Bài tập về ứng dụng của đạo hàm

Chia sẻ: Phan Tour Ris | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

292
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Bài tập về ứng dụng của đạo hàm" cung cấp cho các bạn những câu hỏi bài tập về: Tính đơn điệu của hàm số, áp dụng định lý giá trị trung bình, các bài toán về cực trị của hàm số, các bài toán về sự tiếp xúc của các đồ thị hàm số,...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập về ứng dụng của đạo hàm

BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM  1.Tính đơn điệu của hàm số Bài 1 (A – 2013). Tìm m để hàm số y = - x 3 + 3x 2 + 3mx - 1 (1) nghịch biến trên (0; + ). ĐS: m  - 1. mx + 4 Bài 2 (Chuyên Vĩnh Phúc). Tìm m để hàm số y = nghịch biến trên khoảng ( -  ;1) . x +m ĐS: - 2 < m  - 1. Bài 3. Tìm m để hàm số y = - x 4 + 2(m + 1)x 2 + 1 (1) nghịch biến trên (1; + ). ĐS: m  0. x +m Bài 4. Tìm m để hàm số y = (1) đồng biến trên (- 1; + ). mx + 2 Bài 5 (Lục Ngạn 1 – Bắc Giang 2014). Tìm m để hàm số y = 2x 3 - 3(2m + 1)x 2 + 6m (m + 1)x + 1 đồng biến trên khoảng (2; + ). ĐS: m  1. Bài 6 (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2013). Cho hàm số y = 2x 3 + 9mx 2 + 12m 2x + 1 (1). Tìm 3 m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (2; 3). ĐS: - 2  m  - . 2 3 + 2 + x2 − 2 − x2 Bài 7. Cho phương trình = m. 4 4 − x4 + 2 a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. b) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Bài 8. Tìm m để phương trình x 4 + mx 3 + 2mx 2 + mx + 1 = 0 có nghiệm. 1 ĐS: m − hoặc m 4 + 2 2. 2 Bài 9. Tìm m để phương trình 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 có nghiệm. 1 ĐS: −1 < m . 3 2.Áp dụng định lý giá trị trung bình Bài 1. Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn a + 2b + c = 0. Chứng minh rằng phương trình 2a cos 2 x + b tan 2 x + c sin 2 x = a − b �π� có nghiệm thuộc � 0; � . � 4� 3.Các bài toán về cực trị của hàm số Bài 1 (B – 2007). Tìm m để hàm số y = - x 3 + 3x 2 + 3(m 2 - 1)x - 3m 2 - 1 có cực đại, cực tiểu và các 1 điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O. ĐS: m =  . 2 Bài 2 (B – 2011). Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 - 2(m + 1)x 2 + m có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC , trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. ĐS: m = 2  2 2. Bài 3 (A – 2012). Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 - 2(m + 1)x 2 + m có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. ĐS: m = 0. 1
Bài 4 (B – 2012). Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 3m 3 có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. ĐS: m =  2. 2 2 Bài 5 (D – 2012). Tìm m để hàm số y = x 3 - mx 2 - 2(3m 2 - 1)x + có hai điểm cực trị x 1; x 2 sao 3 3 2 cho: x 1x 2 + 2 ( x 1 + x 2 ) = 1 . ĐS: m = . 3 Bài 6 (Dự bị B 2004). Tìm m để hàm số y = x - 2mx + m x - 2 đạt cực tiểu tại x = 1 . 3 2 2 ĐS: m = - 3. Bài 7 (Dự bị B 2006). Tìm m để đồ thị hàm số y = x + (1 - 2m )x + (2 - m )x + m + 2 có điểm 3 2 5 7 cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. ĐS: m < - 1 hoặc
Bài 19 (Thạch Thành I Thanh Hóa). Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 2m có ba điểm cực trị tạo cùng với gốc tọa độ O tào thành một tứ giác nội tiếp. ĐS: m = 1; m = 1 + 5 . 2 1 4 Bài 20 (Đại học Vinh). Tìm m để đồ thị hàm số y = x - (3m + 1)x 2 + 2(m + 1) có ba điểm cực trị 4 1 tạo thành ba đỉnh của một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O. ĐS: m = . 3 2 Bài 21 (Lương Tài 2 Bắc Ninh). Tìm m để hàm số y = x 3 + (m + 1)x 2 + (m 2 + 4m + 3)x + 1 đạt 3 cực trị tại x 1; x 2 sao cho biểu thức A = x 1x 2 - 2 ( x 1 + x 2 ) đạt giá trị lớn nhất. ĐS: m = - 4. Bài 22 (Đại học sư phạm Hà Nội). Tìm m để hàm số y = x 3 + 2(m - 1)x 2 + (m 2 - 4m + 1)x - 2(m 2 + 1) có cực trị đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng d : 9x - 2y + 10 = 0 . ĐS: m = 0; m = - 4. Bài 23 (Mai Anh Tuấn Thanh Hóa). Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 + (3m + 1)x 2 - 3 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng 2/3 độ dài cạnh bên. ĐS: 5 m =- . 3 Bài 24 (Nguyễn Trung Thiên Hà Tĩnh). Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 - 2mx 2 + m - 1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. ĐS: m = 1; m = 5- 1 . 2 3 1 Bài 25 (Trần Nguyên Hãn Hải Phòng). Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 - mx 2 + m 3 có hai 2 2 điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x . ĐS: m =  2. Bài 26 (Chuyên Vĩnh Phúc). Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 5 y = x 3 - 3x 2 + 1 tiếp xúc với đường tròn ( C ) : (x - m ) + (y - m - 1) = 5 . 2 2 ĐS: m =  . 3 1 3 4 Bài 27 (Thuận Thành 3 Bắc Ninh). Tìm m để hàm số y = x + (m + 1)x 2 + (m + 1)3 có cực trị 3 3 và các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số nằm về hai phía (phía trong và phía ngoài) đối với 1 1 đường tròn ( C ) : x + y - 4x + 3 = 0 . 2 2 ĐS: - < m < . 2 2 Bài 28 (Chuyên Hà Nội – Amsterdam). Tìm m để hàm số y = x - 3x + 3mx + 1 - m có cực trị, 3 2 đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng d : 3x + y - 8 = 0 một góc 45o. 3 ĐS: m = . 4 Bài 29 (Chuyên Nguyễn Huệ Hà Nội). Tìm m để hàm số y = x - 3mx + 2 có cực trị, đồng thời 3 2 đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4. ĐS: 1 m = . 2 Bài 30 (Toán học & Tuổi trẻ). Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 - 2mx 2 - 3 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp đạt giá trị nhỏ nhất. ĐS: 3 1 R min = �m = . 3 3 2 4 2 3
Bài 31 (Vĩnh Phúc 2014). Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1)x - m 3 + 1 (1). Gọi d là tiếp tuyến tại điểm cực đại A của đồ thị hàm số (1). Đường thẳng d cắt trục Oy tại B. Tìm m để tam giác OAB có diện tích bằng 6. ĐS: m = - 1; m = 3. Bài 32 (Chuyên Lương Văn Chánh – Phú Yên 2013). Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 - 3mx 2 + m có các điểm cực đại, cực tiểu và hai điểm cực trị thẳng hàng với điểm A ( - 1; 3) . 3 ĐS: m = 1, m = - . 2 4.Các bài toán về sự tiếp xúc của các đồ thị hàm số a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Bài 1 (B – 2008). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4x 3 - 6x 2 + 1 , biết tiếp tuyến 15 21 đó đi qua điểm M ( - 1; - 9) . ĐS: y = 24x + 15 và y = x - . 4 4 x +2 Bài 2 (A – 2009). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = , biết tiếp tuyến đó cắt 2x + 3 trục hoành, trục tung lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB cân tại O. ĐS: y = - x - 2. Bài 3 (D – 2010). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = - x 4 - x 2 + 6 , biết tiếp tuyến 1 đó vuông góc với đường thẳng y = x - 1 . ĐS: y = - 6x + 10. 6 2x + 1 Bài 4 (Tam Dương Vĩnh Phúc). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = , biết x +1 1 5 tiếp tuyến đó cách đều hai điểm A ( 2; 4) và B ( - 4; - 2) . ĐS: y = x + 1; y = x + 5; y = x + . 4 4 2x + 3 Bài 5 (Đồng Quan Hà Nội). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = , biết tiếp x +2 ? 4 tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho cos A BI = , với I là 17 1 3 1 7 giao điểm của hai đường tiệm cận. ĐS: y = - x + ; y = - x + . 4 2 4 2 x +2 Bài 6 (Phước Bình Bình Phước). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = , biết 2x + 3 tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A và B sao cho đường trung trực của đoạn AB đi qua gốc O. ĐS: y = - x - 2. Bài 7 (Trần Phú Hà Tĩnh). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 - 3x 2 + 2 biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ Ox, Oy tương ứng ở A và B sao cho OB = 9OA. ĐS: y = 9x + 7; y = 9x - 25. Bài 8 (Toán học & Tuổi trẻ). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số x +2 y= (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt các đường tiệm cận đứng và x +1 tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất. ĐS: y = - x + 2; y = - x - 2. Bài 9 (Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp 2013). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị 2x - 1 hàm số y = , biết rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho A B = 82.OB . x- 1 1 25 1 13 ĐS: d : y = - x + hoặc d : y = - x + . 9 9 9 9 4
b) Các bài toán khác về sự tiếp xúc 1 3 m 2 1 Bài 1(D – 2005). Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số y = x - x + ( C m ) có hoành độ bằng 3 2 3 - 1 . Tìm m để tiếp tuyến của ( C m ) tại M song song với đường thẳng d : 5x - y = 0 . ĐS: m = 4. 2x Bài 2 (D – 2007). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số y = (C), biết tiếp tuyến của (C) tại x +1 1 M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng . 4 �1 � ĐS: M ( 1;1) và M - ; - 2 . �2 � 2x - 1 Bài 3 (Dự bị B 2003). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = (C). x- 1 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. ĐS: M ( 0;1) và M ( 2; 3) . x +3 Bài 4 (Dự bị D 2006). Cho điểm M ( x o ; yo ) thuộc đồ thị hàm số y = (C). Tiếp tuyến của (C) x- 1 tại M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A và B. Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB. Bài 5 (Dự bị A 2008). Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số 5 y = x 3 + 3mx 2 + (m + 1)x + 1 tại điểm có hoành độ x = - 1 đi qua điểm A(1 ; 2). ĐS: m = . 8 Bài 6 (Dự bị D 2008). Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3x + 1 81 y= tại điểm M ( - 2;5) . ĐS: S = . x +1 4 Bài 7 (Lương Thế Vinh Hà Nội). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2x + 3 y= (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục hoành, trục x +2 tung lần lượt tại A và B để đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. ĐS: M ( - 1;1) , M ( - 3; 3) . 4 3 1 Bài 8 (Đại học Vinh). Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số y = x - (2m + 1)x 2 + (m + 2)x + 3 3 ( C m ) với trục tung. Tìm m để tiếp tuyến của ( C m ) tại A tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện 1 tích bằng . 3 13 11 ĐS: m = -;m = - . 6 6 Bài 9 (Đại học Sư phạm Hà Nội). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2x - 1 y= (C). M là điểm bất kỳ thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận lần lượt tại A x- 1 và B. Chứng minh tam giác IAB có diện tích không đổi. Bài 10 (Tứ Kỳ Hải Dương) Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 - mx 2 + m + 1 tại điểm có hoành độ x = 1 tiếp xúc với đường tròn 4 (T ) : (x + 1)2 + (y + 2)2 = 10 . ĐS: m = ; m = 3. 3 5
Bài 11 (Ngô Gia Tự Vĩnh Phúc). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số - 2x + 1 y= (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho khoảng cách từ I đên tiếp tuyến là lớn x- 1 nhất. ĐS: y = x - 1; y = x - 5. Bài 12 (Phan Châu Trinh Đà Nẵng). Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 4 + mx 2 - m - 1 ( C m ) tại các điểm cố định của ( C m ) vuông góc với nhau. ĐS: 3 5 m = - ;m = - . 2 2 Bài 13 (Chuyên Vĩnh Phúc). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2x - 1 y= (C). Tìm tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M x +1 cắt hai đường tiệm cận lần lượt tại A và B thỏa IA 2 + IB 2 = 40 . ĐS: M ( 2;1) . Bài 14 (Toán học & Tuổi trẻ). Chứng minh với mọi m  0 , đồ thị hàm số y = x 3 - (m + 1)x 2 + (m - 1)x + 1 luôn cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A, B, C trong đó B, C có hoành độ phụ thuộc m. Tìm m để các tiếp tuyến của ( C m ) tại B và C song song với nhau. ĐS: m = 2. Bài 15 (Toán học & Tuổi trẻ). Tìm trên đồ thị hàm số y = 2x 3 - 3x 2 + 1 (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8. ĐS: M ( - 1; - 4) . Bài 16 (Toán học & Tuổi trẻ). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số mx - 1 y= ( C m ) . Tiếp tuyến tại điểm bất kỳ của ( C m ) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang tại A x +m và B. Tìm m để diện tích tam giác IAB bằng 12. ĐS: m =  5. Bài 17 (Chuyên Vĩnh Phúc). Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = x 3 - 3x 2 + 1 (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và A B = 4 2 . ĐS: A ( 3;1) , B ( - 1; - 3) . 1 1 Bài 18 (Nguyễn Đức Mậu Nghệ An). Cho hàm số y = x 3 - 2x 2 + (m + 4)x + - m ( C m ) . Tìm 3 3 m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của ( C m ) đi qua điểm A ( 3; - 1) . ĐS: m = - 2. Bài 19 (Trần Phú Vĩnh Phúc). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số y = x 3 - 3x + 2 (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại N và MN = 3 111 . ĐS: x M =  3. 2x - 1 Bài 20 ( Vĩnh Phúc 2014). Cho hàm số y = (C ). Tìm trên (C ) tất cả các điểm M sao cho tiếp x- 2 tuyến của (C ) tại M cắt hai đường tiệm cận của (C ) tại hai điểm A, B sao cho A B = 2 10. ĐS: M (1; - 1), M (3;5), M (- 1;1), M (5; 3). - 2x + 4 Bài 21 (Đoàn Thượng – Hải Dương 2014). Cho hàm số y = (C ). Tìm hai điểm A, B thuộc x- 1 đồ thị (C ) sao cho tiếp tuyến của (C ) tại các điểm A, B song song với nhau, đồng thời ba điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông tại O. ĐS: hai điểm cần tìm có tọa độ là (- 1;1) và (3; 3) hoặc (2; 0) và (0; - 4). 6