Bài tập Toán: Tính đơn điệu của hàm số

Chia sẻ: Nguyễn Thanh Tiến | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

417
lượt xem 134
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài 1: Cho hàm số y = ( m 2 − 1) x3 + ( m + 1) x 2 + 3x + 5 . 3 Xác định m để hàm số đồng biến trên ¡ . GIẢI

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập Toán: Tính đơn điệu của hàm số

BAØI TAÄP TÍNH ÑÔN ÑIEÄU VAØ CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ x3 Bài 1: Cho hàm số y = ( m 2 − 1) + ( m + 1) x 2 + 3x + 5 . 3 Xác định m để hàm số đồng biến trên ¡ . GIẢI TXĐ: D = ¡ Đạo hàm: y′ = ( m − 1) x + 2 ( m + 1) x + 3 2 2 + Nếu m = 1 thì y′ = 4 x + 3 3 Hàm số đồng biến khi và chỉ khi y ′ ≥ 0 ⇔ x ≥ ( loại so với yêu cầu bài toán) 4 + Nếu m = -1 thì y′ = 3 > 0 ∀x ∈ ¡ . Hàm số đồng biến trên ¡ (nhận so với ycbt) (1) + Nếu m ≠ ±1 thì HS đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi a = m − 1 > 0  2  m < −1 ∨ m > 1 y′ ≥ 0 ∀x ∈ ¡ ⇔  ⇔ 2  2 (2 ) ∆ = ( m + 1) − 3 m − 1 ≤ 0 m − m − 2 ≥ 0  m < −1 ∨ m > 1  m < −1 ⇔ ⇔ (2)  m ≤ −1 ∨ m ≥ 2 m ≥ 2  m ≤ −1 Từ (1) và (2) suy ra hàm số đồng biến trên ¡ ⇔  m ≥ 2  Bài 2: Cho hàm số y = x − 3 ( 2m + 1) x + ( 12m + 5 ) x + 2 3 2 Định mọi giá trị của tham số m để hàm số luôn luôn đồng biến. GIẢI TXĐ: D = ¡ Đạo hàm: y′ = 3 x − 6 ( 2m + 1) x + 12m + 5 2 Biệt số ∆′ = 9 ( 2m + 1) − 3 ( 12m + 5 ) = 36m 2 − 6 2 Để hàm số luôn luôn đồng biến ∀x ta phải có: y′ ≥ 0 ∀x 6 6 ⇔ ∆′ ≤ 0 ⇔ 36m 2 − 6 ≤ 0 ⇔ − ≤m≤ 6 6 6 6 Vậy các giá trị m cần tìm là: − ≤ m ≤ 6 6 3 2 2 ( Bài 3: Cho hàm số y = x − ( m + 1) x − 2m − 3m + 2 x + 2m ( 2m − 1) ) Chứng minh rằng hàm số không thể luôn luôn đồng biến. Tröôøng THPT Lòch Hoäi Thöôïng 1
GIẢI TXĐ: D = ¡ Đạo hàm: y′ = 3 x − 2 ( m + 1) x − ( 2m − 3m + 2 ) 2 2 Biệt số ∆′ = ( m + 1) + 3 ( 2m 2 − 3m + 2 ) = 7m 2 − 7m + 7 = 7 ( m 2 − m + 1) 2 Vì m 2 − m + 1 > 0 ∀m ⇒ ∆′ > 0 ∀m Do đó đạo hàm y ′ luôn có 2 nghiệm phân biệt ∀m . Suy ra y ′ không luôn luôn dương. Vậy hàm số không luôn luôn đồng biến. Bài 4: Định a để hàm số: 1 y = − x3 + ( a − 1) x 2 + ( a + 3) x − 4 3 Đồng biến trên khoảng (0;3) Lưu ý: 1) So sánh 1 số α với các nghiệm của phương trình bậc 2: • x1 < α < x2 ⇔ af ( α ) < 0  ∆ > 0  • x1 < x2 ≤ α ⇔ af ( α ) ≥ 0 s  0  • α ≤ x1 < x2 ⇔ af ( α ) ≥ 0 s  >α 2 2) So sánh 2 số α và β với các nghiệm của phương trình bậc 2: af ( α ) ≤ 0  • x1 ≤ α < β ≤ x2 ⇔  af ( β ) ≤ 0  Tröôøng THPT Lòch Hoäi Thöôïng 2
∆ > 0  af ( α ) > 0  • α < x1 < x2 < β ⇔ af ( β ) > 0  α < s < β   2 GIẢI TXĐ: D = ¡ Đạo hàm: y′ = − x + 2 ( a − 1) x + a + 3 = g ( x ) 2 Hàm số đồng biến trên khoảng (0;3) ⇔ y′ ≥ 0 ∀x ∈ ( 0;3) ∆′ = ( a − 1) + a + 3 = a 2 − a + 4 > 0 ∀a 2 y ′ có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 Giả sử x1 < x2 Bảng biến thiên: x −∞ x1 (0;3) x2 +∞ y′ - 0 + 0 - y ag ( 0 ) ≤ 0  − ( a + 3) ≤ 0  Để g ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ ( 0;3) ⇔ x1 ≤ 0 < 3 ≤ x2 ⇔  ⇔  ag ( 3) ≤ 0  − ( 7 a − 12 ) ≤ 0   a ≥ −3  12 ⇔  12 ⇔ a≥  a≥ 7  7 Bài 5: Định m để hàm số: y = x 3 + 3x 2 + ( m + 1) x + 4m Nghịch biến trên khoảng (-1;1) GIẢI TXĐ: D = ¡ Đạo hàm: y′ = 3 x + 6 x + m + 1 = g ( x ) 2 Để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) ⇔ y′ ≤ 0 ∀x ∈ ( −1;1) Tröôøng THPT Lòch Hoäi Thöôïng 3
x −∞ x1 (-1;1) x2 +∞ y′ + 0 - 0 + y ag ( −1) ≤ 0  Để g ( x ) ≤ 0 ∀x ∈ ( −1;1) ⇔ x1 ≤ −1 < 1 ≤ x2 ⇔  ag ( 1) ≤ 0  3 ( m − 2 ) ≤ 0  m ≤ 2 ⇔  ⇔  ⇔ m ≤ −10 3 ( m + 10 ) ≤ 0  m ≤ −10 Bài 6: Định m để hàm số: 2 y = x 3 − 2mx 2 + ( m 2 − 2m − 1) x + 1 3 đồng biến trên khoảng ( 1;∞ ) GIẢI TXĐ: D = ¡ Đạo hàm: y′ = 2 x − 4mx + ( m − 2m − 1) 2 2 Biệt số ∆′ = 4m − 2 ( m − 2m − 1) = 2m + 4m + 2 = 2 ( m + 2m + 1) 2 2 2 2 ∆′ = 2 ( m + 1) ≥ 0 2 - Nếu m = −1 thì y′ = 2 x 2 + 4 x + 2 = 2 ( x + 1) ≥ 0 ∀x 2 Hàm số luôn luôn đồng biến ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;∞ ) Do đó giá trị m = −1 thích hợp. (1) - Nếu m ≠ −1 ⇒ ∆′ > 0 y ′ có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 Giả sử x1 < x2 Bảng biến thiên: x −∞ x1 x2 (1) +∞ y′ + 0 - 0 + y Căn cứ vào bảng biến thiên, để hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;∞ ) là: y ′ ≥ 0 ∀x > 1 ⇔ x1 < x2 ≤ 1 Tröôøng THPT Lòch Hoäi Thöôïng 4
  ∆′ > 0 m ≠ −1    m ≠ −1  ⇔  y′ ( 1) ≥ 0 ⇔  m 2 − 6m + 1 ≥ 0 ⇔ (2) s m < 1 m ≤ 3 − 2 2   0 y ′ có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 Giả sử x1 < x2 Bảng biến thiên: x −∞ x1 x2 (5) +∞ y′ + 0 - 0 + y Căn cứ vào bảng biến thiên, để hàm số đồng biến trên khoảng ( 5;∞ ) là: y ′ ≥ 0 ∀x > 5 ⇔ x1 < x2 ≤ 5   ∆′ > 0 9m 2 > 0   m ≤ 4 ⇔  y′ ( 5 ) ≥ 0 ⇔ 96 − 24m ≥ 0 ⇔ ⇔m≤4 s m + 2 < 5 m < 3 
Bài 1: Cho hàm số: y = ( m − 2 ) x − mx − 2 3 Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu. GIẢI TXĐ: D = ¡ Đạo hàm: y′ = 3 ( m − 2 ) x − m 2 Để hàm số không có cực trị thì phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ 0 + 4.3m ( m − 2 ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 1 3 Bài 2: Cho hàm số: y = x − mx + ( m − m + 1) x + 1 2 2 3 Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 GIẢI TXĐ: D = ¡ Đạo hàm: y′ = x 2 − 2mx + m 2 − m + 1 y′′ = 2 x − 2m  y′ ( 1) = 0  m 2 − 3m + 2 = 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇔ ⇔   y′′ ( 1) > 0   2 − 2m > 0 m = 1 ∨ m = 2 ⇔  m < 1 Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 Bài 3: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − 3 x + 2 a) Tìm cực trị của hàm số. b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị. Lưu ý: Để tính giá trị cực trị của hàm bậc 3: f ( x ) = ax + bx + cx + d ta làm như sau: 3 2 f ( x) αx+ β = Ax + B + ⇒ f ( x ) = ( Ax + B ) f ′ ( x ) + α x + β (*) f ′( x) f ′( x) Gọi xi là nghiệm của pt f ′ ( x ) = 0 ( xi là các điểm cực trị) f ( xi ) = ( Ax + B ) f ′ ( xi ) + α xi + β 123 =0 ⇒ f ( xi ) = α xi + β Tröôøng THPT Lòch Hoäi Thöôïng 6
f ( x) Trong đó α x + β là phần dư của phép chia f ′( x) Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y =αx + β ( Vì toạ độ của điểm cực trị M ( x; y ) thoả pt f ′ ( x ) = 0 , nên từ (*) ta suy ra y =αx + β ) GIẢI a) TXĐ: D = ¡ Đạo hàm: y′ = x 2 − 6 x − 3 x = 1− 2 Cho y′ = 0 ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔  x = 1+ 2  Chia f ( x ) cho f ′ ( x ) , ta được: 1 1 f ( x ) = ( 3 x 2 − 3 x − 3)  x −  − 4 x + 1 3 3 Giá trị cực trị là: f ( x0 ) = −4 x0 + 1 ( )  f 1 − 2 = −3 + 4 2  ⇒ ( )  f 1 + 2 = −3 − 4 2  Lập bảng biến thiên ⇒ CĐ, CT. b) Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: y = −4 x + 1 Bài 4: Cho hàm số y = x − 6 x + 3 ( m + 2 ) x − m − 6 3 2 Xác định m sao cho: a) Hàm số có cực trị. b) Hàm số có hai cực trị cùng dấu. GIẢI a) TXĐ: D = ¡ Đạo hàm: y′ = 3x − 12 x + 3 ( m + 2 ) 2 Cho y′ = 0 ⇔ x 2 − 4 x + m + 2 = 0 (*) ∆′ = 4 − ( m + 2 ) = 2 − m Để hàm số có 2 cực trị thì: ∆′ > 0 ⇔ 2 − m > 0 ⇔ m < 2 b) Chia f ( x ) cho f ′ ( x ) , ta được: 1 2 f ( x ) = 3 x 2 − 12 x + 3 ( m + 2 )   x −  − 4 x + 2mx + m − 2   3 3 ⇒ giá trị cực trị là: f ( x0 ) = −4 x0 + 2mx0 + m − 2 = 2 x0 ( m − 2 ) + m − 2 = ( m − 2 ) ( 2 x0 + 1) Tröôøng THPT Lòch Hoäi Thöôïng 7
Gọi x1 , x2 là 2 điểm cực trị Hàm số có 2 cực trị cùng dấu ⇔ f ( x1 ) . f ( x2 ) > 0 ⇔ ( m − 2 ) ( 2 x1 + 1) ( m − 2 ) ( 2 x2 + 1) > 0 ⇔ ( m − 2) ( 2 x1 + 1) ( 2 x2 + 1) > 0 2 ⇔ ( m − 2 ) ( 4 x1 x2 + 2 x1 + 2 x2 + 1) > 0 2 ⇔ ( m − 2 ) ( 4 x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) + 1) > 0 2 (1) 12 Mặt khác: x1 + x2 = = 4, x1.x2 = m + 2 3 Do đó (1) ⇔ ( m − 2 )  4 ( m + 2 ) + 2.4 + 1 > 0 2   ⇔ ( m − 2) ( 4m + 17 ) > 0 2  17 m > − ⇔ 4 m ≠ 2  17 Kết hợp với điều kiện có cực trị m < 2 , ta được: − 0 2 1− < m < 1+  2 2 Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình y′ = 0 thì:   x1 + 2 x2 = 1( 1)   2 ( m − 1) 4 2  x1 + x2 = ( 2) Từ (1) và (2) ⇒ x1 = 3 − , x2 = −1 +  m m m  3( m − 2)  x1.x2 = ( 3)  m Tröôøng THPT Lòch Hoäi Thöôïng 8
 2  4  3( m − 2) Thay vào (3) ⇒  −1 +  3 −  =  m  m m 2 ⇔ 3m 2 − 5m + 4 = 0 ⇔ m = 2 ∨ m = (Nhận so với điều kiện) 3 2 Vậy: m = 2 ∨ m = 3 x3 x 2 Bài 6: Cho hàm số: y = + + mx (ĐH Y - Dược) 3 2 Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn hơn m. GIẢI TXĐ: D = ¡ Đạo hàm: y′ = x 2 + x + m Hàm số đạt cực trị tại những điểm có hoành độ x > m ⇔ y′ = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa m < x1 < x2    1 ∆ > 0 1 − 4m > 0  m<  4   ⇔  y′ ( m ) > 0 ⇔  m 2 + 2m > 0 ⇔  m < −2 ∨ m > 0 ⇔ m < −2 s  1  1  >m − > m m < − 2  2  2 Vậy ⇔ m < −2 Bài 7: Cho hàm số: y = f ( x ) = 2 x + 3 ( m − 1) x + 6 ( m − 2 ) x − 1 (1) 3 2 Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y = −3 x + 4 GIẢI TXĐ: D = ¡ Đạo hàm: y′ = 6 x + 6 ( m − 1) x + 6 ( m − 2 ) 2 Cho y ′ = 0 ⇔ x + ( m − 1) x + ( m − 2 ) = 0 2 Hàm số (1) có cực trị ⇔ ∆ = ( m − 1) − 4 ( m − 2 ) > 0 ⇔ ( m − 3) > 0 ⇔ m ≠ 3 2 2 1 Lấy (1) chia cho f ′ ( x ) ta được: 6 1 ( 2 x + m − 1) f ′ ( x ) − ( m − 3) x − m2 + 3m − 3 2 y= 6 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y = − ( m − 3) x − m 2 + 3m − 3 (d) 2 Để (d) song song với đường thẳng y = −3 x + 4 thì: − ( m − 3) = −3 2 ⇔ m −3 = ± 3 ⇔ m = 3± 3 Tröôøng THPT Lòch Hoäi Thöôïng 9
x 2 + 3x + 5 Bài 8: Cho hàm số: y = x+2 a) Tìm cực trị của hàm số. b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị. Lưu ý: Tính giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số: ax 2 + bx + c u ( x ) u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v′ ( x ) y= = , y′ = v ( x) v ( x )  2 a′x + b′   y′ = 0 ⇔ u′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v′ ( x ) = 0 (1) Gọi xi là các nghiệm của (1), từ (1) ta suy ra: u ( xi ) u ′ ( xi ) u′ ( xi ) v ( xi ) − u ( xi ) v′ ( xi ) = 0 ⇔ = v ( xi ) v′ ( xi ) Các giá trị cực trị là: u ( xi ) u ′ ( xi ) 2axi + b y ( xi ) = = = v ( xi ) v′ ( xi ) a′ 2ax + b Do đó pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y= a′ GIẢI a) TXĐ: D = ¡ \ { −2} x2 + 4 x + 1  x = −2 − 3 Đạo hàm: y′ = , y′ = 0 ⇔ x + 4 x + 1 = 0 ⇔  2 ( x + 2) 2  x = −2 + 3  Giá trị cực trị là: u′ ( x0 ) 2 x0 + 3 y ( xo ) = = v′ ( x0 ) 1 ( ) y −2 − 3 = −1 − 2 3 , ( ) y −2 + 3 = −1 + 2 3 Lập bảng biến thiên ⇒ CĐ, CT. b) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y = 2x + 3 x 2 − mx + m Bài 9: Cho hàm số: y = ( m ≠ 0 ) . Tìm m để hàm số: x−m a) Có cực đại và cực tiểu. b) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu. Tröôøng THPT Lòch Hoäi Thöôïng 10
GIẢI a) TXĐ: D = ¡ \ { m} x 2 − 2mx + m 2 − m Đạo hàm: y′ = , y′ = 0 ⇔ x 2 − 2mx + m 2 − m = 0 (1) ( x − m) 2 Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt ( ⇔ ∆′ > 0 ⇔ m 2 − m 2 − m > 0 ⇔ m > 0 ) b) Hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu khi và chỉ khi: y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Đồ thị không cắt trục ox ( Pt y = 0 vô nghiệm) ∆′y′ > 0  m > 0 m > 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔ ⇔0 0 m < 0  4 1 Vậy m