Bất đẳng thức tích phân- Nguyễn Phú Khánh ĐH Đà Lạt - 3

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Nội dung Text: Bất đẳng thức tích phân- Nguyễn Phú Khánh ĐH Đà Lạt - 3

Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân ⇒ f (t ) luoân ñoàng bieán ∀t > 0 vaø f( t ) f( 0 ) = 1 > 0 1 200 1 200 ⇒ f( t ) 0 , t > 0 ⇒ e− x ≤ 2 ⇒ ∫ e− x dx ≤ ∫ 2 2 dx 100 x 2 100 x 200 ⇒∫ 2 e- x dx < 0, 005 100 1 1 1 −1 1 − + 2 ; (1) ∀x > 0 3. Tröôùc heát ta chöùng minh : 1 − x e x x 2x 1 Ñaët t = − ;x > 0⇒t < 0 x 1 (1) ⇔ 1 + t et 1 + t + t 2 ; ( 2 ) t < 0 2 1 Xeùt haøm soá f(t ) = et − t − 1 ; h(t ) = et − 1 − t − t 2 ; t < 0 2 ° f (t ) = e − 1 ' t t -∞ 0 +∞ f’(t) − +∞ f(t) ց 0 ⇒ f( t ) > 0 ; ∀τ < 0 hay et − 1 − t > 0 ; ∀t < 0 ; ∀t < 0 ( 3) ⇒ 1+ t < e t •h'( t ) = et − 1 − t x -∞ 0 +∞ + ' ht 0 ht ր ⇒ h( t ) < 0 ; ∀t < 0 1 > 0 ; ∀t < 0 ( 4 ) hay et < 1 + t + 2 Töø (3) vaø (4) suy ra : 23
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 1+ t 1 + t + t 2 ; ∀t < 0 et 2 1 1 1 −1 hay 1 − e x 1− + 2 ; x > 0 x x 2x 100  1 100  1 1 100 − 1 ⇒ ∫ 1 − dx ∫ e x dx ∫ 1 − + 2 dx  x  x 2x  10 10 10 9 100 1 90 − ln10 ≤ ∫ e x dx < 90 + + ln10 200 10 * Laø baøi toaùn khoù , hi voïng caùc em tìm ñieàu thuù vò trong baøi toaùn treân – chuùc thaønh coâng .  ∏ 3 4. Xeùt f( x ) = − 2tg 4 x ; x ∈ 0,  4  3 cos x  ∏ 1 ⇒ t ∈ [1; 4] t= = 1 + tg 2 x ; x ∈ x ∈ 0,  Ñaët 2  3 cos x ⇒ f( t ) = t 2 + 4t − 2 ⇒ f '(t ) = 4t 3 + 4 > 0 ; ∀t ∈ [1, 4] ⇒ f(1) f( 4) ⇒ 3 f(t ) f(t ) 30 4 4 4 ⇒ 3∫ dt ∫ f(t ) dt ≤ 30 ∫ dt 1 1 1 3  ∏ ∫ ⇒9 − 2tg 4 x dx 3 90  cos 4   0 5. Xeùt haøm soá f( x ) = e x − 1 − x ; ∀x 0 0 ⇒ f( x ) ñoàng bieán ∀x ∈ 0, + ∞ ) coù f '( x ) = e x − 1 > 0 , ∀x  ⇒ f( x ) f ( 0) = 0 ⇒ e x − 1 − x 0 ⇒ ex 1 + x ; ∀x 0 1 1 ⇒e 1+ ; ∀x 0 1+ x 2 1 + x2 1 1 1 11 1 dx (*) ⇒ ∫ e 1+ x dx ∫ 1 + dx = 1 + ∫ 2 2  1+ x  0 1 + x2 0 0 Ñaët x = tgt ⇒ dx = (1 + tg 2t ) dt 1 (1 + tg t ) dt  x = 0 t = 0  2 ∏ 1 1 ⇒∫ dx = ∫ ⇒ ∏ =  x = 1 0 1+ x 1 + tg t t = 4 2 2 4 0  ∏ 1 Töø (*) suy ra : ∫ e 1+ x 2 +1 dx 4 tg x 2< 2  ∏ 6. Tröôùc heát ta chöùng minh : ; x ∈  0,  ∏  2 x 24
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân  ∏ 1x Xeùt haøm soá f( x ) = .tg ; x ∈  0,   2 x2 x − sin x f '( x ) = 2 2 x .cos 2 x 2  ∏ Ñaët Z = x − sin x ⇒ Z ' = 1 − cos x > 0 , ∀x ∈  0,   2  ∏ ⇒ Z > Z ( 0) = 0 ⇒ f '( x ) > 0 , ∀x ∈  0,   2 x ∏ -∞ 0 +∞ 2 f’(x) + f(x) 2 ∏ ր −∞ tg x 2 2< 2 ⇒ f( x ) < ⇒ ∏ ∏ x tg x tg x ∏ ∏ ∏ 2 2 dx < 2 dx < 1 ⇒∫ ∫ ⇒∫ 2 2 2 dx ∏ x x 0 0 0 Chöùng minh raèng : ∏ 2001 ∏ 2001 1∏ 1. ∫ x1999 .e2 x .dx > + 20 2001 2002 ) ( ( ) 1 2 1 2. ∫ x ln x + 1 + x 2 dx ln 1 + 2 + −1 2 2 0 n+ 2 1 ∏ ∏ 3. ∫ n 4 xtg xdx  n+2 4  0 Baøi giaûi : 1. Tröôùc heát ta chöùng minh : e 2 x > 2 ( x 2 + x ) ; ∀x > 0 Xeùt haøm soá: f ( x ) = e 2 x − 2 ( x 2 + x ) ; ∀x > 0 ; f ' '( x ) = 4.e 2 x − 4 > 0 ; ∀x > 0 f '( x ) = 2.e 2 x − 4 x − 2 ⇒ f '( x ) laø haøm taêng ; ∀x > 0 ⇒ f '( x ) > f( 0) = 0 ⇒ f ( x ) laø haøm taêng ; ∀x > 0 ⇒ f ( x ) > f ( 0) 25
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân ⇒ e2 x > 2 ( x 2 + x ) ⇒ x1999 .e 2 x > 2.x1999 ( x 2 + x ) x .e dx > ∫ x1999 ( x 2 + x ) dx 1 ∏ 1999 2 x ∏ 2 ∫0 ⇒ 0 ∏ 2001 ∏ 2001 1∏ ⇒ ∫ x1999 .e2 x .dx > + 20 2001 2002 ) ( 2. Tröôùc heát ta chöùng minh : 1 + x ln x + 1 + x 2 1 + x 2 ; ∀x ∈ R Xeùt haøm soá : ) ( f ( x ) = 1 + x ln x + 1 + x 2 − 1 + x 2 ) ( f '( x ) = ln x + 1 + x 2 ⇒ f '( x ) = 0 ⇔ x + 1 + x 2 = 1 1 − x ≥ 0  ⇔ 2 ⇔ x=0 1 + x = (1 − x ) 2  ) ( vaø f '( x ) < 0 ⇔ ln x + 1 + x 2 < 0 ⇔ x < 0 x -∞ 0 +∞ f’(x) - 0+ f(x) ց ր 0 ⇒ f( x ) f ( 0) = 0 ; ∀x ∈ R ( ) ⇒ 1 + x ln x + 1 + x 2 1 + x2 ) ( ⇒ x ln x + 1 + x 2 1 + x2 − 1 1 ( ) dx ∫ ( ) ( ) 1  1 1 1 ⇒ ∫ x ln x + 1 + x 1 + x − 1 dx =  x x 2 + 1 + ln x + 1 + x 2 − x  2 2 2 0 2 0 0 ) ( ( ) 1 2 1 ⇒ ∫ x ln x + 1 + x 2 dx ln 1 + 2 + −1 2 2 0  ∏ 3. Ñaët f ( x ) = tgx − x ; ∀x ∈ 0,   4  ∏ 1 f '( x ) = − 1 = tg 2 x > 0 ; ∀x ∈  0,  2  4 cos x  ∏ ⇒ f ( x ) ñoàng bieán treân 0,  ⇒ f ( x ) f ( 0) = 0  4 26
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân  ∏ ⇒ tgx x ; ∀x ∈ 0,  ⇒ tg n x xn  4 ∏ ∏ x n +1 ⇒ ∫ ∫ x n +1dx ⇒ xtg n x xtg n xdx 4 4 0 0 n+ 2 1 ∏ ∏ ⇒∫ n 4 xtg xdx  n+2 4  0 Giaû söû f(x) coù ñaïo haøm lieân tuïc treân [0,1] vaø f(1) – f(0) = 1 ( ) 2 1 Chöùng minh raèng : ∫ f '( x ) dx 1 0 ( ) 2 1 ; ∀x ∈ [ 0,1] 1 Ta coù : ∫ f '( x ) − 1 dx 0 () ( ) 2 2 1 1 1 1 0 ⇔ ∫ f '( x ) dx − 2  f(1) − f( 0)  + 1 ⇒ ∫ f '( x ) dx − 2 ∫ f '( x ) dx 1 + ∫ dx 0   0 0 0 0 ⇔ ∫ ( f ( ) ) dx − 2 + 1 ( ) 2 2 1 1 0 ⇒ ∫ f '( x ) dx ' 1 x 0 0 Cho f laø 1 haøm lieân tuïc treân [0;1] ñoàng thôøi thoaû maõn 1 f ( x ) 2 ; ; ∀x ∈ [ 0,1] ( a )  1 3  ∫0 f ( x ) dx = ( b )  2 2 11 3 ∫0 f x dx < 4 Chöùng minh 3 () Theo BÑT Bunhiacosky 2 1  ) ( 2 1 dx 1 1 1 1 ∫ 1.dx =  ∫ f ( x ) . dx  ∫ f ( x ) dx . ∫ 0 f( x )  f( x ) 0 0 0   3 1 dx 1 dx 2 (1) =∫ ⇒∫ 0f 2 0 f( x ) 3 ( x) Daáu “=” khoâng xaûy ra : f( x ) 3 = k ⇔ f( x ) = k = 1 2 f( x ) 3 1 do ∫ f ( x ) .dx = 2 0 2 − f( x ) 0  2 ; ∀x ∈ [ 0,1] thì  Töø (a) : 1 f( x )  f( x ) − 1 0  ( ) ( f( ) − 1) ⇔ 2 − f( x ) 0 ⇔ f 2( x ) − 3 f ( x ) + 2 0 x 27
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 2 0 ( 2 ) Ñaët t = f ( x ) f( x ) − 3 + f( x ) 2 ⇒ 1 ≤ t ≤ 2 thì (2) ⇔ t − 3 − = f(t ) 0 t t 1 2 2 f’(t) 0 + − f(t) ց ր 2 2 −3 dx 1 1 1 ⇒ ∫ f ( x ) dx − 3∫ dx + 2 ∫
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân BAØI TAÄP TÖÏ LUYEÄN Chöùng minh raèng : 29
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân ∏ 1 3 ∏ ∏ 1 3 ∫0 18.1 dx 4 ∫0 1. dx 2 2 5 −x + 2x + 8 5 + 2 cos x 28 24 ∏ 2 ∏ ∏ 1 1 ∫0 1 + x dx 19.1 2 4 ∫0 2. dx 2 3 + 4 sin x 24 18 2 1 ∫0 3 + x dx 20. 3 2 2 1 2 1 ∫−1 3 3. dx ∏ ∏ 3∏ 1 4 x +8 ∫∏ 9 7 21. 2 dx 3 + sin x 8 7 4 x 5 10 dx < 4. ∫0 1 5 − 4 xdx ∫−1 22. 2 6 3 x + 16 6 2 1 ∫0 4 + x dx 23. 2 5 cos x 5 18 dx < ∫0 5. 4 ∏3 ∏ 6 1 1+ x 1 < ∫0 2 dx < 24. x +x+2 18 8 ∏ ∏ ∏ 1 2 ∫0 6. dx ∏ 1 1 1 2 5 + 3 cos x 16 10 2 ∫0 25. dx 2004 −x 4 2 1− x ∏ e .sin x 3 dx < 7. ∫1 ∏ ∏3 2 x x +1 12e 1 dx < ∫0 7 26. 5 3 x + x +x +3 18 27 −x 1 8.∫0 3 + e dx 2 2 e 27. 0 ∫0 x ln xdx e 4003 () 2001 ∏ . ln x.dx < ∏ 2 9. ∫1 x 3 28. 9 < ∫0 81 + x dx < 10 2∏ 2∏ ∏ ∏2 dx 2∏ 1 1 < ∫0 < ∫0 29. 10. dx 10 + 3 cos x 2 3 3 7 6 8 4− x − x ∏ ∏6 ∏ 1 ∏ 2 1 1 1 ( n = 2, 3...) 2 < ∫0 1+ sin x dx < 30 . dx < ∫0 2 11. 2∏ 2 2 4 2 6 1− x 2 1 31. 0 < ∫−1 tgx dx < 2 3 2 2 x −x 2 2 ∫0 e 12. dx 2e ∏ 3∏ 4e 1 32. ∏ 4 ∫∏ dx 2 4 3 − 2 sin x 2 4 7 x 1 1 13. 0 < ∫0 dx < − x2 1 ( e − 1) < ∫0 e 1 3 8 dx < 1 8 33. 1+ x e 2 1x 14.1 < ∫0 e dx < e sin( nx ) 1 34. ∫0 dx ln 2 x +1 19 1 x 1 1 < ∫0 dx < 15. cos( nx ) 203 2 6 1 20 1+ x 35. ∫0 dx ln 2 x +1 ∏ ∏ ∏ 1 ∏ 2 ∫0 1 x 16 . dx dx < ; n = 3, 4 2 2 36. ∫1 5 − 3 cos x 10 4 2n 12 1− x n ( 2 )dx > 0 x 1 1 2∏ ∫0 17. 0 dx 37.∫0 sin x 1+ x n +1 Chöùng minh raèng : 30
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân ( ) ∏ 1. ∫ 2 + cos 2 x + 2 − cos 2 x dx 2 2∏ o 3cos x + 4sin x 5∏ 3 2. 0 < ∫ dx x2 + 1 12 1 9∏ (3 − 2 )( ) ∏ 3.∫∏ sin x sin x + 6 sin x + 5 dx 3 2 6 27 ∏ ( )( ) ∏ 4. ∫ tgx 2 + 3 tgx 7 − 4 tgx dx 4 4 0 25 ∏ ∏ sin 2 x ( 2 + 3cos 2 x )dx < 5.∫ 4 48 0 125 ∏ ∏ 6. ∫ cos 4 x ( 2sin 2 x + 3) dx < 2 54 0 ( ) 3∏ 3 ∏ 7. ∫ ∏ 5 − 2 cos 2 x + 3 − 2sin 2 x dx 4 − 2 4 27 ∏ ( )( ) ∏ 8. ∫ sin x 2 + 3 sin x 7 − 4 sin x dx 2 2 0 9∏ ( )( )( ) ∏ 9. ∫∏ 3 − 2 sin x 5 + sin x 1 + sin x dx 3 2 6 ∏ ( 2sin x + tgx ) dx > 0 10. ∫ 0 ∫ (e + x − 1) dx 1 −x e −1 11. 0 0 2 e− x 1 51 1 ∫ + 12. dx x2 + 1 2 24 2 0 Chöùng minh raèng : x sin a + a + 1 cos a 1 ∫ 11. − 1 dx 1 2∏ 2∏ 1 2∏ x +1 ∫0 10 + 3cos x dx 7 0 1. (a ∈ R) 13 ∏ ∏ ∏ 1 ∫0 4 + 3cos2 x 8 2 2. ∏ 1 1− x ∏ 2 ∫ xdx ∫e 14.1 dx e 0 0 0 1 1 5. ∫ x 2 sin 2 xdx < ∫ x sin 2 xdx 1∏ ∫ 15. ∏ 2∏ dx 0 0 sin x + cos 4 x 4 0 2 2 6. ∫ e x dx > ∫ e x dx 2 ∏ 1 1 16.∫ 2 dx < 1 1 0 x + x+2 8 31
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân x 2 cos α − 2 x + cos α ∏ ∏ 1 7. ∫ ∫ sin xdx > ∫∏ 2 cos xdx 2 dx 2 17. x 2 − 2 x cos α + 1 ∏ −1 4 4 ( ) α ∈ ( 0, ∏ ) 2 + x + 4 − x dx 1 ∫ 18. 3 6 63 −2 ∏ ∏ x3 8..∫ ∫ 2 sin10 xdx 2 sin 2 xdx 5 ∫3 2 19. 25 dx 27 0 0 x − 4x + 5 ) ( ∏ 2 2 2 2 cos x + 2 sin x + sin x + 2 cos x dx ∏6 9.∫ ∏6 − 6 ) ( ∏ 2 2 2 2 3 cos x + sin x + 3 sin x + cos x dx ∏2 10. ∫0 2 Chöùng minh raèng : ∏ 3 sin x 1 < ∫∏ 3 dx < 1. cos x 1 2∏ ∫ dx < 4 x 2 28. 6 2∏ x 0 ∏ 3 sin x 2 < ∫∏ 3 < 2. 0 ∫ 8e −2 x 2e x dx 29. 0 8 x 6 4 −2 ( ) dx < 27 ( ) 4 2 3 5 3 3. 0 < ∫0 x 1 − x 2 30. − 24 ∫−1 − x − 5 x + 20 x + 2 dx 32 ∏3 2∏ 3 1 1 ∏ ∫ 31. − 2 − x 3 + 3x − 2dx
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân x2 5 92 3 12. < ∫ dx < 2 x2 + 4 x + 5 x −1 5 1 2 4 2 2 ∫ 2 21. dx 15 x2 + 1 −2 2 200 ∏ cos x 1 13. ∫ dx < e 200 ∏ ∫ 100 ∏ e2 x 22. 0 x ln x 0 ∏ 1 sin x 2 < ∫∏ e2 x dx < ( e − 1) < ∫e dx < e3 ( e − 1) 2 14. 2 23. e 2 x 2 ln x 4  1 e2 ( )∫ 5 2 2x < ∫ 2 dx < 1 15. 2 e − e <  3ln x − 2 dx 24 . 4 1 x +1  ln x  2 x +1 3 2 x 1 25. ln 2 < ∫ ln 2 dx < ln 3 16. < ∫ 2 dx < 5 1 x +1 x 1 2 2 2 1 2 < ∫ e x − x dx < 2e2 1 17. ∫ x (1 − x ) dx < 26. 4 0 e 2 0 ex 1 2 ∫ 27. e < dx < e2 x 2 1 ∏ ∫ ∏ cos 2 x − cos x + 1 dx 2∏ 18. ∏ 2 ∫ ( −x ) 2 + 4 x 2 + 5 dx 4 19. 52 92 0 ∫ ( −3x ) 2 − 141 − 8 x3 + 30 x 2 + 72 x − 20 dx 4 20. 369 −1 33