Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Hình học lớp 12: Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:180

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn sách "Phương pháp giải các chủ đề căn bản Hình học 12" Phần 1 do tác giả Lê Hoàng Phò biên soạn, trình bày các nội dung chính như sau: khối đa diện và phép dời hình; khối đa diện đều và phép vị từ; thể tích khối lăng trụ và khối hộp; thể tích khối đa diện và khối chóp; mặt cầu, khối cầu; mặt trụ-hình trụ-khối trụ; mặt nón-hình nón-khối nón; toán cực trị không gian; toạ độ không gian. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Hình học lớp 12: Phần 1

NGirr.ThS. LÊ HOÀNH PHÒ GIẢI CÁC CHỦ Đ Ê CĂN B Ả N 1 \ 1 1 . 1 1 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CDC NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HQC QUỐC GIA HÀ NỘI
NHÀ XUÃT BÁN ĐẠI HỌC QUÕC GIA HÀ NỘI 16 H àn g C h u ố i - Hai Bà T rư ng - Hà Nội Điên thoai: Biên tâp-Chế bản: (04Ì 39714896: Hành chính: (04) 39714899: Tổno biên tảp: (04) 39715011 Fax: (04)39714899 * * C h ịu tr á c h n h iệm x u ấ t bản: Giám dốc - Tổng biên tập: TS. PHẠM THỊ TRÂM Biên tập: NGỌC LÂM Sửa bài: NHÀ SÁCH HỔNG ÂN C hế bản: NGUYỄN KHỞI MINH T rinh bày bìa: v õ THỊ THỪA Đối tác liên kết xuất bản: N hà sách HỒNG ÂN SÁCH LIÊN KÊT CÁC CHỦ ĐỂ CĂN BẢN HÌNH HỌC 12 Mã số: 1L- 155ĐH2014 In 2.000 cuốn, khổ 17 X 24cm tại Công ty cổ phần Văn hóa Văn Lang. Giấy phép xuất bản số: 463-2014/CXB/09-99 ĐHQGHN, ngày 14/03/2014 Quyết định xuất bản số: 153LK-TN/QĐ-NXB ĐHQGHN. In xong và nộp lưu chiểu quý II năm 2014.
n ó ^ c ỉa iù Nhằm mục đích giúp các bạn học sinh lớp 10, lớp 11, lớp 12 nắm vững kiến thức căn bản về môn Toán ngay từ lúc vào THPT cho đến khi chuẩn bị thi Tốt nghiệp, tuyển sinh Cao đẳng, Đại học, tác giả đã biên soạn bộ sách PHƯƠNG PHÁP GIẢI gồm 6 cuốn: - CÁC CHỦ ĐỂ CĂN BẢN ĐẠI số 10 - CÁC CHỦ ĐỀ CĂN BẢN HÌNH HỌC 10 - CÁC CHỦ ĐỂ CĂN BẢN ĐẠI số - GIẢI TÍCH 11 - CÁC CHỦ ĐỂ CĂN BẢN HÌNH HỌC 11 - CÁC CHỦ ĐỂ CĂN BẢN GIẢI TÍCH 12 - CÁC CHỦ ĐỀ CĂN BẢN HÌNH HỌC 12 Từ nền Toán căn bản này, các bạn có thể nâng cao dần dần, bổ sung và mở rộng kiến thức và phương pháp giải Toán, rèn luyện kỹ năng làm bài và từng bước giải đúng, giải gọn các bài tập, các bài toán kiểm tra, thi cử. Cuốn CÁC CHỦ ĐỂ CĂN BẢN HÌNH HỌC 12 này có 15 chủ đề với nội dung là phân dạng Toán, tóm tắt kiến thức và phương pháp giải, các chú ý; phần tiếp theo là các bài toán chọn lọc căn bản minh họa với nhiều dạng loại và mức độ; phần cuối là 8 bài tập có hướng dẫn hay đáp số. Dù đã cố gắng kiểm tra trong quá trình biên soạn song không tránh khỏi những sai sót mà tác giả chưa thấy hết, mong đón nhận các góp ý của quý bạn đọc, học sinh để lẩn in sau hoàn thiện hơn. Tác giả LÊ HOÀNH PHÒ
o CHỦ ĐỂ I KHỐi Đe DIỆN Vè PHÉP DỜI HÌNH DẠNG TOÁN KHỐI ĐA DIỆN 1. //iii/i da diện và khối da diện - Hình đa diện gồm một sổ hữu hạn đa giác phăng íhoủ mãn hai điểu kiện: (!) ỉỉai da giác hát kì hoặc không có diêm chung, hoặc có một đinh chung, hoặc cỏ một cạnh chung. (2) Moi cạnh cua một đa giác lù cạnh chung của đúng hai đa giác. - Hình da diện chia không gian làm hai phần: phần bên trong và phần bên mỉoài. Hình đa diện cùng V(/Ì phần hên trong cùa nó gọi là khối đa diện. - Mồi khối đa diện có thê phân chia dược thành những khối tứ diện. Mỗi đa giác cua hình H được gọi là một mặt cùa khoi đa diện. Các đình, các cạnh cua mỗi mặt cỏn gọi là đỉnh, cạnh của khối đa diện. Các điểm nam trong hình H còn gọi là diém trong của khối da diện. Khối chóp và khối lăng trụ - Khối đa diện được gọi là khối chóp, khối chóp cụt nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp, hình chóp cụt. Tương tự cho khối chóp n-giác, khối chóp cụt n- giác. khối chóp đểu. khối tứ diện,... - Khối da diện dược gọi là khối lăng trụ nếu nó được giới hạn hởi một hình lăng trụ. tương tự cho khối hộp, khối hộp chữ nhật, khổi lập phương... - Phân chia và lắp ghép cúc khối đa diện: Mọi khối chóp và khối lăng trụ luôn có ihẽ phán chia được thành những khối tứ diện bằng nhiều cách khác nhau. Chú ỷ: 1) Dặc .sy5 O-le cua khối đa diện lồi: Đối với mỗi khối đa diện lồi H, ta kí hiệu D lù so dinh, c là so cạnh, M là so mặt của H thì cỏ đặc số ỵjH ) = Đ - c - M = 2.
2) ỉĩinh lăng trụ đều: hình lăng trụ đứng (có cạnh bên VU( ng góc với mặt đáy) và có đáy là đa giác đểu. 3) Hình chóp đều: đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Bài toán 1: Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác thì số mặt phải là số chẵn. Hãy chỉ ra những khối đa diện như thế vói số mặt bằng 4, 6, 8,10. Giải Gọi số cạnh của khối đa diện là c, số mặt là M. Vì mỗi mặt có ba cạnh và mồi cạnh lại chung cho hai mặt nên 3M = 2C. Suy ra M là số chẵn. Sau đây là một số khối đa diện số các mặt tam giác là 4, 6, 8, 10. nhất ba cạnh và là đỉnh chung của ít nhất ba mặt. Giải Ta dùng phản chứng. Neu xuất phát từ một đỉnh nào đó chỉ có hai cạnh, thì mồi cạnh như thế là cạnh của chi một đa giác, trái với điều kiện trong định nghĩa của hình đa diện. Vậy mỗi đỉnh phải là đỉnh chung của ít nhất là ba cạnh, và vì vậy nó cũng phải là đỉnh chung của ba mặt. Bài toán 3: Chứng minh rằng nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn. Giải Già sử khối đa diện có c cạnh và có Đ đỉnh. Vì mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh và mỗi cạnh có hai đỉnh nên 3Đ = 2C. Vậy Đ phải là số chẵn. Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác và mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì đó là khối tứ diện. Giải Gọi A là một đỉnh của khối đa diện. Theo giả thiết, đỉnh A là đỉnh chung cho ba cạnh, ta gọi ba cạnh đó là AB, AC, AD. Cạnh AB phải là cạnh chung của hai mặt tam giác, đó là hai mặt ABC và ADB (vì qua đỉnh A chỉ có 3 cạnh).
1'ương tự, ta.có các mặt tam giác ACD và BCD. Vậy khối đa diện đó chính là khối tứ diện ABCD. Bài toán 5: Chứng minh rằng, số góc của tất cả các mặt gấp đôi số cạnh của khối da diện. Suy ra số góc chẵn. Giải Gọi sổ góc là G và số cạnh của khối đa diện làc. Trong mỗi mặt là đa giác thì số góc bằng số cạnh, mà số cạnh được tính 2 lần nên G = 2C, do đó G chẵn. Bài toán 6: Chứng minh không tồn tại khối đa diện có một số lẻ mặt và mỗi mặt lại có một số lẻ cạnh. Giải Giả sừ tồn tại khối đa diện có số mặt là M lẻ và mỗi mặt chứa số lẻ cạnh Ci, i = 1, 2...., M. ' ’ Ta có số góc của khối đa diện: G = C| + C 2 +... + C I ^ G lẻ: vô lý. ]V Vậy không tồn tại khối đa diện thoà đề bài. Bài toán 7 : 1lãy phân chia một khối tứ diện thànli ba khối tứ diện bởi hai mặt phang. Giải Cho khối tứ diện ABCD. Lấy điểm M và N phân biệt nằm giữa c và D. Bằng hai mặt phẳng (ABM) và (ABN), ta chia p khối tứ diện đã cho thành ba khối tứ diện: ABCN, ABNM va ABMD. Bài toán 8: Hãy phân chia một khối tứ diện thànli bốn khối tứ diện bởi hai mặt phẳng. Giải A Cho khối tứ diện ABCD. Lấy diểm M nằm giữa A và B, điểm N nằm giữa c và D. Bằng hai mặt phẳng (MCD) và (NAB), ta Mi chia khối tứ diện đã cho thành bốn khối tứ diện: B- AMCN, AMND, BMCN và, BMND. Bài toán 9: Hãy phân chia một khối hộp thành năm khối tứ diện Giải Có thể phận chia khốỉ hộp ABCD.A'B'C'D' thành năm khối tứ diện sau đây: ABDA', C BD C, B'A’C'B, D'A'C'D và, BDA'C.
DẠNG TOÁN PHÉP DỜI HÌNH 2. Phép dời hình - Mội phép hiến hình F trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó hảo toàn khoảng cách giữa hai diêm hất kỳ’: nếu F biến hai điếm bất kì M, N lần lượt thành hai diêm M \ N' thì M'N' MN. Phép dời hĩnh biến đường thăng thành đường thẳng, mặt phẳng thành mặt phảng... Hợp thành cùa những phép dời hình là phép dời hình. Các phép dời hình dặc biệt - Phép đồng nhất: Phép dời hĩnh hiến diểm M hẩt kĩ thành chỉnh nó. - Phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo vectơ V là phép hiển hình hiến mỗi điểm M thành diêm M ' .sao cho MM ' = V. - Phép đối xứng qua đường thăng (phép đối xứng trục): Cho đường thăng d. phép đoi xứng qua dường thăng d là phép hiến hình hiến mỗi điếm thuộc d thành chính nỏ và hiến moi diêm M không thuộc d thành điểm M ’ sao cho trong mặt phăng (M, d), d là đưòmg trung trực cùa đoạn thăng MM'. - Phép đoi xứng qua một diêm (phép dổi xứng tâm): Cho điểm (), phép đối xứng qua diêm () là phép hiến hình hiến mỗi điểm M thành điếm M ' sao cho OM • OM ' 0 , hay () là trung diêm của MM'. - Phép đổi xứng qua mặt phang (P) là phép hiến hình hiển mỗi điểm thuộc (P) thành chỉnh nỏ và hiến mỗi diêm M không thuộc (P) thành điểm M' .sao cho (P) là mặt phăng trung trực của đoạn thăng MM'. Hai hình bằng nhau - Hai hình đa diện gọi là hằng nhau nếu có một phép dời hình hiến hình nàv thành hình kia. Dổi với các khối đa diện lồi: Neu phép dời hình F hiến tập các đinh của khối đa diện lồi H thành tập các đình cua khối đa diện lồi H' thì F hiển H thành H'. Dịnh lý: Hai hình tứ diện ABCD và A 'B'C'D' bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng hằng nhau, nghĩa là AB = A'B', BC - B 'C , CD = C 'D ’ DA - D 'A\ , AC = A ’C, BD = B'D'. Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A, B và phép dời hình f biến A thành A, biến B thành B. Chứng minh ràng f biến mọi điểm M nàm trên đường thẳng AB thành diêm M. Giải Ta có f(A) = A. r(B) = B.
(jiả sư điểm M Ihuộc dường ihẳng AB và f(M) = M'. Khi đó M' thuộc đường thăng AB và AM = AM', iỉM BM'. Suy ra M' trùng M, tức là f biến M thành chính nó. Vậy 1'biến mọi diồm M nàm trên dường thẳng AB thành chính điểm M. Fỉài toán 2: Cho tam giác ABC và pliép dời hình f biến tam giác ABC thành chính nó, tức là f(A) = A, f(B) = B, f(C) ^ c. Chứng minh rằng f biến mọi điểm M của mp(ABC) thành chính nó, tức là l'(M) = M,- Giải Vì f(A) = A, f(B) = B và f(C) = c nôn í'biến mp(ABC) thành mp(ABC). Bởi vậy nếu M thuộc mp(ABC) và Í'(M) = M' thì M' thuộc mp(ABC) và AM = AM', BM = BM’. CM = CM'. Ncu M’ và M phân biệt thì ba điểm A. B. c thuộc đưòng thẳng trung trực của doạn thẳng MM' trên mp(ABC), trái với giả thiết ABC là tam giác. Vậy f(M) = M. lỉài toán 3: Cho tứ diện ABCD. Chứng tỏ rang phép dời hình biến mồi diêm A, B, c, D thành chính nó phai là phép dồng nhất. Giải Giá sử phép dời hình f biến các diềm A, B, c, D thành chính các đicm đó, tức là f(A) = Á. f(B) = B. f(C) = c, f(D) = D. Ta chứng minh ràng f biến điổm M bất kì thành M. Thật vậy giả sử M' ~ f(M) và M' khác với M. Khi đó vì phép dời hình không làm thay đôi khoáng cách giữa hai diêm nên AM = AM'. BM = BM', CM = CM', DM = DM', suy ra bốn điểm A, B, c, D nằm trên mặt phăng trung trực của đoạn MM', điều dó trái với giả thiết ABCD là hỉnh tứ diện. Vậy M' trùng với M và do dó f là phép dồng nhất. Bài toán 4: Cho hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' có các cạnh tương ứng bằng nhau; AB = A'B'. BC = B’C . CD = C’D', DA - D’A', DB = D'B', AC = A'C. Chứng minh ràng cỏ không quá một phép dời hình biến các điểm A, B, c, D lần lượt thành các điểm A', B', c . D'. Giải Gia sử có hai phép dời hình f| và f'2dềii biến các điểm A. B, c, D lần lượt thành các điềm A', B'. c , D'. Ncu fi và I2 khác nhau thì có ít nhất một điểm M sao cho nếu Mi = fi(M) và M2 = t'2(M) thì M| và M2 là hai điểm phân biệt. Khi dó vì f) và t'2 đều là phép dời hình nên A'Mi = AM và A'M 2 = AM. vậy A'M, = A'M 2, tương tự B'M| = B'M 2, C’M| = C M 2, D'M| = D’M2, do đó bốn điểm A'. B', c, D' cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng M 1 M 2, trái với giá thiết A'B'C'D' là hình tứ diện. Do đó với mọi diếm M ta đều có f|(M) ^ 1'2(M), tức là hai phép dời hình f| và í'2 trùng nhau.
Vậy có không quá một phép dời hình biến các điểm A, B, c, Dlần lượt thành các diếm A', B', C', D'. Bài toán 5: Cho hai tam giác bằng nhàu ABC và A'B'C' (AB = A'B', BC = B'C, AC = A'C). Chứng minh rằne có đúng hai phép dời hình, mỗi phép biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C. Cho trước tam giác ABC. Có những phép dời hình nào biến tam giác ABC thành chính nó? . D Giãi Tròn đưòng thẳng a vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm D khác A, trên đưòng thảng a' vuông góc với mp(A'B'C) tại A' có hai điểm phân biệt Di và D 2 sao cho A’D, = A'D 2 = AD. 'l a có các hình tứ diện ẠBCD, A'B'C'D, và A’B’C'D 2 có các cạnh tương ứng bằng nhau. Nếu f là phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì hoặc rbiến D thành D| hoặc f biến D thành D2 . Vậy có đủng hai phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C. Đó là phép dời hình f| biến tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'Di và phép dời hình Ỹ 2 biến tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D 2 . Dây là trường hợp riêng khi hai tam giác ABC và A'B'C' trùng nhau. Vậy ta có hai phép dời hình biên ABCD thành chính nó; đó là phép đông nhât và phép đôi xứng qua mp(ABC). Bài toán 6: Cho tứ diện đều ABCD và phép dờihình f biến ABCD thành chính nó, nghĩa là biến mỗi đỉnh của tứ diện thành mộtđỉnh của tứ diện. Tìm tập hợp các diêm M trong không gian sao cho M = f(M) trong các trường họp sau đây: a) f(A) = B, f(B) - c, f(C) = A b) f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D c) f(A) = B, f(B) = c, f(C) = D Giải a) 'ĩheo giả thiết f(A) = B và f(B) = c, f(C) = A. Do đó f(M) = M khi và chi khi MA = MB = MC. Suy ra tập họp các điểm M là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. b) Theo giả thiết f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D. Do đó f(M) = M khi và chỉ khi MA = MB và MC = MD, tức là M đồng thời năm trôn các mặt phăng trung trực của AB và CD. Suy ra tập họp các điểm M là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và CD. c) Theo giả thiết f(A) - B, f(B) = C^CC) = D. Do đó f(M) = M khi và chỉ khi MA = MB = MC = MD. Suy ra tập hợp các điểm M gồm một điểm duy nhất là trọng tâm tứ diện ABCD. 10
Bài toán 7: Chúng minh rằng các phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm là các phép dời hình. Giải - Ncu phép tịnh tiến theo vectơ V biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M', N’ thì = " m ' = V , suy ra MN = M’N' và do đó MN = M’ Vậy phép N'. tịnh tiến là một phép dời hình. - Neu phép đối xímg tâm o biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M', N' thì Õ M ' = -Õ M , Õ N ' = -Õ N . Suy ra: M' N' = ÕN' - õĩvi' = -Õ N + ÕM = NM Do đó M'N' = MN, suy ra phép đổi xứng tâm o là một phép dời hình. Bài toán 8: Chứng minh rằng các phép đổi xứng trục, đối xúng qua mặt phẳng là các phép dời hình. Giải - Giá sử phép dổi xứng qua đường thẳng d biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M', N'. Gọi II và K lần lượt là trung điểm của MM' và NN', ta cộ; MN + Ĩ ^ N ' = 211K, MN - ỹ n ĩ ' = ĩm -H M -H N '+ ĩn^ '= Ĩ^N + ĩvĨM Vì hai vectơ M M ' và NN ' đều vuông góc với HK nên: (\W + ỈVT N'). ( ĩ ^ - M ^ĩĩ') = 2í Ĩ k (n ' N + MM') = 0 Suy ra ĨVĨN' = M ^ '‘ hay MN = M'N'. Vậy phép đổi xứng qua d là phép dời hình. - Giả sử phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến M, N thành M', N'. Nếu M, N thuộc (P) thì M' s M, N' = N nên M’N ’ = MN. Ncu có ít nhất một trong hai điểm M, N không nằm trên (P) thì qua bốn điểm M, N, M', N' có một mặt phẳng (Q) (MM' và NN' cùng vuông góc với (P) nên song song với nhau). Gọi A là giao tuyến của (P) và (Q) thi trong mp(Q), phép đổi xứng qua đường thẳng A biến hai điểm M, N thành hai điểm M' và N' nên MN = M 'N '.' Bài toán 9: Chứng minh 2 hình lập phương có cạnh bằng nhau thì bằng nhau. Giải Giả sử ABCD.A'B'C'D' và MNPQ.M'N'P'Q' là hai hình lập phương có cạnh đều băng a. Hai tứ diện ABDA' và MNQM' có các cạnh tương ứng bằng nhau nên bằng nhau, tức là có phép dời hình F biến các điểm A, B, D, A' lần lượt thành M, N, Q, M'. 11
Vì F là phép dời hình nên F biến hình vuông thành hình vuông, do đó F’ biến diểm c thành dicm p. biến dicm B' thành N'. biến diêm D' thành Q' và biến diểm C' thành P'. Vậv hai hình lập phương đã cho bằng nhau. Bài toán 10: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: a) Các hình chóp A.A'B'C'D' và C.ABCD bàng nhau b) Các hình lăng trụ ABC.A'B’C' và AA'D’.BB'C' bằng nhau. (ỉiải a) Gọi o là tâm của hình lập phương. Vì phép dối xứng tâm o biến các đỉnh của hình chóp A.A'B'C'D' thành các đỉnh cùa hình chóp CABCD. Vậy hai hình chóp đó bàng nhau. b) Phép đối xứng qua mp(ADC'B') biến các đỉnh của hình lăng trụ ABC. A'B'C' thành các dỉnh của hình lăng trii AA'D'.BB'C' nên hai hình lăng trụ dó bằng nhau. DẠNG TOÁN CÁC PHÉP DỜI HÌNH ĐẶC BIỆT 3. Phép tịnh tiến Phép tịnh tiến theo vectơ V là phép hiến hình hiến mỗi điêm \ í thành điém M' sao cho MM ' V . Các phép dồi xứ ng - Phép đối xứng qua đmrng thăng (phép đoi xứng trục): Cho đường thăng ti phép doi xứng qua dường thũng d là phép hiến hình hiến mỗi diêm thuộc d thành chính nỏ và hiên môi diêm M không thuộc d thành diêm M' sao cho trong mặt phăng (M, d), d là dường trung trực của đoạn thăng MM'. - Phép đối xứng qua một diêm (phép dổi xứng tâm): Cho diêm o. phép dối xứng qua diêm () là phép hiên hình hiên môi diêm M thành diêm M' scư) cho OM • OM ' = 0 , hay o là trung diêm cùa MM'. - Phép đổi xứng qua mặt phăng (P) là phép hiển hình hiến mối diêm thuộc (P) thành chính nỏ và hiên môi diêm M không thuộc (P) thành diêm M' sao cho (P) lù mặt phăng trung trực cùa doạn thũng MM'. yểu tổ dổi xứng - Hình H có tâm đổi xứng khi có phép dối xứng qua tâm hiến hĩnh H thành chinh nỏ. - ỈPinh ỉ ỉ cỏ trục đổi xứng khi có phép đổi xứng qua trục hiển hình H thành chinh nỏ. - Hĩnh H có mặt đổi xứng khi có phép đổi xứng qua mặt phăng hiến hình H thành chính nỏ. 12
Bài toán 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. 'l ìm a) 'lam đổi xímg b) Mặt dối xímg c) Trục đối xứng. Giải a) 'ĩâm đối xứng o là giao điểm của 4 đường chéo AC, BD', CA' và DIV. / N • \ 7 b) (}ọi a là mặt dối xứng của hình lập phương thì c phép dối xứng qua a biến hình vuôm> ABCD thành I "-^^0 1 N '* • chính nó. hoặc thành hình vuông chung cạnh hoặc D' thành hình vuông A’B'C’D'. z Từ dó thì hình lập phương có 9 mặt phang dối C' xímg là 3 mặt phang trung trực của các cạnh và 6 mặt phẳna chứa hai cạnh dối. c) 9 trục dối xứng gồm 3 trục của các mặt và 6 dường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh dối. Bài toán 2: Cho hình tứ diện đều ABCD. a) rìm tất cá các trục dối xứng. b) rim lất cá các mặt phăng dối xứng. Giải a) Tứ diện dều ABCD có 3 trục đối xứng là 3 đường thăng di qua trung đicm 2 cạnh đối diện (đường taing bình). b) Tứ diện dều ABCD có 6 mặt phăng đối xứng, đó là các mặt phăng trúng trực của các cạnh. Bài toán 3: rim các mặt phảng dối xứng của các hình sau đây: a) 1lình chóp tứ giác đều. b) Hình chóp cụt lam giác đều. c) 1lình hộp chữ nhật mà không có mặt nào là hình vuông. Giải a) 1linh chóp tứ giác đều S.ABCD có 4 mặt phẩng đổi xứng: mp(SAC), mp(SBD), mặt phàng trung trực cùa AB (dồng thời cùa CD) và mặt phang trung trực của AD (đồng thời cua BC). b) 1linh chóp cụt lam giác dều ABC.A'B'C' có ba mặt phẳng đối xứng, đó là ba mặt phăng trung trực cùa ba cạnh AB. BC, CA. c) I lình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D’ (mà không có mặt nào là hình vuông) có ba mặt phăng đối xứng, đó là ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh AB,AD, AA'. A' I) / 7 c A / 13
lỉài toán 4: Chứng minh rằng mội hình chóp không có tâm đổi xứng. Giải Trước hết la thấy ràng néu một hình chóp có tâm đối xứng o , thì số mặt chẵn. 'Thật vậy nếu M là điểm bất kì thuộc một mặt nào đó của hình chóp, thì điểm M' đối xứng với M phải thuộc một mặt hình chóp (vì phép đối xứng biến mặt thành mặt, cạnh thành cạnh và đinh thành đỉnh). Điều đó chứng tỏ mỗi cặp mặt của hình chóp ứng với một đoạn thảng MM'. Vì số các đoạn như vậy là nguyên, nên số mặt lả chẵn. Vậy đáy cùa hình chóp có tâm đôi xứng là đa giác với số lẻ cạnh nên o không thuộc mặt phang đáy và không thuộc các mặt bên. Gọi (T) là thiết diện của hình chóp đi qua o và song song với đáy (('1') tồn tại vì phép đối xứng qua o biến đỉnh hình chóp thành điốm thuộc đáy chóp), khi đó ( T) là đa giác có tâm đối xứng lại có số lè cạnh (vì các cạnh của (T) chi nằm trên các mặt xung quanh của hình chóp). Mâu thuẫn đó chứng minh bài toán. Bài toán 5: Cho hai đường thẳng song song a và a'. hai mặt phang (P) và (P') cùng vuông góc với a. 'Tìm phép tịnh tiến biến a thành a' và biến (P) thành (P'). Giải Gọi o là giao diêm của a và (P). O' là giao điểm của a' và (P'). Khi đó phép tịnh tiên theo vcctơ V = o o ' sẽ biên a thành a' và biên (P) thành (P'). Bài toán 6: Chứng minh rang hợp thành của các phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến. Giải Giả sử T| và '12 lân lượt là các phép tịnh tiên theo vectơ V| và V, . Nêu Ti biên diêm M thành dicm M| và '12 biến Mi thành M 2 thì hợp thành T 2 o 1 1 biến điểm M thành điểm M 2 . Vì MM| = v và M |M . = V nên MM, = MM| "^ ;, = v^+ V, Vậy 'T2 o 'Ti là phép lịnh tiên theo vectơ V 4 V, . , Một cách tông quát: h(,rp thành của n phép tịnh tiến đã cho là một phép tịnh tiến có vectư lịnh tiến bàng tống các vectơ của các phép tịnh tiến đã cho. Bài toán 7: Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu (S) bán kính R = AB. một đicrn M thay dối trên mặt cầu. Gợi c . D'. M' là các điềm sao cho: CC'= DD' = M M'= A B . Chứng minh rằng nếu BC'D'M' là hình tứ diện thi tâm mặt cầu ngoại liếp tứ diện dó nằm trên (S). Giải Phép tịnh tiến 'T theo vectợ V = ẢB biến A thành B, c thành c , D thành D' và M thành M'. lức là biến tứ diện ACDM thành tứ diện BC'D'M'. Do dó 'T biến tâm o của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ACDM thành tâm O' của mặt câu ngoại liêp tứ diện BC'D'M', tức là 0 0 ' = V = A B . Vì 0 0 ' = AB = R nôn diêm O' nằm trên mặt cầu (S). 14
Bài toán 8; Cho tứ diện ABCD. Gọi A |, B|, Ci, D| lần lượt là trọng tâm các lam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Với điểm M bất kì trong không gian ta gọi M) là ảnh của M qua phép tịnh tiến A A |, M2 là ảnh của Mi qua phép tịnh tiến theo BB, , M3 là ảnh của M2 qua phép tịnh tiên theo cc, , M4 là ảnh của M3 qua phép tịnh liên theo DD| . Chứng minh rằng M trùng với M4. Giải Ta có M4 là ảnh của M qua 4 phép tịnh tiến liên tiếp. Hợp thành phép tịnh tiến đó là một phép tịnh tiến theo vectơ V = ÃÃj + BĨĨÌ + CC^ + DD^ Gọi G là trọng lâm tứ diện, theo tính chất trọng tâm thì: - 4 — . 4 —. 4 —. 4 — . 4 —. V = - - G A - - G B - - GG C- --- G D = - - ( G A + GB + GC + GD) = Õ C ■ 3 3 3 3 3 Do đó M trùng với M4. Bài toán 9: Cho phép dời hình f thoả mãn điều kiện phép họp thành cúa f và f là phép đồng nhất: f o f = e, biết ràng có một điểm I duy nhất sao cho f biến I thánh chính nó. Chứng minh rằng f là phép đổi xứng tâm. Giải Với một điếm M bất kì khác I, ta gọi M' là ành của M qua f, khi đó M và M' khônỉi trùng nhau. Vì t'o f = c nên f biến M' thành M, vậy f biến đoạn thẳng MM' thành đoạn thẳng M'M. Từ đó suy ra f biển trung diểm đoạn thẳng MM' thành chính nó và vì vậy, theo giá thiết trung diểm MM' phải là điểm I. Vậy f là phép đối xứng qua tâm I. Bài toán 10: Chứng minh ràng hợp thành của một số chẵn các phép đối xứng tâm là một phép tịnh tiến, họp thành của một số lẻ của phép đối xứng tâm là phép dối xứng tâm. Giải - Giá s ử Đi và 1)2 là các phép dối xứng lâm có tâm lần lượt là 0 | và O2. Gọi M là một diổm bất kì. Mi = Đi(M) và M' = Đ2(M|) thì phép hợp thành Đ2 o Đi biến M thành M'. 'l a có: MM' = MM^ + I^ M ' = 2Õ 7f^ + 2 m 7X = 2Õ |o 7 Suy ra D2 0 Di là phép tịnh tiên theo vectơ V = 2O O2 - Với diêm M la lấy M| đối xứng với M qua o , và lấy M' sao cho M |M ' = V . Khi đó hợp thành 1' 0 Đ()biến M thành M'. , . —• V Nêu gọi 1 là trung diêm cùa MM' thi OI - — . 15
Vậy đicm I cố định. Suy ra T- o Đo là phép đối xứng qua I. ------ Y Tương lự D() o 'T là phép đôi xứng qua điêm r mà o r = - — . - Vi hợp ihành của hai phép đổi xứng tâm là một phép tịnh tiến nên họp thành cùa 2n phép dối xứng tâm là họp thành cùa n phép tịnh tiến và do đó là một phép tịnh liến. 1lợp thành của 2n f 1 phép đối xứng tâm là họp thành của một phép tịnh liến \ à một phép đối xứng tâm nôn là một phép dối xímg tâm. Bài toán 11: Chứng minh ràng: a) llcYp thành của hai phép đổi xứng trục có các trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến b) ỉ lợp thành của một phép đổi xứng trục và một phép tịnh tiến theo vectơ vuông uóc với trục dối xứng là một phép đối xứng trục. Giải a) (}iá sư Da và Dh là các phép dối xứng trục có trục lần lucrt là các dường thăng a và b song song với nhau. Lấy hai đicm 1 và .1 lần lượt nam trên a và b sao chơ u à_ a. Với dicm M bất ki, ta gọi Mi = Da(M) và M’ = Dh(Mi) thì phép hợp thành Dh 0 Da biến M thành M'. Neu gọi II là trung dicm của MM| và K là trung diêm của MiM' thì; ỈVÍvT' = M M ' + ÌVli^M = 2HNĨ^ + 2MjK = 2ĨĨK = 2ĨÌ ’ Vậy hcyp thành Dh o Da chính là phép tịnh tiến theo vcctơ V = 2IJ . b) Gia sứ Da là phép dối xứng qua dường thăng a,T là phép tịnh tiến theo vcctơ V vuông nóc với a. (ìọi b là ảnh của a qua phép tịnh tiến theo vectơ — thì phép tịnh tiến T- là hợp thành của hai phép dối xứng Da và Db qua các dường thăng a và b: T. = Đb o Đg. Bời vậy 'T o Da = Db o Da 0 Da = Db o e = Db. ' V Gọi b' là ảnh của a qua phép tịnh tiên theo vectơ --- thì phép tịnh tiên T- là hợp 2 ■ " ■ thành cùa hai phép dối xứng Db' và Đa qua các đường tháng b' và a: 'T- = Da 0 Đb'. Do đó: Da o 'T = Da o Da o Db' = c 0 Db' = f)b'- 16
Bài toán 12: Gọi D là phép đối xứng qua mặt plìẳng (P) và a là một đưòng thẳng nào dó. Già sử Đ biến đường thắng a thành đường thẳng a'. Trong trường hợp nào thì: a) a trùng với a' b) a song song với a' c) a cẳt a' d) a và a' chéo nhau? Giải à) a trùng với a' khi a nằm trên mp(P) hoặc a vuông góc với mp(P). b) a song song với a' khi a song song với mp(P). c) a cắt a' khi a cắt mp(P) nhưng không vuông góc với (P). d) a và a' không bao giờ cắt nhau. Bài toán 13: Chứng minh: a) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là một phép tịnh tiến. b) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng. ^ Giải a) Lấy hai điểm A và B lần lượt nằm trên (P) và (Q) / a. J sao cho AB J. (P). Với một điểm M bất kì, ta gọi Mi là điếm đối xứng với M qua mp(P) và M' là điểm đối xứng
Bài toán 14: Cho mặt phắng (P) và cho phép dừi hình f có tính chất: f biến điểm M thành điểm M khi và chỉ khi M nằm trên (P). Chứng tỏ ràng f là phép đối xứng qua mặt phăng (P). Giải |> A Phép dời hình f biến mọi điểm M nằm trên (P) thành M. Với điểm A không nằm trên (P) ta gọi a là đường thảng đi qua A và vuông góc với (P). Nếu H là giao điểm cùa a và (P), vì f(H) = n nên f biến a thành đường thăng đi qua H và vuông góc với (P), vậy f(a) = a. Từ đó suy ra điểm A biến thành điểm A' nằm trên a, A’ A' khác với A và I lA = HA'. Vậy (P) là mặt phăng trung trực của đoạn thăng AA'. Suy ra f là phép đối xứng qua mp(P). Bài toán 15: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt lằ trung điểm các cạnh AB và CD. Gọi o là trung diêm của đoạn MN. Chứng minh ràng với mọi điểm K nằm trong tứ diện ta có KA + KB + KC + KD ^ OA + OB + o c + OD. Giải Ta có MN là trục đối xứng của tứ diện đều ABCD. Gọi K' là điểm đối xứng với K qua MN, H là giao của KK' và MN. Ta có KA + KB = AK + AK' > 2AH và KC + KD = CK + CK' > 2CH. 'ĩa chứng minh ràng AH + CH > OA + o c . , Xét trong mặt phăng (MCD), điểm A' sao cho tia MA' vuông góc với MN, ngược chiều với tia NC và độ dài M .\’ = MA. Ta có HA’ = HA nên HA + HC = HA' + H O A'C. Vì A'C đi qua o nên A'C = o c + OA' = o c + OA. Vậy KA + KB + KC + KD ^ OA + OB + o c + OD. Bài toán 16: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C. có đáy là tam giác cân ABC (AB = AC). Trên các cạnh AC và A'B' ta lấy các điểm tương ứng M và M' sao cho AM = A'M'. Tim tập hợp trung điểm của đoạn MM’. Giải Gọi 1, J là trung điểm cạnh bên AA' và giao các đường chéo hình chữ nhật BCCB'. Ta có u là trục đối xứng của hai đoạn AC và A'B', do đó M và M' đối xứng với nhau qua u. Vậy tập hợp các trung điểm của MM' thuộc đoạn u Bài toán 17: Cho mặt phăng (P) và tứ diện ABCD. Với mỗi điểm M thuộc (P) ta xác định điểm N theo công thức: + MB + - 2 . Tìm tập họp N, khi M di động trong (P). 18
Giải Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì G cố định. I'a c ó t ^ + MB + MC + ĩ ^ = 2MN « 4MG - 2ĨVĨN « = GN o = -G N . Do đó N là ảnh của M qua phép đối xứng tâm G. Vậy tập hợp N là mặt phang đổi xứng với (P) qua G. DẠNG TOÁN ỔN TẬP QUAN HỆ SONG SONG 4. Định nghĩa đuvng và mặt song song a //h khi a, h đồng phăng và không có điểm chung, a // (P) khi chủng không có điêm chung. (P) // (O) khi chúng không có điểm chung. Định lý song song cơ bản Nếu a cz (P). a /7 h. h d (P) thì a //(P) Neu (P) chứa 2 đường thủng cắt nhau cùng song song với (Q) thì hai mặt p ‘ hăng (P) // (Q). Trọng tâm tứ diện Trong tứ diện 3 đường trung hình (đoạn nổi trung điểm 2 cạnh đối diện) đồng quy tại trung diêm cua môi đoạn gọi ìà trọng tâm tứ diện. Gọi G là trọng lâm cùa tứ diện ABCD thì đường thẳng đi qua G và một đỉnh cùa tứ diện sẽ đi qua trọng lãm của mặt đổi diện với đỉnh ấy. Neu gọi A ' là trọng lâm cùa mặt BCD thì GA = 3G A'. Giao tuyến song song a / / ( 0 , V(P) 3 a, (P) n { Q ) = ầ ^ ầ / / a a / ỉb ,\/a d) a ,\//3 d) h ,a C\ /3 = A ^ A / / a hay AJ/b a II f3 y ỵ ,ỵ I^ a = a,ỵ n p = h ^ a/lh Định lý Taỉet Hai cát tuyến hất kỳ định ra trên 3 mặt phăng dôi một song song các đoạn tương ứng tì lệ. 19
Đảo lại, trẽn 2 đường chéo nhau lần lượt lấy các điềm A. B, c và A \ B \ C' AB BC theo thứ tự, nếu - thì AA B B c c ' năm trên 3 mặt phăng song song. A'B' B'C Góc giữa 2 đường thẳng Là góc giữa 2 đường thẳng cùng đi qua một điêm nào đó và lần lượt song song với 2 đường thăng đã cho. Bài toán 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF tâm o, O không cùng nằm ’ trong một mặt phẳng. a) Chứng minh 0 0 ' song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE). b) Gọi M và N là trọng tâm các tam giác ABD và ABE. Chứng minh MN song song với mặt phang (CDEE). Giải a) Ta có: 0 0 ' // DF, nên: 0 0 ’ // (ADF). Tương tự: 0 0 ' // CE nên 0 0 ’ // (BCE). b) Gọi I là trung điểm của AB. Trong mp(IDE), vì M, N, là trọng tâm nên; ỊM _ ]N _ 2 = — = -= > M N //D E . ID ~ lE ~ 3 Vì MN không nàm trong (CDEF) nên MN // (CDEF). Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC yà BC. Trôn cạnh BD, lấy điểm K sao cho BK = 2KD. Gọi E và F là giao điểm của đường thẳng CD và AD với mặt phẳng (IJK). a) Chứng minh DE = DC, FA = 2FD và FK7/ u b) Gọi M và N là hai điểm bất ki lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (IJK). Giải a) Trong (BCD), CD cắt JK tại E nên E là giao điểm của CD với (IJK). Trong tam giác BCD, dimg DD' // JK. Vì KD = - KB nên JD' JB. 2 1 Vì JB = JC nên JD' JC. Suy ra; D'J = D'C. Do đó: DE = DC Trong (ACD), AD cắt lE tại F. Đây là giao điểm của AD với (IJK). Trong tam giác ACE, AD và EI là hai trung tuyến, nên F là trọng tâm. 20