Tham khảo tài liệu 'các bài toán chứng minh tính vuông góc (bài tập và hướng dẫn giải)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Các bài toán chứng minh tính vuông góc (Bài tập và hướng dẫn giải)
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 03 tháng 01 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Các bài toán chứng minh tính vuông góc.
Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a .
1. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD).
2. Chứng minh ∆SBD vuông tại S.
Bài 2: Tứ diện SABC có SA ⊥ mp ( ABC ) . Gọi H, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác
ABC và SBC.
1. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và ( SAC ) ⊥ ( BHK )
2. Chứng minh HK ⊥ ( SBC ) và ( SBC ) ⊥ ( BHK ) .
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm Ô và có cạnh SA vuông
góc với (ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC.
1. Chứng minh ( SBD ) ⊥ ( SAC ) .
2. Chứng minh BD || mp ( P )
Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax
vuông góc với (P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax ( S ≠ A ). Qua A dựng mặt phẳng
(Q) vuông góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh:
AB ' ⊥ SB, AD ' ⊥ SD và SB.SB ' = SC.SC ' = SD.SD '
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC= a 3 , mặt bên
(SBC) vuông tại B và (SCD) vuông tại D có SD= a 5 .
a) Chứng minh: SA ⊥ ( ABCD ) . Tính SA=?
b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD lần lượt tại
I,J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K,L
của SB,SD với mặt phẳng (HIJ). CMR: AK ⊥ ( SBC ) ; AL ⊥ ( SCD ) .
c) Tính diện tích tứ giác AKHL=?
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 29 tháng 01 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2
Page 2 of 10
- TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN ………… , ngày ….tháng… năm …..
A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ LUYỆN BG SỐ 2
Quan hệ vuông góc trong không gian.
(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
• BTVN – 04/02/2010:
Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a .
3. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD).
4. Chứng minh ∆SBD vuông tại S.
HDG:
1. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì SA = SB = SC = a nên
SO ⊥ mp ( ABCD ) . Mà AC ⊥ BD vì ABCD là hình thoi, nên O ∈ BD
Có: SO ∈ ( SBD ) , SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( SBD ) ⊥ ( ABCD )
Bài 2: Tứ diện SABC có SA ⊥ mp ( ABC ) . Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác
ABC và SBC.
3. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và ( SAC ) ⊥ ( BHK )
4. Chứng minh HK ⊥ ( SBC ) và ( SBC ) ⊥ ( BHK ) .
HDG:
1. Vì H là trực tâm tam giác ∆ABC ⇒ BH ⊥ AC , theo giả thiết
SA ⊥ mp ( ABC ) ⇒ BH ⊥ SA . Nên BH ⊥ mp ( SAC ) ⇒ SC ⊥ BH
Do K là trực tâm ∆SBC ⇒ BK ⊥ SC
Từ đó suy ra SC ⊥ mp ( BHK ) ⇒ mp ( BHK ) ⊥ mp ( SAC ) (đpcm)
2. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được: SB ⊥ mp ( CHK ) ⇒ SB ⊥ HK
Mà SC ⊥ mp ( BHK ) ⇒ SC ⊥ HK . Do đó: HK ⊥ mp ( SBC ) ⇒ mp ( SBC ) ⊥ mp ( BHK )
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông
góc với (ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC.
3. Chứng minh ( SBD ) ⊥ ( SAC ) .
4. Chứng minh BD || mp ( P )
Page 3 of 10
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 29 tháng 01 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
HDG:
1. Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC và BD
vuông góc với nhau tại O, vì SA vuông góc với (ABCD) nên
SA ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SBD ) ⊥ ( SAC )
2. Từ giả thiết suy ra: ( P ) ⊥ ( SAC ) , mà BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD || ( P )
Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax
vuông góc với (P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax ( S ≠ A ). Qua A dựng mặt phẳng (Q)
vuông góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.
Chứng minh:
AB ' ⊥ SB, AD ' ⊥ SD và SB.SB ' = SC.SC ' = SD.SD '
HDG: Từ giả thiết suy ra: SA ⊥ BC , AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB '
Mà SC ⊥ ( Q ) ⇒ SC ⊥ AB ' . Do đó AB ' ⊥ ( SBC ) ⇒ AB ' ⊥ SB
Ngoài ra ta cũng có BC ⊥ SB, SC ⊥ B ' C ' ⇒ ∆SBC : ∆SC ' B ' nên:
SB SC
= ⇒ SB.SB ' = SC.SC '
SC ' SB '
Chứng minh tương tự ta được AD ' ⊥ SD và SD.SD ' = SC.SC '
Vậy ta có đpcm.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC= a 3 , mặt bên
(SBC) vuông tại B và (SCD) vuông tại D có SD= a 5 .
a. Chứng minh: SA ⊥ ( ABCD) . Tính SA=?
b. Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD lần lượt tại
I,J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K,L
của SB,SD với mặt phẳng (HIJ). CMR: AK ⊥ ( SBC ) ; AL ⊥ ( SCD) .
c. Tính diện tích tứ giác AKHL=?
Giải:
BC ⊥ BA
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SA
BC ⊥ BS
a) Ta có: ⇒ SA ⊥ ( ABCD) . Ta có: SA = a 2
DC ⊥ DA
⇒ DC ⊥ ( SAD) ⇒ DC ⊥ SA
DC ⊥ DS
b) Trong (SBC) gọi: SB ∩ HI = {K } ⇒ K = SB ∩ ( HIJ )
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 4
Page 4 of 10
- TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN ………… , ngày ….tháng… năm …..
A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290
Trong (SAD) gọi: SD ∩ HJ = {L} ⇒ L = SD ∩ ( HIJ ) .
Ta có: BC ⊥ AK (1) mà:
SA ⊥ IJ
⇒ IJ ⊥ ( SAC ) ⇒ IJ ⊥ SC
AC ⊥ IJ ⇒ SC ⊥ ( HIJ) ⇒ SC ⊥ AK (2)
SC ⊥ AH
Từ (1) và (2) ta có: AK ⊥ ( SBC ) . Tương tự cho AL ⊥ ( SCD)
c) Tứ giác AKHL có: AL ⊥ KH ; AL ⊥ LH nên: SAKHL = 1 ( AK .KH + AL.LH ) .
2
2
Vậy : SAKHL = 8a
15
•
BTVN – 06/02/2010:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có SA = h và vuông góc
với mp(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
1. SB và CD
2. SC và BD
HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông nên BC ⊥ CD
Page 5 of 10
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 29 tháng 01 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
BC ⊥ AB
Lại có: BC ⊥ SA do SA ⊥ ABCD ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB
( ( ))
Vậy BC là đoạn vuông góc chung của SB và CD, và BC = a
2. Gọi O = AC ∩ BD ⇒ AC và BD vuông góc nhau tại O, mà SA ⊥ BD ⇒ BD ⊥ mp ( SAC ) . Trong
tam giác SAC, kẻ OI vuông góc với SC khi đó BD và OI vuông góc nhau do đó OI là
đường vuông góc chung của SC và BD
SA SC SA.OC ah
∆SAC : ∆OIC ⇒ = ⇒ OI = =
Ta có: OI OC SC 2 ( h 2 + 2a 2 )
Bài 2: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là
trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
HDG: Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC tại M ⇒ AG ⊥ BC
Chóp S.ABC đều, mà G là tâm ∆ABC ABC nên SG ⊥ ( ABC ) ⇒ SG ⊥ BC , từ đó suy ra
BC ⊥ ( SAG ) .
Trong ∆SAM kẻ MN ⊥ SA ( N ∈ SA ) ⇒ MN ⊥ BC . Do vậy MN là đoạn vuông góc chung của BC
và SA. Ta có:
2S ∆SAM SG.MA 3 3a
MN = = = ... =
SA SA 4
Bài 3: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC) và SA = a 2. . Đáy
ABC là tam giác vuông tại B với BA=a. Gọi M là trung điểm của AB. Tìm độ dài đoạn
vuông góc chung của 2 đường thẳng SM và BC.
HDG:
SA ⊥ BC
Ta có ⇒ BC ⊥ ( SAB) tại B. Dựng BH ⊥ SM ( H ∈ SM ) .
AB ⊥ BC
Ta thấy: BH ⊥ BC . Vậy BH chính là đoạn vuông góc chung của SM và BC.
Ta tính BH như sau:
a
BH BM BH 1 a 2
Vì = ⇔ = 2 = ⇒ BH =
SA SM a 2 3a 3 3
2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 6
Page 6 of 10
- TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN ………… , ngày ….tháng… năm …..
A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290
a 3
Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh a và OB = . Trên
3
đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho SB = a. Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng SA và BD.
HDG:
Dễ chứng minh được BD ⊥ ( SAC ) (vì BD ⊥ AC , BD ⊥ SO )
Trong mp(SAC) kẻ OI ⊥ SA ( I ∈ SA) ⇒ OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD.
a 6 2a 3
Ta có: SO = OA = ⇒ SA = SO 2 + OA2 =
3 3
2 S ∆SOA SO.OA 3a
⇒ OI = = = ... =
SA SA 3
Bài 5: Cho tứ diện ABCD với AB=CD=a, AC=BD=b, BC=AD=c. Gọi I và J lần lượt là
trung điểm của AB và CD. Hãy tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và CD.
HDG:
Ta thấy ngay ∆ABC = ∆ABD nên 2 trung tuyến CI và BD bằng nhau hay ∆ICD
cân tại I. Nên ta có IJ ⊥ CD .
CM tương tự ta có: IJ ⊥ AB vậy IJ chính là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Tính IJ: Áp dụng công thức trung tuyến và ta tính IJ được kết quả là:
b2 + c 2 − a 2
IJ =
2
• BTVN – 08/02/2010:
Bài 15: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cân đỉnh A và ∠BAC = α . Gọi M là
trung điểm của AA’ và giả sử mp(C’MB) tạo với đáy (ABC) một góc β .
1. Chứng minh ∠C ' BC = β .
α
2. Chứng minh tan = cosβ là điều kiện cần và đủ để BM ⊥ MC ' .
2
Page 7 of 10
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 29 tháng 01 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
HDG: 1. Trong mp(ACC’A’) kéo dài C’M cắt CA tại N, thì A là trung điểm của NC suy
1
ra: BA = AC = AN ⇒ BA = CN ⇒ ∆BCN vuông tại B nên BN ⊥ BC .
2
Tương tự ta có BN ⊥ BC '
Dễ thấy: BN = mp ( MBC ') ∩ mp ( ABC ) , từ trên suy ra ∠C ' BC = β = (·ABC ) , ( MBC ') )
(
2. Vì BM là trung tuyến của ∆BC ' N nên: BM ⊥ MC ' ⇔ ∆NBC ' cân đỉnh B
α
BC.cos
⇔ BC ' = BN ⇔
BC
=
BH
= 2 ⇔ cosβ = tan α
cosβ sin α sin
α 2
2 2
(Với H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống cạnh AC)
Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a. Gọi E, F và M lần lượt là
trung điểm của AD, AB và CC’. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM).
Tính cosα
a 2 a 6
HDG: Ta có: EF = AE 2 + AF 2 = , ME = MF = MC 2 + CB 2 + BF 2 =
2 2
Gọi I = EF ∩ AC ⇒ MI ⊥ EF . Mà MI ⊥ EF ⊥ AC , ( MEF ) ∩ ( ABCD ) = EF nên:góc giữa hai mặt
phẳng (ABCD) và (EFM) là ∠MIC = α
3
AC
Do đó: cosα = IC = 4 = .. =
3 11
IM MF 2 − IF2 11
Bài 3: Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng đoạn SA vuông góc với (P) tại
A. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên BC, CD. Đặt BM = u , DN = v. Chứng minh rằng:
a ( u + v ) + 3uv = 3a 2
là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc 30o .
HDG: Ta có: AM 2 = a 2 + u 2 ; AN 2 = a 2 + v 2
MN 2 = ( a − u ) + ( a − v ) = 2a 2 + u 2 + v 2 − 2a ( u + v )
2 2
Dễ thấy góc giữa hai phẳng (SAM) và (SAN) là góc ∠MAN = α
AM 2 + AN 2 − MN 2
Do đó: α = 30o ⇔ cosα = cos30o =
2 AM . AN
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 8
Page 8 of 10
- TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN ………… , ngày ….tháng… năm …..
A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290
3 a ( u + v)
⇔ =
2 a2 + u 2 . a2 + v2
⇔ 3 ( a 2 − uv ) = a 2 ( u + v )
2 2
⇔ a ( u + v ) + 3uv = 3a 2
Bài 4: Cho tam diện vuông góc Oxyz. Lần lượt lấy trên Ox, Oy, Oz ba đoạn OA=a, OB=b,
OC=c. Gọi α, β, γ là số đo các nhị diện cạnh BC, CA, AB.
a) CMR: cos 2α + cos 2 β + cos 2γ = 1
b) CMR: ( S ∆ABC ) = ( S ∆OBC ) + ( S ∆OCA) + ( S ∆OAB )
2 2 2 2
HDG:
2
OH OH
a) Kẽ CH ⊥ AB ⇒ OH ⊥ AB ⇒ ∠OHC = γ . Ta có: cosγ = ⇔ cos 2γ = 2
CH CH
a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 a 2b 2
CH = OC + OH =
2 2 2
⇒ cos γ = 2 2
2
a 2 + b2 a b + b 2c 2 + c 2 a 2
Tương tự và ta tính được: cos 2α + cos 2 β + cos 2γ = 1
b) Áp dụng công thức diện tích hình chiếu ta có:
S ∆OBC = S ∆ABC cos α
S ∆OCA = ∆SABC cos β ⇒ ( S ∆ABC )2 = ( S ∆OBC )2 + ( S ∆OCA)2 + ( S ∆OAB)2
S ∆OAB = S ∆ABC cos γ
Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy M,N thuộc CB và CD.
Đặt CM=x, CN=y. Lấy S ∈ At ⊥ ( P) . Tìm hệ thức giữa x, y để:
a) ∠ ( ( SAM ), ( SAN ) ) = 450
b) ( SAM ) ⊥ ( SMN )
HDG:
a) ∠ ( ( SAM ), ( SAN ) ) = ∠MAN
Ta có: MN 2 = MA2 + NA2 − 2 MA.NA cos ∠MAN
Ta tính được:
MN 2 = x 2 + y 2
MA2 = a 2 + (a − x ) 2 ⇒ ∠MAN = 450 ⇔ x 2 y 2 + 4a 3 ( x + y ) = 4a 4 + 2axy ( x − y )
NA2 = a 2 + (a − y ) 2
Page 9 of 10
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 29 tháng 01 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
b) Giả sử ( SAM ) ⊥ ( SMN )
Kẽ NM ' ⊥ SM ⇒ NM ' ⊥ ( SMA) ⇒ NM ' ⊥ SA
Nhưng SA ⊥ MN nên NM’ trùng với NM hay M’trùng với M
⇒ a 2 + (a − y ) 2 = a 2 + (a − x) 2 + x 2 + y 2 ⇔ x 2 = a ( x − y )
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 10
Page 10 of 10
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
