Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Hình học lớp 12: Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:173

Thêm vào BST

Báo xấu

6
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nội dung phần 1, cuốn sách "Phương pháp giải các chủ đề căn bản Hình học 12" Phần 2 do tác giả Lê Hoàng Phò biên soạn, trình bày các nội dung chính như sau: phương trình mặt cầu; phương trình mặt phẳng; phương trình đường thẳng; tương giao của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu; góc và khoảng cách toạ độ. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Hình học lớp 12: Phần 2

o CHỦ Đ Ể X P M ư ơ N G T R ÌN M M ỘT cá ci DẠNG TOÁN L Ậ P PHƯƠNG TRÌN H M Ạ T C Ầ U 1. Phương trình mặt cầu (S) tâm ỉ(ui b, c) bản kính R: (x - a f + (y - h f + (z - c f = Phưcxng trình X + * z‘ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0, với điều kiện A ' ^ + ờ - D > 0 ỉà mặt cầu (S) có tâm Ỉ(-A, -B, -C) vù bản kỉnh R = vlA~ + B ' + c ^ - D . Chú ý: ỉ) Tăm đường tròn I(x;y;z) ngoại tiếp tam giác ABC trong không gian: ịỉA = IB = IC Ị / e {ABC) 2) Tâm I(x;y;z) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là điểm cách đều 4 đỉnh: ( ,. r AI^ = BÍ- ^2 „,2 ỈA = IB ỈA=IB=IC=ID
Giải a) Phương trình mặt cầu tâm l(a; b; c), bán kính R; (x - a)^ + (y - b)^ + (z - c)^ ■ Mặt cầu có tâm 1(3; -2; 1) và đi qua điểm A(2; -1; -3) nên bán kính R = lA = 3 V2 , do đó phương trình mặt cầu: (x-3)^ + ( y + 2)^ + ( z - 1 ) ^ = 18. b) Mặt cầu nhận AB làm đường kính nên tâm I là trung điểm của AB, do đó 1(1; 1; 1) và có bán kính R = — = - V l 00 + 4 + 144 = V ^ 2 2 Phương trình mặt cầu: (x - I )^ + (y - 1)^ + (z - 1)^ = 62. hay: x^ + y^ + z^ - 2x - 2y - 2z - 59 = 0 Bài toán 3: Lập phương trình mặt cầu: a) Đi qua ba điểm A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0; 12; 4) và có tâm nằm trên mp(Oyz). b) Có đường tròn lớn là dường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(0; -2; 1), B(-1;0; 1), C(0;0; -Ĩ). Giải a) Tâm I của mặt cầu nằm trên mp(Oyz) nên 1(0; b;-c). [lA- =1B- í(8-b)- +c' = 4 ' + ( 6 - b ) ' + ( 2 - c ) ' Ta có lA lA' = IC- ^ '[ ( 8 - b ) - + c ' = ( 1 2 - b ) ' + ( 4 - c ) ' Giải ra được b = 7 và c = 5. Do đó 1(0; 7; 5), R = lA = VO + 1 + 25 = ^ 2 6 . Phương trinh mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: (x - ã ỷ + (y - b)^ + (z - c)^ R^ Vậy mặt cầu có phương trình: x^ + (y - 7Ý +(z - 5)^ = 26. b) Gọi I(x; y; z) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có: AB = (-1; 2; 0), AC = (0; 2; -2), Aỉ={x; y+ 2; z - 1) =í>[ÃB,ÃC] = (-4 ;2 ;-2 ) nênl e(A B C) o [ Ã B , Ã C ] J Ì = 0 o 2x-y + z-3 = 0 íx = l AI' = BI' - 2 x + 4y = -3 1 Ta có • AI' = C I ' « ■ y - z = - l Cí> ' “ 4 I e (ABC) -2 x + y - z = -3 3 z=— 4 182
3^ nên tâm và bán kính R = AI = 4’4 Vậy PT mặt cầu là (x - 1)^ + (y + -)^ + { z -~ Ý = — . Bài toán 4: Lập phương trình mặt cầu: a) Có bán kính bàng 2. tiếp xúc với mặt phang (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox. b) Có tâm 1(1; 2; 3) và tiếp xúc với mp(Oyz). Giải a) Vì tâm 1 của mặt cầu nằm trên tia Ox và mặt cầu tiếp xúc với mp(Oyz) nên điềm tiếp xúc phải là o , do đó bán kính mặt cầu là R = 10 = 2 và 1(2; 0; 0). Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x - a ) ' + ( y - b ) ' + ( z - c ) ' = R' Vậy mặt cầu có phương trình: (x - 2)" + y^ 4 - = 4. b) Vì mặt cầu có tâm 1(1; 2; 3) và tiếp xúc với mp(Oyz) nên bán kính R của mặt cầu bàng khoảng cách từ 1 tới mp(Oyz). I I . Do đó R = X = 1i Mặt cầu có phương trình; (x - 1)^ + (y - 2Ý + (z - 3)^ = 1. Bài toán 5: Cho A(l; 2; -4), B(l; -3; 1), C(2; 2; 3), D(l; 0; 4). Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Giải Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại liếp tứ diện IA = IB AI- = B I ' - y + z = -1 X = -2
b) Gọi (S") là mặt cầu đối xứng của (S) qua mp(yOz) thì (S") có tâm I"(2; -4; 1) và R" = R = 5 nên có phương trình: (S"): (X - l f + (y + AỸ + (z - 1)^ = 25. Bài toán 7: Cho điếm A(3; 0; 0), B(0; 4; 0). Lập phương trình mặt cầu có tâm là hình chiếu H của gốc o lên đường thẳng AB và bán kính R = —. Giải Ta có A thuộc trục Ox, B thuộc trục Oy. Trong tam giác AOB: AO^ = AH.AB OA' AH OA' AH = AB AB AB' 25 9 ( 27 36 D o đ ó A H = ~ A B = - — ; — ;0 H 25 1 25 25 ^ ’ 25 36 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm: + +z =— 25 ^ 25 Bài toán 8: Cho điểm A(l; -1; 2) và B(2; 0; 1) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho m a ' + M B' = 3. Giải Gọi M(x; y; z). Ta có: MA' + MB' = 3(1 - x ) ' + (-1 -y )' + (2 - z )' + ( 2- x) ' + y ' + (l -z )' = 3. x ' + y ' + z ' - 3x + y - 3z + 4 = 0. o (x - - + (y + - )2 + _ 2 2 2 4 3 1 3 -\/3 Vậy quỹ tích các điểm M là mặt cầu có tâm I( 4 4 ; 4 ) và bán kính R = ^ . 2 2 2 2 Bài toán 9: Cho tứ diện với các đỉnh A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6). Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA + MB +MC + MD = 4. Giải Gọi M(x; y; z), suy ra: MA = (-X+2; -y; -2), MB = (-x; -y+ 4; -z), MC = (-x; -y; -z+6), MD = (-Xf2; -y+4; -z+6). Ta c ó : ^ + ĩỹ ^ + ^ + ĩ^ = (-4x+4; -4y+8; -4z+12) Nên MÃ + ĨVĨB+MC + MĨ3 = 4 Ci> 16.[(x-l)' + (y-2)' + (z- 3)']= 16 Vậy tập hợp của M là mặt cầu (x - 1)' + (y - 2)' + (z - 3)' = 1. 184
DẠNG TOÁN B À I T O Á N L IÊ N QUAN M Ặ T C Ầ U 2. Phương trĩnh mặt cầu (S) tăm ỉ(a, h, c) bán kính R: (x -a )^ + (y - h f + (z - c f = hay: Phương trình mặt cầu: x ’ + y^ + z' + 2Ax + 2By 2Cz ^ D = 0, A~ ^ 5* ờ - D > 0 có tâm Ị(-A, -B, -C) và hán kính R = -^A- + B - + c ' - D . Chú ý: 1) Khoảng cách giữa hai điểm A(xì, yi, Zi) và B(xi, y 2, Zj): A B = yỊ{x2 -X ,)- + { y ^ - y ^ Ý + { z , - z ^ Ý . 2) Góc giữa hai vectơ u = (x,y,z) và V = (x'y',z'): ’ x.x'+y.y'+z.z' c o s ( m, v ) - V ") X + y 2 + z ■ I 7ỹ~ p > . . ^j x + y +z 3) Diện tích lam giác ABC: s = — \ [ AB, AC] \ Bài toán 1: Tìm toạ dộ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau đây: a) - 8x + 2y + 1 = 0. b) 3x^ + 3y^ + 3z^ + 6x - 3y + 15z - 2 = 0. Giải a) Ta có: a = -4. b = -1, c = 0, d = 1 nên a^ + b^ + c ^ - d = 1 6 + l - l = 1 6 > 0 Mặt cầu (S) có tâm I(-a; -b; -c) nên 1(4; -1; 0) và bán kính R = Va- + b - + c- - d =VĨ 6 = 4. b) Ta có: 3x^ + 3y- + 3z^ +6x - 3y + 15z - 2 = 0 x^ + y^ + z? + 2x - y + 5z - — = 0 3 Do đó, mặt cầu có tâm và có bán kính R = —^ 2 ’ 2 Bài toán 2: Tim toạ độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau đây: a) 9x^ + 9y^ + 9z^ - 6x + 18y + 1 = 0. b) x^ + y^ + z^ - X + y - 2z + 100 = 0. Giải a) Ta có: 9x^ + 9y" + 9z" - 6x + 18y + 1 = 0 x" + y^ + z^ - - X + 2y + —= 0 185
D o đó mặt cầu c ó tâm I( —; -1; 0) v à c ó bán kính R = 1.. b) Ta có: a = - —, b = —, c = - l , d = 100 2 2 nên a^ + b H c^ - d = - + - + 1 - 100 < 0 4 4 Vậy đó không là phưong trình mặt cầu. Bài toán 3: Cho phương trình (S): x^+ + 2mx - 4(m f l)y - 2mz - 3m + 21 =0. l ìm m để phương trình trôn là phương trình một mặt cầu. Giải Ta có: A = m, B = -2(m +1), c = -m, D = - 3m + 21. Diều kiện phươnu trình (S) là phưcmg trình mặt cầu: A- + - D > 0 « m^ + 4(m+l)^ + m^ + 3m - 21 >0 —17 o 6m^ + l l m - 1 7 > 0 < = > m < —— hay m > ỉ . 6 -1 7 Vàv phương trình dã cho là phương trình măt câu khi m < ----- hay m > 1. 6 Bài toán 4: Cho phương trình: x^+ y^ + z‘ + 2xcosa - 2ysina - 4z - (4 + sin^a) = 0. rim a đế phương trình trên là phương trình một mặt cầu và tìm a để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất. Giải Ta có: A = cosa. B = - sina, c = - 2, D = -(4 + sin^a) => A ' + B“ + C^ - D = cos^a + sin"a + 4 + 4 + sin^a = 9 + sin^a >, Va. Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu với mọi a Ta có R = Vo + ĩin" a ^ 3 => min R = 3 khi a = kn, (k e Z). Bài toán 5: Cho phương trinh với a là tham số: x^ + y" + /} - 2(sina - 1)x - 2(sina + 1)y - 2cosa.z + 1 = 0 ( 1 ) . a) Chứng minh (1) là phương trình của một mặt cầu, xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. b) l ìm bán kính lớn nhất, nhỏ nhất của mặt cầu đó, xác định tâm của các mặt cầu trong các trường hợp dó. Giải a) Ta cỏ a = sina -1, b = sina + 1, c = cosa và d = 1 =í> + b“ -t c^ - d = sin“a + 2 > 0. V a Vậy phương trình (1) xác dịnh một mặt cầu tâm l(a; b; c) và bán kính R = Va" + b“ + C' - d = V 2 + sin’ a . 186
b) 1'a có 0 < sin^a < 1 nên: Max R = ^Ỉ3 khi sina = +-1 a = ^ + kĩt 2 Min R = ^|2 khi sina = 0 o a = kĩt. Klii max R= ^Ỉ3 ta có tàiTi mặt cầu là: li(0; 2;0) hoặc Ỉ2(-2; 0; 0) Khi minR ^ V2 ta có tâm mặt cầu là: l3(-l; 1; l)hoặc l 4(-l; 1;-1). Bài toán 6: Cho bốn điểm A(3; 2; 0), B (-l; 3; 2), C(l; 0; 1), D(0; -1; 3). Tìm tập hợp những điểm M trong không gian thoả mãn từng điều kiện: a) MA^ + M B ' = 23. b) MẤ + MB + MC + Mr3 = MẤ + M B - 2 Ĩ ^ . Giải a) Gọi M(x; y; /.) là điểm thoà yêu cầu bài toán. l'a có: m a " + MB^ = 23. « (X - 3)- + (y - 2)" + 7? + (X + 1)^ + (y - 3)" + (z - 2)" = 23. « x^ + y^ + /.- - 2x - 5y - 2z + 2 = 0. 5 5 Vậy tập họp những diêm M cân lìm là mặt câu tâm 1(1; —; 1), bán kính R = —. b) Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD, I là trung điểm AB thì: G ( + l ; | ) , 1(1; | ; 1 ) . 'ĩa có MA + MB + MC + MD = 4MG + ĨVĨB - 2MC = 2 Ĩ ^ - 2MC = 2CĨ Do đó |mÃ + MÌ3 + MC + M d I = |m Ấ + M ỗ - 2MC| 4MG = 2C1 o MG = - - = - ; không đổi. 2 4 , , . , i , 3 Vâv .tâp .hơp những diêm M cân lìm là măt câu tâm G( —; . . . ^ ) và bán kính 2 5 í ( 3^ • í > 33 ' 25 X - — + { y - \ ) + í ^ ---- . R = — có phương trình — ---- l 4j l 2; 16 Bài toán 7: Cho tứ diện OABC có A(2; 0; 0). B(0; 4; 0), C(0; 0; 4). a) l.ặp phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC. b) Tính thổ tích hình chóp O.ABC. 187
Giải a) Phương trình của mặt cầu (S) cần lim có dạng: + y ' + + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 l'a có (S) qua gốc 0(0; 0; 0) nên D = 0. Vi (S) qua các điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4) nên ta có hệ: '4 + 4A = 0 ịA = - \
Bài toán 9: Cho bốn điểm A(l; 2; 2), B (-l; 2; -1), C(l; 6; -1), D (-l; 6; 2). a) Chứng minh ABCD là hình tứ diện và cỏ các cặp cạnh đối bàng nhau. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD. c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Giải a) Ta có ÃB = (-2; 0; -3), CD = (-2; 0; 3), BD = (0; 4; 3) => [ A B , CD ]. BD ^ 0 nên ABCD là tứ diện. 'l a có: AB = V4 + 0 + 9 = CD, AC = VO + 16 + 9 = BD, A D = V4 + 16 + 0 = BC. Vậy tứ diện ABCD có cặp cạnh đối bằng nhau. b) Trung điểm của AB là E(0; 2; —), của CD là F(0; 6; —) Ta có ẼF = (0; 4; 0) nên ẼF . ÃB = -2.0 +0.4 - 3.0 = 0, ẼF . CD = 0. Do đó EF là đoạn vuông góc chung của AB và CD. Vậy d(AB, CD) = EF = Vo + 16 + 0 = 4 c) Trung điểm của EF là (0; 4; —). ^Ị29 'Fa có lA = IB = IC = ID nên 1 là tâm mặt cầu ngoại tiêp ABCD. 2 2 1 2 29 Vậy phương trình X + (y - 4) + ( / . - —) = — . Bài toán 10: Cho mặt cầu + y^ +:/} - 2x + 6y + 2z - 14 = 0. a) Xét các điểm M(l; -2; 1) và N(-3; -1; 3) điểm nào nằm trong và điểm nào nằm ngoài mặt cầu? b) Lập phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu đã cho qua mặt phang (xOz). Hai mặt cầu đó có cắt nhau không? Giải a) Ta có thể viết phương trình mặt cầu dã cho dưới dạng: (x- lV + (y + 3)^ + (z + 1)^ = 25. Mặt cầu này có tâm 1(1; -3; -1), R = 5. Ta có IM = + 2 ' = Vs < R nên điểm M ở trong mặt cầu và IN = yl\6 + 4 + \6 = 6 > R nên điểm N nằm ngoài mặt cầu. b) Gọi I' là điểm đối xứng của I qua mặt phẳng (xOz) thì điểm r có toạ độ là F(l; 3;-1), bán kính R’ = R = 5. 189
Do đó mặt cầu đối xứng với mặt cẩu cho trước qua mặt phẳng (xOy) có phưcmg trình là: ( x - l ) ' + ( y - 3 ) ' + ( z + l ) ' = 25. I lai mặt cầu này có khoảng cách giữa hai tâm d = i r = 6. Vì ta có d = II' = 6 < R + R' = 10 nên hai mặt cầu đó cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn. Bài toán 11: Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu: (S|): x" + y^ + - 4x + 6y + 2z + 5 = 0 (S 2): 2x^ + 2y^ + 2/,^ - 2x + 8y - 6z - 1= 0. Giải Mặt cầu (S|) có tâm 1(2; -3; -1), bán kính R = 3. Và (S 2) x^ + y^ + z^ - X + 4y - 3z - — 0. 2 1 3 nên có tâm J( -r ; -2; -T ), r 2 2 'l a c ó I U ' r ' khoang cách 2 'tâm 'UO+ ' u= T T — ^ 1^ — 1 ^ +1 +— =—~ V4 4 2 R+r=3+ V26 R -r =3 2 2 Vì R + r > u > I R - r 1 nên 2 mặt cầu cẳt nhau. Bài toán 12: Cho mặt cầu (S) có phương trình x^ + y“ + z^ - 4x + 4y - 2z = 0 và hai diêm A(4; 2; 0). B(2; 1; 2). Chứng minh ràng đường thẳng AB và mặt cầu (S) không có điểm chung. Giải Mặt cầu có tâm 1(2; -2; 1) và bán kính R = 3. I a có S ịab - ^ ' | Ĩ Ã , Ĩ B]| = - I H . A B = ^ , AB = 3. 2 2S lAlỉ Do dó IH = >3 = R AB 3 Vậy đưòng thẳng AB và mặt cầu (S) không có điểm chung. BÀI TẬP TONG HỢP Bài tập 1: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu: a ) ( x - 3 ) ^ + ( y + 4)^ + z^ = 25. b) x^ + y^ + z^ - 4x + 6y + 2z + 5 = 0. 190
HD-ĐS a) Kct quả tâm I(3;-4;0), bán kính R = 5. b) Kốt quả tâm 1(2; -3; -1),. bán kính R = 3. Bài tập 2: Cho điểm A(-2;2;-2) và B(3;-3;3). Tìm quỹ tích các điểm M sao cho 3MA = 2MB. HD-DS Kết quả (x +6)^ + (y - 6)^ + (z + 6)^ = 108. Bài tập 3: Lập phưong trình mặt câu a) Tâm I( 1;3;-4) và tiếp xúc với mp(Oxy). b) Tâm I(2;-4;3) và đi qua A( 1;2;0). ỈID-DS a) Kết quả (k - 1)^ + (y - 3)^ + (z + 4)^ = 16. b) Kết quả (x -2)“ + (y +4)^ + (z -3)^ = 46. Bài tập 4: Lập phương trình mặt cầu đối xứng của mặt cầu (S): x^ + y^ + z^ + 4x - 6y + 2z + 5 = 0. a) qua mpOxy b) qua trục Oz. IID-ĐS a) Kết quà x^ + y^ + z^ + 4x - 6y - 2z + 5 = 0. b) Kết quả x“ + y^ + z? - 4x - 6y + 2z + 5 = 0. Bài tập 5: Lập phương trình mặt câu ngoại tiếp: a) tư diện MNPQ co M( 1,1,1), N( 1,2,1), P( 1,1,2), Q(2,2,1). b) hình chóp tứ giác đều s. ABCD, biết các đinh S(3; 2; 4), A(1; 2; 3), C(3; 0; 3). lỉD -Đ S a) Kết quả x^ +y^ + - 3x - 3y - 3z + 6 = 0. ■/}' ì / - 19Ỹ b) Kết quả { X - í z- V — 6 ) + l 6j + V 6 J 1 2 Bài tập 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(b;3;3), D(3;3;3). a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, c , D. b) 'Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. lỉD -Đ S a) Kết quả x^ + y^ + i} - 3x - 3y - 3z = 0 b) Kết quả H(2; 2; 2) Bài tập 7: Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu: (S): x ' + y^ + z^ - 8x + 4y + 2z -4 =0, (S’): x H y^ + 7 -6z - 7 = 0. } HD-DS Ket quả 2 mặt cầu cắt nhau 191
Bài tập 8: a) Tứ diện ABCD với A(2, 3, 1), B(4, 1, -2), C(6, 3, 7), D (-5, -4, 8). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp. b) Cho mặt cầu: (S): - 2x - 4y - 6z = 0 cắt 3 trục tại A, B, c khác gốc o. 'ĩìm tâm đưòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. HD-ĐS 4 ^ , ^,13 80 135^ a) Kết quả R - b) K etquả 49 49 " o CHỦ ĐỂ XI J U tL _____________i_____________________________ PHƯƠNG TRÌNH MệT PH6NG DẠNG TOAN L Ậ P PHƯ dNG TR ÌN H M Ặ T PH Ẳ N G 1. Vectơ pháp tuyển Vectơ pháp tuyến của mặt phăng là vecíơ khác 0 và có giá vuông góc với mặt phang. Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp luyến cùng phương với nhau nên ta có thể chọn tọa độ ti lệ. Phương trình tổng quát của mặt phang Mặt phăng đi qua điêm Mo(xo,ỳn,Z(ì) và có vecíơpháp tuyến n - 0 1 B,C). A ' - 5- + C‘ 0 ị ---------- cỏ phương trình: / X Mn A(x ~xo) B(y-yo) + C(z -zo) = 0^ và hiến đổi thành dạng phương trình tổng quát: Ax ^ B y ^ Cz -r D = 0, A^ + B~ + ớ i 0. Phương trình các mặt tọa độ: (Oxy): z = 0, (Oyz): X = 0, (Ozx): y = 0 Phương trình mặt phang theo đoạn chắn Mặt phang cẳt 3 trục Ox, Oy Oz tại 3 điểm khác gốc o là A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) có phương trình mặt phang theo đoạn chan X y z . a h c Chú ý: Ị) Mặt phang đi qua 3 điểm A, B, c không thẳng hàng có vectơ pháp tuyến n = [ AB, AC]. 192
2) Mặt phărĩg đi qua gổc () cỏ dạng Ax * By + Cz = 0. - + C‘ 0. 3) Mặt phăng song song hoặc chứa trục Ox có dạng By ^ Cz +D= 0, B^+ ớ ^0. 4) Mặt phẳng song song hoặc chíra trục ()y có dạng Ax i Cz +D^ 0, A^+ cý 0. 5) Mật phăng song song hoặc chửa trục Oz có dạng Ax ■ *D= 0, B^ + ( ý By 0. 6) Mặt phăng song song với mặt phăng Ax » By r Cz -t D= 0, A‘ + B‘ t- C‘ 0 cỏ dạngAx ^ By • Cz ^D ' 0, A~ B~ r C' ĩ^o, D ' ^ D. Bài toán 1: Lập phương trình mặt phàng a) Di qua ba diểm M(2; 0; -1), N (l; -2; 3), P(0; 1; 2) h) Đi qua ba điêm A (-l; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5;6). Giải a) Phương trình (MNP) có dạng Ax + By + Cz + D = 0, AĨ + + ớ ^ 0. 1'oạ dộ cùa các diêm M, N, p là nghiệm của phương trình đó nên: 2 A -C + D = 0 2 A -C + D = 0 2 A -C + D = 0 B=c A - 2B + 3C + D = 0 < > ■A + 2 B -4 C = 0 o - A + 2 B - 4 = 0 < A = 2C = B + 2C + D = 0 A -3 B + C = 0 5 B -5 C = 0 D = -3C l a dược phương trình: 2Cx +Cy + Cz - 3C = 0. Hiển nhiên c 0 (vì nếu c =0 thì A = B = c = 0: lơại) nôn chia hai vế của phương trình cho c, ta được phương trình mặt phẳng (MNP): 2x ^ y + z - 3 ^ 0. b) Ta cỏ ÃB = (3; - 6 ; 0), Ã c = (5; 3; 3) Chọn vcctơ pháp tuyến n = [ AĨỈ, AC I = (-18; -9; 39) hav ( 6 ; 3; -13). Vậv phương trình của mp(ABC): 6 (x+ 1) + 3 ( y - 2 ) - 13(z-3) = 06x + 3 y - 13z + 39 = 0. Bài toán 2: Lập phương trình mặt phẳng a) Di qua các hình chiếu của A(2; -3; 4^1ôn các trục toạ độ b) Trung trực của HF với E(2; 3; -4), F(4; -1; 0). Giải a) Gọi A |. A 2, A 3 lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các trục Ox, Oy, Oz. Khi đó: Ai(2; 0: 0), A2(0; -3; 0), A3(0; 0; 4) Vậy phương trình của mặt phẳng (A| A 2A 3 ) theo đoạn chắn là: —- —+ —= 1, b) Gọi I là trung diểm của M 1M 2 thì 1(3; 1; -2) Mặt phẳng trung trực của đoạn M 1 M 2 qua I và có vectơ pháp tuyến n = M ,M , = (2;-4; 4) hay (1;-2; 2) Vậy (P): l(x - 3) - 2(y - 1) + 2(z + 2) = 0 « X - 2y + 2z + 3 = 0. 193
Bài toán 3: Lập phương trình của: a) Các mặt phẳng toạ độ. b) Các mặt phẳng đi qua điểm 1(2; 6 ; -3) và song song với các mặt phẳng toạ độ. Giải a) Mặt phăng toạ độ Oxy đi qua o và có VTPT k = (0; 0; 1) nên có phương trình: 0 (x - 0 ) + 0 (y '- 0 ) + l(z - 0 ) = 0 Vậy mp(Oxy): z = 0. Tương tự mp(Oyz) đi qua o và có VTPT 1* = (1; 0; 0) nên mp(Oyz): X = 0, mp(Ozx) đi qua o và có VTPT J = (0; 1 ; 0 ) nên mp(Ozx): y = 0. b) Phương trình của mặt phăng đi qua điểm 1(2; 6 ; -3) và: - Song song với mặt phẳng Oxy là z + 3 = 0. - Song song với mặt phang Oyz là X - 2 = 0. - Song song với mặt phang Ozx là y - 6 = 0. Bài toán 4: Lập phương trình mặt phẳng: a) Đi qua điểm M(3; 2; -1) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình X - 5y + z = 0. b) Đi qua hai điểm A (l; 1; -1), B(5; 2; 1) và song song với trục Oz Giải a) Mặt phang (P) cần tìm phải song song với mặt phẳng (Q): X - 5y + z = 0 nên hai mặt phàng có cùng vectơ pháp tuyến là (1; -5; 1). Mp(P) đi qua điểm M(3; 2; -1) nên có phương trình là: (x - 3) - 5(y - 2) + (z + 1) = 0 hay X - 5y H- z + 8 = 0. b) Giả sử mặt phang (P) đi qua A, B và song song với Oz, có vectơ pháp tuyến n thi n phải vuông góc với AB = (4; 1; 2) và vuông góc với vectơ đơn vị của Oz là k = ( 0 ; 0 ; 1 ), chọn: J ’ _^ ^' _ 1 2 2 4 4 1 n = AB,k — = ( l ; - 4 ; 0) V0 1 1 0 0 0 Vì (P) đi qua điểm A nên phương trình của (P) là: l .(x - 1) - 4(y - 1) + 0 = 0 hay X - 4y + 3 = 0 Cách khác: Mặt phang (P) song song với Oz nên có phương trình: A'x + B'y + D' = 0 với D' ^ 0, Ă ’^ 4 B'^ ^ 0 Mặt phang đó đi qua A và B nên toạ độ của A và B thoả mãn phương trình đó: ÍA' 4B' 4 D '= 0 ị „ „ =^4A ' + B’ = 0. [5A'42B'4 D'=0 Chọn A' = 1, B’= -4 và do đó D' = 3 và được phương trìnỉi của (P) là: X - 4y 4 3 = 0 194
Bài toán 5: Cho lam giác ABC với A(-3; 5; 7), B(0; -1; 1), C(3; 1; -2). Viết phương trình các mặt phẳng đi qua một đỉnh của tam giác và vuông góc với cạnh đối diện của đỉnh đó. Giải Mặt phẳng (P) đi qua A(-3; 5; 7) vuông góc với BC nên có VTPT n = BC = (3; 2; -3) có phương trình: 3(x + 3) + 2(y - 5) - 3(z - 7) = 0 hay 3x + 2y - 3z + 20 = 0. Tương tự, mặt phẳng (Q) đi qua B vuông góc với AC: 6 x - 4y - 9z + 5 = 0 và mặt phẳng (R) đi qua c vuông góc với AB: X - 2y - 2z - 5 = 0. Bài toán 6: Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0. a) Lập phương trình tổng quát của mặt phang (ABC). b) Tính diện tích tam giác ABC. Giải a) Vì A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) lần lượt thuộc 3 trục Ox, Oy, Oz nên có phương trình theo đoan chẳn: (ABC): —+ —+ —= 1 a b c
Bài toán 8 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua: a) A(5; -1; 3) và song song mp(P): 3x - 5y - 2z + 4 = 0. b) Gốc o và song song với mp(Q): X - 3y + 2z + 1=0. Giải a) Mặt phẳng qua A và song song với mp(P): 3x - 5y - 2z + 4 = 0 nên chọn chung VTPT, do đó có phương trình; 3(x - 5) - 5(y + 1) - 2(z - 3) = 0 hay 3x - 5y -2z - 14 = 0. Vì A không thuộc mặt phẳng (P) nên đó là mặt phẳng cần tìm. b) Mặt phẳng qua gốc o và song song với mp(Q): X - 3y + 2z + 1=0 nên chọn chung VTPT, do đó có phương trình; 1 (x - 0) - 3(y - 0) + 2(z - 0) = 0 hay X - 3y + 2z = 0. Vì gốc o không thuộc mặt phẳng (Q) nên đó là mặt phẳng cần tìm. Bài toán 9: Lập phương trình mặt phẳng (P); a) Chứa trục Oz và đi qua điểm E(2; -1; 2) b) Chứa giao tuyến của 2 mặt phẳng x - y + z - 4 = 0, 3 x - y + z - l = 0 v à đ i quaF(2; 1;-1). Giải a) OE = (2; -1; 2), 1 = (1; 0; 0) là vectơ chi phương của Ox. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến [ OE ; r ] = (0, 2; 1). Vậy (P); 2y + z = 0. b) Các điểm thuộc giao tuyến của 2 mặt phang có toạ độ (x; y; z) thoả mân hệ Jx -y + z -4 = 0 Ị3 x -y + z - l = 0 X = -- íx + z = 4 Cho y = 0 thì M 3x + z = 1 2 2 z=— 2 X = Ịx -y = 4 2 ^ 3 Cho z = 0 thì >N [3 x -y = 1 11 z= Do đó mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm í 3 in ' 3. 11 M 0 ,N - - ; 0 v à F (2 ; l ; - l ) , l 2 2. ^2’ 2 J Ta lập được phương trình: 15x - 7y + 7z - 16 = 0. 196
Bài toán 10: Viết phương trình mặt phẳng sau: a) Đi qua điểm M(1; 3; -2) và vuông góc với trục Oy. b) Di qua điếm M( 1; 3; -2) và vuông góc với đường thẳng M 1M2, với M|(0; 2; -3), M2(Í;-4;1). Giải a) Mặt phang qua điểm M (l; 3; -2) vuông góc với trục Oy nên nó song song với mặt phang Oxz. Vậy phương trình của nó là y = 3 hay y - 3 = 0. Cách khác: Mặt phăng cân tìm qua M và có vectơ pháp tuyên n = j = (0; 1; 0) nôn phương trình của nó là: 0(x - 1) + 1(y - 3) + 0(z + 2) « y - 3 = 0. b) Vcclơ pháp tuyến của mặt phang cần tìm là: n = M ,M , = (1; - 6 ; 4). Vậy phương trình của mặt phăng là: 1 (x - 1) - 6 (y - 3) + 4(z + 2) = 0 X - 6 y + 4z + 25 = 0. Bài toán 11: Viết phương trinh mặt phẳng đi qua điểm B(0; 1; -1) và vuông góc với 2 mặt phang: (P): 1 0 x -y + z - l = 0 v à (Q); 2x + y - 4z - 5 = 0. Giải (P). (Q )có VTPT n = (1 0 ;-1 ; 1), n ’ = (2; l;-4 ) Mặt phẳng cần tìm có VTPT là [ĩỉ, n'] = (3; 42; 12) hay (1; 14; 4) Và di qua B(0; 1; -1) nên có phương trình: l ( x - 0 ) + 14(7- l) + 4 (z+ 1) = 0 « X + 14y + 4z - 10 = 0. Bài toán 12: Cho tam giác ABC có A(0; 4; 1), B (l; 0; 1), C(3; 1; -2). a) I .ập phương trình mặt phăng (ABC). b) rim toạ độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Giải a) 'ha có ÀC = (3; -3; -3), BC = (2; 1; -3) nên lập được phương trình mặt phăng (ABC); 3x ^ y +2z - 6 = 0. b) Gọi I I(x; y; z) là trực tâm tam giác ABC. => / í ỉ ỉ = (x; y-4; z-l), BH = (x-1; y; z-l), ta có: _^25 A lỉ.B C = 0 2x + y - 3 z - ỉ = 0 ^ ~ 19 11 BĨỈ.ÃC - 0 « ^x - v - z = 0 oH:< ^ 1 9 / / G (ÀBC) 3x + y -f" 2z ~ 6 = 0 .-1 1 “ ~19 197
lA = lE Gọi I(x; y; z) là đường tròn ngoại tiếp: ỈA - IC ỉ e (ABC) xí 4 29 37'1 Từ đó giải được tâm I — ; — • ^ 13 13 26) Bài toán 13: Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm M (l; 2; 3). Viết phưcmg trình mặt phẳng (P) đi qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, c sao cho tứ diện OABC có thể tích bé nhất. Giải Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a > 0, b > 0, c > 0. Khi đó (P) có phưcmg trình —+ —+ —= 1 a b c 1 2 3 Vì M năm trên (P) nên —+ —+ - = 1 a b c Theo bất đẳng thức Côsi cho ba số dưorng ta có: 27 _ abc 1 = - + - +- > 3 3 = 3 -Ị — ——=> >27 a b c V abc Vabc abc 6 Dấu "=" xảy ra khi —= —= —= 1 hay a = 3; b = 6 ; c = 9. a b c Thể tích tứ diên OABC là V = —OA.OB.OC = — > 27. ^ 6 6 Vậy thể tích nhỏ nhất là 27. Khi đó phưong trình mặt phẳng (P) là: —+ —+ —= 1. DẠNG TOÁN VỊ T R Í TƯƠNG ĐỐ I C Ủ A H A I M Ặ T PH A N G 2. Ax + By + Cz + D = 0, A" + B^ + ^ 0 và Ọ): A'x + B'y + C z + D ' = 0 , A ’ + B ^ + c " V 0. Có 3 vị trí tương đối: - Cắt nhau: A: B: c Ĩ^A': B': C' - Trùng nhau: — = — = — = — A' B' c ơ ■Song song: B' ~ c ơ 198
Chú ỷ: Cho mặt phẳng (P): Ax + By fCz + D = 0. Hai điêm M iịxi; y>i; Zi) và M2(X2; y2Ỉ Z2) nằm về hai phía của mặt phang (P) khi và chi khi: Axì + Byi + Cz/ + D). (Ax2 + By'2 + Cz2 ^ D) < 0. Hai điêm Mi(xi; yi; Zj) và KÍ2 (X2 : y 2 ,' 22) nằm cùng phía của mặt phang (P) khi và chỉ khi: (Axi + Byi + Czi + D). (AX2 + By 2 + Cz2 ^ D) > 0. Bài toán 1: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phang cho bởi các phương trình sau: a) X + 2y - z + 5 = 0 và 2x + 3y - 7z - 4 = 0 b) X - 2y + z - 3 = 0 và 2x - 4y + 2z - 6 = 0 c) X + y + z - 1 = 0 và 2x + 2y + 2z + 3 = 0. Giải a) Hai V TPTlà n = (1 ;2 ;-1 ), n ' = (2 ;3 ;-7 ) Hai vectơ pháp tuyến không cùng phưcmg nên hai mặt phang cắt nhau. b) Các hệ số của 2 phương trình mặt phẳng tương ứng tỉ lệ nên hai mặt phang trùng nhau. c) Ta có — = — = — —- nên hai mặt phẳng song song. Bài toán 2: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phang cho bởi phương trình sau: a) 3x - 2y + 3z + 5 = 0 và 9x - 6 y - 9z - 5 = 0 b) X - y + 2z - 4 = 0 và 1Ox - 1Oy + 20z - 40 = 0 c) 2x - 4y + 6 z - 2 = 0 và 3x - 6 y + 9z + 3 - =0. ■ Giải a) Ta có 3: (-2): 1)^9\ (- 6 ): (-9) nên hai mặt phảng cẳt nhau. b) 1 -1 2 -4 = — - = — = ---- - nên hai mặt phăng trùng nhau. 10 -10 20 40 •4 6 - 2 c) Ta có —= nên hai mặt phang song song. 3 6 9^ 3 Bài toán 3: Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phang sau đây song song: a) 2x + ny + 2z + 3 = 0 và mx + 2y - 4z + 7 = 0. b) 2x + y -t- mz - 2 = 0 và X + ny + 2z + 8 = 0. G iả i 2 n 2 3 — = — — ^ - m 2 -4 7 Vậy n = -1, m = -4. 2 1 m -2 — = — = —^ — 1 n 2 8 1 Vậy m = 4, n == 199
Bài toán 4: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng; (P): 2x - y - 3/. + 1 = (h (Q): X + 3y - 2z - 2 = 0. và mặt phẳng (R): mx - (m + 1)y + (m + 5)z + 2 = 0, với m là một số thay đổi. a) Chứng tỏ ràng hai mặt phẳng (P) và (Q) cát nhau. b) Tìm m để cho mặt phẳng (R) song song với mặt phang (P). Giải a) Ta có 2: (-1): (-3) 1: 3: (-2) nên hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau. b) Điều kiện mặt phẳng (R) song song với mặt phẳng (P) là: m _ -(m + 1) m + 5 ^ — 2 -1 m _ -(m + 1 ) Từ — = ta suy ra m = -2 . 2 Giá trị m = -2 thoả điều kiện nên với m = -2 thì hai mặt phẳng (R) và (P) song song. Bài toán 5: Hãy xác định giá trị của m để các cặp mặt phẳng sau đây vuông góc với nhau: a) 3x - 5y + mz - 3 = 0 và X + 3y + 2z + 5 = 0 b) 5x + y - 3z - 2 = 0 và 2x + my - 3z + 1 = 0. Giải a) Hai VTPT n = (3; -5; m), n ' = (1; 3; 2) Diều kiện 2 mặt phang vuông góc là: n . n ' = 0 < > 3.1 + (-5).3 + m.2 = 0 = m = 6. b) Hai VTPT n = (5; 1; -2), n ' = (2; m; -3) Diều kiện 2 mặt phẳng vuông góc là; n . n ' = 0. < > 5.2 + 1.m + (-3).(-3) = 0 = m =-19. Bài toán 6 : Cho hai mặt phang có phương trình là: 2x - my + 3z - 6 + m = 0 và (m + 3)x - 2y + (5m + 1)z - 10 = 0. a) Với giá trị nào của m thì hai mặt phăng đó song song; trùng nhau; căt nhau. b) Với giá trị nào của m thì hai mặt phăng đó vuông góc. Giải a) Hai mặt phẳng đã cho có các vcctơ pháp tuyến lần lượt là: n, (2; -m; 3), n, = (m + 3; -2; 5m + 1). Ta có; [ n, . n^ I = (-5m^ - m + 6 ; -7m + 7; m^ + 3m - 4) Hai vectơ đó cùng phương khi và chỉ khi I n i; n 2j = 0 , tức là: m = l,m = - ^ - 5m“ - m + 6 - ' 5 -7 m + 7 = 0 i m = 1 m = 1 m ' + 3 m -4 = 0 m = l,m = -4 200