BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Chia sẻ: Mai Linh | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

718
lượt xem 129
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài 1 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đ ường th ẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đ ường th ẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm to ạ đ ộ các đỉnh của hình chữ nhật. Giải Do B là giao của AB và BD nên toạ độ của B là nghiệm của hệ: Lại có: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên góc gi ữa AC và AB b ằng góc gi ữa AB và BD, kí hi ệu ( với a2+ b2 > 0) lần lượt là VTPT của các đường thẳng AB, BD, AC. Khi đó ta có: - Với a = - b. Chọn a = 1 b = - 1. Khi đó Phương trình AC: x – y – 1 = 0, A = AB ∩ AC nên toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I = AC ∩ BD nên toạ độ I là nghiệm của hệ: Do I là trung điểm của AC và BD nên toạ độ - Với b = - 7a (loại vì AC không cắt BD) Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : . Vi ết phương trình đ ường th ẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6. 2. Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đ ộ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất. Giải Đường tròn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5 Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là ∆ , => ∆ : 3x+y+c=0, c≠2 (vì // với đường thẳng 3x+y-2=0) Vì đường thẳng cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6=> khoảng cách từ tâm I đến ∆ bằng (thỏa mãn c≠2) Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: hoặc . Bài 3: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao và đ ường phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là : (d1) : 3x – 4y + 27 = 0 và (d2) : x + 2y – 5 = 0 Giải PT c¹nh BC ®i qua B(2 ; -1) vµ nhËn VTCP cña (d2) lµm VTPT (BC) : 4( x- 2) + 3( y +1) = 0 hay 4x + 3y - 5 =0 +) Täa ®é ®iÓm C lµ nghiÖm cña HPT : +) §êng th¼ng ∆ ®i qua B vµ vu«ng gãc víi (d2) cã VTPT lµ ∆ cã PT : 2( x - 2) - ( y + 1) = 0 hay 2x - y - 5 = 0 +) Täa ®é giao ®iÓm H cña ∆ vµ (d2) lµ nghiÖm cña HPT : +) Gäi B’ lµ ®iÓm ®èi xøng víi B qua (d2) th× B’ thuéc AC vµ H lµ trung ®iÓm cña BB’ nªn : +) §êng th¼ng AC ®i qua C( -1 ; 3) vµ B’(4 ; 3) nªn cã PT : y - 3 = 0 +) Täa ®é ®iÓm A lµ nghiÖm cña HPT : +) §êng th¼ng qua AB cã VTCP , nªn cã PT : Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn (C) : và đường thẳng d : . Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến hợp với nhau góc 900 + (C) có tâm I(2 , 1) và bán kính R = + là các tiếp điểm ) suy ra : Vậy M thuộc đường tròn tâm I bán kính R/ = và M thuộc d nên M( x , y) có tọa độ thỏa hệ: Vậy có 2 điểm thỏa yêu cầu bài toán có tọa độ nêu trên. a. (S) có tâm bán kính R = 3 + đt a có vtcp , (P) vuông góc với đt a nên (P) nhận làm vtpt Pt mp (P) có dạng :
+ (P) cắt (S) theo đường tròn có bk r = 2 nên d( J , (P) ) = nên ta có : Giải KL : Có 2 mặt phẳng : (P1) : và (P2) : Bài 5 : Trong măt phăng toa độ Oxy cho điêm A(1;1) và đường thẳng : 2x + 3y + 4 = 0. ̣ ̉ ̣ ̉ Tim tọa độ điểm B thuộc đường thẳng sao cho đường thẳng AB và hợp với nhau góc 450 ̀ Giải * có phương trình tham số và có vtcp *A thuộc *Ta có (AB; )=450 *Các điểm cần tìm là Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng . d 2: 3x +6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2. Giải d1 có vectơ chỉ phương ; d2 có vectơ chỉ phương Ta có: nên và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; -1) có phương trình: d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I khi và chỉ khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450 * Nếu A = 3B ta có đường thẳng * Nếu B = -3A ta có đường thẳng Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. Bài 7 : Trong măt phăng với hệ toa độ Oxy, cho tam giac ABC cac đường cao kẻ từ đinh B và đường phân ̣ ̉ ̣ ́ ́ ̉ giac trong cua goc A lân lượt có phương trinh là 3x + 4y + 10=0 và x - y + 1=0; điêm M(0;2) thuôc đường ́ ̉ ́ ̀ ̀ ̉ ̣ thăng AB đông thời cach điêm C môt khoang băng 2 . Tim toa độ cac đinh cuả tam giac ABC. ̉ ̀ ́ ̉ ̣ ̉ ̀ ̀ ̣ ́̉ ́ Giải : Goi d1 ,d2 lân lượt là đường cao kẻ từ đinh B và đường phân giac trong cua goc A ̣ ̀ ̉ ́ ̉ ́ Goi M’(a; b) là điêm đôi xứng cua M qua d2 và I là trung điêm cua MM’. ̣ ̉ ́ ̉ ̉ ̉ a b+2 MM ' = ( a; b − 2 ) , I  ;   2 2  . Vectơ chỉ phương cua d2 là u = (1;1) . Ta có ̉ a + b − 2 = 0  a = 1 MM ' .u = 0  ⇔ a b + 2 ⇔  b = 1 2 − 2 +1 = 0 I ∈ d2   Ta có hê: ̣ Khi đó M’(1 ; 1) thuôc đường thăng AC. Măt khac vectơ chỉ phương v = ( 4;−3) cua đường cao d1 chinh là ̣ ̉ ̣ ́ ̉ ́ vectơ phap tuyên cua đường thăng AC. Do đó phương trinh đường thăng AC là 4(x - 1) – 3(y - 1) = 0 ⇔ ́ ́ ̉ ̉ ̀ ̉ 4x – 3y – 1 = 0. ìx - y +1 = 0 ìx = 4 ï ï ï í 4x - 3y - 1 = 0 Û ï y = 5 í A = d 2 ∩ AC xac đinh bởi hệ ï ï .Vậy A ( 4;5) ï ï î ̣́ î Phương trinh đường thăng AB: ̀ ̉ x−0 y−2 x y−2 = ⇔= ⇔ 3x − 4 y + 8 = 0. 4−0 5−2 4 3 ìx =- 3 ï ì 3x + 4y + 10 = 0 ï ï ï í 3x - 4y + 8 = 0 Û ï y = - 1 . 1 í ï ï B (- 3; - ) B = d1 ∩ AB xac đinh bởi hệ ï î ï 4 ï î ̣́ Vậy 4  4c − 1  C  c; .  3 Đường thăng AC: 4x – 3y – 1 = 0, do đó ̉
C1 (1;1) c = 1 2  4c − 1  ⇔   31 33   MC = 2 ⇔ c +  − 2 = 2 ⇔ 2 c = 31 C2  ; . 3     25 25   25  Ta nhân thây AC1 và AC2 cung chiêu. ̣ ́ ̀ ̀  1 A( 4;5) , B − 3;− , C (1;1).  4 ́ ̣ Kêt luân:  1   31 33  A( 4;5) , B − 3;− , C  , . 4   25 25   ̣ Hoăc Bài 8 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đường thẳng AB, đường cao kẻ từ A và đường trung tuyến kẻ từ B lần lượt có phương trình là x + 4y – 2 = 0, 2x – 3y + 7 = 0 và 2x + 3y – 9 = 0. Giải :  x + 4y − 2 = 0 ⇒ A( −2;1)  2 x − 3 y + 7 = 0 Tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ phương trình  x + 4y − 2 = 0 ⇒ B (6; −1)  2 x + 3 y − 9 = 0 Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ phương trình Đường thẳng BC qua B và vuông góc với đường cao kẻ từ A nên có phương trình là: 3(x – 6) + 2(y + 1) = 0 ⇔ 3x + 2y – 16 = 0. Trung điểm AC thuộc đường trung tuyến kẻ từ B nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ phương trình  3x + 2 y − 16 = 0  ⇒ C (2;5)  x−2 y +1 2 2 + 3 2 − 9 = 0  . Kết luận: A( - 2 ; 1), B(6; -1), C(2; 5). Bài 9 : Trong măt phăng với hệ toa độ Oxy, cho đường tron (C): (x-4) 2 + y2 = 4 và điêm E(4;1). Tim toa độ ̣ ̉ ̣ ̀ ̉ ̀ ̣ điêm M trên truc tung sao cho từ M kẻ được hai tiêp tuyên MA, MB đên đ ường tron (C) v ới A, B la ̀ cac ̉ ̣ ́ ́ ́ ̀ ́ tiêp điêm sao cho đường thăng AB đi qua điêm E ́ ̉ ̉ ̉ Giải : Goi I là tâm đường tron (C) suy ra I(4;0). Xet M(0;a) thuôc truc tung mà từ đó kẻ được hai tiêp tuyên MA, ̣ ̀ ́ ̣ ̣ ́ ́ MB đên đường tron (C). Giả sử ́ ̀ A(x1;y1); B(x2;y2). Ta có MA = ( x1; y1 − a ) , IA = ( x1 − 4; y1 ) . Vì IA ⊥ MA nên ( x1 − 4) x1 + y1 ( y1 − a ) = 0 ⇔ ( x1 − 4) 2 + y12 + 4( x1 − 4) − ay1 = 0. Vì A thuôc (C) nên 4 x1 − ay1 − 12 = 0. Suy ra A thuôc đường thăng ̣ ̣ ̉ 4x – ay – 12 = 0. Tương tự, B thuôc đường thăng 4x – ay – 12 = 0. Do đó phương trinh đường thăng AB là 4x – ay – 12 = 0. ̣ ̉ ̀ ̉ Đường thăng AB đi qua E(4;1) nên a=4. ̉ Điêm cân tim là M(0;4). ̉ ̀̀ Cách khác: pt tiếp tuyến tại A(x1;y1) có dạng ( x 1 - 4) (x - 4) + y 1y - 4 = 0 Vì tiếp tuyến qua M(0;a) nên có ( x 1 - 4) (- 4) + y 1a - 4 = 0 Tương tự, tọa độ B(x2;y2) thỏa ( x 2 - 4) (- 4) + y 2a - 4 = 0 Suy ra pt AB là 4x – ay – 12 = 0. Bài 10 : Trong măt phăng với hệ toa độ Oxy, cho đường tron (C): x + y = 1 . Tim cac giá trị thực cua m để 2 2 ̣ ̉ ̣ ̀ ̀ ́ ̉ trên đường thăng y = m tôn tai đung 2 điêm mà từ môi điêm có thể kẻ được hai tiêp tuyên với (C) sao cho ̉ ̣̀ ́ ̉ ̃ ̉ ́ ́ goc giữa hai tiêp tuyên đó băng 60o. ́ ́ ́ ̀ Giải : Đường tron có tâm O(0 ; 0) và ban kinh R=1. ̀ ́ ́ Giả sử PA, PB là hai tiêp tuyên (A, B là cac tiêp điêm). ́ ́ ́ ́ ̉
ˆ Nêu APB = 60 ⇒ OP = 2 ⇒ P thuôc đường tron (C1) tâm O ban kinh R=2. o • ́ ̣ ̀ ́ ́ 2 2 ˆ APB = 120o ⇒ OP = ⇒P 3 thuôc đường tron (C2) tâm O ban kinh R = 3 . • Nêu ́ ̣ ̀ ́ ́ Đường thăng y = m thoa man yêu câu bai toan căt đường tron (C1) và không có điêm chung với đường tron ̉ ̉ ̃ ̀ ̀ ́ ́ ̀ ̉ ̀ (C2). • Đường thăng y = m căt (C1) ⇔ −2 < m < 2 . ̉ ́ • Đường thăng y = m không có điêm chung với ̉ ̉ 2 2 ⇔m . 3 hoăc 3 ̣ (C2) 2 2 −2
Do đó, ta có: r uuu r  a + 2b = 0  a + 2b = 0 uuuu r  OM + 2ON = 0 ⇔  ⇔  2 − a + 2 ( 2b + 3 ) = 0  a − 4b = 8  8 4 ⇔ a = ,b = − . 3 3 8 2  4 1 M =  ; − ÷ và N=  - ; ÷. 3 3  3 3 Vậy, Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với AB = 5, C (−1; − 1) , đường thẳng AB có phương trình x + 2y – 3 = 0 và trọng tâm của tam giác ABC thuộc đường thẳng x + y – 2 = 0. Hãy tìm tọa độ các đỉnh A và B. Giải : Gọi I(x ; y) là trung điểm của AB và G(xG ; yG) là trọng tâm của ∆ ABC. 2x − 1 2 y −1 2 CG = CI xG = ; yG = . 3 3 3 Suy ra tọa độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình Do nên x + 2 y − 3 = 0  ⇒ I (5; − 1)  2x −1 2 y −1 + −2= 0 3  3 . AB 5 IA = IB = = 2 2 nên tọa độ các điểm A, B là hai nghiệm khác nhau của hệ x + 2 y − 3 = 0  x=4  x=6    5⇔    1  3 1 3 ( x − 5) 2 + ( y + 1) 2 = y=−  4; − ÷,  6; − ÷. y = − 2.    2 hoặc   4 .Tọa độ của các điểm A, B là:  2  2 Bài 14 : Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng vµ träng t©m thuéc ®êng th¼ng : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C Giải Ta cã: AB = , trung ®iÓm M ( ), pt (AB): x – y – 5 = 0. S= d(C, AB).AB = d(C, AB)= Gäi G(t;3t-8) lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)= d(G, AB)= =t = 1 hoÆc t = 2 G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2) Mµ C = (-2; -10) hoÆc C = (1; -1) Bài 15 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 = 1; và phương trình: x2 + y2 – 2(m + 1)x + 4my – 5 = 0 (1) Chứng minh rằng phương trình (1) là phương trình của đường tròn với mọi m.Gọi các đường tròn tương ứng là (Cm). Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C). Giải: (C) có tâm O(0;0) bán kính R = 1, (Cm) có tâm I(m +1; -2m) bán kính OI , ta có OI < R’ Vậy (C) và (Cm) chỉ tiếp xuc trong.==> R’ – R = OI ( vì R’ > R) Giải ra m = - 1; m = 3/5 Bài 16 :Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) tam giác ABC có tr ọng tâm G , đ ường th ẳng trung tr ực c ủa c ạnh BC có phương trình x 3y +8 = 0 và đường thẳng AB có ph ương trình 4x + y – 9 = 0 . Xác đ ịnh t ọa đ ộ các đỉnh của tam giác ABC . Giải Ta có A , B thuộc đường thẳng AB nên A(a ; 9 – 4a) , B( b ; 9 – 4b ) Do G(1 ; là trọng tâm tam giác ABC nên C( - a - b + 3; 4a + 4b – 7) d : x - 3y +8 = 0 có một VTCP là ; Gọi I là trung điểm BC ta có I.d là trung trực của cạnh BC Vậy A(1;5) , B(3;-3) và C (-1 ;9)