1
BÀI TẬP GIẢI TÍCH II
HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
Phép tính vi phân hàm nhiều biến, tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt,
phương trình vi phân.
2012
T
ạ Ngọc Ánh
Bộ môn Toán - Khoa CNTT - HVKTQS
(Sưu tầm và biên soạn)
2
Chương 1
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
1. Tìm tập xác định của hàm số
a)
u x y
b)
2 2
1 1
u x y
c) 2 2
u x y
d)
ln
u xy
2. Tìm giới hạn của hàm số
a)
2 2
2 2
x y
u
x y
khi
( ; ) (0;0)
x y
b)
2
2 4
xy
u
x y
khi
( ; ) (0;0)
x y
c) 2 2
x
xy
ux y
khi
( ; ) ( ; )
x y
 
d)
1
( )sin
u x y
xy
khi
( ; ) (0;0)
x y
.
e)
2 2
2 2
( )
x y
u x y khi
( , ) (0;0)
x y
f)
2 2
ln( )
y
x e
u
x y
khi
( , ) (0;0)
x y
g)
2 2 ( )
( )
x y
u x y
khi
( ; ) ( ; )
x y
 
h)
sin
xy
u
x
khi
( , ) (0;3)
x y
3. Xét tính liên tục của các hàm số
a) 2 2
1
khi 0
0 khi 0
x y
e xy
u
xy
b)
2
4 2
khi ( , ) (0,0)
0 khi ( , ) (0,0)
x y x y
ux y
x y
4. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số
a)
2 2
ln( )
u x x y
b)
2
y
u x
c) xz
u e x y
d) 2
cos
x xy
u e
e)
2
arctan( )
u x y
5. Tính các đạo hàm riêng của hàm số tại
(0;0)
O
a)
3 3
2 2
2
khi ( ; ) (0;0)
0 khi ( ; ) (0;0)
x y x y
ux y
x y
b)
( ) khi ( ; ) (0;0)
0 khi ( ; ) (0;0)
x y
x y e x y
ux y
6. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số
a) 2
2 3
u x y xyz
b)
3
xy
u
x y
c)
arcsin
x
u
y
d)
2
ln( )
u x y
7. Kiểm tra xem hàm số
3 3
3
u x y
có khả vi tại
(0;0)
O hay không ?
8. Sử dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng
a) 34
ln( 1.03 0.981)
b)
1.01
arctan
0.99
c)
3 3
1.02 1.97
9. Tính đạo hàm, đạo hàm riêng của các hàm ẩn xác định bởi phương trình
a)
0
y x xy
xe ye e
b)
2 2 2 2 3
( ) 3
x y x y y
tính
'(0)
y biết
(0) 0
y
c)
z
x y z e
d) 2
0
x y z
xe y e ze
e)
0
y xy
xe yz ze
tại điểm (1;1)
10. Tính các đạo hàm riêng cấp hai
a)
2
ln( )
u x x y
b) 3
ln( )
u x x y
c)
ln sin .ln
x
u e y y x
d)
4 4 3
u x y xy
11. Cho
2 2
2 2
( , )
x y
f x y xy
x y
khi
( , ) (0;0)
x y
và
(0;0) 0
f
. Tính đạo hàm riêng ''
(0;0)
xy
f và ''
(0;0)
yx
f. Chỉ ra
rằng '' ''
(0;0) (0;0)
xy yx
f f.
12. Tính vi phân cấp hai của hàm số
3
a)
4 2 3
3
u x xy y
b)
2 2 2
u x y z
, chứng minh 2
d u
.
c) 2 2 3
3 3
u x y z xy xz
tại điểm
(1;1;1)
M, tìm ma trận của dạng toàn phương 2
( )
d u M
với các
biến
, ,
dx dy dz
.
13. Khai triển hàm số thành chuỗi Maclaurin đến vi phân cấp ba
a)
sin
x
u e y
b)
ln(1 )
y x y
c)
2 2
sin( )
u x y
14. Chứng minh
a)
. ' . ' 0
x y
y z x z
với
2 2
( )
z f x y
và
( )
f t
là hàm khả vi.
b)
. " . " 2 ' 0
xx xy x
x z y z z
với
2
( )
xy
z
x y
c)
" " 0
xx yy
z z
với
2 2
ln( )
z x y
d) 2
" . " ( " ) 0
xx yy xy
z z z
với
. ( / )
z y f x y
và
( )
f t
có đạo hàm cấp hai liên tục
15. Tìm hàm
( , )
z z x y
thỏa mãn
a)
' 2 4 , ' 3 4 , (0;1) 0
xy xy
x y
z ye z xe z
b) 2 2 2 2
' 2 3, ' 2 3
x y
z x xy z y x y
c) 2 4 5
" 12 2, ' 30 , (0;0) 1, (1;1) 2
xx y
z x y z x xy z z
16. Tính đạo theo hướng của vector
v
tại điểm
M
a) 2 2
, (1;1), (3;4)
u x y M v
b) 2 3
, (1;2;3), (1;2;2 5)
u xy z M v
17. Tìm cực trị của hàm số
a) 3 2
3 30 18
u x xy x y
b)
2 2
4( )
u x y x y
c)
y
u x y xe

d) 3 2
3 15 12
u x xy x y
e)
4 4 2 2
2
u x y x xy y
f)
2 2
ln( )
u xy x y
g) 2 2
1
u x xy y x y
h)
4 2 2
1
8 (1 )
4
u x x y x
i) 3 3
3
u x y xy
j)
4 4 2
3( )
u x y x y
k) 2 2 2
3 2 8 6
u x y z x y z
l) 2 2 4
3 12 8 2
u x y z y z
m) 3 2 2
12 2
u x y z xy z
18. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số
a)
2 2
u x y
với 2 2
1
x y
b)
2
u x y
với 3
3 0
xy y
c)
2 2
12 2
u x xy y
với 2 2
4 25
x y
d)
2
3
u x y y
với 2 2
3
x y xy

e) 2 2
cos cos
u x y
với
4
x y
f) 2
1
2 khi
1
x y
u x y z
z xy
g)
2 2 2
u x y z
với
2 2 2
1
9 4
x y z
h)
u xyz
với
2 2 2
1
0
x y z
x y z

19. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong miền tương ứng
a)
u x y
trong miền 2 2
25
x y
b)
2 2
u x y
trong miền
2 2
1
4 9
x y
c) 2 2
3
u x y xy xy
trong miền
0 4, 0 3
x y
d)
2 2
3 2 2
u xy x y
trong miền
2 2
( , ) : 9
D x y x y
e) 2 2
2
u x xy y x
trong miền 2 2
x y
f)
2 2
u x xy y
trong miền
1
x y
f)
u x y z

trong miền 2 2
1
x y z
20. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
a) 3 3
4 5 12 0
y xy y x
tại điểm
(1;2)
M b) 23
( ) 0
x
x x y e y
tại điểm
(0;1)
M
c)
2 1
2 , 3 ,
t
x t y t z e
tại điểm
(2;3;1)
M, viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện.
4
21. Tìm tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong
a) 2 2 2
3 2 0
x y z

tại điểm
(1;1; 2)
M b)
0
xy z
tại điểm
(1;1;1)
M
Chương 2
TÍCH PHÂN BỘI
1. Tính các tích phân
a. 2
( )
D
I x xy dxdy
với D giới hạn bởi
, 2 , 2
y x y x x
(Đs
10
I
)
b.
D
I xydxdy
với D giới hạn bởi 2
4 0, 2
x y x y
(Đs
90
I
)
c. 2 2
D
xy
I dxdy
x y
với D là tam giác có các đỉnh là O(0,0), A(3,3), B(3,0). (Đs
9ln 2
4
I)
d. cos( )
D
I x y dxdy
với D xác định bởi
0 ,0
D x y x
. (Đs I
)
e. 2 2
D
x
I dxdy
x y
với D giới hạn bởi
2
,
2
x
y y x
(Đs
ln 2
I
.)
f. 2
( )
D
I x y dxdy
với D giới hạn bởi
2 2
,
y x x y
(Đs
33
140
I)
2. Đổi thứ tự lấy tích phân
a.
2
2
3
1
0
2
( , )
y
y
I dy f x y dx
(Đs
2
1
2 2 1 3 3
2
1
0 0 0 0
2
2
( , ) ( , ) ( , )
x x
I dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy
)
b.
2
1 2
02
( , )
x
x x
I dx f x y dy
(Đs
2
2 2
1 1
1 2 1
0 1
2 2
( , ) ( , )
y
y y
I dy f x y dx dy f x y dx
)
c.
2
1
1
01
( , )
y
y
dy f x y dx
(Đs
2
0 1 1 1
1 0 0 0
( , ) ( , )
x x
I dx f x y dy dx f x y dy
)
3. Đổi biến để tính tích phân
a.
D
I dxdy
với D giới hạn bởi
1 , 2 , 2 1, 2 3
y x y x y x y x
(Đ/s
2
3
I
)
b.
D
I xdxdy
với D xác định bởi
3, 2 1 2 5
x y x x y x
(ĐS
2
I
)
c. 3 2
( ) ( )
D
I x y x y dxdy
với D giới hạn bởi
1, 1, 3, 1
x y x y x y x y
(Đs
20
3
I)
d. 2 2
(4 3 )
D
I x x y dxdy
với D giới hạn bởi 2 2
4 3 0
x y x
(Đs
2
I
)
e. 2 2
ln(1 )
D
I x y dxdy
với D xác định bởi 2 2
1, . 0
x y x y
(Đs
2ln 2 1
2
I
)
f. 2 2
2 2 4
(4 ) x y
D
I x y e dxdy
với D xác định bởi 2 2
1 4
x y
5
g.
D
I xydxdy
với D là nửa trên của hình tròn 2 2
( 2) 4
x y
(Đs
32
3
I
)
h.
2 2
4
D
dxdy
I
x y
với D xác định bởi 2 2 2 ,
x y y x y
(Đs 3
4 2
2
I
)
k.
2
2
D
y
I xy x y dxdy
x
với D xác định bởi 2 2
1 2
x y x
(Đs
4 3
3 12
I
)
l. 2 2
( 1)sin
D
I x x y dxdy
với D xác định bởi
2 2 2 2
4
x y
(Đs
2
6
I
)
m. 2 2
D
I x y dxdy
với D là miền giới hạn bởi
i)
2 2 2
2 2 2
, 0
4
x y a a
x y a
(Đs
3
14
3
a
I
)
ii) Đường hai cánh
sin 2 , 0
r a a
(Đs
3
4
9
a
I)
n.
2 2
2 2
sin
D
x y
I dxdy
x y
với D giới hạn bởi
2
2 2 2 2 2
,
4
x y x y
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a.
2 2
, 2
y x y x x
b.
cos , cos , 0
r a r b b a
(Đs
2 2
( )
4
b a
S
)
c.
(1 cos ), 0
r a a
(Đs
2
3
2
a
S
)
d. 2 2
2 cos2 ,
r a r a
ứng với phần
r a
. (Đs
2
3 3
3
S a
).
e.
0
y
và một nhịp của đường cycloid
( sin ), (1 cos ),0 2 , 0
x a t t y a t t a
(Đs
2
3
S a
)
f. 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 0
x y a x y a
(Đs
2
S a
)
g. 2/3 2/3 2/3
0
x y a a
(Đs
2
3
8
a
S
)
h.
sin 2 0
r a a
5. Tính diện tích của phần mặt:
a.
2 2
z x y
nằm trong mặt trụ 2 2
1
x y
b.
2 2
2 2
x y
z
a b
nằm dưới mặt
1
z
c.
2 2
x y
z
a b
nằm trong mặt
2 2
2 2
1
x y
a b
với
, 0
a b
d.
2 2 2 2
x y z a

nằm trong mặt 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 0
x y a x y a
e.
2 2 2
z x y
nằm trong hình trụ 2 2
1
x y
6. Tính thể tích
a. Phần hình nón
2 2 2
z x y
nằm trong mặt trụ 2 2
1
x y
b.Vật thể giới hạn bởi hai mặt
2 2 2 2 2 2
2 ,
x y z z x y z
lấy phần
2 2
z
x y
(Đs V
)