intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Các chuyên đề về phương trình lượng giác

Chia sẻ: Ho Quan Bang Bang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

579
lượt xem
210
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các phương trình cơ bản, thường gặp và nâng cao

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Các chuyên đề về phương trình lượng giác

  1. CHÖÔNG 1: COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC I. Ñònh nghóa Treân maët phaúng Oxy cho ñöôøng troøn löôïng giaùc taâm O baùn kính R=1 vaø ñieåm M treân ñöôøng troøn löôïng giaùc maø sñ AM = β vôùi 0 ≤ β ≤ 2π Ñaët α = β + k2π, k ∈ Z Ta ñònh nghóa: sin α = OK cos α = OH sin α tgα = vôùi cos α ≠ 0 cos α cos α cot gα = vôùi sin α ≠ 0 sin α II. Baûng giaù trò löôïng giaùc cuûa moät soá cung (hay goùc) ñaëc bieät Goùc α ( ) 0 0o π ( ) 30 o π ( ) 45o π ( ) 60 o π ( ) 90 o Giaù trò 6 4 3 2 sin α 0 1 2 3 1 2 2 2 cos α 1 3 2 1 0 2 2 2 tgα 0 3 1 3 || 3 cot gα || 3 1 3 0 3 III. Heä thöùc cô baûn sin 2 α + cos2 α = 1 1 π 1 + tg 2 α = 2 vôùi α ≠ + kπ ( k ∈ Z ) cos α 2 1 t + cot g 2 = vôùi α ≠ kπ ( k ∈ Z ) sin 2 α IV. Cung lieân keát (Caùch nhôù: cos ñoái, sin buø, tang sai π ; phuï cheùo) a. Ñoái nhau: α vaø −α sin ( −α ) = − sin α cos ( −α ) = cos α tg ( −α ) = −tg ( α ) cot g ( −α ) = − cot g ( α )
  2. b. Buø nhau: α vaø π − α sin ( π − α ) = sin α cos ( π − α ) = − cos α tg ( π − α ) = −tgα cot g ( π − α ) = − cot gα c. Sai nhau π : α vaø π + α sin ( π + α ) = − sin α cos ( π + α ) = −cosα tg ( π + α ) = t gα cot g ( π + α ) = cot gα π d. Phuï nhau: α vaø −α 2 ⎛π ⎞ sin ⎜ − α ⎟ = cos α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cos ⎜ − α ⎟ = sin α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ tg ⎜ − α ⎟ = cot gα ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cot g ⎜ − α ⎟ = tgα ⎝2 ⎠ π π e.Sai nhau : α vaø + α 2 2 ⎛π ⎞ sin ⎜ + α ⎟ = cos α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cos ⎜ + α ⎟ = − sin α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ tg ⎜ + α ⎟ = − cot gα ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cot g ⎜ + α ⎟ = − tgα ⎝2 ⎠
  3. f. sin ( x + kπ ) = ( −1) sin x, k ∈ Z k cos ( x + kπ ) = ( −1) cos x, k ∈ Z k tg ( x + kπ ) = tgx, k ∈ Z cot g ( x + kπ ) = cot gx V. Coâng thöùc coäng sin ( a ± b ) = sin a cos b ± sin b cosa cos ( a ± b ) = cosa cos b m sin asin b tga ± tgb tg ( a ± b ) = 1 m tgatgb VI. Coâng thöùc nhaân ñoâi sin 2a = 2sin a cosa cos2a = cos2 a − sin 2 a = 1 − 2sin 2 a = 2 cos2 a − 1 2tga tg2a = 1 − tg2 a cot g2 a − 1 cot g2a = 2 cot ga VII. Coâng thöùc nhaân ba: sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a cos3a = 4 cos3 a − 3cosa VIII. Coâng thöùc haï baäc: 1 sin 2 a = (1 − cos2a ) 2 1 cos2 a = (1 + cos2a ) 2 1 − cos2a tg 2 a = 1 + cos2a IX. Coâng thöùc chia ñoâi a Ñaët t = tg (vôùi a ≠ π + k 2 π ) 2
  4. 2t sin a = 1 + t2 1 − t2 cosa = 1 + t2 2t tga = 1 − t2 X. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích a+ b a−b cosa + cos b = 2 cos cos 2 2 a+b a−b cosa − cos b = −2sin sin 2 2 a+ b a−b sin a + sin b = 2 cos sin 2 2 a+b a−b sin a − sin b = 2 cos sin 2 2 sin ( a ± b ) tga ± tgb = cosa cos b sin ( b ± a ) cot ga ± cot gb = sin a.sin b XI. Coâng thöùc bieån ñoåi tích thaønh toång 1 cosa.cos b = ⎡ cos ( a + b ) + cos ( a − b ) ⎦ ⎤ 2⎣ −1 sin a.sin b = ⎡ cos ( a + b ) − cos ( a − b ) ⎦ ⎤ 2 ⎣ 1 sin a.cos b = ⎡sin ( a + b ) + sin ( a − b ) ⎤ 2⎣ ⎦ sin 4 a + cos4 a − 1 2 Baøi 1: Chöùng minh = sin 6 a + cos6 a − 1 3 Ta coù: sin 4 a + cos 4 a − 1 = ( sin 2 a + cos2 a ) − 2sin 2 a cos2 a − 1 = −2sin 2 a cos2 a 2 Vaø: sin 6 a + cos6 a − 1 = ( sin 2 a + cos2 a )( sin 4 a − sin 2 a cos2 a + cos 4 a ) − 1 = sin 4 a + cos 4 a − sin 2 a cos2 a − 1 = (1 − 2sin 2 a cos2 a ) − sin 2 a cos2 a − 1 = −3sin 2 a cos2 a
  5. sin 4 a + cos4 a − 1 −2sin 2 a cos2 a 2 Do ñoù: = = sin 6 a + cos6 a − 1 −3sin 2 a cos2 a 3 1 + cos x ⎡ (1 − cos x ) ⎤ 2 Baøi 2: Ruùt goïn bieåu thöùc A = = ⎢1 + ⎥ sin x ⎢ ⎣ sin 2 x ⎥ ⎦ 1 π Tính giaù trò A neáu cos x = − vaø < x < π 2 2 1 + cos x ⎛ sin x + 1 − 2 cos x + cos2 x ⎞ 2 Ta coù: A = ⎜ ⎟ sin x ⎝ sin 2 x ⎠ 1 + cos x 2 (1 − cos x ) ⇔A= . sin x sin 2 x 2 (1 − cos2 x ) 2sin 2 x 2 ⇔A= = = (vôùi sin x ≠ 0 ) sin 3 x sin 3 x sin x 1 3 Ta coù: sin 2 x = 1 − cos2 x = 1 − = 4 4 π Do: < x < π neân sin x > 0 2 3 Vaäy sin x = 2 2 4 4 3 Do ñoù A = = = sin x 3 3 Baøi 3: Chöùng minh caùc bieåu thöùc sau ñaây khoâng phuï thuoäc x: a. A = 2 cos4 x − sin 4 x + sin 2 x cos2 x + 3sin 2 x 2 cot gx + 1 b. B = + tgx − 1 cot gx − 1 a. Ta coù: A = 2 cos4 x − sin 4 x + sin 2 x cos2 x + 3sin 2 x ⇔ A = 2 cos4 x − (1 − cos2 x ) + (1 − cos2 x ) cos2 x + 3 (1 − cos2 x ) 2 ⇔ A = 2 cos4 x − (1 − 2 cos2 x + cos4 x ) + cos2 x − cos4 x + 3 − 3cos2 x ⇔ A = 2 (khoâng phuï thuoäc x) b. Vôùi ñieàu kieän sin x.cos x ≠ 0,tgx ≠ 1 2 cot gx + 1 Ta coù: B = + tgx − 1 cot gx − 1
  6. 1 +1 2 tgx 2 1 + tgx ⇔B= + = + tgx − 1 1 − 1 tgx − 1 1 − tgx tgx 2 − (1 − tgx ) 1 − tgx ⇔ B= = = −1 (khoâng phuï thuoäc vaøo x) tgx − 1 tgx − 1 Baøi 4: Chöùng minh 1 + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ cos2 b − sin 2 c 2 ⎢1 − 2 ⎥+ 2 2 − cot g 2 b cot g 2 c = cot ga − 1 2sin a ⎢ sin a ⎥ sin bsin c ⎣ ⎦ Ta coù: cos2 b − sin 2 c * − cot g 2 b.cot g 2 c sin b.sin c 2 2 cotg 2 b 1 = − 2 − cot g 2 b cot g 2 c sin c sin b 2 ( ) ( ) = cot g 2 b 1 + cot g 2 c − 1 + cot g 2 b − cot g 2 b cot g 2 c = −1 (1) 1 + cosa ⎡ (1 − cos a ) ⎤ 2 * ⎢1 − ⎥ 2 sin a ⎢ sin 2 a ⎥ ⎣ ⎦ 1 + cosa ⎡ (1 − cos a ) ⎤ 2 = ⎢1 − ⎥ 2 sin a ⎢ 1 − cos2 a ⎥ ⎣ ⎦ 1 + cosa ⎡ 1 − cosa ⎤ = 1− 2sin a ⎢ 1 + cosa ⎥ ⎣ ⎦ 1 + cosa 2 cosa = . = cot ga (2) 2 sin a 1 + cos a Laáy (1) + (2) ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh xong. Baøi 5: Cho ΔABC tuøy yù vôùi ba goùc ñeàu laø nhoïn. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa P = tgA.tgB.tgC Ta coù: A + B = π − C Neân: tg ( A + B) = −tgC tgA + tgB ⇔ = −tgC 1 − tgA.tgB ⇔ tgA + tgB = −tgC + tgA.tgB.tgC Vaäy: P = tgA.tgB.tgC = tgA + tgB + tgC AÙp duïng baát ñaúng thöùc Cauchy cho ba soá döông tgA,tgB,tgC ta ñöôïc tgA + tgB + tgC ≥ 3 3 tgA.tgB.tgC
  7. ⇔ P ≥ 33 P ⇔ 3 P2 ≥ 3 ⇔P≥3 3 ⎧tgA = tgB = tgC ⎪ π Daáu “=” xaûy ra ⇔ ⎨ π ⇔ A=B=C= ⎪0 < A,B,C < 2 3 ⎩ π Do ñoù: MinP = 3 3 ⇔ A = B = C = 3 Baøi 6 : Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa a/ y = 2 sin 8 x + cos4 2x b/ y = 4 sin x − cos x 4 ⎛ 1 − cos 2x ⎞ a/ Ta coù : y = 2 ⎜ ⎟ + cos 2x 4 ⎝ 2 ⎠ Ñaët t = cos 2x vôùi −1 ≤ t ≤ 1 thì 1 4 y = (1 − t ) + t 4 8 1 3 => y ' = − (1 − t ) + 4t 3 2 (1 − t ) = 8t 3 3 Ta coù : y ' = 0 ⇔ 1 − t = 2t 1 ⇔t= 3 1 ⎛1⎞ Ta coù y(1) = 1; y(-1) = 3; y ⎜ ⎟ = 27 ⎝ 3⎠ 1 Do ñoù : Max y = 3 vaø Miny = x∈ x∈ 27 b/ Do ñieàu kieän : sin x ≥ 0 vaø cos x ≥ 0 neân mieàn xaùc ñònh ⎡ π ⎤ D = ⎢ k2π, + k2π ⎥ vôùi k ∈ ⎣ 2 ⎦ Ñaët t = cos x vôùi 0 ≤ t ≤ 1 thì t = cos x = 1 − sin x 4 2 2 Neân sin x = 1 − t4 Vaäy y = 1 − t − t treân D ' = [ 0,1] 8 4 −t 3 Thì y ' = − 1 < 0 ∀t ∈ [ 0; 1) 2. (1 − t 8 ) 4 7 Neân y giaûm treân [ 0, 1 ]. Vaäy : max y = y ( 0 ) = 1, min y = y (1) = −1 x∈ D x∈ D Baøi 7: Cho haøm soá y = sin4 x + cos4 x − 2m sin x cos x Tìm giaù trò m ñeå y xaùc ñònh vôùi moïi x
  8. Xeùt f (x) = sin 4 x + cos4 x − 2m sin x cos x f ( x ) = ( sin 2 x + cos2 x ) − m sin 2x − 2 sin 2 x cos2 x 2 1 f ( x) = 1 − sin2 2x − m sin 2x 2 Ñaët : t = sin 2x vôùi t ∈ [ −1, 1] y xaùc ñònh ∀x ⇔ f ( x ) ≥ 0∀x ∈ R 1 2 ⇔ 1− t − mt ≥ 0 ∀t ∈ [ −1,1] 2 ⇔ g ( t ) = t 2 + 2mt − 2 ≤ 0 ∀t ∈ [ −1, 1] Do Δ ' = m2 + 2 > 0 ∀m neân g(t) coù 2 nghieäm phaân bieät t1, t2 Luùc ñoù t t1 t2 g(t) + 0 - 0 Do ñoù : yeâu caàu baøi toaùn ⇔ t1 ≤ −1 < 1 ≤ t 2 ⎧1g ( −1) ≤ 0 ⎪ ⎧−2m − 1 ≤ 0 ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⎪1g (1) ≤ 0 ⎩ ⎩2m − 1 ≤ 0 ⎧ −1 ⎪m ≥ 2 ⎪ 1 1 ⇔⎨ ⇔− ≤m≤ ⎪m ≤ 1 2 2 ⎪ ⎩ 2 Caùch khaùc : g ( t ) = t 2 + 2mt − 2 ≤ 0 ∀t ∈ [ −1,1] ⇔ max g (t ) ≤ 0 ⇔ max { g (−1), g (1)} ≤ 0 t ∈[ −1,1 ] ⎧ −1 ⎪m ≥ 2 ⎪ ⇔ max {−2m − 1),− 2m + 1)} ≤ 0 ⇔ ⎨ ⎪m ≤ 1 ⎪ ⎩ 2 1 1 ⇔− ≤m≤ 2 2 π 3π 5π 7π 3 Baøi 8 : Chöùng minh A = sin4 + sin4 + sin4 + sin4 = 16 16 16 16 2 7π ⎛π π ⎞ π Ta coù : sin = sin ⎜ − ⎟ = cos 16 ⎝ 2 16 ⎠ 16 5π ⎛ π 5π ⎞ 3π sin = cos ⎜ − ⎟ = cos 16 ⎝ 2 16 ⎠ 16 Maët khaùc : sin 4 α + cos4 α = ( sin 2 α + cos2 α ) − 2 sin 2 α cos2 α 2 = 1 − 2sin2 α cos2 α 1 = 1 − sin2 2α 2
  9. π 7π 3π 5π Do ñoù : A = sin4 + sin4 + sin4 + sin4 16 16 16 16 ⎛ π π ⎞ ⎛ 4 3π 3π ⎞ = ⎜ sin 4 + cos4 ⎟ + ⎜ sin + cos4 ⎟ ⎝ 16 16 ⎠ ⎝ 16 16 ⎠ ⎛ 1 π⎞ ⎛ 1 3π ⎞ = ⎜ 1 − sin 2 ⎟ + ⎜ 1 − sin 2 ⎟ ⎝ 2 8⎠ ⎝ 2 8 ⎠ 1⎛ π 3π ⎞ = 2 − ⎜ sin 2 + sin 2 ⎟ 2⎝ 8 8 ⎠ 1⎛ π π⎞ ⎛ 3π π⎞ = 2 − ⎜ sin 2 + cos2 ⎟ ⎜ do sin = cos ⎟ 2⎝ 8 8⎠ ⎝ 8 8⎠ 1 3 = 2− = 2 2 Baøi 9 : Chöùng minh : 16 sin 10o .sin 30o .sin 50o .sin 70o = 1 A cos 10o 1 Ta coù : A = = (16sin10ocos10o)sin30o.sin50o.sin70o cos 10 o cos 10 o 1 ⎛1⎞ o ( ⇔ A= 8 sin 20o ) ⎜ ⎟ cos 40o . cos 20o cos 10 ⎝2⎠ 1 o ( ⇔ A= 4 sin 200 cos 20o ) . cos 40o cos10 1 o ( ⇔ A= 2 sin 40o ) cos 40o cos10 1 cos 10o ⇔ A= sin 80 =o =1 cos10o cos 10o A B B C C A Baøi 10 : Cho ΔABC . Chöùng minh : tg tg + tg tg + tg tg = 1 2 2 2 2 2 2 A+B π C Ta coù : = − 2 2 2 A+B C Vaäy : tg = cot g 2 2 A B tg + tg ⇔ 2 2 = 1 A B C 1 − tg .tg tg 2 2 2 ⎡ A B⎤ C A B ⇔ ⎢ tg + tg ⎥ tg = 1 − tg tg ⎣ 2 2⎦ 2 2 2 A C B C A B ⇔ tg tg + tg tg + tg tg = 1 2 2 2 2 2 2 π π π π Baøi 11 : Chöùng minh : 8 + 4tg + 2tg + tg = cot g ( *) 8 16 32 32
  10. 1 1 1 1⎡ A B C A B C⎤ + + = ⎢ tg + tg + tg + cot g + cot g + cot g ⎥ sin A sin B sin C 2 ⎣ 2 2 2 2 2 2⎦ A B C A B C Ta coù : cot g + cot g + cot g = cot g .cot g .cot g 2 2 2 2 2 2 (Xem chöùng minh baøi 19g ) sin α cos α 2 Maët khaùc : tgα + cot gα = + = cos α sin α sin 2α 1⎡ A B C A B C⎤ Do ñoù : ⎢ tg + tg + tg + cotg + cotg + cotg ⎥ 2⎣ 2 2 2 2 2 2⎦ 1⎡ A B C⎤ 1 ⎡ A B C⎤ = ⎢ tg + tg + tg ⎥ + ⎢cotg + cotg + cotg ⎥ 2⎣ 2 2 2⎦ 2 ⎣ 2 2 2⎦ 1⎡ A A⎤ 1 ⎡ B B⎤ 1 ⎡ C C⎤ = ⎢ tg + cot g ⎥ + ⎢ tg + cot g ⎥ + ⎢ tg + cot g ⎥ 2⎣ 2 2⎦ 2⎣ 2 2⎦ 2⎣ 2 2⎦ 1 1 1 = + + sin A sin B sin C BAØI TAÄP 1. Chöùng minh : π 2π 1 a/ cos − cos = 5 5 2 cos15 + sin15 o o b/ = 3 cos15o − sin15o 2π 4π 6π 1 c/ cos + cos + cos =− 7 7 7 2 d/ sin 2x sin 6x + cos 2x.cos 6x = cos3 4x 3 3 e/ tg20o.tg40o.tg60o.tg80o = 3 π 2π 5π π 8 3 π f/ tg + tg + tg + tg = cos 6 9 18 3 3 9 π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 1 g/ cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos = 15 15 15 15 15 15 15 27 ⎡π ⎤ ⎡π ⎤ h/ tgx.tg ⎢ − x ⎥ .tg ⎢ + x ⎥ = tg3x ⎣3 ⎦ ⎣3 ⎦ k/ tg20o + tg40o + 3tg20o.tg40o = 3 3 e/ sin 20o.sin 40o.sin 80o = 8 m/ tg5 .tg55 .tg65 .tg75 = 1 o o o o ⎧sin x = 2 sin ( x + y ) ⎪ 2. Chöùng minh raèng neáu ⎨ π ⎪ x + y ≠ ( 2k + 1) ( k ∈ z ) ⎩ 2 sin y thì tg ( x + y ) = cos y − 2 3. Cho ΔABC coù 3 goùc ñeàu nhoïn vaø A ≥ B ≥ C
  11. a/ Chöùng minh : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC b/ Ñaët tgA.tgB = p; tgA.tgC = q Chöùng minh (p-1)(q-1) ≥ 4 4. Chöùng minh caùc bieåu thöùc khoâng phuï thuoäc x : a/ A = sin 4 x (1 + sin 2 x ) + cos4 x (1 + cos2 x ) + 5 sin 2 x cos2 x + 1 b/ B = 3 ( sin 8 x − cos8 x ) + 4 ( cos6 x − 2 sin 6 x ) + 6 sin 4 x c/ C = cos2 ( x − a ) + sin2 ( x − b ) − 2 cos ( x − a ) sin ( x − b ) sin ( a − b ) 5. Cho ΔABC , chöùng minh : cos C cos B a/ cot gB + = cot gC + sin B cos A sin C cos A A B C 3A 3B 3C b/ sin3 A + sin3 B + sin3 C = 3cos cos cos + cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A B−C B A−C c/ sin A + sin B + sin C = cos .cos + cos .cos 2 2 2 2 C A−B + cos .cos 2 2 d/ cotgAcotgB + cotgBcotgC + cotgCcotgA = 1 e/ cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 − 2 cos A cos B cos C f/ sin3Asin(B- C)+ sin3Bsin(C- A)+ sin3Csin(A- B) = 0 6. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa : 1 1 π a/ y = + vôùi 0 < x < sin x cos x 2 9π b/ y = 4x + + sin x vôùi 0 < x < ∞ x c/ y = 2 sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 7. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa : a/ y = sin x cos x + cos x sin x b/ y = sinx + 3sin2x c/ y = cos x + 2 − cos2 x TT luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn
  12. Chöông 2: PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏ N G GIAÙ C CÔ BAÛ N ⎡ u = v + k2π sin u = sin v ⇔ ⎢ ⎣ u = π − v + k2π cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π ⎧ π ⎪u ≠ + kπ tgu = tgv ⇔ ⎨ 2 ( k, k ' ∈ Z ) ⎪u = v + k ' π ⎩ ⎧u ≠ kπ cot gu = cot gv ⇔ ⎨ ⎩u = v + k ' π π Ñaë c bieä t : sin u = 0 ⇔ u = kπ cos u = 0 ⇔ u = + kπ 2 π sin u = 1 ⇔ u = + k2π ( k ∈ Z) cos u = 1 ⇔ u = k2π ( k ∈ Z ) 2 π sin u = −1 ⇔ u = − + k2π cos u = −1 ⇔ u = π + k2π 2 Chuù yù : sin u ≠ 0 ⇔ cos u ≠ ±1 cos u ≠ 0 ⇔ sin u ≠ ±1 Baø i 28 : (Ñeà thi tuyeå n sinh Ñaï i hoï c khoá i D, naê m 2002) Tìm x ∈ [ 0,14 ] nghieä m ñuù ng phöông trình cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0 ( * ) Ta coù (*) : ⇔ ( 4 cos3 x − 3 cos x ) − 4 ( 2 cos2 x − 1) + 3 cos x − 4 = 0 ⇔ 4 cos3 x − 8 cos2 x = 0 ⇔ 4 cos2 x ( cos x − 2 ) = 0 ⇔ cos x = 0 hay cos x = 2 ( loaïi vì cos x ≤ 1) π ⇔ x= + kπ ( k ∈ Z ) 2 π Ta coù : x ∈ [ 0,14] ⇔ 0 ≤ + kπ ≤ 14 2 π π 1 14 1 ⇔ − ≤ kπ ≤ 14 − ⇔ −0, 5 = − ≤ k ≤ − ≈ 3, 9 2 2 2 π 2 ⎧ π 3π 5π 7π ⎫ Maø k ∈ Z neâ n k ∈ {0,1, 2, 3} . Do ñoù : x ∈ ⎨ , , , ⎬ ⎩2 2 2 2 ⎭ Baø i 29 : (Ñeà thi tuyeå n sinh Ñaï i hoï c khoá i D, naê m 2004) Giaû i phöông trình : ( 2 cos x − 1)( 2 sin x + cos x ) = sin 2x − sin x ( *)
  13. Ta coù (*) ⇔ ( 2 cos x − 1)( 2 sin x + cos x ) = sin x ( 2 cos x − 1) ⇔ ( 2 cos x − 1) ⎡( 2 sin x + cos x ) − sin x ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ ( 2 cos x − 1)( sin x + cos x ) = 0 1 ⇔ cos x = ∨ sin x = − cos x 2 π ⎛ π⎞ ⇔ cos x = cos ∨ tgx = −1 = tg ⎜ − ⎟ 3 ⎝ 4⎠ π π ⇔ x = ± + k2π ∨ x = − + kπ, ( k ∈ Z ) 3 4 Baø i 30 : Giaû i phöông trình cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0 (*) Ta coù (*) ⇔ ( cos x + cos 4x ) + ( cos 2x + cos 3x ) = 0 5x 3x 5x x ⇔ 2 cos .cos + 2 cos .cos = 0 2 2 2 2 5x ⎛ 3x x⎞ ⇔ 2 cos ⎜ cos + cos ⎟ = 0 2 ⎝ 2 2⎠ 5x x ⇔ 4 cos cos x cos = 0 2 2 5x x ⇔ cos = 0 ∨ cos x = 0 ∨ cos = 0 2 2 5x π π x π ⇔ = + kπ ∨ x = + kπ ∨ = + kπ 2 2 2 2 2 π 2kπ π ⇔ x= + ∨ x = + kπ ∨ x = π + 2π, ( k ∈ Z ) 5 5 2 Baø i 31: Giaûi phöông trình sin 2 x + sin 2 3x = cos2 2x + cos2 4x ( * ) 1 1 1 1 Ta coù (*) ⇔ (1 − cos 2x ) + (1 − cos 6x ) = (1 + cos 4x ) + (1 + cos 8x ) 2 2 2 2 ⇔ − ( cos 2x + cos 6x ) = cos 4x + cos 8x ⇔ −2 cos 4x cos 2x = 2 cos 6x cos 2x ⇔ 2 cos 2x ( cos 6x + cos 4x ) = 0 ⇔ 4 cos 2x cos 5x cos x = 0 ⇔ cos 2x = 0 ∨ cos 5x = 0 ∨ cos x = 0 π π π ⇔ 2x = + kπ ∨ 5x + kπ ∨ x = + kπ, k ∈ 2 2 2 π kπ π kπ π ⇔ x= + ∨x= + ∨ x = + kπ , k ∈ 4 2 10 5 2 Baø i 32 : Cho phöông trình ⎛π x⎞ 7 sin x.cos 4x − sin 2 2x = 4 sin 2 ⎜ − ⎟ − ( *) ⎝4 2⎠ 2 Tìm caù c nghieä m cuû a phöông trình thoû a : x − 1 < 3
  14. 1 ⎡ π ⎤ 7 Ta coù : (*)⇔ sin x.cos 4x − (1 − cos 4x ) = 2 ⎢1 − cos ⎛ − x ⎞ ⎥ − ⎜ ⎟ 2 ⎣ ⎝2 ⎠⎦ 2 1 1 3 ⇔ sin x cos 4x − + cos 4x = − − 2sin x 2 2 2 1 ⇔ sin x cos 4x + cos 4x + 1 + 2sin x = 0 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⇔ cos 4x ⎜ sin x + ⎟ + 2 ⎜ sin x + ⎟ = 0 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎛ 1⎞ ⇔ ( cos 4x + 2) ⎜ sin x + ⎟ = 0 ⎝ 2⎠ ⎡cos 4x = −2 ( loaïi ) ⎡ π ⎢ ⎢ x = − 6 + k 2π ⇔ ⎢sin x = − 1 = sin ⎛ − π ⎞ ⇔ ⎢ ⎢ ⎜ ⎟ ⎢ x = 7π + 2hπ ⎣ 2 ⎝ 6⎠ ⎢ ⎣ 6 Ta coù : x − 1 < 3 ⇔ −3 < x − 1 < 3 ⇔ −2 < x < 4 π Vaä y : −2 < − + k2π < 4 6 π π 1 1 2 1 ⇔ − 2 < 2kπ < 4 + ⇔ −
  15. 3 ⇔ sin 4x = sin3 4x 4 ⇔ 3sin 4x − 4 sin3 4x = 0 ⇔ sin12x = 0 kπ ⇔ 12x = kπ ⇔ x= ( k ∈ Z) 12 Baø i 34 : (Ñeà thi tuyeå n sinh Ñaï i hoï c khoá i B, naê m 2002) Giaû i phöông trình : sin 2 3x − cos2 4x = sin 2 5x − cos2 6a ( * ) Ta coù : (*)⇔ 1 1 1 1 (1 − cos 6x ) − (1 + cos 8x ) = (1 − cos10x ) − (1 + cos12x ) 2 2 2 2 ⇔ cos 6x + cos 8x = cos10x + cos12x ⇔ 2 cos7x cos x = 2 cos11x cos x ⇔ 2 cos x ( cos 7x − cos11x ) = 0 ⇔ cos x = 0 ∨ cos7x = cos11x π ⇔ x = + kπ ∨ 7x = ±11x + k 2π 2 π kπ kπ ⇔ x = + kπ ∨ x = − ∨x= ,k ∈ 2 2 9 Baø i 35 : Giaû i phöông trình ( sin x + sin 3x ) + sin 2x = ( cos x + cos 3x ) + cos 2x ⇔ 2sin 2x cos x + sin 2x = 2 cos 2x cos x + cos 2x ⇔ sin 2x ( 2 cos x + 1) = cos 2x ( 2 cos x + 1) ⇔ ( 2 cos x + 1) ( sin 2x − cos 2x ) = 0 1 2π ⇔ cos x = −= cos ∨ sin 2x = cos 2x 2 3 2π π ⇔ x=± + k2π ∨ tg2x = 1 = tg 3 4 2π π π ⇔ x=± + k2π ∨ x = + k , ( k ∈ Z ) 3 8 2 Baø i 36: Giaû i phöông trình cos 10x + 2 cos2 4x + 6 cos 3x. cos x = cos x + 8 cos x. cos3 3x ( * ) Ta coù : (*)⇔ cos10x + (1 + cos 8x ) = cos x + 2 cos x ( 4 cos3 3x − 3 cos 3x ) ⇔ ( cos10x + cos 8x ) + 1 = cos x + 2 cos x.cos 9x ⇔ 2 cos 9x cos x + 1 = cos x + 2 cos x.cos 9x ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k2π ( k ∈ Z ) Baø i 37 : Giaû i phöông trình
  16. 4 sin 3 x + 3 cos3 x − 3sin x − sin 2 x cos x = 0 ( * ) Ta coù : (*) ⇔ sin x ( 4 sin 2 x − 3) − cos x ( sin 2 x − 3 cos2 x ) = 0 ⇔ sin x ( 4 sin 2 x − 3) − cos x ⎡sin 2 x − 3 (1 − sin 2 x ) ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ ( 4 sin x − 3) ( sin x − cos x ) = 0 2 ⇔ ⎡ 2 (1 − cos 2x ) − 3⎤ ( sin x − cos x ) = 0 ⎣ ⎦ ⎡ 1 2π cos 2x = − = cos ⇔ ⎢ 2 3 ⎢ ⎣sin x = cos x ⎡ π ⎡ 2π ⎢ x = ± + kπ ⇔ ⎢2x = ± 3 + k2π ⇔ ⎢ 3 ( k ∈ Z) ⎢ ⎢ x = π + kπ ⎣ tgx = 1 ⎢ ⎣ 4 Baø i 38 : (Ñeà thi tuyeå n sinh Ñaï i hoï c khoá i B naê m 2005) Giaû i phöông trình : sin x + cos x + 1 + sin 2x + cos 2x = 0 ( * ) Ta coù : (*) ⇔ sin x + cos x + 2sin x cos x + 2 cos2 x = 0 ⇔ sin x + cos x + 2 cos x ( sin x + cos x ) = 0 ⇔ ( sin x + cos x ) (1 + 2 cos x ) = 0 ⎡sin x = − cos x ⇔ ⎢ ⎢cos 2x = − 1 = cos 2π ⎣ 2 3 ⎡ tgx = −1 ⇔ ⎢ ⎢ x = ± 2π + k 2π ⎣ 3 ⎡ π ⎢ x = − 4 + kπ ⇔ ⎢ ( k ∈ Z) ⎢ x = ± 2π + k2π ⎢ ⎣ 3 Baø i 39 : Giaû i phöông trình ( 2 sin x + 1)( 3 cos 4x + 2 sin x − 4 ) + 4 cos2 x = 3 ( *) Ta coù : (*) ⇔ ( 2 sin x + 1)( 3 cos 4x + 2 sin x − 4 ) + 4 (1 − sin 2 x ) − 3 = 0 ⇔ ( 2 sin x + 1)( 3 cos 4x + 2 sin x − 4 ) + (1 + 2 sin x )(1 − 2 sin x ) = 0 ⇔ ( 2 sin x + 1) ⎡ 3 cos 4x + 2 sin x − 4 + (1 − 2 sin x ) ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ 3 ( cos 4x − 1)( 2 sin x + 1) = 0 1 ⎛ π⎞ ⇔ cos 4x = 1 ∨ sin x = − = sin ⎜ − ⎟ 2 ⎝ 6⎠
  17. π 7π ⇔ 4x = k2π ∨ x = − + k2π ∨ x = + k2π 6 6 kπ π 7π ⇔ x= ∨ x = − + k2π ∨ x = + k2π, ( k ∈ Z) 2 6 6 Baø i 40: Giaû i phöông trình sin 6 x + cos6 x = 2 ( sin 8 x + cos8 x ) ( * ) Ta coù : (*) ⇔ sin6 x − 2sin8 x + cos6 x − 2 cos8 x = 0 ⇔ sin 6 x (1 − 2 sin 2 x ) − cos6 x ( 2 cos2 x − 1) = 0 ⇔ sin6 x cos 2x − cos6 x. cos 2x = 0 ⇔ cos 2x ( sin 6 x − cos6 x ) = 0 ⇔ cos 2x = 0 ∨ sin6 x = cos6 x ⇔ cos 2x = 0 ∨ tg 6 x = 1 π ⇔ 2x = ( 2k + 1) ∨ tgx = ±1 2 π π ⇔ x = ( 2k + 1) ∨ x = ± + kπ 4 4 π kπ ⇔ x= + ,k ∈ 4 2 Baø i 41 : Giaû i phöông trình 1 cos x.cos 2x.cos 4x.cos 8x = ( *) 16 Ta thaá y x = kπ khoâ n g laø nghieä m cuû a (*) vì luù c ñoù cos x = ±1, cos 2x = cos 4x = cos 8x = 1 1 (*) thaøn h : ±1 = voâ nghieä m 16 Nhaâ n 2 veá cuû a (*) cho 16sin x ≠ 0 ta ñöôï c (*) ⇔ (16 sin x cos x ) cos 2x.cos 4x.cos 8x = sin x vaø sin x ≠ 0 ⇔ ( 8 sin 2x cos 2x ) cos 4x.cos 8x = sin x vaø sin x ≠ 0 ⇔ ( 4 sin 4x cos 4x ) cos 8x = sin x vaø sin x ≠ 0 ⇔ 2sin 8x cos 8x = sin x vaø sin x ≠ 0 ⇔ sin16x = sin x vaø sin x ≠ 0 k2π π kπ ⇔x = ∨x= + , ( k ∈ Z) 15 17 17 Do : x = hπ khoâ n g laø nghieä m neâ n k ≠ 15m vaø 2k + 1 ≠ 17n ( n, m ∈ Z ) Baø i 42: Giaû i phöông trình 8cos ⎛ x + π⎞ = cos 3x ( * ) 3 ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ π π Ñaët t = x + ⇔x=t− 3 3
  18. Thì cos 3x = cos ( 3t − π ) = cos ( π − 3t ) = − cos 3t Vaä y (*) thaø n h 8 cos3 t = − cos 3t ⇔ 8 cos3 t = −4 cos3 t + 3 cos t ⇔ 12 cos3 t − 3 cos t = 0 ⇔ 3 cos t ( 4 cos2 t − 1) = 0 ⇔ 3 cos t ⎡2 (1 + cos 2t ) − 1⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ cos t ( 2 cos 2t + 1) = 0 1 2π ⇔ cos t = 0 ∨ cos 2t = − = cos 2 3 π 2π ⇔ t = ( 2k + 1) ∨ 2t = ± + k2π 2 3 π π ⇔ t = + kπ ∨ t = ± + kπ 2 3 π Maø x = t − 3 π 2π Vaä y (*) ⇔ x = + k2π ∨ x = kπ ∨ x = + kπ, ( vôùik ∈ Z ) 6 3 Ghi chuù : Khi giaû i caù c phöông trình löôï n g giaù c coù chöù a tgu, cotgu, coù aå n ôû maã u , hay chöù a caê n baä c chaü n ... ta phaû i ñaë t ñieà u kieä n ñeå phöông trình xaù c ñònh. Ta seõ duø n g caù c caù c h sau ñaâ y ñeå kieå m tra ñieà u kieä n xem coù nhaä n nghieä m hay khoâ n g. + Thay caùc giaù trò x tìm ñöôï c vaø o ñieà u kieä n thöû laï i xem coù thoû a Hoaë c + Bieå u dieã n caù c ngoï n cung ñieà u kieä n vaø caù c ngoï n cung tìm ñöôïc treâ n cuø n g moä t ñöôø n g troø n löôï n g giaù c . Ta seõ loaï i boû ngoï n cung cuû a nghieä m khi coù truø n g vôù i ngoï n cung cuû a ñieà u kieä n . Hoaë c + So vôi caù c ñieà u kieä n trong quaù trình giaûi phöông trình. Baø i 43 : Giaû i phöông trình tg 2 x − tgx.tg3x = 2 ( * ) ⎧cos x ≠ 0 π hπ Ñieà u kieä n ⎨ ⇔ cos3x ≠ 0 ⇔ x ≠ + ⎩cos 3x = 4 cos x − 3 cos x ≠ 0 3 6 3 Luù c ñoù ta coù (*) ⇔ tgx ( tgx − tg3x ) = 2 sin x ⎛ sin x sin 3x ⎞ ⇔ ⎜ − ⎟=2 cos x ⎝ cos x cos 3x ⎠ ⇔ sin x ( sin x cos 3x − cos x sin 3x ) = 2 cos2 x cos 3x ⇔ sin x sin ( −2x ) = 2 cos2 x. cos 3x ⇔ −2 sin2 x cos x = 2 cos2 x cos 3x ⇔ − sin2 x = cos x cos 3x (do cos x ≠ 0 ) 1 1 ⇔ − (1 − cos 2x ) = ( cos 4x + cos 2x ) 2 2 ⇔ cos 4x = −1 ⇔ 4x = π + k2π
  19. ⎛π ⎞ 1. Tìm caù c nghieä m treâ n ⎜ , 3π ⎟ cuû a phöông trình: ⎝3 ⎠ ⎛ 5π ⎞ ⎛ 7π ⎞ sin ⎜ 2x + ⎟ − 3 cos ⎜ x − ⎟ = 1 + 2 sin x ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ π⎞ 2. Tìm caù c nghieä m x treâ n ⎜ 0, ⎟ cuû a phöông trình ⎝ 2⎠ sin 4x − cos 6x = sin (10, 5π + 10x ) 2 2 3. Giaû i caù c phöông trình sau: ( a/ sin 3 x + cos3 x = 2 sin5 x + cos5 x ) sin x + sin 2x + sin 3x b/ = 3 cos x + cos 2x + cos 3x 1 + cos x c/ tg 2 x = 1 − sin x d/ tg2x − tg3x − tg5x = tg2x.tg3x.tg5x 4 e/ cos x = cos2 x 3 ⎛ π⎞ 1 1 f/ 2 2 sin ⎜ x + ⎟ = + ⎝ 4 ⎠ sin x cos x 2 i/ 2tgx + cot g2x = 3 + sin 2x 2 h/ 3tg3x + cot g2x = 2tgx + sin 4x 2 2 2 k/ sin x + sin 2x + sin 3x = 2 sin 2x l/ + 2 cos x = 0 1 + sin x m/ 25 − 4x 2 ( 3sin 2πx + 8 sin πx ) = 0 sin x.cot g5x n/ =1 cos 9x 2 o/ 3tg6x − = 2tg2x − cot g4x sin 8x ( p/ 2 sin 3x 1 − 4 sin 2 x = 1 ) 1 + cos x q/ tg 2 x = 1 − sin x 2 r/ cos3 x cos 3x + sin 3 x sin 3x = 4 ⎛x⎞ ⎛x⎞ 5 s/ sin4 ⎜ ⎟ + cos4 ⎜ ⎟ = ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 8 t/ cos x − 4 sin x − 3 cos x sin2 x + sin x = 0 3 3 x x u/ sin4 + cos4 = 1 − 2sin x 2 2
  20. ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ v/ sin ⎜ 3x − ⎟ = sin 2x.sin ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 4 w/ tg x + 1 = ( 2 − sin x ) sin 3x 2 cos4 x ⎛ x ⎞ y/ tgx + cos x − cos2 x = sin x ⎜ 1 + tg tgx ⎟ ⎝ 2 ⎠ 4. Cho phöông trình: ( 2 sin x − 1)( 2 cos 2x + 2 sin x + m ) = 3 − 4 cos2 x (1) a/ Giaû i phöông trình khi m = 1 b/ Tìm m ñeå (1) coù ñuù n g 2 nghieä m treâ n [ 0, π ] ( ÑS: m = 0 ∨ m < −1 ∨ m > 3 ) 5. Cho phöông trình: 4 cos5 x sin x − 4 sin5 x.cos x = sin2 4x + m (1) Bieá t raè n g x = π laø moä t nghieä m cuû a (1). Haõ y giaû i phöông trình trong tröôø n g hôï p ñoù . Th.S Phạm Hồng Danh TT luyện thi Đại học CLC Vĩnh Viễn
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2