HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC THƯỜNG

Chia sẻ: Nguyễn Thị Thanh Trúc | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

459
lượt xem 92
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

I. Kiến thức cần nhớ: Biết được thế nào là hai tam giác bằng nhau. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: Cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c); Cạnh – góc – cạnh (c.g.c); Góc – cạnh – góc (g.c.g). Biết được khái niệm và tính chất cơ bản của một số đường đặc biệt như: Đường trung trực, đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác. Biết được định lí về tổng ba góc của một tam giác, định lí về góc ngoài của tam giác. Công thức tính diện tích tam giác. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC THƯỜNG

HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC THƯỜNG I. Kiến thức cần nhớ: Biết được thế nào là hai tam giác bằng nhau. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: Cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c); Cạnh – góc – cạnh (c.g.c); Góc – cạnh – góc (g.c.g). Biết được khái niệm và tính chất cơ bản của một số đường đặc biệt như: Đường trung trực, đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác. Biết được định lí về tổng ba góc của một tam giác, định lí về góc ngoài của tam giác. Công thức tính diện tích tam giác. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, bất đẳng thức tam giác. Hiểu được định nghĩa hai tam giác đồng dạng. Tỉ số của hai đoạn thẳng, các đoạn thẳng tỉ lệ.... II. Hệ thống bài tập: Bài 1. (Luyện tập toán 7 – Nguyễn Bá Hòa – NXB Giáo dục) Cho tam giác ABC có AC > AB. Trên cạnh BC lấy điểm D. Trên đoạn thẳng A AD lấy điểm E. Ta chứng minh được EC – EB < AC – AB như sau: E Trong ∆AEC ta có EC < AC + AE (1) C D B Trong ∆ABE ta có EB < AB + AE (2) Trừ (1) và (2) vế theo vế ta có: EC – EB < AC – AB Hãy tìm chỗ sai trong bài chứng minh trên. 1
GIẢI Ta thấy hai bất đẳng thức (1) và (2) đúng hay sai, hai bất đẳng thức trên không sai, nếu như lấy bất đẳng thức (1) trừ bất đẳng thức (2) thì đúng hay sai, cái sai của bài chứng minh trên nằm ở chổ ta lấy hai bất đẳng thức trên trừ cho nhau. Nhớ! Không trừ hai bất đẳng thức cùng chiều. Nhận xét: Cần chú ý trong việc biến đổi bất đẳng thức. Bài 2. Chứng minh rằng đường phân giác của một tam giác chia cạnh đối diện thành 2 đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề 2 đoạn thẳng ấy. GIẢI A ∆ABC , AD là phân giác. GT 12 AB DB = KL AC DC Qua B vẽ đường thẳng song song AC cắt AD tại E. � � � � � � AC // BE � A2 = E1 mà A1 = A2 nên A1 = E1 B D C 1 � ∆ABC cân tại B. AB = BE (1) E BE DB = Từ ∆EDB và ∆ADC có BE//AC AC DC AB DB = Kết hợp với (1) ta có . (đpcm) AC DC Bài chứng minh trên ta kẻ đường thẳng qua B song song AC. Vậy nếu như ta cũng kẻ đường thẳng qua B mà song song với AD thì có thể chứng minh được bài toán trên hay không. Cách 2: F Qua B vẽ đường thẳng song song với AD cắt AC tại F. 1 � � � � A BF // AD F1 = A2 , B1 = A1 . 12 � � � � Có A1 = A2 nên F1 = B1 � ∆ABF cân tại A. � AF = AB 1 B D C 2
AF DB AB DB = = ∆BFC có BF // AD do đó . AC DC AC DC Cũng với cách vẽ đường phụ với mỗi đường phụ hợp lí ta lại có thêm một cách chứng minh, ta sẽ xét một cách chứng minh A khác. 12 Cách 3: Vẽ DE // AC; DF // AB ( E AB, F AC ) F AFDE là hình bình hành. E Có AD là phân giác AFDE là hình thoi. B D C AF = DE = DF = AE. DB EB DB AE = = ∆ABC có DE // AC � ; DC EA DC CF DB EB AE EB + AE AB = = = = Suy ra (đpcm) DC AF CF AF + CF AC Bài 3. Cho tam giác ABC biết AB < AC. Trên tia BA lấy đi ểm D sao cho BC = BD. Nối C với D. Gọi E là giao điểm của AC v ới phân giác c ủa góc B. a) Chứng minh rằng CE = DE b) Dựng đường cao AH của tam giác ACD. Chứng minh rằng AH // BE. Hệ thống câu hỏi: 1. Giả thuyết và kết luận của bài toán trên là gì? 2. Dạng của bài toán là dạng gì? (dạng chứng minh) a) Chứng minh rằng CE = DE - Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta thường có những cách nào? - Tại sao hai tam giác BEC và BED bằng nhau? - Từ hai tam giác bằng nhau đó ta suy ra được điều gì? b) Chứng minh rằng AH // BE. - Ta đã có AH ⊥ CD vậy muốn chứng minh AH // BE ta cần chứng 3
minh điều gì? - Muốn chứng minh BI ⊥ CD ta phải làm sao? � � - Vì sao chúng ta có BIC = BID = 900 ? D - Vậy ta có được điều phải chứng minh chưa? H GIẢI � � ∆ABC ; AB
Bài 4. Gọi M là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy hai điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Chứng minh rằng: b) Đoạn thẳng CD cắt đoạn thẳng AM ở trung điểm I a) ME // CD; của nó. c) CI = 3DI. Hệ thống câu hỏi: 1. Vẽ hình, nêu giả thuyết và kết luận của bài toán? 2. Dạng của bài toán là dạng gì? (dạng chứng minh) a) Chứng minh: ME // CD - Để chứng minh ME // CD ta thường có những cách chứng minh nào? - Em có nhận xét gì về vị trí của M, E ở lần lược hai cạnh BC và BD? - Vậy ME là gì của ∆BCD ? . Ta có điều phải chứng minh? b) Đoạn thẳng CD cắt đoạn thẳng AM ở trung điểm I của nó. - Theo giả thuyết ta có D là gì của AE? - Theo chứng minh ở câu a) thì DI như thế nào so với AM? - Có D là trung điểm AE, DI // AM vậy DI là gì của ∆AEM ? - Vậy I là gì của AM, ta suy ra được điều phải chứng minh chưa? c) Chứng minh: CI = 3DI. - ME là đường trung bình của ∆BCD . Vậy ME bằng bao nhiêu lần DC. - Tương tự DI bằng bao nhiêu lần ME - Từ hai điều đó ta có được đẳng thức cần chứng minh chưa? GIẢI A ∆ABC ; BM = MC; AD = DE = EB GT D I E 5 C B M
a) ME // CD. b) I = CD AM ; AI = IM KL c) CI = 3DI a) Xét ∆BCD có: M là trung điểm của cạnh BC (giả thuyết) E nằm giữa B và D và DE = BE E là trung điểm của cạnh BD ME là đường trung bình của ∆BCD . Do đó ME // CD (đpcm) b) Xét ∆AEM có: D là trung điểm của cạnh AE (vì D nằm giữa A và E và AD = DE) DI là đường trung bình của ∆AEM . Theo a) ta có: DI // ME. Vậy I là trung điểm của AM (đpcm) c) Theo chứng minh ở hai câu trên ta có: 1 ME = CD ME là đường trung bình của ∆BCD : nên CD = 2ME hay 2 (1) 1 DI = DI là đường trung bình của ∆AEM : ME = 2 DI nên hay ME 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra: CD = 4DI hay CI + DI = 4DI CI = 3DI (đpcm) Nhận xét: Ta có thể áp dụng tính chất đường trung bình để chứng minh hai đoạn thẳng song song, và cũng có thể chứng minh một điểm là trung điểm của đoạn thẳng. Bài 5. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AC người ta l ấy m ột điểm D sao cho AB = AD. Gọi AI là tia phân giác xu ất phát t ừ đ ỉnh A c ủa tam giác ABC. Chứng minh rằng: AI // BD. Hệ thống câu hỏi: 1. Hãy vẽ hình và nêu giả thuyết và kết luận của bài toán? 2. Để chứng minh AI // BD ta thường có nh ững cách ch ứng minh 6
nào? 3. Làm sao để tạo ra đường thẳng mà cả hai đường th ẳng trên cùng vuông với đường thẳng đó. 4. AI là gì của BAC . Theo em thì đường nào trong tam giác sẽ vuông góc với đường thẳng AI. 5. Làm sao chứng minh được AE ⊥ DB. 6. Có được AE ⊥ DB ta suy ra được điều phải chứng minh chưa? GIẢI D � � GT AB = AD; BAI = CAI A KL AI // BD. Dựng tia phân giác AE của BAD . E Xét hai tam giác ABE và ADE có: � � AE là cạnh chung; BAE = DAE (vì AE là tia phân giác của BAD B C I ) AB = AD (giả thuyết) � � Vậy ∆ABE = ∆ADE (c.g.c). Ta suy ra AEB = AED = 900 . Hai tia AI và AE là hai tia phân giác c ủa hai góc k ề bù nhau nên vuông góc với nhau, Tức là EAI = 900 . Suy ra BD và AI cùng vuông với AE nên chúng song song với nhau tức là: AI // BD (đpcm) Nhận xét: Qua bài toán cho ta khả năng nhận xét và vẽ đường ph ụ, muốn chứng minh hai đường thẳng song song ta có th ể chứng minh nó cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3. Bài 6: Cho tam giác ABC. D, E, F theo th ứ tự là trung đi ểm c ủa các cạnh Bc, CA, AB. Chứng minh rằng: a) Đường trung tuyến AD cắt đoạn EF tại điểm I. b) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng EF. 7
HƯỚNG DẪN GIẢI A GT ∆ABC ; BD = DC; AE = EC; AF = FB. KL a) I = AD EF b) EI = IF E F a) Đường trung tuyến AD cắt đoạn EF tại điểm I. I - Ta có AD nằm giữa hai tia AB và AC. C B D - Nếu chọn AD làm bờ chia mặt phẳng ra làm hai phần thỉ E, F nằm ở hai mặt phẳng như thế nào? - Vậy AD có cắt đoạn EF hay không? b) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng EF. - Ta có EF là đường trung bình của ∆ABC vậy ta có thể chứng minh FI, EI lần lược là đường trung bình của ∆ABD , ∆ACD hay không? 1 1 - Khi đó ta sẽ có FI = BD và IE = DC , mà DC như thế nào so với 2 2 DB, từ đó ta có được điều phải chứng minh chưa? Nhận xét: Qua bài toán nhằm khắc sâu thêm kiến thức về đường trung bình của tam giác và áp dụng nó vào bài toán cụ thể. Bài 7: Cho tam giác ABC và một điểm O tùy ý ở trong tam giác ấy. 1 Chứng minh: (AB+BC+CA) < OA+OB+OC < AB+BC+CA 2 Hệ thống câu hỏi: 1. ta có thể chia bài toán thành 2 bài toán nhỏ được không? 1 2. Trước tiên ta sẽ chứng minh (AB+BC+CA) < OA+OB+OC . 2 3. Ta thấy ∆ABC bị chia thành 3 tam giác nhỏ ∆OAB , ∆BOC , ∆COA , mỗi tam giác điều có chứa một cạnh của ∆ABC . 4. Trong tam giác thì tổng của 2 cạnh như thế nào so với cạnh th ứ 3? 5. Vậy ta có thể áp dụng tính chất đó vào từng tam giác kia hay 8
không? 6. Khi đó ta cộng theo từng vế của những bất đẳng th ức đó thì ta có điều phải chứng minh chưa. 7. Tiếp theo ta sẽ phải chứng minh OA+OB+OC < AB+BC+CA. Ta có thể chứng minh tương tự. 8. Ta thấy AB+BC+CA chính là gì của ∆ABC , em có thể phát biểu bài toán trên thành một định lí được không? GIẢI A Xét ∆OAB có: AB < OA + OB (1) Tương tự xét ∆BOC và ∆COA , ta có: B' C' BC < OB + OC (2) O CA < OC +OA (3) A' C B Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được: AB + BC + CA < 2OA + 2OB + 2OC 1 (AB + BC + CA) < OA + OB + OC (4) 2 Gọi A’, B’, C’ lần lược là giao điểm của AO, BO, CO với các c ạnh BC, CA, AB. Ta có: Vì OB < OA’ + A’B nên OA + OB < OA + OA’ + A’B OA + OB < AA’ +A’B Mà AA’ < AC +CA’ nên ta có: OA + OB < AC +CA’ +A’B OA + OB < CA +CB (5) Tương tự, ta có: OB +OC < AB + AC (6) và OC +OA < BC + BA (7) Cộng (5), (6), (7) vế theo vế ta được: 2OA + 2OB + 2OC < 2AB + 2BC + 2CA OA+OB+OC < AB+BC+CA (8) 9
Từ (4) và (8) ta có: 1 (AB+BC+CA) < OA+OB+OC < AB+BC+CA (đpcm) 2 Nhận xét: Từ bài toán này ta có thể phát biểu định lí: Cho m ột tam giác và một điểm O tùy ý trong tam giác. Tổng khoảng cách t ừ đi ểm O đến ba đỉnh của tam giác lớn hơn nữa chu vi và bé hơn chu vi của tam giác đó. Bài 8: Chứng minh rằng cạnh lớn nhất của một tam giác lớn hơn 1 1 hoặc bằng chu vi của tam giác đó và nhỏ hơn chu vi của nó. 3 2 Hệ thống câu hỏi: 1. Bài toán yêu cầu chứng minh điều gì? Ta có được những gì? 2. Nếu giả sữ BC là cạnh lớn nhất thì ta sẽ có điều gì? 1 3. Từ AB + AC 2BC ta có thể suy ra BC lớn hơn hoặc bằng 3 chu vi? 4. Theo bất đẳng thức tam giác thì Bc như thế nào so với AB + BC. 1 5. Từ BC < AB + AC ta có thể suy ra BC nhỏ hơn chu vi ? 2 6. Kết hợp hai yếu tố trên ta đã giải quyết được bài toán trên hay chưa? GIẢI A Giả sữ ∆ABC có AB AC BC . Ta suy ra: AB + AC BC + BC AB + AC 2BC B C 1 AB + AC + BC 3BC BC (AB + AC +BC) (1) 3 Ta lại có: BC < AB + AC 10
1 2BC < AB + AC + BC BC < (AB + AC +BC) (2) 2 Từ (1) và (2) ta có: 1 1 (AB + AC +BC) BC < (AB + AC +BC) (đpcm) 3 2 Nhận xét: Sử dụng bất đẳng thức tam giác kết hợp chia nhỏ một bài toán dể chứng minh sẽ dễ dàng hơn. Bài 9: Cho tam giác ABC với AB < AC. Gọi AD là đường phân giác của góc A, I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác và H là hình chiếu của I trên BC. Chứng minh rằng: b) BIC = 900 + A . � � a) BIH = CID 2 Hệ thống câu hỏi: � � a) Chứng minh BIH = CID - Trong ∆IBH ta có thể tính được BIH không? - Vậy bây giờ ta phải chứng minh CID = 900 − B . 2 - Ta nhận thấy CID là góc gì của ∆AIC ? Vậy CID bằng gì? � � � - Kết hợp với A + B + C = 900 ta có điều phải chứng minh chưa? 222 b) Chứng minh: BIC = 900 + A . 2 - Ta nhận thấy BID , DIC lần lược là 2 góc gì của hai tam giác ∆AIB , ∆AIC . Từ đó ta suy ra được gì?. � � � � � � � - Từ BID = A + B và DIC = A + C kết hợp với B + C = 900 − A ta có 22 22 22 2 điều phải chứng minh không? 11
GIẢI A a) Trong tam giác vuông IHB ta có: BIH = 900 − B (1) 2 I � � AC CID là góc ngoài ở đỉnh I của ∆AIC nên: CID = + 22 B H D C � � � � � � Vì A + B + C = 900 AC B nên (2) CID = + = 900 − 2 2 2 22 2 � � Từ (1) và (2) ta có: BIH = CID (đpcm) � � b) BID là góc ngoài ở đỉnh I của ∆AIB nên BID = A + B (3) 22 � � AC DIC là là góc ngoài ở đỉnh I của ∆AIC nên (4) DIC = + 22 Cộng (3) và (4) vế theo vế ta được: � � � � BC BC � � � � � (5) BID + DIC = A+ + � BIC = A+ + 22 22 � � � Vì B + C = 900 − A thay vào (5) A (đpcm) � BIC = 900 + 22 2 2 Nhận xét: Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác, kết hợp với những khả năng biến đổi đẳng thức để giải bài toán. � � Bài 10: ∆ABC có A = 2 B . Chứng minh rằng: BC2 = AC2 + AB.AC Hệ thống câu hỏi: 1. AD là đường phân giác vậy ta có đẳng thức nào? 2. Sao khi biến đổi đẳng thức đó ta được? 3. Vậy so với đề bài ta cần chứng minh điều gì? 4. Muốn có được tỉ số trên ta phải xét sự đồng dạng của 2 tam giác nào? 5. Từ đó ta có được điều phải chứng minh chưa? 12
GIẢI A Vẽ phân giác AD của góc A. DB DC = Theo tính chất đường phân giác ta có: AB AC DC DB + DC DC BC = = � Do đó: (1) AC AB + AC AC AB + AC C D B 1� � Mặt khác DAC = BAC (vì AD là đường phân giác) 2 1� 1� � � � � B= BAC (vì B = BAC ) nên ta có Nên DAC = B 2 2 Xét ∆DAC và ∆ABC có: � � DAC = B (chứng minh trên) C là góc chung; DC AC = Suy ra hai tam giác DAC và ABC đồng dạng với nhau. � (2) AC BC BC AC = Từ (1) và (2) ta có: hay BC2 = AC2 + AB.AC (đpcm) AB + AC BC Nhận xét: Bài toán này nhằm nhấn mạnh thêm về tính ch ất đường phân giác, kết hợp thêm tính chất đồng dạng của hai tam giác. Bài 11: Cho tam giác ABC ba đường cao AA’, BB’, CC’ và trực tâm HA ' HB ' HC ' = = = 1. H. Chứng minh hệ thức: AA ' BB ' CC ' Hệ thống câu hỏi: 1. Nêu giả thuyết , kết luận của bài toán? 2. Dạng của bài toán? (Dạng chứng minh). 3. Hệ thức cần chứng minh liên quan đến những đường nào trong tam giác? (Đường cao). 4. Hãy tính diện tích của tam giác ABC theo 3 đường cao? 5. Em có nhận xét như thế nào về điện tích của tam giác ABC và diện tích của các tam giác HBC, HCA, ABH. 13
6. Từ những điều trên ta có điều phải chứng minh chưa. GIẢI A B' ∆ABC ; AA’ ⊥ BC; BB’ ⊥ AC GT C' CC’ ⊥ AB, trực tâm H HA ' HB ' HC ' H = = =1 KL AA ' BB ' CC ' Gọi S là điện tích tam giác ABC. 1 1 1 C Ta có: S = AA '.BC = BB '. AC = CC '. AB A' B 2 2 2 2S 2S 2S Suy ra BC = AC = AB = ; ; . AA ' BB ' CC ' 1 HA '.S Mặt khác ta có: S HBC = BC.HA ' = (1) 2 AA ' 1 HB '.S S HCA = AC.HB ' = (2) 2 BB ' 1 HC '.S S HAB = AB.HC ' = (3) 2 CC ' Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta được: � ' HB ' HC ' � HA HA ' HB ' HC ' S =S� + + = = = 1 (đpcm). � � ' BB ' CC ' � AA AA ' BB ' CC ' Nhận xét: Bài toán nhấn mạnh việc sữ dụng công thức tính diện tích để giả bài toán chứng minh đẳng thức, ngoài ra còn rèn luy ện kh ả năng biến đổi đẳng thức cho người thực hiện. Bài 12. Cho tam giác ABC. D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Trên đường trung tuyến AD người ta lấy điểm G sao cho G nằm giữa A và D và AG = 2GD. Chứng minh rằng: a) Ba điểm B, G, E thẳng hàng và ba điểm C, G, F thẳng hàng. b) BG = 2GE và CG = 2GF. Hệ thống câu hỏi: 1. Giả thuyết, kết luận của bài toán? 14
a) Ba điểm B, G, E thẳng hàng và ba điểm C, G, F thẳng hàng. - Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có những cách nào? - Theo những giả thuyết đã cho thì cách nào khả thi nhất? - Ta sẽ gọi giao điểm BG với AC là E’ và ta sẽ chứng minh E’ E. - Bài toán bây giờ trở thành chứng minh E’ E. - Ta sẽ sữ dụng những tính chất nào đã học để chứng minh E’ E. - Có được E’ E. Vậy ba điểm B, G, E thẳng hàng chưa? - Có thể chứng minh tương tự ba điểm C, G, F thẳng hàng không? b) Chứng minh BG = 2GE và CG = 2GF. - Muốn chứng minh BG = 2GE ta có những cách nào. - Làm sao chứng minh QG = GE với Q là trung điểm BG. - Em có nhận xét gì về hai tam giác DGE và IGQ. - Hai tam giác đó bằng nhau ta suy ra được QG = GE chưa. - Từ đó ta có BG = 2GE chưa? - Tương tự như vậy chứng minh CG = 2GF. A GIẢI K ∆ABC ; BD=DC; CE=EA I GT E F AF=FB; AG=2GD P E' M a) B, G, E thẳng hàng G N C, G, F thẳng hàng. Q KL C B D b) BG = 2GE và CG = 2GF. a) Kéo dài BG cắt AC ở E’. Ta sẽ chứng minh E E’. Gọi I là trung điểm của AG. Ta có AI = IG = GD. Từ I và D kẻ các đường thằng song song với BG cắt AC tại K và M. Trong ∆AGE ' có IK là đường trung bình nên K là trung điểm AE’ hay AK = KE’. Trong ∆BCE ' có DM là đường trung bình 15
nên M là trung điểm CE’ hay CM = ME’. Từ I dựng đường thẳng song song với AC cắt BE’ ở P và DM ở N. Trong ∆IDN , GP là đường trung bình nên P là trung điểm của IN hay IP = PN. IP và KE’ là hai đoạn thẳng song song và bị ch ắn bởi hai đ ường th ẳng song song nên IP = KE’ Tương tự PN = E’M. Vì IP = PN nên KE’ = E’M. Vậy AK = KE’ = E’M = MC nên E’ E. Tức là ba điểm B, G, E thẳng hàng Tương tự chứng minh được C, G, F thẳng hàng. (đpcm) b) Gọi Q là trung điểm của BG. Ta sẽ chứng minh QG = GE. 1 Có: QI là đường trung bình của ∆ABG nên QI // AB và QI = AB. 2 1 DE là đường trung bình của ∆ABC nên DE // AB và DE = AB. 2 QI // DE và QI = DE. Xét hai tam giác DGE và IGQ có: � � (đối đỉnh); (chứng minh trên) DG = IG DGE = IGQ � � (so le trong) GDE = GIQ Vậy ∆DGE = ∆IGQ (g.c.g). GE = GQ và từ đó ta có BG = 2GE Tương tự, CG = 2GF (đpcm) Nhận xét: Cho ta thêm khả năng vẽ đường phụ, sữ dụng kết hợp nhiều tình chất để có thể giải được bài toán. Bài 13. Cho tam giác ABC với AB < AC. Trên đường phân giác AD người ta lấy một điểm E tùy ý. a) Chứng minh rằng AC – AB > EC – EB b) Trên tia AD lấy O sao cho OB = OC. Chứng tỏ rằng n ếu F là m ột 16
điểm bất kì trên tia đối của tia OA thì AC – AB > FB – FC. Hệ thống câu hỏi: 1. Đọc đề, tóm tắt, vẽ hình cho bài toán. a) Chứng minh rằng AC – AB > EC – EB - Em có nhận xét gì về 4 đoạn thẳng trên. - Lấy K trên AC sao cho AB = AK. Vậy bài toán trở thành? - Giờ ta phải chứng minh KC > EC – EB. - Xét trong ∆CEK ta có KC > EC – EK. Vậy kết hợp với điều kiện trên ta cần phải chứng minh EB = EK. - Em có nhận xét gì về hai tam giác AEB và AEK . - Vậy ta có EB = EK. Vậy suy ra điều phải chứng minh chưa? b) Chứng tỏ rằng nếu F thuộc tia đối của tia OA thì AC – AB > FB – FC. - Trước tiên ta thấy FB như thế nào so với FC. - Ta có thể chứng minh tương tự như câu a). GIẢI a) Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AB = AK. A Như vậy: AC – AB = AC – AK = CK. K E Xét hai tam giác AEB và AEK có: � � AE là cạnh chung; BAE = KAE (gt) B D C AB = AK (gt) � ∆AEB = ∆AEK (c.g.c), ta suy ra EB = EK Xét ∆CEK ta có: EC – EK < CK O EC – EB < CK F EC – EB < AC – AB hay AC – AB > EC – EB (đpcm) O nằm trên đường trung trực của BC. b) Có OB = OC Mặt khác O CD nên O là giao điểm của AD và đường trung trực của 17
đoạn BC. Nếu F nằm trên tia đối của tia OA: FB > FC Chứng minh tương tự như câu a) ta được AC – AB > FB – FC. (đpcm) Nhận xét: Sử dụng kết hợp vẽ đường phụ và bất đẳng thức tam giác, khả năng biến đổi bất đẳng thức để có thể giải bài tập. Bài 14. Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, AC = b và a – b = b – c. Gọi M là giao điểm các trung tuyến. P là giao điểm các đường phân giác các góc trong của tam giác. Chứng minh rằng MP // AC. (Đề thi học sinh giỏi toán cấp II, 1977) Hệ thống câu hỏi: 1. Đọc đề, vẽ hình và nêu giả thuyết và kết luận của bài toán.? 2. Hướng đi của bài toán là gì? Làm sao chứng minh được PH = MN. 3. Ta thấy điện tích tam giác ABC bằng tổng điện tích của những tam giác nào? Thay công thức tính điện tích vào ta được đẳng thức nào? 4. Kết hợp với điều kiện a – b = b – c thì đẳng thức trên trở thành? 5. Ta có BE = 3BH, Vậy ta cần phải chứng minh BE = 3MN. 6. Em có nhận xét gì về điện tích của hai tam giác BAD và MAD, từ đó có thể suy ra được BE = 3MN hay chưa. 7. Từ những dữ kiện trên ta có thể suy ra được PH = MN t ừ đó suy ra được PM // AC hay chưa? B GIẢI 2 a – b = b – c; BM = BD 3 GT I PH = PI = PK KL MP // AC. P K Gọi diện tích tam giác ABC là S ABC . M 18 C D H N E A
Ta có: S ABC = S APB + S BPC + SCPA (1) Dựng BE và BD theo thứ tự là đường cao và đường trung tuyến của ∆ABC . Dựng các đường cao PK, PI, PH của các tam giác APB, BPC, CPA. T ừ 1 1 1 1 b.BE = c.PK + a.PI + b.PH đẳng thức (1) ta có: 2 2 2 2 � b.BE = c.PK + a.PI + b.PH (2) Vì P là giao điểm của ba đường phân giác trong nên: PH = PI = PK � b.BE = ( a + b + c ) PH Vậy đẳng thức trở (2) thành (3) Theo giả thuyết a – b = b – c nên a + c = 2b thay vào (3) ta được: b.BE = 3b.PH BE = 3 PH (4) Dựng MN ⊥ AC. Ta có: S BAD = 3S MAD (vì BD=3MD, đường cao xuất phát từ đỉnh A chung của hai tam giác trùng nhau). Tương tự: S BDC = 3S MDC Ta suy ra: S ABC = S BAD + S BDC = 3S MAD + 3SMDC = 3S AMC Từ đây ta suy ra: BE = 3MN (5) Từ (4) và (5) ta được: PH = MN. Mặt khác: PH // MN nên PM // HN hay MP // AC (đpcm) Nhận xét: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác, khả năng vẽ đường phụ, sử dụng tính chất bắc cầu để chứng minh hai đường thẳng song song. Bài 15. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường � � cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho MAN = BAC . Chứng minh rằng AM là tia phân giác của góc NMF . Hệ thống câu hỏi: 19
� � 1. Mục đích ta sẽ chứng minh cái gì? ( AMF = AMN ) 2. Ta có AMF bằng tổng hai góc nào? � � � 3. Vậy ta chỉ cần chứng minh AMN = A1 + D1 . � � 4. Ta có thể chứng minh được AMN = AIN hay không? � � � 5. Ta lại có AIN = A2 + D2 . � � 6. Từ đây ta chỉ việc chứng minh D1 = D2 là bài toán đã được giải quyết GIẢI A Xét tứ giác BFHD có: N 2 1 E � � BFH + HDB = 2v nên tứ giác BFHD nội tiếp được F H x � � trong đường tròn. � B1 = D1 (1) I M � � Tương tự tứ giác CDHE nội tiếp � D2 = C1 (2) 2 1 Tứ giác BFEC có F và E cùng nhìn đoạn BC B D C � � dưới góc vuông nên cũng nội tiếp được. � B1 = C1 (3) � � Từ (1), (2), (3) ta có � D1 = D2 . Gọi I là điểm đối xứng của M qua DA ta có I DE . Do đó AD là trung trực của MI. } MI ⊥ AD MI P BC Do: AC ⊥ BC � � Từ đó: NIx = NDC (4) Xét tứ giác ABDE có E, D cùng nhìn AB dưới góc vuông nên tứ giác � � ABDE nội tiếp, nên NDC = BAC (5) � � Mà MAN = BAC (giả thuyết) (6) 20