intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán – Chuyên đề 26: Ứng dụng phương pháp tọa độ giải hình học không gian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST
Báo xấu
16
lượt xem 2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán – Chuyên đề 26: Ứng dụng phương pháp tọa độ giải hình học không gian" cung cấp phương pháp sử dụng tọa độ để giải quyết các bài toán hình học không gian. Các bài tập trong chuyên đề này bao gồm sử dụng tọa độ trong bài toán đường thẳng, mặt phẳng, góc giữa các mặt phẳng, và khoảng cách trong không gian. Mời các bạn cùng tham khảo các bài tập để hiểu rõ hơn về ứng dụng phương pháp tọa độ trong giải quyết bài toán hình học không gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán – Chuyên đề 26: Ứng dụng phương pháp tọa độ giải hình học không gian

  1. CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 Điện thoại: 0946798489 Chuyên đề 26. ỨNG DỤNG PPTĐ giải HHKG • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương Câu 1. Cho hình lập phương ABCD. ABC D cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm DD  . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và AD . 4a a 2a 3a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 4 Câu 2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  . Nếu tan   2 thì góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  SBC  bằng A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . Câu 3. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,   60o , BC  2a . Gọi D là ABC    điểm thỏa mãn 3SB  2SD . Hình chiếu của S trên mặt phẳng  ABC  là điểm H thuộc đoạn BC sao cho BC  4 BH . Biết SA tạo với đáy một góc 60o . Góc giữa hai đường thẳng AD và SC bằng A. 60o . B. 45o . C. 90o . D. 30o . Câu 4. Cho hình lập phương ABCD. ABC D  có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông AB C D  và M 1 là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO  MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó cosin của góc tạo 2 bởi hai mặt phẳng ( MC D) và ( MAB ) bằng 6 13 7 85 6 85 17 13 A. . B. . C. . D. . 65 85 85 65 Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có AB  a , SA  a 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD . Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng: 3 5 5 15 A. arccos . B. arccos . C. arccos . D. arccos . 5 5 3 5 Câu 6. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. ABC  có đáy là tam giác ABC vuông tại A , AB  3 , AC  4 , 61 AA  . Hình chiếu của B  lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm cạnh BC , M là trung điểm 2 cạnh AB . Cosin của góc tạo bởi mặt phẳng  AMC   và mặt phẳng  ABC  bằng 11 13 33 33 A. B. C. D. 3157 65 3517 3157 Câu 7. Cho hình lăng trụ ABC . AB C  có A. ABC là tứ diện đều cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA và BB . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  CMN  . 2 3 2 2 2 4 2 A. . B. . C. . D. . 5 4 5 13 Câu 8. Cho tứ diện OABC , có OA , OB , OC đôi một vuông góc, M là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC . Gọi khoảng cách từ M đến các mặt phẳng  OBC  ,  OCA ,  OAB  lần lượt là a, b, c . Tính độ dài đoạn OA , OB , OC sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. A. OA  2a , OB  2b , OC  2c . B. OA  4a , OB  4b , OC  4c . C. OA  a , OB  b , OC  c . D. OA  3a , OB  3b , OC  3c . Câu 9. Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OA  OB  OC . Gọi M là trung điểm của BC . Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  2. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 10. Cho hình tứ diệnABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng  ABC  ; AC  AD  4 cm; AB  3 cm và BC  5 cm. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh BD, BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và AN . 6 53 6 106 106 12 106 A. B. . C. . D. . 53 53 53 53 Câu 11. Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng  ABC  ; AC  AD  4 ; AB  3 ; BC  5 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  BCD  bằng 34 6 34 6 4 A. . B. . C. . D. . 34 17 17 34 Câu 12. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABC  , gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho MC  2MS . Biết AB  3, BC  3 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM . 2 21 21 9 21 3 21 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Câu 13. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên SA  a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD . Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng  AMC  và  SBC  bằng 5 2 2 A. . B. . C. 5. D. . 30 30 5   Câu 14. Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD  a , BAC  120o , BAD  60o và tam giác BCD là tam giác vuông tại D . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABD  . a 6 a 6 a 3 A. . B. . C. . D. a 3 . 3 6 3 Câu 15. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O , tam giác SAB cân tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết AB  a , AD  a 3 và đường thẳng SO tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Gọi M là trung điểm của SD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CM . 3a 3a 6a a A. . B. . C. . D. . 2 22 22 22 22 Câu 16. Cho hình chóp S. ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của BC và  H là trung điểm của AM . Biết HB  HC , HBC  30 ; góc giữa mặt phẳng  SHC  và mặt phẳng  HBC  bằng 60 . Tính côsin của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng  SHC  ? 3 13 3 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2 Câu 17. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  và SA  2 . Gọi M , N lần lượt là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD sao cho mặt phẳng  SMC  vuông góc với mặt phẳng  SNC  . Thể tích khối chóp S . AMCN đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 34 8 3 8 4 34 A. . B. . C. 2 3  2 . D. . 3 3 3 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  3. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 Câu 18. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Gọi M và N a 6 lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC , biết MN  . Khi đó giá trị sin của góc giữa 2 đường thẳng MN và mặt phẳng  SBD  bằng 2 3 5 A. . B. . C. . D. 3 . 5 3 5 Câu 19. Cho hình chóp đều S . ABCD có các cạnh đều bằng a . Tính khoảng cách từ A đến  SCD  . a 6 a 2 a 6 A. a 2 . B. . C. . D. . 6 2 3 Câu 20. Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h . Gọi I là trung điểm của cạnh SC . Tính khoảng cách từ S đến ( AIB) . h ah 2ah 2ah A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 2 2 4 h  9a 4 h  9a 4h  9a 4 h 2  9a 2 Câu 21. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Gọi M , N lần lượt là trung     điểm của BC , SC , điểm P  CD sao cho CD  4CP , biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 45 . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  ANP  . 5 2a 7 26a 5 118a 7 5a A. . B. . C. . D. . 59 26 59 13 Câu 22. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 1. Gọi E; F 6 lần lượt là trung điểm các cạnh SA và BC . Biết rằng EF  khi đó sin của góc tạo 2 bởi đường thẳng EF và mặt phẳng  SBD  là 3 3 6 3 A. B. . C. . D. . 6 2 2 3 Câu 23. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC , đáy có cạnh bằng 2a 3 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB , SC . Biết rằng  AMN    SBC  . Tính thể tích khối chóp A.BCMN . 3 15 3 15 3 3 15 3 15 3 A. a . B. a . C. a . D. a . 8 2 4 4 Câu 24. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có AB  AD  a, AA  b. Gọi M là trung điểm của các      cạnh CC  . Giá trị của  BD, BM  .BA bằng   3a 2b 3a 2b 2a 2b 2a 2b A.  . B. . C.  . D. . 2 2 3 3 Câu 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có AB  2a , AD  a và AA  4a . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABD  bằng 4 21a 8 21a 4a 8a A. . B. I  . C. . D. . 21 21 3 3 Câu 26. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có AB  a , AD  2a và AA  3a . Côsin của góc giữa hai đường thẳng AB và AC  là 4 35 4 35 35 35 A. . B.  . C. . D.  . 35 35 7 7 Câu 27. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có độ dài các cạnh AB  a, AD  b, AA  c . Từ A và B lần lượt hạ các đường vuông góc AP  AC  và BQ  AC  . Khi đó độ dài đoạn thẳng PQ là: a 2  c2 a2  c2 a 2  c2 a2  c2 A. . B. . C. . D. . a2  b2  c2 a2  b2  c2 a2  b2  c4 a4  b2  c2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  4. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 28. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có cạnh AB  a , AD  2a và AA  a . Gọi M là điểm AM nằm trong đoạn AD sao cho  3 . Khoảng cách từ M đến mặt phẳng  ABC  bằng MD 3a 5 2a 5 2a a A. . B. . C. . D. . 10 5 3 2 Câu 29. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A BC D có AB  a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC . Biết DM  AN ; góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ACC   bằng  với 2 2 cos   . Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho là 3 2 4 A. V  a 3 . B. V  4a 3 . C. V  2a 3 . D. V  a 3 . 3 3 Câu 30. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D biết AB  a , AD  2a . Gọi H là hình chiếu vuông góc a 84 của A trên AD . Tính khoảng cách giữa AH và AC biết AH  . 7 14 11 14 3 14 14 A. a. B. a. C. a. D. a. 14 28 28 28 Câu 31. Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD , B B . Độ dài đoạn IJ bằng a 3 a 6 a a 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. ABC D độ dài cạnh là 1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD . 3 1 6 A. 1. B. . C. . D. . 2 2 2 6 Câu 33. Cho hình lập phương ABCD. ABC D có độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung điểm AB , N là tâm hình vuông ADDA . Tính bán kính R của mặt cầu ( S ) qua đi qua các điểm C , D, M , N . 27 35 35 27 A. R  (cm). B. R  (cm). C. R  (cm). D. R  (cm). 2 4 2 4 Câu 34. Cho hình lập phương ABCD. ABC D có độ dài cạnh là 2 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD  và BC . 2 3 2 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 3 Câu 35. Cho hình lập phương ABCD. ABC D có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , BC , DD . Tính thể tích khối tứ diện MNPQ . 3 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 8 12 24 Câu 36. Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a. Gọi K là điểm nằm trên cạnh DD sao 2 cho DK  DD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và AD bằng 3 a 3 a 3 2a 3 2a A. . B. . C. . D. . 3 2 3 22 Câu 37. Cho hình lập phương ABCD. ABC D có độ dài cạnh là 12 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AB . Mặt phẳng ( MND) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm A gọi là ( K ) (tham khảo hình vẽ bên dưới). Tính thể tích khối ( K ) . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  5. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 A. 1068 . B. 660 . C. 984 . D. 744 . Câu 38. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác đều và mặt phẳng  C AB  tạo với mặt đáy  ABC  một góc bằng   0o    90o  . Tìm  để hai mặt phẳng  C AB  và  ABC  vuông góc với nhau. A. 60o . B. 45o . C. 30o . D. 36o .  Câu 39. Cho hình lăng trụ ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD  120o . Biết các đường thẳng AA, AB, AC cùng tạo với mặt phẳng  ABCD  một góc bằng 60o . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BB, CC  . Tính khoảng cách giữa AD và mặt phẳng  DMN  3a 7 3a 7 A. . B. 6a . C. 3a 7 . D. . 14 7 Câu 40. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có mặt đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB  1 , AC  3 và AB  2 . Gọi M là trung điểm của đoạn AC . Tính khoảng cách từ M đến  ABC  . 3 1 5 6 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 4 Câu 41. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có độ dài cạnh bên bằng 2a , góc tạo bởi AB và mặt đáy là 60o . Gọi M là trung điểm của đoạn BC . Tính côsin góc tạo bởi hai đường thẳng AC và AM . 3 1 5 6 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 4 Câu 42. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác vuông, BA  BC  a , góc giữa đường thẳng B A và mặt phẳng  ABC  bằng 60o . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và BC . a 3 a 21 a 2 a 21 A. . B. . C. . D. . 4 3 2 7  Câu 43. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có AB  AC  a, BAC  120o , AA  a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , CC  . Côsin của góc giữa mặt phẳng  AMN  và mặt phẳng  ABC  bằng 3 3 3 2 3 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 3 Câu 44. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác vuông cân, AB  AC  a . Gọi G , G lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác ABC  , I là tâm hình chữ nhật ABBA . Tính tỉ số thể tích của khối chóp A.IGCG và thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  . 1 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 11 5 6 Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  6. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/ Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  7. CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 Điện thoại: 0946798489 Chuyên đề 26. ỨNG DỤNG PPTĐ giải HHKG • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương Câu 1. Cho hình lập phương ABCD. ABC D cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm DD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và AD . 4a a 2a 3a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 4 Lời giải Gọi M là trung điểm BB . Ta có: CK // AM  CK //  AMD  . Khi đó: d  CK , AD   d  CK ,  AMD    d  C ,  AMD   . Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ:  a Ta có: A  0;0;0  , B  a;0;0  , D  0; a;0  , A  0;0; a  , B  a;0; a  , C  a; a;0  , M  a;0;  .  2   a        a2  AM   a;0;   , AD   0; a; a  ,  AM , AD    ; a 2 ; a 2  .    2  2   Vậy mặt phẳng  AMD  nhận n  1; 2; 2  làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mp  AMD  : x  2 y  2 z  2a  0 . a  2a  2a a Do đó: d  C ,  ADM     . 3 3 Câu 2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  . Nếu tan   2 thì góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  SBC  bằng A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  8. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Gọi I  AC  BD . Hình vuông ABCD có độ dài đường chéo bằng a 2 suy ra hình vuông đó có cạnh bằng a .  SBD    ABCD   BD  Ta có  SI  BD       SBD  ;  ABCD     SI ; AI   SIA .  AI  BD   SA  SA  a . Ta có tan   tan SIA  AI Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a; a;0  , S  0;0; a  .     Khi đó SA   0;0;  a  ; SC   a; a;  a  ; SB   a;0;  a  .  Mặt phẳng  SAC  có vectơ pháp tuyến n1   1;1;0  .  Mặt phẳng  SBC  có vectơ pháp tuyến n2  1;0;1 .     n1.n2  1  1   SAC  ;  SBC   60 .   Suy ra cos  SAC  ;  SBC     n1 . n2 2. 2 2   Câu 3. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,   60o , BC  2a . Gọi D là ABC    điểm thỏa mãn 3SB  2 SD . Hình chiếu của S trên mặt phẳng  ABC  là điểm H thuộc đoạn BC sao cho BC  4 BH . Biết SA tạo với đáy một góc 60o . Góc giữa hai đường thẳng AD và SC bằng A. 60o . B. 45o . C. 90o . D. 30o . Lời giải a2 a 1 3a 2 a 3 Ta có AH 2  BH 2  BA2  2.BH .BA.cos 60o   a 2  2. .a.   AH  . 4 2 2 4 2 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  9. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 SH 3a tan 60o   SH  AH . 3  . AH 2 3   3   3 Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho H  0;0;0  , C  ;0;0  , A  0; , , 2   2 ; 0  S  0; 0; 2        1    1 3   3  9  3 3 B   ;0; 0  , SB    ; 0;    SD    ; 0;    D   ; 0;   .  2   2 2  4 4  4 4   3 3 3    Ta có DA   ; 4 2 ;4     u  3; 2; 3 là một vtcp của AD .     3  3   SC   ;0;    v  1;0; 1 là một vtcp của SC . Ta có u.v  0  AD  SC 2 2 Vậy góc giữa hai đường thẳng AD và SC bằng 90o . Câu 4. Cho hình lập phương ABCD. ABC D  có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông AB C D  và M 1 là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO  MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó cosin của góc tạo 2 bởi hai mặt phẳng ( MC D) và ( MAB ) bằng 6 13 7 85 6 85 17 13 A. . B. . C. . D. . 65 85 85 65 Lời giải Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1. Chọn hệ trục tọa độ sao cho A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D (0;1; 0) và A(0; 0;1) (như hình vẽ). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  10. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 1 1 1 Khi đó ta có: M  ; ;  .  2 2 3     1 1 2      2 1  Suy ra: AB  (1;0;0), MA   ; ;     AB, MA   0;  ;   n1  (0; 4;3) là VTPT của     2 2 3 3 2 mặt phẳng ( MAB ).    1 1 1     1 1   DC   (1;0;0), MD   ;  ;    DC , MD   0; ;    n2  (0; 2; 3) là VTPT của mặt    3 2  2 2 3 phẳng ( MC D) . cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( MAB ) và ( MC D) bằng:     n1.n2 0.0  4.2  3.(3) 17 13 cos(n1 , n2 )      . n1 . n2 02  ( 4) 2  32 . 02  22  ( 3) 2 65 Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có AB  a , SA  a 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD . Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng: 3 5 5 15 A. arccos . B. arccos . C. arccos . D. arccos . 5 5 3 5 Lời giải Gọi O  AC  BD . a 6 Tam giác SAO vuông : SO  SA2  AO 2  2 Gắn tọa độ như hình vẽ a a  a a a 6 A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a; a;0  , D  0; a;0  , O  ; ;0  , S  ; ;  2 2 2 .  2 2     a 5a a 6  Vì G là trọng tâm tam giác SCD nên G  ; ; . 2 6 6    a a a 6  a    a 5a a 6  a  Ta có : AS   ; ; 2 2 2  2     1;1; 6 , BG   ; ;   3;5; 6 .      2 6 6  6 Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:    BG. AS 3  5  6 5 cos  BG; SA    . BG. AS 40. 8 5 Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  11. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 Câu 6. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. ABC  có đáy là tam giác ABC vuông tại A , AB  3 , AC  4 , 61 AA  . Hình chiếu của B  lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm cạnh BC , M là trung điểm 2 cạnh AB . Cosin của góc tạo bởi mặt phẳng  AMC   và mặt phẳng  ABC  bằng 11 13 33 33 A. B. C. D. 3157 65 3517 3157 Lời giải Gọi H là trung điểm BC . Ta có: BC  AB 2  AC 2  5 Xét tam giác BBH vuông tại H : BH 2  BB2  BH 2  3 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A trùng với O như hình vẽ  3   3  Với A  0;0;0  , B  0;3;0  , C  4;0;0   H  2; ;0  là trung điểm BC  B  2; ;3   2   2       3   3  Do BB  AA  CC   A  2;  ;3  ; C   6;  ;3   M  2;0;3  2   2       3       AM   2;0;3 ; AC    6;  ;3  nên vectơ pháp tuyến  MAC   là n  MAC   AM , AC     2  9    ;12; 3  2    9    3       AB   2; ; 3  ; AC   2; ; 3  nên vectơ pháp tuyến  ABC  là n  ABC   AB, AC     2   2    9; 12; 12  Gọi  là góc tạo bởi mặt phẳng  AMC   và mặt phẳng  ABC  .   9 .  9   12.  12   3.  12  n  MAC .n  ABC  2 33 cos      = . 2 n  MAC . n  ABC  9 2 2 2 2 2 3157    12   3 .  9    12    12   2 Câu 7. Cho hình lăng trụ ABC . AB C  có A. ABC là tứ diện đều cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA và BB . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  CMN  . 2 3 2 2 2 4 2 A. . B. . C. . D. . 5 4 5 13 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  12. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Gọi O là trung điểm của AB . Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho O  0;0;0  , 1   1   3   3  a 6  3 6 A  ;0;0  , B   ;0; 0  , C  0;  ,  2 ;0  H  0; 6 ;0    , AH   A  0;  6 ; 3  2   2      3        3 6  Ta có AB  AB  B  1;  ;  . Dễ thấy  ABC  có vtpt n1   0; 0;1 .  6 3   1 3 6   3 3 6  M là trung điểm AA  M  ; ;  4 12 6   , N là trung điểm BB  N  ;  4 12 ; 6           1 5 3 6   MN   1;0;0  , CM   ;  4 12 ; 6        6 5 3 3   CMN  có vtpt n2   0;  6 ; 12  12    0; 2 2;5    5 1 2 2 cos    tan   2 1  33 cos  5 Câu 8. Cho tứ diện OABC , có OA , OB , OC đôi một vuông góc, M là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC . Gọi khoảng cách từ M đến các mặt phẳng  OBC  ,  OCA ,  OAB  lần lượt là a, b, c . Tính độ dài đoạn OA , OB , OC sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. A. OA  2a , OB  2b , OC  2c . B. OA  4a , OB  4b , OC  4c . C. OA  a , OB  b , OC  c . D. OA  3a , OB  3b , OC  3c . Lời giải Xét hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A thuộc tia Ox ; B thuộc tia Oy ; C thuộc tia Oz . Ta có d  M ,  OBC    a ; d  M ,  OCA   b ; d  M ,  OAB    c .  M  a; b; c  . x y z  ABC  :    1. OA OB OC a b c abc M  a; b; c    ABC   1     33 . OA OB OC OA.OB.OC 27 abc 9abc 9abc 9abc  1  2  2  VOABC  . OA.OB.OC 1 VOABC 2 OA.OB.OC 6 Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  13. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12  a b c OA  3a  OA  OB  OC   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   OB  3b . 1  a  b  c OC  3c  OA OB OC   Câu 9. Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OA  OB  OC . Gọi M là trung điểm của BC . Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 . Lời giải Đặt OA  OB  OC  1 . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó O  0;0; 0  , B 1;0;0  , C  0;1;0  , A  0;0;1 và 1 1  M  ; ;0  . 2 2    1 1     Ta có OM   ; ;0  , AB  1;0; 1 2 2      1 OM . AB 1  cos  OM , AB    2    OM , AB   60 . OM . AB 2 1 1 2 2 2 2      . 1 1 2 2 Câu 10. Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng  ABC  ; AC  AD  4 cm; AB  3 cm và BC  5 cm. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh BD , BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và AN . 6 53 6 106 106 12 106 A. B. . C. . D. . 53 53 53 53 Lời giải z D M A y C B N x Ta có: AB 2  AC 2  BC 2  25 nên ABC vuông tại A . Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như hình vẽ: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  14. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Suy ra O  A  0;0;0  , B  3;0;0  , C  0;4;0  , D  0;0; 4  . 3  3    3    3    Ta có M  ; 0; 2  N  ; 2; 0  . Suy ra AN   ; 2; 0  , CM   ;  4; 2  ; AC   0; 4;0  2  2  2  2           AN , CM    4,  3,  9  ;  AN , CM  . AC  12     Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng AN , CM là:      AN , CM  . AC 12 6 106   d  AN , CM       .  AN , CM  2 4 3 9 2 2 53   Câu 11. Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng  ABC  ; AC  AD  4 ; AB  3 ; BC  5 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  BCD  bằng 34 6 34 6 4 A. . B. . . C. D. . 34 17 17 34 Lời giải 2 2 2 Ta có AB  AC  9  16  BC  ABC vuông tại A . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó A  0;0;0  , B  3;0;0  , C  0;4;0  , D  0;0; 4  . x y z Phương trình mặt phẳng  BCD  :    1  4 x  3 y  3 z  12  0 . 3 4 4 12 6 34 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  BCD  là: d   . 16  9  9 17 Câu 12. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABC  , gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho MC  2MS . Biết AB  3, BC  3 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM . 2 21 21 9 21 3 21 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Lời giải Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  15. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12  3 3  3  3  Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: H  0;0;0  , S  0;0;  , A   ;0;0  , B  ;0;0  ,   2   2  2    3  C   ;3 2 ;0  .  2      1  Do MC  2MS nên CM  2MS  M   ; 2 ; 3  .  2          Ta có BM  2; 2 ; 3 , AC  0;3 2 ; 0 , AM  1; 2 ; 3 .               Suy ra  BM , AC   3 6 ; 0;  6 2   BM , AC  . AM  3 6  6 6  9 6 .         BM , AC  . AM 9 6 9 6 3 21   Vậy d  BM , AC         .  BM , AC  2 2 3 14 7      3 6  6 2  Câu 13. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên SA  a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD . Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng  AMC  và  SBC  bằng 5 2 2 A. . B. . C. 5. D. . 30 30 5 Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
  16. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  a A  0;0;0  , B  2a ;0;0  , D  0; 2a ;0  , C  2a ; 2a ;0  , S  0;0; a  , M  0; a ;  .  2     a  a SB   2a ;0;  a  , SC   2a ; 2a ;  a  , MA   0;  a ;   , MC   2a ; a ;   .      2  2     Vectơ pháp tuyến của  SBC  là n1   SB , SC    2a 2 ;0; 4a 2         Vectơ pháp tuyến của  MAC  là n2   MA , MC    a 2 ;  a 2 ; 2a 2  .   Gọi  ( 0    90 ) là góc tạo bởi hai mặt phẳng  AMC  và  SBC  .      n1 .n2 2a 2 .a 2  4a 2 .2a 2  Ta có cos   cos n1 , n2     n1 . n2   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  2 a    4a  .  a     a    2 a  10a 4 5   . 4 2 30 20.6.  a    Câu 14. Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD  a , BAC  120o , BAD  60o và tam giác BCD là tam giác vuông tại D . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABD  . a 6 a 6 a 3 A. . B. . C. . D. a 3 . 3 6 3 Lời giải Do AB  AC  AD  a nên A nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Gọi H là trung điểm BC . Suy ra H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  17. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 Suy ra AH   BCD  .  Tam giác ABD cân tại A và có BAD  60 nên suy ra tam giác ABD đều.  Tam giác ABC có BC 2  AB2  AC 2  2 AB.AC.cos BAC  a2  a2  2.a.a.cos120  3a2 . Suy ra BC  a 3 . 2 2 2 a 3 2 a Tam giác AHB vuông tại H nên ta có AH   2  2. AB  BH  a      2 Tam giác BCD vuông tại D nên ta có CD  BC 2  BD 2  a 3  a2  a 2 . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. a a 2  a a 2 a   D  0;0;0  , B  a;0;0  , C 0; a 2; 0 , H  ; 2 2 ;0  , A  ;  2 2 ;2 .       a a 2 a    a a 2 a      a 2 a 2 2   Ta có AB   ;  2 ;   , AD    ;  ;   . Suy ra  AB, AD    0; ;     2 .  2 2   2  2 2   2       a 2 a 2 2   Mặt phẳng  ABD  qua D  0;0;0  và có VTPT n   AB, AD    0; ;     2  có phương trình:  2   a2 a2 2 y z  0  y  2z  0 . 2 2 a 2 a 6 Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABD  là: d  C ,  ABD     . 3 3 Câu 15. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O , tam giác SAB cân tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết AB  a , AD  a 3 và đường thẳng SO tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Gọi M là trung điểm của SD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CM . 3a 3a 6a a A. . B. . C. . D. . 2 22 22 22 22 Lời giải Gọi H là trung điểm của AB  SAB    ABCD     SAB    ABCD   AB  Ta có   SH   ABCD  . SH   SAB   SH  AB    3a Góc giữa SO và mặt đáy là góc SOH  60  SH  HO. tan 60  . 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
  18. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Gắn hình chóp S . ABCD vào hệ trục tọa độ như hình vẽ, chọn a  1 ta có tọa độ của các điểm như  3   1  1  1   1   1 3 3 sau: H  0;0;0  ; S  0;0;  ; A  ; 0;0  ; B  ;0;0  ; C  ; 3;0  ; D   ; 3; 0  ; M    4 2 ; 4 .   2  2  2  2   2      1 3  1 1  SA   ;0;   1;0;3  u1  2 2  2 2   3  3 3   3 3   CM   ;  4 ;  2 4 4    3; 2; 3  4 u2          u1 , u2   6; 4 3; 2 ; AC  1; 3;0           u1 , u2   36  48  4  2 22; u1 , u2  . AC  6  12  6.         u1 , u2  . AC 3   Ta có d  SA, CM      . u1 , u2  22   Do đó ta chọn đáp án B. Câu 16. Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của BC và  H là trung điểm của AM . Biết HB  HC , HBC  30 ; góc giữa mặt phẳng  SHC  và mặt phẳng  HBC  bằng 60 . Tính côsin của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng  SHC  ? 3 13 3 1 A. . B. . .C. D. . 2 4 4 2 Lời giải Từ M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM , HB  HC suy ra AM  BC , hay tam giác ABC cân đỉnh A . a  a 3 a 3 Đặt BC  a  BM  . Do HBC  30 suy ra HM   AM  . 2 6 3 Đặt SA  b . Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ: Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  19. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 z S A C H x M B y a a 3   a a 3   a 3  Ta có A  0;0;0  , B  ; 2 3 ;0  , C   ;   2 3 ;0  ; H  0;   ;0  , S  0; 0; b  .       6    a a 3    a 3   Ta có HC    ;  2 6 ;0  ; SH   0;   ; b  .     6      ab 3 ab a 2 3  Nên  HC , SH        ; ; .  6 2 12    Suy ra  SHC  có một véc-tơ pháp tuyến là n1  2b 3; 6b; a 3 .    Mặt phẳng  HBC  có một véc-tơ pháp tuyến là k   0;0;1 . Góc giữa mặt phẳng  SHC  và mặt phẳng  HBC  bằng 60 nên   n1.k a 3 cos   SHC  ,  HBC       cos 60o  n1 . k 12b 2  36b 2  3a 2 a 3  12b 2  36b 2  3a 2  2 a 3  b  . 4   3a 3a 3   Khi đó n1   ;  2 ; a 3  , đường thẳng BC có véc-tơ chỉ phương i  1;0;0  .   2  Gọi  là góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng  SHC  , ta có   3a n1.i 2 3 sin       . n1 . i 9a 2 27a 2 4   3a 2 4 4 2  3 2 13 Do đó cos   1  sin   1    4   4 .    Câu 17. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  và SA  2 . Gọi M , N lần lượt là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD sao cho mặt phẳng  SMC  vuông góc với mặt phẳng  SNC  . Thể tích khối chóp S. AMCN đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 34 8 3 8 4 34 A. . B. . C. 2 3  2 . D. . 3 3 3 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
  20. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ trên sao cho A  0;0;0  , B  2;0;0  , C  2; 2;0  , D  0; 2;0  , S  0;0; 2  . Đặt AM  m , AN  n , m, n   0; 2 , suy ra M  m;0;0  , N  0; n;0  .      SM   m;0; 2  , SC   2; 2; 2  , SN   0; n; 2      Khi đó VTPT của mặt phẳng  SMC  là a   SM , SC    4; 2m  4; 2 m  .        VTPT của mặt phẳng  SNC  là b   SN , SC    4  2n; 4; 2 n  .   Do hai mặt phẳng  SMC  và  SNC  vuông góc với nhau nên ta có  a.b  0  4  4  2n   4  2m  4   4mn  0  mn  2  m  n   8 . (*) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức cô – si ta có 2 2 mn  mn mn     mn  2  m  n      2m  n  2   2  2  m  n  2 m  n  8  0 m  n  4 3  4 Kết hợp với (*) ta được    . 4  m  n  4 3  4  Do m, n  0 nên m  n  4 3  4 . 1 1 1 1 Ta có S BMC  .BM .BC   2  m  .2  2  m , S DNC  .DN .DC   2  n  .2  2  n . 2 2 2 2 Khi đó ta có S AMCN  S ABCD  S BMC  S DNC  4   2  m    2  n   m  n  4 3  4 . 1 2 8 3 8 Vậy VS . AMCD  .SA.S AMCN   m  n   . 3 3 3 m  n  Dấu "  " xảy ra khi   m  n  2 32. m  n  4 3  4  Câu 18. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Gọi M và N a 6 lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC , biết MN  . Khi đó giá trị sin của góc giữa 2 đường thẳng MN và mặt phẳng  SBD  bằng 2 3 5 A. . B. . C. . D. 3. 5 3 5 Lời giải Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
86=>2