Các bài tập về Đại số tuyến tính

Chia sẻ: Hoang Nam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

2.491
lượt xem 613
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Bài tập Đại số tuyến tính" nhằm cung cấp đến bạn đọc một số bài tập với nội dung như: Ma trận và định thức, hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn trau đồi kỹ năng và kiến thức giải bài tập Đại số tuyến tính.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các bài tập về Đại số tuyến tính

MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC ⎛ 2 1 −1⎞ ⎛− 2 1 0 ⎞ Bài 1: Cho A = ⎜ ⎜ ⎟ và B= ⎜ ⎟. ⎝ 0 1 − 4⎟ ⎠ ⎜ ⎝−3 2 2 ⎟ ⎠ Tính 3A ± 2B; ATA; AAT. ⎛4 0 5 ⎞ ⎛1 1 1⎞ ⎛ 2 − 3⎞ Bài 2: Cho A = ⎜ ⎜ ⎟ ,B= ⎟ ⎜ 3 5 7 ⎟ và C = ⎜ ⎟ ⎜ ⎜0 1 ⎟ ⎟ ⎝ −1 3 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tính các biểu thức sau: A ± B; 2A; -3B; 2A – 3B; ATC; C.A + B; (C.A)T – 2BT. ⎛x y⎞ ⎛ x 6 ⎞ ⎛ 4 x + y⎞ Bài 3: Tìm x, y, z và w biết rằng: 3⎜ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ − 1 2w ⎟ + ⎜ z + w ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z w⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎟⎠ ⎛ 2 + 5i − 2i ⎞ ⎛ i +1 2 − i⎞ Bài 4: Trong M2(C) cho các ma trận: B= ⎜ ⎜ ⎟ và C = ⎟ ⎜ 6i + 2 i − 3 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ 2i + 4 7 − 3i ⎠ ⎝ ⎠ Tìm A ∈ M2(C) sao cho 2A = 3B – 2C. Bài 5: Tính các tích sau: ⎛ 6 ⎞ ⎛ 1 −3 2 ⎞ ⎛ 2 5 6⎞ ⎛ 5 0 2 3⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 3 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a) ⎜ 3 −4 1 ⎟ ⎜ 1 2 5 ⎟ ; b) ⎜ 4 1 5 3 ⎟ ⎜ ⎟ ; d) ⎜ 2 1 2 ⎟ ⎜ 2 − 1 1 ⎟ ; ⎜ 2 −5 3 ⎟ ⎜ 1 3 2⎟ ⎜ 3 1 − 1 2⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜ 1 2 3⎟ ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛0 0 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛ − 1 − 1⎞ ⎛1 2 1⎞ ⎛ 2 3 1 ⎞ ⎛1 2 1⎞ 1 2⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ c) ⎜ i ⎜2 ⎜ 2 2i ⎟ ⎜ ⎟ . ⎜ 1⎟ e) ⎜ 0 1 2 ⎟ ⎜ − 1 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 2⎟ 2i 3⎟ ⎜ ⎜3 ⎟ ⎜ i ⎝ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎜ 3 1 1 ⎟ ⎜ 1 2 − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜3 1 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3 4⎟ ⎠ ⎛ 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ Bài 6: a) Cho A = ⎜ 0 0 1 ⎟ . Tính A2, A3. ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎛1 2 1⎞ 3 ⎜ ⎟ n ⎛ 2 1⎞ ⎛ 1 1⎞ b) Tính: ⎜ 0 1 2 ⎟ c) ⎜ ⎜ 1 3⎟ ⎟ d) ⎜ ⎜ 0 1⎟ ⎟ ⎜3 1 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Bài 7: Tính AB – BA nếu:
⎛1 2 ⎞ ⎛ 2 − 3⎞ a) A = ⎜ ⎟ và B = ⎜− 4 1 ⎟; ⎜ ⎜ ⎝ 4 −1⎟ ⎠ ⎝ ⎟ ⎠ ⎛ 2 3−i 1 ⎞ ⎛ 1 2 2i + 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b) A = ⎜ i − 3 1 0 ⎟ và B = ⎜0 1 2 ⎟; ⎜ 1 ⎝ 2 i − 1⎟ ⎠ ⎜3 1 i +1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 1 1⎞ ⎛ 7 5 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ c) A = ⎜ 0 1 1⎟ và B = ⎜ 0 7 5⎟ . ⎜ 0 0 1⎟ ⎜ 0 0 7⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Bài 8: Tính các định thức sau: 2 3 −1 4 1 3 1 2 a) ; b) − 3 4 2 ; c) − 2 5 2 ; 3 4 5 1 3 3 2 −1 2 −1 4 6 −1 2 5 3 x 1 1 1 7 10 2 −2 3 0 2 −1 1 x 1 1 d) ; e) f) 1 −4 8 1 4 1 0 5 1 1 x 1 2 0 5 0 2 −3 4 1 1 1 1 x 7 6 0 0 . . 0 0 0 2 7 6 0 . . 0 0 0 a1 + b1 a1 + b2 . . a1 + bn 0 2 7 6 . . 0 0 0 a +b a 2 + b2 . . a 2 + bn g) h) 2 1 . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 . . 2 7 6 a n + b1 a n + b2 . . a n + bn 0 0 0 0 . . 0 2 7 5 3 0 0 . . 0 0 2 5 3 0 . . 0 0 0 2 5 3 . . 0 0 i) . . . . . . . . 0 0 0 0 . . 5 3 0 0 0 0 . . 2 5 ⎛1 2 1⎞ ⎛ 2 1 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Bài 9: Cho: A = ⎜ 1 2 2 ⎟ và B = ⎜1 2 2⎟ ⎜ 2 5 2⎟ ⎜ 2 −1 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tính các định thức sau: detA, debt, detA.B, det5.A, detA3. Bài 10: Tìm hạng của các ma trận sau:
⎛ 1 1 − 1⎞ ⎛ 1 − 2 1⎞ ⎛1 − 2 3 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a) A = ⎜ 2 3 1 ⎟ b) A = ⎜ − 2 − 6 0 ⎟ c) A = ⎜ 3 5 1 − 1⎟ ⎜5 8 2 ⎟ ⎜ 4 2 2⎟ ⎜5 4 2 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 − 2 3 −1 −1⎞ ⎜ ⎟ ⎛− 5 2 1 1 ⎞ ⎜ 2 −1 1 0 − 2⎟ ⎛3 5 7⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ d) A = ⎜ 11 4 − 1 − 2 ⎟ ; e) ⎜ − 2 − 5 8 − 4 3 ⎟ ; g) A = ⎜ 1 2 3 ⎟ ; ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 0 −1⎟ ⎜ 6 0 − 4 2 − 7⎟ ⎜1 3 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ −1 −1 1 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛3 2 −1 2 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜4 1 0 −3 0 2 ⎟ ⎛ 1 1 − 3⎞ ⎛1 2 3 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ f) A = ⎜ 2 − 1 − 2 1 1 − 3 ⎟ ; h) A = ⎜ −1 0 2 ⎟ ; k) A = ⎜ 2 4 6 8 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜3 1 3 − 9 −1 6 ⎟ ⎜− 3 5 0 ⎟ ⎜ 3 6 9 12 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜3 −1 − 5 7 ⎝ 2 − 7⎟ ⎠ Bài 11: Tìm và biện luận hạng của ma trận sau theo tham số m ∈ K: ⎛ 1 1 − 3⎞ ⎛ m 5m −m ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a) ⎜ 2 1 m ⎟ b) ⎜ 2m m 10m ⎟ ⎜1 m 3 ⎟ ⎜ − m − 2m − 3m ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: Dùng thuật toán Gauss hoặc Gauss-Jordan giải các phương trình sau: ⎧2 x1 + x2 − 2 x3 = 10 ⎧ x1 + 2x 2 + x 3 = 7 ⎧2 x1 + x2 − 3 x3 = 1 ⎪ ⎪ ⎪ a) ⎨3x1 + 2 x2 + 2 x3 = 1 b) ⎨2x1 - x 2 + 4x 3 = 17 c) ⎨5 x1 + 2 x2 − 6 x3 = 5 ⎪5 x + 4 x + 3 x = 4 ⎪3x - 2x + 2x = 14 ⎪3x − x − 4 x = 7 ⎩ 1 2 3 ⎩ 1 2 3 ⎩ 1 2 3 ⎧ x1 + 2x 2 + 3x 3 = 14 ⎧ x1 + x2 = 7 ⎪3x - 2x + x = 10 ⎧ x1 + 2 x2 − x3 = 3 ⎪ ⎪ 1 2 3 ⎪ ⎪ x2 - x3 + x 4 = 5 ⎪ d) ⎨2 x1 + 5 x2 − 4 x3 = 5 e) ⎨ f) ⎨ x1 + x 2 + x 3 = 6 ⎪3x + 4 x + 2 x = 12 ⎪ x1 - x2 + x3 + x4 = 6 ⎪2x + 3x - x = 5 ⎩ 1 2 3 ⎪ x2 - x 4 = 10 ⎪ 1 2 3 ⎩ ⎪x1 + x2 = 3 ⎩ Bài 2: Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau: ⎧ x1 + 2 x2 + x3 = 0 ⎧ x1 + x2 − 2 x3 + 3 x4 = 0 ⎪ ⎪ a) ⎨2 x1 + 5 x2 − x3 = 0 b) ⎨2 x1 + 3x2 + 3x3 − x4 = 0 ⎪3x − 2 x − x = 0 ⎪5 x + 7 x + 4 x + x = 0 ⎩ 1 2 3 ⎩ 1 2 3 4
⎧ x1 + x2 − 3x3 + 2 x4 = 0 ⎪x − 2x − x = 0 ⎧2 x1 − 2 x2 + x3 = 0 ⎪ ⎪ c) ⎨ 1 2 4 d) ⎨3x1 + x2 − x3 = 0 ⎪ x2 + x3 + 3x4 = 0 ⎪ x − 3x + 2 x = 0 ⎪2 x1 − 3x2 − 2 x3 = 0 ⎩ 1 2 3 ⎩ ⎧ x1 + x2 − x3 = 1 ⎪ Bài 3: Cho hệ phương trình: ⎨2 x1 + 3x2 + kx3 = 3 ⎪ x + kx + 3x = 2 ⎩ 1 2 3 Xác định trị số k ∈ K sao cho: a) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất; b) Hệ không có nghiệm c) Hệ có vô số nghiệm Bài 4: Giải các hệ phương trình sau bằng cách ấp dụng quy tắc Cramer: ⎧ x1 + x2 − 2 x3 = 6 ⎧3x1 + 2 x2 + x3 = 5 ⎪ ⎪ a) ⎨2 x1 + 3x2 − 7 x3 = 16 b) ⎨2 x1 + 3x2 + x3 = 1 ⎪5 x + 2 x + x = 16 ⎪2 x + x + 3x = 11 ⎩ 1 2 3 ⎩ 1 2 3 ⎧ x1 + x2 + x3 + x4 = 2 ⎧2 x1 + z 2 + 5 x3 + x 4 = 5 ⎪ x + 2 x + 3x + 4 x = 2 ⎪ x + x − 3x − 4 x = −1 ⎪ ⎪ c) ⎨ 1 2 3 4 d) ⎨ 1 2 3 4 ⎪ 2 x1 + 3x2 + 5 x3 + 9 x4 = 2 ⎪3 x1 + 6 x 2 − 2 x3 + x 4 = 8 ⎪ x1 + x2 + 2 x3 + 7 x4 = 2 ⎩ ⎪2 x1 + 2 x 2 + 2 x3 − 3 x 4 = 2 ⎩ Bài 5: Giải và biện luận theo tham số thực các hệ phương trình sau: ⎧mx1 + x2 + x3 = 1 ⎧ax1 + x2 + x3 = 4 ⎪ ⎪ a) ⎨ x1 + mx2 + x3 = m b) ⎨ x1 + bx2 + x3 = 3 ⎪ ⎪x + 2x + x = 4 ⎩ x1 + x2 + mx3 = m 2 ⎩ 1 2 3 Bài 6: Xét thị trường có 3 loại hàng hóa. Biết hàm cung và hàm cầu của 3 loại hàng hóa trên là: QS1 = 18p1 - p2 - p3 - 45 ; Qd1 = - 6p1 + 2p2 + 130 QS2 = - p1 + 13p2 - p3 - 10 ; Qp2 = p1 - 7p2 + p3 + 220 QS3 = - p1 - p2 +10p3 - 15 ; Qp3 = 3p2 - 5p3 + 215
Tìm điểm cân bằng thị tường. Bài 7: Xét thị trường có 4 loại hàng hóa. Biết hàm cung và hàm cầu của 4 loại hàng hóa trên là: QS1 = 20p1 - 3p2 - p3 - p4 - 30 ; Qp1 = - 11p1 + p2 + 2p3 + 5p4 + 115 QS2 = -2p1 + 18p2 - 2p3 - p4 - 50 ; Qd2 = p1 - 9p2 + p3 + 2p4 + 250 QS3 = -p1 - 2p2 + 12p3 - 40 ; Qd3 = p1 + p2 - 7p3 + 3p4 + 150 QS4 = -2p1 - p2 + 18p4 - 15 ; Qd4 = p1 + 2p3 - 10p4 + 180 Tìm điểm cân bằng thị trường. Bài 8: Xét thị trường có 3 loại hàng hóa. Biết hàm cung và hàm cầu của 3 loại hàng hóa trên là: QS1 = 11p1 - 2p2 - p3 - 20 ; Qd1 = - 9p1 + p2 + p3 + 210 QS2 = - 2p1 + 19p2 - p3 - 50 ; Qp2 = p1 - 6p2 + 135 QS3 = - 2p1 - p2 + 11p3 - 10 ; Qd3 = 2p1 - 4p3 + 220 Tìm điểm cân bằng thị tường. Bài 9: Xét mô hình input – output mở gồm 3 ngành kinh tế với hệ số ma trận đầu vào ⎛ 0,2 0,3 0,4 ⎞ ⎜ ⎟ là: A = ⎜ 0,3 0,2 0,1 ⎟ và yêu cầu của ngành kinh tế mở đối với 3 ngành kinh tế là 22; ⎜ 0,2 0,3 0,1 ⎟ ⎝ ⎠ 98; 56. Tìm mức sản lượng của 3 ngành kinh tế trên. Bài 10: Xét mô hình input – output mở gồm 3 ngành kinh tế với hệ số ma trận đầu ⎛ 0,1 0,3 0,2 ⎞ ⎜ ⎟ vào là: A = ⎜ 0,4 0,2 0,3 ⎟ . Tìm mức sản lượng của 3 ngành kinh tế trên nếu biết yêu ⎜ 0,2 0,3 0,1 ⎟ ⎝ ⎠ cầu của ngành kinh tế mở đối với 3 ngành kinh tế trên là 118; 52; 96.