intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bất đẳng thức tích phân- Nguyễn Phú Khánh ĐH Đà Lạt - 2

Chia sẻ: Le Nhu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST
Báo xấu
86
lượt xem 11
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bất đẳng thức tích phân- nguyễn phú khánh đh đà lạt - 2', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bất đẳng thức tích phân- Nguyễn Phú Khánh ĐH Đà Lạt - 2

  1. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân Ta coù :  α α ∫ ∫ 0 x tgx dx xdx  0 0   ∏ ∏ β β 0 < ∫ x tgx dx < ∫ xdx  ⇒ 0 ∫ x tgx dx < ∫ 4 4 xdx α α 0 0  ∏ ∏ 0 ∫ x tgx dx ∫ xdx  4 4   β β ∏ 2 ∏ ⇒ 0 < ∫ 4 x tgx dx < 32 0 α β Chuù yù : (α , β ) ⊂ [ a, b ] thì b b ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f( x ) dx α β a b Tuy nhieân neáu : m M thì : f( x ) b b b b M ∫ dx ⇒ m ( b − a ) M (b − a ) m ∫ dx ∫ ∫ f( x ) dx f( x ) dx a a a a Nhöng (α , β ) ⊂ [ a, b ] thì m ∫ dx < ∫ f( x ) dx < M ∫ f( x ) dx b b b a a a (Ñaây laø phaàn maéc phaûi sai laàm phoå bieán nhaát )Do chöa hieåu heát yù nghóa haøm soá f( x ) chöùa (α , β ) lieân tuïc [ a, b ] maø (α , β ) ⊂ [ a, b ] ) 1 cos nx cos nx cos nx 1 1 1 1 1 ∫0 1 + x dx ∫ dx = ∫ ∫0 1 + x = ln 1 + x 0 = ln 2 2. dx 1+ x 0 1+ x 0 cos nx 1 ∫ ⇒ dx ln 2 0 1+ x  e − x e −1 = 1  e 3⇒ 3. 1 x  sin x 1  1 e− x .sin x e − x .sin x 3 3 3 e dx ∫ ∫ ∫ ⇒ dx dx 1 + x2 1 + x2 1 + x2 1 1 e− x .sin x 1 1 3 3 vôùi I = ∫ ∫ ⇒ dx .I dx 1 + x2 1 + x2 e 1 1 Ñaët x = tgt ⇒ dx = (1 + tg 2t ) dt (1 + tg t )dt = 2 ∏ ∏ ∏ x 1 3 ⇒ Ι = ∫∏ ∫ dt = 3 3 ∏ ∏ 4 1 + tg t ∏ 2 12 t 4 4 3 −x ∏ 3 e .sin x (*) (Caùch 2 xem baøi 4 döôùi ñaây ) ⇒∫ dx 1+ x 12e 1 Ñaúng thöùc xaûy ra khi : 12
  2. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân x = 1  e − x = e −1 ⇒ x ∈ ∅, ∀x ∈ 1, 3  ⇔    sin x = 1 sin x = 1   −x ∏ 3 e .sin x Vaäy : ∫ dx < 1+ x 2 12e 1 Xem laïi chuù yù treân , ñaây laø phaàn sai laàm thöôøng maéc phaûi khoâng ít ngöôøi ñaõ voäi keát luaän ñaúng thöùc (*) ñuùng . Thaät voâ lyù e− x cos x e − x cos x e− x 3 3 3 ∫ ∫ ∫ 4. dx dx dx 1 + x2 1 + x2 1 + x2 1 1 1 Do y = e− x giaûm ⇒ max ( e− x ) = e −1 = 1 e e− x cos x ∏ 1 1 3 3 ;do I baøi 3 ∫ ∫1 1 + x 2 dx = 12e ⇒ dx 1 + x2 e 1 Daáu ñaúng thöùc : x = 1 e− x = e −1 ⇔ x ∈ ∅, ∀x ∈ 1, 3  ⇔    cos x = 1 cos x = 1 e − x cos x ∏ 3 Vaäy ∫ dx < 1+ x 2 12e 1  u = 1 du = − 1 x 2 dx  5. Ñaët  x ⇒ dv = cos xdx v = sin x   200 ∏ 200 ∏ cos x 1 200 ∏ sin x ⇒∫ +∫ dx = sin x dx x2 100 ∏ 100 ∏ x x 100 ∏ 200 ∏ cos x 200 ∏ 1 1 1 200 ∏ ⇒∫ dx ∫ dx = − = x 100 ∏ 200 ∏ 2 100 ∏ 100 ∏ x x 200 ∏ cos x 1 Vaäy ∫ dx 200 ∏ x 100 ∏ Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöong phaùp ñaïo haøm . 13
  3. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân ex 1 e 1⇒1 e⇒ ex 6. 0 x (1 + x ) (1 + x ) (1 + x ) n n n ex 1 1 1 1 1 ⇒∫ ∫ (1 + x ) e∫ dx dx dx (1 + x ) (1 + x ) n n n 0 0 0 1− n 1 1− n 1 ( x + 1) ( x + 1) ex 1 ∫ (1 + x ) ⇔ dx e. 1− n 1− n n 0 0 0 1 1 x e 1 e 1 Vaäy : ∫ (1 + x ) 1 − n −1  1 − n −1  ; n > 1 dx n −1  2  n −1 2  n 0 Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp nhò thöùc Newton . Chöùng minh raèng : neáu f(x) vaø g(x) laø 2 haøm soá lieân tuïc vaø x xaùc ñònh treân [a,b] , thì ta coù : ) (∫ 2 b b b ∫ f 2( x ) dx . ∫ g 2( x ) dx f ( x ) .g( x ) .dx a a a Caùch 1 : ( ) Cho caùc soá α1 , tuyø yù i ∈ 1, n ta coù : (α + α 2 2 + ... + α 2 n ) ( β 21 + β 2 2 + ... + β 2 n ) (α1β1 + α 2 β 2 + ... + α n β n ) (1) 2 1 α α1 α 2 Ñaúng thöùc (1) xaûy ra khi : = = ... n β1 β 2 βn Thaät vaäy : phaân hoaïch [a,b] thaønh n ñoaïn nhoû baèng nhau bôûi caùc ñieåm chia : a = x0 < x1 < x2 < ….
  4. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân ) (∫ 2 b b b Töø (5) ⇒ ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx f ( x).g ( x)dx a a a Caùch 2 : ∀t ∈ R + ta coù : 0 [tf ( x) − g ( x) ] = t 2 f 2 ( x) − 2.t. f ( x).g ( x) + g 2 ( x) 2 b b b ⇒ h(t ) = t 2 ∫ f 2 ( x)dx − 2t ∫ f ( x).g ( x)dx + ∫ g 2 ( x)dx 0 a a a h(t) laø 1 tam thöùc baäc 2 luoân khoâng aâm neân caàn phaûi coù ñieàu kieän :   ah = t > 0 2 ⇔ ∆ 'h 0  ∆ h 0  2 ⇔  ∫ f ( x).g ( x)dx  − ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx ≤ 0 b b b a    a a ) (∫ 2 b b b ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx ⇒ f ( x).g ( x)dx a a a Chöùng minh raèng :  1 (e − 1)  e x −  x 5 3. e x − 1 < ∫ e2 t + e− t dt < 1 x 1. ∫ 1 + x3 dx <  2 0 2 0 3∏ 3cos x − 4sin x 5∏ 1 1 2. ∫ esin 2 dx > ∫ x 4. dx 1 + x2 2 0 4 0 Baøi giaûi : ) (∫ 2 b b b 1. Ta coù : f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx ( ñaõ chöùng minh baøi tröôùc ) ∫ f ( x).g ( x)dx a a a b b b ∫ ∫ ∫ ⇒ f 2 ( x)dx . g 2 ( x)dx f ( x).g ( x)dx a a a (1 + x ) . (1 − x + x 2 ) = (1 + x ) . (1 − x + x ) 1 + x3 = 2 (1 − x + x ) dx < ∫ (1 + x ) dx ∫ ( x − x + 1) dx 1 1 1 1 (1 + x ) ⇒ ∫ 1 + x3 dx = ∫ 2 2 0 0 0 0 1 1  x3 x 2   x2  5 1 ∫ 1 + x3 dx <  + x  + x =  − 3  2 2 0 0 2  0 5 1 ⇒ ∫ 1 + x3 dx < 2 0 ∏ ∏ ∏ 2. ∫ esin dx = ∫ dx + ∫ 2 2 2 2 x esin x esin x 2 dx 0 0 0 ∏ ∏ x x 2 Ñaët t = + t ⇒ dx = dt ∏ 2 t 0 2 15
  5. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân ( ) dt sin 2 ∏ + t ∏ ∏ ∏ ⇒ ∫ esin dx = ∫ 2 esin x dx + ∫ 2 2 x 2 2 e 0 0 0 ∏ ∏ ∏ =∫ dx + ∫ ecos x dx = 2∫ 2 2 2 2 2 2 esin x esin x dx 0 0 0 2 2 ∏ ∏    sin 2 x cos 2 x Ta laïi coù  ∫ edx  =  ∫ 2 e 2 .e 2 2 dx  0  0  ∏ ∏ 2 2 =∏ e ; e >  e  2 2 0 0 3 ∏ ⇒ ∫ esin x dx > 2 2 0 Chuù yù : baøi naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm . x x t 3. ∫ e 2t + e − t dt = ∫ e et + e−2t dt 2 0 0 ) (∫ 2 ∫ e dt ∫ ( e + e −2t )dt x t t t et + e−2t dt t t 2 e 0 0 0 vi ( ∫ f ( x).g ( x)dx ) 2 b b b ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx a a a ⇒ ( ∫ e + e dt )    x 1 2 (e − 1)  e x − − 2 x  < ( e − 1)  e −  11 x −t 2t x x    2 2e o  1 (e − 1)  e x −  (1) 1 ⇒∫ e 2t + e − t dt x  2 0 Maët khaùc : e 2t + e − t > et ; ∀0 < t < x x x ⇒∫ e2t + e− t dt > ∫ et dt = e x − 1 (2) 0 0  1 (e − 1)  e x −  x Töø (1) vaø (2) suy ra : e x − 1 < ∫ e 2t + e − t dt < x  2 0 3cos x − 4sin x 1 32 + ( −4 )2  sin 2 x + cos 2 x  = 5 4.   x2 + 1  1 + x2 1 + x2 3cos x − 4sin x 3cos x − 4sin x 1 1 1 1 ∫ ∫ 5∫ ⇒ dx dx dx 1 + x2 1 + x2 1 + x2 0 0 0 Ñaët x = tgt ⇒ dx = (1 + tg 2t ) dt 16
  6. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 (1 + tg t ) 2 ∏ x 0 1 1 1 1 ⇒∫ dx = ∫ dt = ∫ dt = ∏ 0 1+ x 0 1 + tg t 2 2 4 0 t 0 4 1 3cos x − 4sin x 5∏ ⇒ 4. ∫ dx 1+ x 2 4 0 Chöùng minh baát ñaúng thöùc tích phaân baèng phöông phaùp ñaïo haøm. Chöùng minh raèng : ∫( )( ) ∏ ∏2 ∏ 11 ∫ ( sin x + cos x )dx x+7 + 11 − x dx 4 1. 54 2 108 −7 4 4 0 2. 0 < ∫ x (1 − x 2 )dx < 4 3∏ 1 e 4. ∫ esin x dx > 2 27 0 2 0 Baøi giaûi : ( )( ) 11 − x ; x ∈ [ −7,11] 1. Xeùt f ( x ) = x+7 + 11 − x − x + 7 f '( x) = ⇒ f '( x) = 0 ⇔ x = 2 2 11 − x x + 7 x -7 2 11 f’(x) + 0 - f(x) 6 րց 32 32 11 11 11 f ( x) f ( x ) dx 6 ⇒ 3 2 ∫ dx ∫ 6 ∫ dx ⇒3 2 −7 −7 −7 ∫( ) 11 ⇒ 54 2 x + 7 + 11 − x dx 108 −7 2. Xeùt haøm soá : f(x) = x(1-x2) ; ∀x ∈ [ 0,1] ⇒ f ' ( x) = 3x 2 - 4 x + 1 1 ⇒ f’(x)=0 ⇔ x = ∨ x =1 3 x -∞ 0 1 +∞ 1 3 f’(x) + 0 - f(x) 4 27 րց 0 0 17
  7. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 4 ⇒0 f ( x) 27 ( )( ) ∃x ∈ 0, 1 ; 1 , 0 ⇒ 0 < f < 4  3 3 27 ( x) va   f (0) = f (1) = 0  41 4 1 1 ⇒ 0 < ∫ f ( x)dx < ∫0 dx ⇒ 0 < ∫0 f ( x)dx < 27 27 0 3. Xeùt haøm soá : ∏  ∏  f ( x) = sin x + cos x = 2 sin  x +  ; x ∈ 0,   4  4 ∏  ∏  f ' ( x) = 2 cos  x +  0 , ∀x ∈  0,   4  4  ∏ ⇒ f(x) laø haøm soá taêng ∀x ∈ 0,  ⇒ f ( 0) f( x ) f ∏ ( 4)  4 ∏ ∏2 ∏ ∫0 ( sin x + cos x )dx 4 ⇒ 1 sin x + cos x 2⇒ 4 4 4. Nhaän xeùt ∀x > 0 thì e x > 1 + x ( ñaây laø baøi taäp Sgk phaàn chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng pp ñaïo haøm) Xeùt f (t ) = et − 1 − t ; t 0 ⇒ f '(t ) = et − 1 > 0 ; ∀t > 0 ⇒ haøm soá f(t) ñoàng bieán ∀t 0 Vì x > 0 neân f(x) > f(0) = 0 ⇒ e x − 1 − x > 0 ⇔ e x > 1 + x (1) Do vaäy : ∀x ∈ ( 0, ∏ ) thi esin ( do(1) ) 2 > 1 + sin 2 x x 1 − cos 2 x ⇒ ∫ esin x dx > ∫ (1 + sin 2 x )dx = ∏ + ∫ ∏ ∏ ∏ 2 dx 2 0 0 0 3∏ ∏ ⇒ ∫ esin x dx > 2 2 0 Chöùng minh raèng : ∏ 2 x 1 3 3 cot gx 1 2 ∫1 x2 + 1dx 2 ∫∏ 6 x dx 3 1. 4. 5 12 ∏ 3 3 sin x 1 2 1 1 1 5. < ∫ ∫∏ 4 x dx 2 dx < 2. 3 0 2 + x − x2 4 2 ( ) ∏3 2∏ 3 1 1 ∏ 6. 2 4 2 < ∫ 1 + x + 4 1 − x dx < 4 ∫ 4 3. dx −1 cos x + cos x + 1 3 3 2 0 Baøi giaûi : 18
  8. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 − x2 x 0 ; ∀x ∈ [1, 2] ; x ∈ [1, 2] . coù f '( x ) = 1. Xeùt : f ( x ) = (1 + x 2 ) x +1 2 2 ⇒ haøm soá nghòch bieán ∀x ∈ [1, 2] ⇒ f( 2) f( x ) f (1) 2 22 x 1 x 12 2 ⇒ ∫ dx ∫ 2 ∫1 ⇒ dx dx 5 x +1 2 51 x +1 2 2 1 2 x 1 2 ∫1 x 2 + 1 2 ⇒ 5 ∏ ∏ x.cos x − sin x sin x 2. Xeùt f ( x ) = ; ∀x ∈  ;  ⇒ f '( x ) = x2 6 3 x ∏ ∏  Ñaët Z = x.cos x − sin x ⇒ Z ' = − x x < 0 ; ∀x ∈  ;  6 3 ∏ ∏  ⇒ Z ñoàng bieán treân ∀x ∈  ;  vaø : 6 3 ∏ −3 3 ∏ ∏ Z Z∏ = < 0 ; ∀x ∈  ;  ( 3) 6 3 6 ∏ ∏  ⇒ f '( x ) < 0 ; ∀x ∈  ;  6 3 x -∞ +∞ ∏ ∏ 6 3 f’(x) − ∏ f(x) 3 ց 33 2∏ 33 3 ⇒ f( X ) 2∏ ∏ 33 sin x 3 hay : 2∏ ∏ x 3 ∏3 3 3 ∏3 ∏ ∏ sin x 3 sin x 1 2 ∏ ∫∏ 6 ∫ ∫∏ 6 dx ⇒ 4 ∫ ⇒ 3 3 dx dx dx ∏ ∏ ∏ x x 2 6 6 3. Ñaët t = cos x ; x ∈ [ 0, ∏ ] ⇒ t ∈ [ −1,1] vaø f (t ) = t 2 + t + 1; t ∈ [ −1,1] 19
  9. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 f '(t ) = 2t + 1; f '( t ) = 0 ⇔ t = − 2 t - ∞ -1 1 +∞ −1 2 f’(t) 0 + − f(t) 1 3 ց ր 3 4 3 3 ; ∀t ∈ [ −1,1] ⇒ f(t ) 4 3 cos 2 x + cos x + 1 3 ; ∀x ∈ [ 0, ∏ ] ⇒ 4 1 3 1 2 cos 2 x + cos x + 1 ⇒ hay 3 3 cos 2 x + cos x + 1 2 3 1∏ 1 2∏ ∏ ∫ dx ∫ ∫ dx ⇒ dx cos x + cos x + 1 2 30 0 30 ∏3 2∏ 3 1 ∏ ∫ ⇒ dx cos x + cos x + 1 3 3 2 0 Chuù yù : thöïc chaát baát ñaúng thöùc treân phaûi laø : ∏3 2∏ 3 1 ∏ (hoïc sinh töï giaûi thích vì sao)
  10. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân f’(x) 0 − + f(x) 9 4 րց 2 2 9 ⇒2 f( x ) 4 ( )( ) ∃x ∈ 0, 1 ; 1 ,1  2 ⇒2< f < 9 2 vaø  ( x)  f ( 0) = f (1) = 2 4  9 2 1 1 ⇒ 2 < 2 + x − x2 < ⇒ < < 2+ x− x 4 3 2 2 21 1 11 1 ⇒ ∫ dx < ∫ ∫ dx dx < 2 + x − x2 30 0 20 2 1 1 1 ⇒
  11. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân Chöùng minh raèng : 3  ∏ ∫ − 2tg 4 x dx ≤ 90 3 4. 9 0  cos 4 2 1. 2.e ≤ ∫ e 2 −2 x− x dx ≤ 2 e 4   0 ∏ 1 12 200 2. ∫ 5. ∫ e x +1dx ≥ 1 + 2 e- x dx < 0, 005 4 100 0 9 100 1 x 3. 90 − ln10 ≤ ∫ e x dx < 90 + + ln10 ∏ tg 2 ∫ dx < 1 2 6. 200 10 x 0 Baøi giaûi : ; x ∈ [ 0, 2] coù f '( x ) = 1 − 2 x 1. Ñaët f ( x ) = x − x 2 1 coù f '( x ) = 0 ⇔ x = 2 x -∞ 0 2 +∞ 1 2 f’(x) 0 + − f(x) 1 4 րց −2 0 1 ⇒ −2 f( x) 4 1 hay − 2 x − x2 4 2 2 2 1 = 4 e ⇒ e−2 ≤ ∫ dx ≤ ∫ e x − x dx e ∫ dx 2 2 ⇒ e −2 e x−x 4 4 e 0 0 0 2 ∫ x − x2 −2 4 2.e e dx 2. e 0 2 Chuù yù : thöïc chaát baát ñaúng thöùc treân laø : 2.e −2 < ∫ e x − x dx < 2. 4 e 2 0 1 ≤ 2 ; (1) x ≠ 0 2. Tröôùc heát ta chöùng minh : e − x2 x Ñaët t = x 2 ; x ≠ 0 ⇒ t > 0 1 Giaû söû ta coù (1) vaø (1) ⇔ e − t ; t > 0 ⇔ et t ;t >0 t 0 ( 2) ; t > 0 ⇔ et − t Ñaët f ( x ) = et − t co f '( t ) = et − 1 > 0 , t > 0 22
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2