Bài tập Toán: Phương pháp tọa độ trong không gian

Chia sẻ: Dinh Phuc | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

1.273
lượt xem 308
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một số bài tập phương pháp tọa độ trong không gian giúp các bạn ôn tập, có thêm kiến thức để chuẩn bị cho kỳ thi cao đẳng, đại học, Chúc các bạn thành công.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập Toán: Phương pháp tọa độ trong không gian

5) chứa trục Ox PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ 6) chắn ra trên các trục tọa độ các đoạn TRONG KHÔNG GIAN thẳng bằng nhau và khác 0. $1. MẶT PHẲNG 7) vuông góc với (Q): 2x – y + z - 1 = 0 =================== và song song với trục tung Dạng 1. Bài tập cơ bản Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng Bài 1. Cho 3 điểm A(0;-1;1), B(1;0;0) trung trực của đoạn AB, với A(3;5;-2), và C(-1;2;0) B(-1;1;4). 1) Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Bài 4. Cho 4 điểm A(-1;2;0), B(1;0,3), 2) Tìm chu vi và diện tích ∆ ABC C(0;0;5) và D(-2;3;1) 3) Tìm tọa độ trung điểm các cạnh và 1) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 tọa độ trọng tâm ∆ ABC đỉnh của 1 tứ diện. 2) Viết phương trình mặt phẳng Bài 2. Cho 3 điểm A(1;0;1), B(-1;-1,0) (BCD). và C(2;1;1) 3) Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A 1) Chứng minh rằng 3 vectơ của tứ diện. OA, OB, OC không đồng phẳng 4) Tính thể tích của tứ diện. 2) Tính thể tích hình chóp OABC. 5) Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3) Tìm trên mặt phẳng Oyz các điểm AB và song song với CD. cách đều A, B, C. 6) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với CD. Từ đó tính Dạng 2. Phương trình mặt phẳng khoảng cách từ điểm A đến đường Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) thẳng CD. thỏa mãn 1) đi qua điểm A(1;-1;3) và có véc tơ Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng đi pháp tuyến (1;0;-3) qua điểm A(2;-3;1), B(-1;0;2) và: 2) đi qua điểm B(2;0;1) và có cặp véc 1) song song với trục hoành. tơ chỉ phương là (1;-1;0), (-2;1;2) 2) vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – y 3) đi qua các hình chiếu của M(1;-1;3) + 3z + 1 = 0. trên các trục tọa độ. Bài 6. Cho ∆ OAB đều trong mp(Oxy) Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) có cạnh bằng a, đường thẳng AB // Oy, đi qua A(1;-1;3) và thỏa mãn điểm A ∈ góc phần tư thứ nhất của 1) vuông góc với trục tung mp(Oxy). Xét điểm S(0;0;a/3) 2) song song với mặt phẳng (Oxz) 1) Xác định tọa độ các điểm A, B và 3) song song với mặt phẳng trung điểm E của đoạn OA. Sau đó viết (P): 2x + 3y – z + 3 = 0 phương trình mặt phẳng (P) chứa SE 4) vuông góc với các mặt phẳng (Q): x và song song với Ox. – y + 1 = 0 và (R): -4x + 2y + 4z – 1 = 0 1
2) Tính khoảng cách từ O đến mp(P), 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa từ đó suy ra khoảng cách từ Ox đến SE. đường thẳng d1 và // d2. Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng Bài 4. Cho A(-1;0;2) và đường thẳng đi qua điểm M(2;4;3) và cắt 3 tia Ox, x −1 y z + 2 Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho th ể == d: tích tứ diện OABC nhỏ nhất. −2 1 2 1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua Bài 8. Viết phương trình mặt phẳng A và chứa đường thẳng d đi qua M(-4;-9;12) và cắt 3 tia Ox, Oy, 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa d Oz lần lượt tại A(2;0;0), B, C sao cho và cách A một khoảng bằng 1. OB = 1 + OC (B, C ≠ O) Bài 5. Cho phương trình đường thẳng Dạng 3. Ph.trình chùm mặt phẳng 3 x − 2 y + z − 3 = 0 d:  Bài 1. Cho các mặt phẳng x − 2 z = 0 (P): x – 2y + z – 1 = 0 và mp(P): 3x + 4y - 6 = 0. (Q): 3x + y + m.z + 2 = 0 1) Tìm góc tạo bởi đường thẳng d và (R): 2x + 2y – z = 0. mp(P). 1) Tìm m để (P) ⊥ (Q). 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa 2) Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng d và vuông góc với mặt giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và phẳng (P). (Q), đồng thời ⊥ (R), với m tìm được ở 3) Viết phương trình mặt phẳng đi qua trên. đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P) một góc 600. Bài 2. Cho phương trình đường thẳng x − 2 y − 1 = 0 6.ĐHA’02. Cho các đường thẳng d:  3 x + 2 z + 3 = 0 x = 1 + t x − 2 y + z − 4 = 0  và (P): 2x + 5y + 3z + 5 = 0 và ∆ 2:  y = 2 + t ∆ 1:  x + 2 y − 2 z + 4 = 0 1) Chứng minh rằng d // (P).  z = 1 + 2t  2) Viết phương trình mặt phẳng chứa 1) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và // mp(P). đường thẳng ∆ 1 và // đường thẳng ∆ 2. 2) Cho điểm M(2;1;4). Tìm H ∈ ∆ 2 sao Bài 3. Cho phương trình đường thẳng  x = 1 + 2t cho MH có độ dài nhỏ nhất. x + y + 3 = 0  và d2:  y = 5t d1:  x −1 y + 2 z +1 3 y + z + 3 = 0  z = −2 + t = = 7.ĐHD’05. Cho d1:  −1 3 2 1) Viết phương trình mặt phẳng chứa x + y − z − 2 = 0 đường thẳng d1 và ⊥ d2 và d2:   x + 3 y − 12 = 0 2
1) Chứng minh rằng d1 // d2. Viết Viết phương trình đường thẳng đi qua phương trình mặt phẳng chứa cả hai điểm A, //(P) và ⊥ d. đường thẳng trên. 2) Mặt phẳng (xOz) cắt d1 và d2 lần Bài 5. Cho A(1;-3;-2), các mặt phẳng lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích (P): x – 2y +3z +2 = 0 và (Q): 4x–3z = ∆ OAB. 0. $2. ĐƯỜNG THẲNG Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và song song với (P), (Q). =================== Dạng 1. Phương trình đường thẳng Bài 6. Cho điểm A(1;-2;3), đường Bài 1. Viết phương trình đường thẳng x+2 y z −5 == ∆: thẳng d: , biết rằng −1 1 2 1) đường thẳng đi qua A(-1;2;4) và  x = 1 − 2t x y − 3 z +1  song song với d: = = y = 2 + t 3 −2 2  z = 3t  2) đường thẳng đi qua A(-1;2;4) Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 x − y + z − 1 = 0 và // với d:  điểm A, ⊥ với d và ⊥ ∆ . x + y + z = 0 3) đường thẳng đi qua B(-2;1;1) và Bài 7. Cho điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và vuông góc (P): 2x – y + z – 3 = 0. mp(P): 3x – 8y + 7z – 1 = 0 1) Tìm tọa độ giao điểm I của Bài 2. Cho điểm M(0;3;1) và N(-3;2;-2). đường thẳng đi qua A, B với 1) Viết phương trình đường thẳng mp(P). đi qua hai điểm M, N. 2) Tìm tọa độ điểm C trên mp(P) 2) Tìm điểm P trên đường thẳng sao cho ∆ ABC là tam giác đều. MN sao cho đoạn PQ nhỏ nhất, trong đó Q(-1;1;-1). Bài 8. Cho 3 điểm A(0;-1;1), B(3;1;0), C(-2;2;-1) Bài 3. Cho điểm A(2;-3;1) và mặt 1) Tìm tập hợp tất cả các điểm phẳng (P): x – 3y + z = 0. trong không gian cách đều A, B, 1) Tìm hình chiếu của điểm A trên C. mặt phẳng (P). 2) Viết phương trình đường thẳng 2) Tìm điểm đối xứng của điểm A đi qua trọng tâm ∆ ABC và ⊥ qua mặt phẳng (P). (ABC). Bài 4. Cho điểm A(2;-3;1), mặt phẳng Dạng 2.Điểm, đường thẳng,mặt (P): x – 2y + 3z +2 = 0 và đường th ẳng phẳng x+2 y z −5 == Bài 1. Cho phương trình đường thẳng d: . −1 1 2 d: 3
x − 3 y z −1 2) Tìm góc tạo bởi d và mp(P). = = và (P): x + y + z = 0 3) Viết phương trình đường thẳng −1 2 3 là hình chiếu vuông góc của d lên 1) Xác định giao điểm A của d và mp(P). (P) 2) Viết phương trình đường thẳng Bài 5. Cho phương trình đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với d 2 x − y − 11 = 0 và nằm trong (P). d1:  x − y − z + 5 = 0 Bài 2. Cho phương trình đường thẳng x−5 y −2 z −6 = = và d2: d1: 2 1 3  x = 1 + 2t 1) Chứng minh rằng d1 và d2 cùng y +1 z + 3  x , d2:  y = −3t = = thuộc một mặt phẳng. −2 1 3  z = −2 + 3t 2) Viết phương trình mặt phẳng  chứa d1 và d2. và mp(P): x – 2y + z – 1 = 0. 3) Viết phương trình đường thẳng Viết phương trình đường thẳng vuông là hình chiếu song song của d1 lên góc với mp(P) đồng thời cắt cả hai mặt phẳng (P): 3x – 2y - 2z -1 = đường thẳng d1 và d2. 0 theo phương d2. Bài 3. Cho điểm A(1;-2;2) và phương Bài 6. Cho điểm A(1;2;1), B(2;1;3) và x − y + z − 1 = 0 mp(P): x – 3y + 2z – 6 = 0. trình đường thẳng d1:  x + y + z + 1 = 0 1) Viết phương trình mặt phẳng x +1 y −1 z (Q) đi qua A, B đồng thời vuông = = và d2: góc với mp(P). −3 1 1 2) Tìm điểm H trên mp(P) sao cho 1) Viết phương trình đường thẳng khoảng cách AH ngắn nhất. đi qua điểm A, đồng thời cắt cả 3) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua hai đường thẳng d1 và d2. mp(P). 2) Viết phương trình đường thẳng 4) Tìm M trên mặt phẳng (P) sao đi qua điểm A, vuông góc với d1 cho MA + MB nhỏ nhất. và cắt đường thẳng d2. 5) Tìm M trên mặt phẳng (P) sao 3) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, đồng thời vuông cho MA + MB nhỏ nhất. góc với cả hai đường thẳng d1 và d2. Bài 7. Cho phương trình đường thẳng 4) Tính góc tạo bởi d1 và d2.  x = 1 + 2t  d:  y = 2 − t và (P): x – 2y + z – 1 = 0. Bài 4. Cho phương trình đường thẳng  z = 3t y +1 z + 3 x  = = d: −2 1 3 và mp(P): x – 2y + z – 1 = 0. 1) Tìm giao điểm của d và mp(P). 4
1) Tìm điểm M trên d sao cho Xác định m để đường thẳng dm ⊥ (P). khoảng cách từ nó đến (P) bằng 1. 12.ĐHB’04. 2) Tìm điểm đối xứng của điểm  x = −3 + 2t  I(2;-1;3) qua đường thẳng d. Cho A(-4;-2;4) và d:  y = 1 − t 3) Tìm m để góc tạo bởi d và  z = −1 + 4t  mp(Q): 2x – y + m.z – 1 = 0 bằng Viết phương trình đường thẳng đi qua 450. điểm A, cắt và vuông góc với d. Bài 8. Cho tứ diện có bốn đỉnh là A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8) và gốc tọa 13.ĐHA’05. độ O. Cho mp(P): 2x + y – 2z + 9 = 0 và x −1 y + 3 z − 3 1) Chứng minh rằng SB ⊥ OA. = = đường thẳng d: 2) Chứng minh rằng hình chiếu của −1 2 1 SB lên mp(OAB) là đường thẳng 1) Tìm tọa độ điểm I trên d sao cho ⊥ OA. Gọi K là giao điểm của khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2. hình chiếu đó với OA. Xác định 2) Tìm tọa độ giao điểm A của đường tọa độ K ? thẳng d và mp(P). Viết phương trình 3) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm tham số của đường thẳng ∆ nằm trong các cạnh SO và AB. Tìm M trên mp(P), biết ∆ đi qua A và ⊥ d. đường thẳng SB sao cho đường thẳng PQ và KM cắt nhau. Dạng 3. Hai đường thẳng Bài 1. Cho phương trình đường thẳng 9.ĐHD’02. Cho mp(P): 2x – y + 2 = 0 4 x − 5 y + 9 = 0 d1:  (2m + 1) x + (1 − m) y + m − 1 = 0 3 x − 5 z + 7 = 0 và dm:  mx + ( 2m + 1) z + 4m + 2 = 0 x −1 y +1 z − 2 = = và d2: Xác định m để đường thẳng dm // 4 2 3 mp(P). 1) Chứng minh rằng hai đường thẳng cắt nhau. 10.ĐHB’03. Cho A(2;0;0), B(0;0;8) và 2) Viết phương trình mặt phẳng điểm C sao cho AC =(0;6;0). Tính chứa cả hai đường thẳng đó. khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. Bài 2. Cho phương trình đường thẳng  x = −1 + 3t 3 x − 2 y − 8 = 0  11.ĐHD’03. Cho (P): x – y – 2z + 5 = 0 d1:  y = −3 − 2t và d2:   x + 3my − z + 2 = 0 5 x + 2 z − 12 = 0 z = 2 − t và dm:   mx − y + z + 1 = 0 1) Chứng minh rằng hai đường thẳng trên là chéo nhau. 2) Tính khoảng cách giữa chúng. 5
3) Viết phương trình đường vuông 2) Viết phương trình mặt cầu (S) có góc chung của chúng. tâm là I và (S) cắt mp(Q) theo thiết diện là hình tròn có diện tích 20π. Bài 3. Cho phương trình đường thẳng Bài 3. Cho điểm I(1;-2;-1) và đường x −1 y z+2 x = 2 + t  x = 2 − 2t = = thẳng d:   −3 1 2 d1:  y = 1 − t và d2:  y = 3 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm  z = 2t z = t   là I và (S) cắt đường thẳng d tại hai 1) Chứng minh rằng hai đường thẳng điểm A, B sao cho AB = 4. trên là chéo nhau. Bài 4. Cho A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3) 2) Viết phương trình đường vuông và D(-2;1;1) góc chung của chúng. 1) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn 3) Viết phương trình mặt phẳng song đỉnh của một tứ diện. song và cách đều d1 và d2. 2) Chứng minh rằng tứ diện đó có các cặp cạnh đối vuông góc nhau. 4.ĐHD’05. Cho các đường thẳng 3) Viết phương trình mặt cầu ngoại x −1 y + 2 z +1 tiếp tứ diện ABCD. = = d1: −1 3 2 Bài 5. Cho mặt cầu có phương trình x + y − z − 2 = 0 (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 4z = 0 và d2:  1) Xác định tọa độ tâm và tính bán kính  x + 3 y − 12 = 0 của mặt cầu. 1) cmr d1 // d2. Viết phương trình mặt 2) Cọi A, B, C lần lượt là các giao phẳng chứa cả hai đường thẳng trên. điểm ( khác gốc tọa độ) của (S) với các 2) mp (xOz) cắt hai đường thẳng d 1 và trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Viết phương d2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính trình mặt phẳng (ABC). diện tích ∆ OAB. 3) Xác định tọa độ chân đường vuông $3. MẶT CẦU góc hạ từ tâm mặt cầu xuống ================ mp(ABC). Dạng 1. Phương trình mặt cầu Bài 6. ( Phương trình đường tròn trong Bài 1. Cho điểm I(2;-1;3) và mặt phẳng không gian) (P): x – 3y + z + 2 = 0. Cho mp(P): x + z + 1 = 0 và mặt cầu 1) Viết phương trình mặt cầu có tâm là (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 4z = 0 I và tiếp xúc với mp(P). 1) Xác định tọa độ tâm và tính bán kính 2) Xác định tọa độ tiếp điểm. của mặt cầu. Bài 2. Cho mp(P): 5x – 4y + z – 6 = 0 , 2) Viết phương trình đường tròn (C) là mp(Q): 2x – y + z + 7 = 0 và đường giao tuyến của (S) và mp(P). Xác định x − y + 2z − 3 = 0 tọa độ tâm và tính bán kính của (C). thẳng d:  − x + 3 y + z = 0 7.ĐHD’04. Cho A(2;0;1), B(1;0;0), 1) Tìm tọa độ giao điểm I của đường C(1;1;1) và mp(P): x + y + z – 2 = 0. thẳng d và mp(P). Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm trên mp(P). 6
và BQ vuông góc và cắt đường chéo Dạng 2. Bài toán tiếp xúc AC’. Tính độ dài PQ theo a, b, c. Bài 1. Cho phương trình mặt phẳng Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD. Tìm tập hợp các điểm M sao cho tổng bình (P): (8 + m)x – (11+m)y + 2(4–m)z – 30 phương các khoảng cách từ M tới các = 0 và (S): x2 + y2 + z2 –2x–6y + 4z – 15 mặt của tứ diện = hằng số k2 cho =0 Tìm m để (P) tiếp xúc với (S). trước. 4.ĐHA’02. Cho hình chóp tam giác đều Bài 2. Cho (S): (x+1)2 + y2 + (z–2)2 = 2 x y −1 z +1 S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi và d: = = , (m ≠ 0) M, N lần lượt là trung điểm các cạnh 1 −2 m SB và SC. Tính theo a diện tích ∆ AMN, Tìm m để d tiếp xúc với (S). biết rằng mp(AMN) ⊥ mp(SBC). 3.TN’05. Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 5.ĐHB’02. Cho hình lập phương – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a. x + 2 y − 2 = 0 x −1 y z == và d2:  d1: 1) Tính theo a khoảng cách giữa hai x − 2 z = 0 −1 1 −1 đường thẳng A’B và B’D. 1) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau. 2) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm 2) Viết phương trình tiếp diện của mặt các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa cầu (S), biết tiếp diện đó // với d 1 và hai đường thẳng MP và C’N. d2. 6.ĐHD’02. Cho tứ diện ABCD có cạnh 4.TN’06. Cho A(1;0;-1), B(1;2;1), AD ⊥ mp(ABC), AC = AD = 4cm, AB C(0;2;0). Gọi G là trọng tâm ∆ ABC. = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ 1) Viết phương trình đường thẳng OG. A tới mp(BCD). 2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại 7.ĐHA’03. tiếp tứ diện OABC. lập phương 1) Cho hình 3) Viết phương trình các mặt phẳng ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo góc vuông góc với OG và tiếp xúc với (S). phẳng nhị diện [B,A’C,D]. 4) Viết pt mặt cầu đường kính OG. 2) Trong không gian với hệ tọa độ $4. GIẢI TOÁN HHKG BẰNG Oxyz, cho hình hộp chữ nhật CÁCH CHỌN HỆ TỌA ĐỘ ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc O, ================ B(a;0;0), D(0;a;0), A’(0;0;b), a > 0, b > Bài 1. Cho tứ diện OABC có các cạnh 0. Gọi M là trung điểm CC’. OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M = a, OB = b, OC = c. Gọi M, N, P lần theo a và b. lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, b) Tìm tỉ số a/b để (A’BD) ⊥ (MBD). CA. Chứng minh rằng mp(OMN) ⊥ 8.ĐHD’03. Cho hai mp(P) và mp(Q) 1 1 1 vuông góc nhau, có giao tuyến là đường mp(OMP) khi và chỉ khi 2 = 2 + 2 . c b a thẳng ∆ . Trên ∆ lấy hai điểm A, B với Bài 2. Cho hình hộp chữ nhật AB = a. Trong mp(P) lấy điểm C, trong ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, mp(Q) lấy điểm D sao cho AC và BD AA’ = c. Từ A’ và B hạ các đường A’P cùng vuông góc với ∆ và AC = BD = 7
AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) theo a. 9.ĐHA’04. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, AC cắt BD tại O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 2 ). Gọi M là trung điểm SC. 1) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM 2) Gs mp(ABM) cắt đường thẳng SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. 10.ĐHD’04. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AA’ và CC’. Chứng minh rằng 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc 1 mp. Tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông. 11.ĐHD’04. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Biết A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B’(-a;0;b), a > 0, b > 0. 1) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và B’C. 2) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thỏa mãn a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và B’C là lớn nhất. 8