ra P (A.B) P (A) = P (A/B) = P (B) =⇒ P (A.B) = P (A).P (B), nghÜa lµ {A, B} ®éc lËp. §iÒu kh¼ng ®Þnh trªn cã ý nghÜa: khi {A, B} ®éc lËp (theo ®Þnh nghÜa) th× sù xuÊt hiÖn cña B kh«ng ¶nh h−ëng ®Õn sù xuÊt hiÖn cña A (v× P (A/B) = P (A)) vµ ng−îc l¹i. Nh− vËy ta cã thÓ nhËn biÕt sù ®éc lËp b»ng trùc gi¸c, hay kinh nghiÖm quan s¸t. §iÒu ®ã rÊt cã ý nghÜa thùc tiÔn. MÖnh ®Ò 1: NÕu {A, B} ®éc lËp th× {A, B c } ®éc lËp. Chó ý: B»ng qui n¹p h÷u h¹n ta dÔ dµng chøng minh ®−îc: NÕu {A1 , A2 , ..., An } ®éc lËp th× {A1 , A2 , ..., An−1 , Acn } còng ®éc lËp. nÕu ¸p dông nhiÒu lÇn kÕt qu¶ nÇy ta ®−îc mÖnh ®Ò sau: MÖnh ®Ò 2: NÕu {A1 , A2 , ..., An } lµ hä c¸c biÕn cè ®éc lËp, (j1 , j2 , ..., jn ) lµ mét ho¸n vÞ bÊt kú cña {1, 2, ..., n}. Khi ®ã hä {A0j1 , A0j2 , ..., A0jn }, ë ®©y A0ji = Aji hoÆc Acji còng lµ hä ®éc lËp. VÝ dô: B¾n ba viªn ®¹n ®éc lËp vµo mét môc tiªu. X¸c suÊt trÝch ®Ých cña mçi viªn t−¬ng øng lµ 0, 3; 0, 4; 0, 5. NÕu chØ mét viªn tróng th× môc tiªu bÞ ph¸ hñy víi x¸c suÊt 0, 2. NÕu Ýt nhÊt hai viªn tróng th× môc tiªu ch¾c ch¾n bÞ ph¸ hñy. H·y t×m x¸c suÊt ®Ó môc tiªu bÞ ph¸ hñy khi b¾n ba viªn ®¹n nh− trªn. This lesson was typed by pdfLATEX
1 ®¹i l−îng ngÉu nhiªn A.- §¹i l−îng ngÉu nhiªn 1.- §Þnh nghÜa: Gi¶ sö Ω lµ kh«ng gian mÉu øng víi phÐp thö G. ¸nh x¹: X : Ω −→ R ω 7−→ X(ω) sao cho ∀x ∈ R, {ω ∈ Ω/X(ω) < x} ⊂ Ω (lµ mét biÕn cè) ®−îc gäi lµ mét ®¹i l−îng ngÉu nhiªn. Cã thÓ hiÓu ®¹i l−îng ngÉu nhiªn lµ mét ®¹i l−îng mµ gi¸ trÞ cña nã lµ ngÉu nhiªn, tïy thuéc vµo kÕt qu¶ cña phÐp thö. §¹i l−îng ngÉu nhiªn th−êng ®−îc ký hiÖu b»ng c¸c mÉu tù la tinh in hoa: X, T, · · · . C¸c gi¸ trÞ cña chóng th−êng ®−îc ký hiÖu bëi c¸c mÉu tù la tinh th−êng x, y, · · · Ng−êi ta ph©n biÖt hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn (§LNN) lµ §LNN rêi r¹c vµ §LNN liªn tôc. 2.- §¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c: a) §Þnh nghÜa: Mét §LNN ®−îc gäi lµ §LNN rêi nÕu tËp gi¸ trÞ cña nã lµ tËp con h÷u h¹n hay v« h¹n ®Õm ®−îc cña tËp sè thùc R. VÝ dô 1: 1) Gieo mét con xóc s¾c c©n xøng vµ ®ång chÊt. Gäi X lµ sè chÊm xuÊt hiÖn ë mÆt trªn con xóc s¾c. Khi ®ã X lµ §LNN rêi cã tËp gi¸ trÞ X(Ω) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2) Chän ngÉu nhiªn 3 ®øa trÎ tõ mét nhãm gåm 6 bÐ trai vµ 4 bÐ g¸i. Gäi X lµ sè bÐ g¸i trong nhãm chän ®−îc. X lµ mét ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi cã tËp gi¸ trÞ X(Ω) = {0, 1, 2, 3}. 3) B¾n liªn tiÕp tõng ph¸t mét vµo bia cho ®Õn khi nµo tróng bia th× dõng l¹i. Gäi X lµ sè viªn ®¹n cÇn b¾n. Khi ®ã X lµ §LNN rêi cã tËp gi¸ trÞ X(Ω) = {1, 2, 3, · · · , n, · · · }. b) B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt: Ngoµi viÖc x¸c ®Þnh tËp gi¸ trÞ cña §LNN rêi, mét ®iÒu quan träng n÷a lµ ta ph¶i biÕt ®−îc x¸c suÊt ®Ó §LNN ®ã nhËn c¸c gi¸ trÞ Êy lµ bao nhiªu. B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña mét §LNN rêi lµ b¶ng trªn ®ã ghi c¸c gi¸ trÞ mµ X cã thÓ nhËn, kÌm theo c¸c x¸c suÊt ®Ó nã nhËn c¸c gi¸ trÞ Êy. This lesson was typed by pdfLATEX
2 X(Ω) x1 x2 ... xn ... pk p1 p2 ... pn trong ®ã pk = P ({X = xk }); Xn pk = 1 nÕu X(Ω) h÷u h¹n k=1 ∞ X pk = 1 nÕu X(Ω) v« h¹n ®Õm ®−îc. k=1 VÝ dô 2: ë vÝ dô 1) môc 1.2.1, ta cã: X(Ω) = {0, 1, 2, 3} ta cã: C63 120 5 C42 .C61 9 P ({X = 0}) = 3 = = ; P ({X = 2}) = 3 = C10 720 30 C10 30 1 2 3 C .C 15 C 1 P ({X = 1}) = 4 3 6 = ; P ({X = 3}) = 34 = C10 10 C10 30 VËy b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X lµ: X 0 1 2 3 5 15 9 1 p 30 30 30 30 VÝ dô 3: Mét tói chøa 3 tÊm thÎ ®−îc ®¸nh sè 1, 2, 3 vµ tói thø hai chøa 4 tÊm thÎ ®−îc ®¸nh sè 4, 5, 6, 8. Chän ngÉu nhiªn tõ mçi tói 1 tÊm thÎ råi céng hai sè ghi trªn hai tÊm thÎ l¹i. Gäi X lµ kÕt qu¶, h·y lËp b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X. Gi¶i: Cã 12 kÕt qu¶ cã thÓ: (1, 4); (1, 5); (1, 6); (1, 8) (2, 4); (2, 5); (2, 6); (2, 8) (3, 4); (3, 5); (3, 6); (3, 8) 1 C¸c kÕt qu¶ nÇy ®ång kh¶ n¨ng, víi x¸c suÊt xuÊt hiÖn cña chóng lµ 12 . X(Ω) = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} 1 2 P ({X = 5}) = P ({1, 4}) = ; P ({X = 8}) = P ({(2, 6), (3, 5)}) = 12 12 This lesson was typed by pdfLATEX
3 2 P ({X = 6}) = P ({(1, 5), (2, 4)}) = ; P ({X = 9}) = P ({(1, 8), (3, 6)}) = 12 2 12 3 1 P ({X = 7}) = P ({(1, 6), (3, 4)}) = ; P ({X = 10}) = P (2, 8) = ; 12 12 1 P ({X = 11}) = P (3, 8) = 12 B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña X lµ: X(Ω) 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 2 2 1 1 p 12 12 12 12 12 12 12 b) Hµm ph©n bè x¸c suÊt: Lµ hµm ®−îc x¸c ®Þnh bëi: F : R −→ R X x 7→ F (x) = pi xi 3  Hµm ph©n bè x¸c suÊt cña §LNN rêi cã c¸c tÝnh chÊt: (i) 0 ≤ F (x) ≤ 1, ∀x (ii) liªn tôc bªn tr¸i (iii) kh«ng gi¶m (iv) lim F (x) = 1; lim F (x) = 0. x→+∞ x→−∞ 3.- §¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc: a) §Þnh nghÜa: Mét §LNN nhiªn X ®−îc gäi lµ §LNN liªn tôc nÕu: i) TËp c¸c gi¸ trÞ cña X lÊp ®Çy mét hay hîp cña mét sè kho¶ng cña trôc sè, thËm chÝ lÊp ®Çy c¶ toµn bé trôc sè. ii) Víi mäi a ∈ R, P ({X = a}) = 0 VÝ dô 1: This lesson was typed by pdfLATEX
4 1) L−îng m−a hµng n¨m ë mét ®Þa ph−¬ng lµ mét §LNN liªn tôc cã X(Ω) = (0, +∞) 2) Träng l−îng cña ®øa trÎ s¬ sinh lµ mét §LNN liªn tôc. b) Hµm mËt ®é x¸c suÊt: §èi víi §LNN liªn tôc X, x¸c suÊt ®Ó X nhËn mét gi¸ trÞ cô thÓ nµo ®ã lu«n lu«n b»ng 0: P ({X = a}) = 0, ∀a ∈ X(Ω). V× vËy ta quan t©m ®Õn x¸c suÊt ®Ó X r¬i vµo mét kho¶ng (a, b) nµo ®ã chø kh«ng quan t©m ®Õn x¸c suÊt ®Ó X nhËn mét gi¸ trÞ cô thÓ nh− trong tr−êng hîp §LNN rêi. Ph©n phèi x¸c suÊt cña X ®−îc x¸c ®Þnh bëi mét hµm f (x) gäi lµ hµm mËt ®é x¸c suÊt. §Þnh nghÜa: Hµm sè f (x) x¸c ®Þnh trªn toµn trôc sè ®−îc gäi lµ hµm mËt ®é cña §LNN liªn tôc X nÕu: i) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R Z+∞ ii) f (x)dx = 1 −∞ Zb iii) ∀a, b : a < b =⇒ P ({a < X < b}) = f (x)dx a Zb ë ®©y chó ý: P ({X = a}) = P ({X = b}) = 0 nªn P (a ≤ X ≤ b) = f (x)dx a VÝ dô 2: Cho X lµ §LNN liªn tôc cã hµm mËt ®é f (x) nh− sau: ( 0; x
5 Z3 Z3 dx 1 P (2 < X < 3) = f (x)dx = = . x2 6 2 2 VÝ dô 3: Cho hµm p(x) = a sin 2x. X¸c ®Þnh h»ng sè a ®Ó p(x) trë thµnh hµm mËt ®é cña §LNN X nhËn gi¸ trÞ tËp trung trong ®o¹n [0, π2 ]. Gi¶i: ( 0 nÕu x < 0 hoÆc x > π2 p(x) = a sin 2x nÕu 0 ≤ x ≤ π2 p(x) ≥ 0 ⇐⇒ a sin 2x ≥ 0, ∀x ∈ [0, π2 ] ⇐⇒ a ≥ 0. π Z+∞ Z2 i π2 a p(x)dx = 1 ⇐⇒ a sin 2xdx = 1 ⇐⇒ − cos 2x = 1 ⇔ a = 1. 2 0 −∞ 0 VËy a = 1 VÝ dô 4: Cho X lµ  §LNN cã hµm mËt ®é f (x): 1 + x nÕu − 1 ≤ x ≤ 0  f (x) = 1 − x nÕu 0 < x ≤ 1  0 nÕu |x| > 1  1 TÝnh P (− 2 < X < 1) Gi¶i: Z1 Z0 Z1 7 P (− 12 < X < 1) = f (x)dx = (1 + x)dx + (1 − x)dx = . 8 − 12 − 12 0 b) Hµm ph©n bè x¸c suÊt: §Þnh nghÜa: Hµm ph©n bè x¸c suÊt cña §LNN liªn tôc X, ký hiÖu bëi F (x), lµ hµm x¸c ®Þnh víi mäi sè thùc x theo c«ng thøc sau: F (x) = P (X < x) TÝnh chÊt: Hµm ph©n bè x¸c suÊt cña §LNN liªn tôc F (x) cã c¸c tÝnh chÊt sau: i) 0 ≤ F (x) ≤ 1. ii) F (x) lµ hµm kh«ng gi¶m. iii) F (x) lµ hµm liªn tôc bªn tr¸i. iv) lim F (x) = 1; lim F (x) = 0. x→+∞ x→−∞ v) Quan hÖ gi÷a hµm mËt ®é vµ hµm ph©n phèi: NÕu f (x) vµ F (x) t−¬ng øng lµ hµm mËt ®é vµ hµm ph©n phèi cña §LNN X th×: This lesson was typed by pdfLATEX
6 Zx f (x) = F 0 (x); F (x) = f (t)dt. −∞ VÝ dô 1: a Cho X lµ §LNN cã hµm mËt ®é: f (x) = . H·y t×m hÖ sè a vµ hµm ph©n 1 + x2 phèi F (x). Gi¶i: f (x) ≥ 0 ⇐⇒ a ≥ 0. Z+∞ Z+∞ adx i+∞ f (x)dx = 1 ⇐⇒ = 1 ⇐⇒ 2a( arctg x )=1 1 + x2 0 −∞ −∞ 1 ⇐⇒ aπ = 1 ⇐⇒ a = π 1 VËy: f (x) = . π(1 + x2 ) Zx Zx dt 1 ix 1 Theo iv): F (x) = f (t)dt = = arctg t = arctg x + π(1 + t2 ) π −∞ π −∞ −∞ 1 . 2 VÝ dô 2: Cho X lµ§LNN cã hµm ph©n phèi: 0  nÕu x ≤ 0 F (x) = ax3 nÕu 0 < x < 2  1 nÕu x ≥ 2  H·y t×m hÖ sè a, hµm mËt ®é cña X vµ P (0 < X < 1). Gi¶i: Do hµm ph©n phèi liªn tôc tr¸i nªn: 1 lim− F (x) = lim− ax3 = 8a = F (2) = 1. VËy a = . x→2 x→2 8 0 MÆt kh¸c  F (x) = f (x), nªn hµm mËt ®é cña §LNN X lµ: 0 nÕu x ≤ 0 hoÆc x ≥ 2 f (x) = 3 2  x nÕu 0 < x < 2 8 Z1 Z1 3 2 1 P (0 < x < 1) = f (x)dx = x dx = . 8 8 0 0 VÝ dô 3: Cho X lµ §LNN cã hµm ph©n phèi: This lesson was typed by pdfLATEX
7 x F (x) = a + b arctg c trong ®ã a, b, c lµ c¸c h»ng sè. T×m a, b, c vµ hµm mËt ®é x¸c suÊt f (x). Gi¶i: π lim F (x) = 1 ⇐⇒ a + b = 1 (1) x→+∞ 2 b lim F (x) = 0 ⇐⇒ a − π = 0 (2) x→+∞ 2 ⇐⇒ b ≤ 1 1 1 Gi¶i hÖ (1), (2) ®−îc a = ; b = . 2 π Nh− vËy: 1 1 x F (x) = + arctg 2 π c 1 c f (x) = F 0 (x) = . 2 π x + c2 V× f (x) lµ hµm mËt ®é nªn f (x) > 0, tøc lµ c > 0. 1 1 VËy a = ; b = , c > 0 (tïy ý). 2 π 3.- §¹i l−îng ngÉu nhiªn nhiÒu chiÒu: a) Kh¸i niÖm §LNN nhiÒu chiÒu: ë phÇn trªn, ta ®· xÐt c¸c §LNN mµ c¸c gi¸ trÞ cña nã ®−îc biÓu diÔn b»ng mét sè. C¸c §LNN nh− vËy ®−îc gäi lµ §LNN mét chiÒu. Ngoµi c¸c §LNN mét chiÒu, trong thùc tÕ ta cßn gÆp c¸c §LNN mµ gi¸ trÞ cña nã ®−îc x¸c ®Þnh b»ng 2, 3, .. n sè. Nh÷ng ®¹i l−îng nÇy ®−îc gäi mét c¸ch t−¬ng øng lµ §LNN 2, 3, ..., n chiÒu. Ta ký hiÖu §LNN hai chiÒu lµ (X, Y ) (vect¬ ngÉu nhiªn hai chiÒu). Trong ®ã X vµ Y ®−îc gäi lµ c¸c thµnh phÇn cña §LNN hai chiÒu. C¶ hai ®¹i l−îng X vµ Y ®−îc xÐt mét c¸ch ®ång thêi t¹o nªn hÖ hai §LNN. T−¬ng tù nh− vËy §LNN n chiÒu cã thÓ xem nh− hÖ cña n §LNN. VÝ dô 1: Mét m¸y s¶n xuÊt mét lo¹i s¶n phÈm. NÕu kÝch th−íc cña s¶n phÈm ®−îc ®o b»ng chiÒu dµi X vµ chiÒu réng Y , th× ta cã §LNN hai chiÒu (X, Y ); cßn nÕu tÝnh thªm c¶ chiÒu cao Z n÷a th× ta cã §LNN ba chiÒu (X, Y, Z). Trong thùc tÕ ng−êi ta còng ph©n chia c¸c §LNN nhiÒu chiÒu thµnh hai lo¹i: rêi r¹c vµ liªn tôc. C¸c §LNN nhiÒu chiÒu ®−îc gäi lµ rêi r¹c nÕu c¸c thµnh phÇn cña nã lµ §LNN rêi r¹c. This lesson was typed by pdfLATEX
8 C¸c §LNN nhiÒu chiÒu ®−îc gäi lµ liªn tôc nÕu c¸c thµnh phÇn cña nã lµ §LNN liªn tôc. Sau ®©y ta chØ xÐt c¸c §LNN hai chiÒu. b) Qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt cña §LNN hai chiÒu: §èi víi c¸c vect¬ ngÉu nhiªn hai chiÒu ng−êi ta còng dïng b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt, hµm ph©n phèi x¸c suÊt, hµm mËt ®é x¸c suÊt ®Ó thiÕt lËp b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña chóng. (i) B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña vect¬ ngÉu nhiªn (VTNN) hai chiÒu: B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña vect¬ ngÉu nhiªn hai chiÒu rêi r¹c lµ b¶ng liÖt kª tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cã thÓ cã cña nã vµ c¸c x¸c suÊt t−¬ng øng. Nã cã d¹ng sau: X\Y y1 y2 ... yj ... ym x1 p(x1 , y1 ) P (x1 , y2 ) · · · P (x1 , yj ) · · · P (x1 , ym ) x2 P (x2 , y1 ) P (x2 , y2 ) · · · P (x2 , yj ) · · · P (x2 , ym ) .. .. .. .. .. . . . ··· . ··· . xi P (xi , y1 ) P (xi , y2 ) · · · P (xi , yj ) · · · P (xi , ym ) .. .. .. .. .. . . . ··· . ··· . xn P (xn , y1 ) P (xn , y2 ) · · · P (xn , yj ) · · · P (xn , ym ) Trong ®ã xi , i = 1, n lµ c¸c gi¸ trÞ cã thÓ cã cña X; yj ; j = 1, m lµ c¸c gi¸ trÞ cã thÓ cã cña Y. p(xi , yj ) lµ x¸c suÊt ®Ó VTNN hai chiÒu (X, Y ) nhËn gi¸ trÞ (xi , yj ). §Ó t¹o nªn mét qui luËt ph©n phèi x¸c suÊt th× c¸c x¸c suÊt p(xi , yj ) ph¶i tháa m·n ®iÒu kiÖn: - p(xi , yj ) ≥ 0. Xn X m - p(xi , yj ) = 1. i=1 j=1 BiÕt ®−îc b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña VTNN hai chiÒu bao giê còng t×m ®−îc b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña mçi thµnh phÇn. B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña thµnh phÇn X cã d¹ng: X x1 x2 · · · xi · · · xn p p(x1 ) p(x2 ) · · · p(xi ) · · · p(xn ) m X trong ®ã: p(xi ) = p(xi , yj ) j=1 This lesson was typed by pdfLATEX
9 n X Râ rµng lµ: p(xi ) = 1. i=1 B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña thµnh phÇn Y cã d¹ng: X y1 y2 · · · yj ··· ym p p(y1 ) p(y2 ) · · · p(yj ) · · · p(ym ) n X trong ®ã: p(yj ) = p(xi , yj ) i=1 m X râ rµng lµ: p(yj ) = 1. j=1 VÝ dô 2: T×m b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña c¸c thµnh phÇn cña VTNN hai chiÒu cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt nh− sau: X \Y y1 y2 x1 0, 1 0, 06 x2 0, 3 0, 18 x3 0, 2 0, 16 Gi¶i: Céng c¸c x¸c suÊt theo hµng ta thu ®−îc c¸c x¸c suÊt t−¬ng øng víi c¸c gi¸ trÞ cña thµnh phÇn X. p(x1 ) = 0, 1 + 0, 06 = 0, 16 p(x2 ) = 0, 3 + 0, 18 = 0, 48 p(x3 ) = 0, 2 + 0, 16 = 0, 36 Ta cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña thµnh phÇn X X x1 x2 x3 p 0, 16 0, 48 0, 36 Céng c¸c gi¸ trÞ theo cét ta cã c¸c x¸c suÊt t−¬ng øng víi c¸c gi¸ trÞ cña thµnh phÇn Y : p(y1 ) = 0, 1 + 0, 3 + 0, 2 = 0, 6 p(y2 ) = 0, 06 + 0, 18 + 0, 16 = 0, 4 Ta cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt cña thµnh phÇn Y nh− sau: Y y1 y2 p 0, 6 0, 4 This lesson was typed by pdfLATEX
10 (ii) Hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña VTNN hai chiÒu: XÐt VTNN hai chiÒu (X, Y ) cã thÓ rêi r¹c hoÆc liªn tôc. Gi¶ sö (x, y) lµ mét cÆp sè thùc bÊt kú. XÐt biÕn cè (X < x; Y < y) lµ biÕn cè ®Ó X nhËn gi¸ trÞ nhá h¬n x, vµ Y nhËn gi¸ trÞ nhá h¬n y. Khi x, y thay ®æi th× x¸c suÊt cña biÕn cè trªn còng thay ®æi theo, nã lµ mét hµm sè cña x vµ y. Hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña VTNN hai chiÒu (X, Y ); ký hiÖu F (x, y) lµ x¸c suÊt ®Ó thµnh phÇn X nhËn gi¸ trÞ nhá h¬n x vµ thµnh phÇn Y nhËn gi¸ trÞ nhá h¬n y víi x, y lµ c¸c sè thùc tïy ý. F (x, y) = P (X < x, Y < y) VÝ dô 3: T×m x¸c suÊt ®Ó trong kÕt qu¶ cña phÐp thö thµnh phÇn X cña VTNN hai chiÒu (X, Y ) nhËn gi¸ trÞ X < 2 vµ Y nhËn gi¸ trÞ Y < 3 nÕu biÕt hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña nã cã d¹ng: 1 x 1 1 y 1 F (x, y) = ( arctg + )( arctg + ) π 2 2 π 3 2 Gi¶i: Theo ®Þnh nghÜa hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña VTNN hai chiÒu ta cã: 1 2 1 1 3 1 P (X < 2, Y < 3) = F (2, 3) = ( arctg + ).( arctg + ) π 2 2 π 3 2 1 π 1 1 π 1 3 3 9 = ( . + ).( . + ) = . = π 4 2 π 4 2 4 4 16 (iii) Hµm mËt ®é x¸c suÊt cña VTNN hai chiÒu: §èi víi VTNN liªn tôc (X, Y ) ngoµi hµm ph©n phèi x¸c suÊt ra cßn cã thÓ dïng hµm mËt ®é x¸c suÊt biÓu diÔn ph©n phèi x¸c suÊt cña nã. Hµm mËt ®é x¸c suÊt cña VTNN hai chiÒu liªn tôc (X, Y ); ký hiÖu f (x, y) lµ ®¹o hµm riªng hçn hîp cÊp hai cña hµm ph©n phèi x¸c suÊt ∂ 2 F (x, y) f (x, y) = ∂x∂y VÝ dô 4: T×m hµm mËt ®é x¸c suÊt cña VTNN hai chiÒu liªn tôc (X, Y ) nÕu biÕt hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña nã. π π F (x, y) = sin x. sin y; 0 ≤ x ≤ ; 0 ≤ y ≤ 2 2 Gi¶i: Theo ®Þnh nghÜa hµm mËt ®é x¸c suÊt, tr−íc hÕt ta t×m ®¹o hµm riªng cña hµm ph©n phèi x¸c suÊt theo x: ∂F (x, y) = cos x sin y ∂x This lesson was typed by pdfLATEX
11 ∂ 2 F (x, y) π π Suy ra: f (x, y) = = cos x cos y; x ∈ [0, ], y ∈ [0, ]. ∂x∂y 2 2 This lesson was typed by pdfLATEX
12 B.- Kú väng, ph−¬ng sai vµ mét sè ®Æc tr−ng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn 1.- Kú väng vµ ph−¬ng sai: a) Kú väng: §Þnh nghÜa 1: Gi¶ sö X lµ §LNN rêi cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt nh− sau: X(Ω) x1 x2 · · · xn · · · p p1 p2 · · · pn · · · ∞ X ∞ X NÕu |xk |.pk < +∞ th× ta gäi tæng xk pk lµ kú väng cña §LNN X vµ ký k=1 k=1 hiÖu lµ EX: ∞ X EX = xk pk k=1 Trong tr−êng hîp X(Ω) = {x1 , x2 , · · · , xn } (h÷u h¹n) th×: n X EX = xk pk . k=1 §Þnh nghÜa 2: Gi¶ sö X lµ §LNN liªn tôc cã hµm mËt ®é f (x). +∞ R +∞ R NÕu |x|f (x)dx < +∞ th× ta gäi xf (x)dx lµ kú väng cña §LNN X vµ −∞ −∞ ký hiÖu EX: Z+∞ EX = xf (x)dx. −∞ VÝ dô 1: Cho X lµ §LNN cã ph©n phèi x¸c suÊt: X(Ω) −2 −1 0 1 4 p 0, 1 0, 2 0, 15 0, 25 0, 3 T×m kú väng cña X. Gi¶i: EX = (−2).(0, 1) + (−1).(0, 2) + 0.(0, 15) + 1.(0, 25) + 4.(0, 3) = 1, 05 This lesson was typed by pdfLATEX