Căn bậc hai và hàm đẳng thức

Chia sẻ: Tran Van Tam Tam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

841
lượt xem 101
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo - Căn bậc hai và hằng đẳng thức

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Căn bậc hai và hàm đẳng thức

§2. Caên thöùc baäc haivaø haèng ñaúng thöùc A2 = A Ñònh lí: Vôùi moïi soá thöïc a, ta coù a2 = a . Chöùng minh: Theo ñònh nghóa caên baäc hai soá hoïc, ta phaûi chöùng minh ( a )2 = a 2 vaø a ≥ 0 . Thaät vaäy : Neáu a ≥ 0, ta coù a = a neân ( a ) 2 = a 2 Neáu a < 0, ta coù a = − a neân ( a ) 2 = (− a) 2 = a 2 Do ñoù, ( a ) 2 = a2 vôùi moïi a. Maø theo ñònh nghóa giaù trò tuyeät ñoái thì a ≥ 0 . Vaäy : a2 = a Baøi taäp 6. Tìm ñieàu kieän cuûa x ñeå caùc caên baäc hai sau coù nghóa a. − x2 − x−5 b. − x 2 + 6x + 7 c. 2 d. x 2 − 2x + 1 x2 + 4 e. Giaûi − x 2 coù nghóa ⇔ − x 2 ≥ 0 . Maø x 2 ≥ 0∀x . Vaäy x = 0 a. ⇔ − x−5 ≥ 0 − x−5 b. coù nghóa . x−5 ≤ 0 ⇔ x =5 − x−5 Vaäy coù nghóa khi x = 5 − x 2 + 6x + 7 coù nghóa c. 6
⇔ − x2 + 6x + 7 ≥ 0 ⇔ ( x + 1)( x − 7 ) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 7 2 x 2 − 2 x + 1 coù nghóa d. ⇔ x2 − 2x + 1 ≥ 0 ⇔ ( x − 1) ≥ 0 2 Ta ñöôïc moät BÑT luoân ñuùng vôùi moïi x , vaäy caên thöùc treân luoân xaùc ñònh vôùi moïi x ∈ R e. Ta coù : x + 4 > 0 , ∀x . Vaäy caên thöùc naøy luoân xaùc ñònh vôùi 2 moïi x ∈ R 7. Tính b. a. 4 + 2 3 7−4 3 Giaûi ( ) 2 a. 4 + 2 3 = 3 + 2 3 +1 = 3 +1 = 3 +1 (do 3 +1 > 0 ) (2 − 3 ) 2 b. 7 − 4 3 = 22 − 2.2 3 + 3 = = 2− 3 (do 2 − 3 > 0 ) 8. Ruùt goïn : x 2 + 2x + 1 ( x + 1) a. A = − 2 x +1 b. B = x − 4 + x + 8 x + 16 2 4 2 Giaûi x +1 x +1 − a. A = x +1 7
x +1 ⎧ x +1− khi x > -1 ⎪ ⎪ x +1 =⎨ ⎪− x − 1 + x + 1 khi x − 1 =⎨ ⎩-x khi x < -1 b. B = x 2 − 4 + x 4 + 8 x 2 + 16 x 2 − 4 + x 4 + 8 x 2 + 16 = x 2 − 4 + x 2 + 4 = x 2 − 4 + x 2 + 4 (do x2 + 4 >0) = 2x2 9. Tìm x bieát: a) x2 = 7 b) x2 = − 8 c) d) x 2 = 3x – 8. x4 = 9 Giaûi a. x 2 = 7 ⇔ x = 7 ⇔ x = ±7 b. x 2 = −8 ⇔ x = 8 ⇔ x = ±8 c. x4 = 9 ⇔ x2 = 9 ⇔ x = ± 3 ⎡ x = 3x − 8 ⎡x = 4 d.x 2 = 3x – 8 ⇔ x = 3 x − 8 ⇔ ⎢ ⇔⎢ ⎣ x = −3 x + 8 ⎣x = 2 10. Chöùng toû: 4 + 1 = 4 −1 9 + 4 =9−4 16 + 9 = 16 − 9 Haõy vieát tieáp 25 + 16 = 36 + 25 = Giaûi ( )( ) = 4 − 1 = 4 − 1 = VP 4+ 1 4− 1 Ta coù : 4+ 1= ( ) 2 −1 4− 1 Töông töï caùc em chöùng minh caùc ñaúng thöùc tieáp theo 8
Luyeän taäp 11. Tính a) 16 25 + 196 : 49 b) 36 : 2.3 2.18 − 169 c) 81 d) 32 + 4 2 Giaûi a) 16 25 + 196 : 49 = 4.5 + 14 : 7 = 10 b) 36 : 2.32.18 − 169 = 36 : 32.62 − 13 = −11 c) 81 = 9 = 3 d) 32 + 42 = 25 = 5 12. Tìm x ñeå caên thöùc sau coù nghóa a) 2 x + 7 b) − 3 x + 4 1 c) d) 1 + x 2 −1+ x Giaûi 7 a. 2 x + 7 coù nghóa khi 2 x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ − 2 4 b. − 3x + 4 coù nghóa khi −3x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≤ 3 ⎧1 ≥0 ⎪ 1 c. coù nghóa khi ⎨ −1 + x ⇔ −1 + x > 0 ⇔ x > 1 −1+ x ⎪ −1 + x ≠ 0 ⎩ d. 1 + x 2 luoân luoân ñöôïc xaùc ñònh do 1 + x2 > 0 ∀x 13. Ruùt goïn a) 2 a 2 −5a vôùi a < 0 b) 25a 2 + 3a vôùi a ≥ 0 9a 4 + 3a2 vôùi a baát kì c) d) 5 4a 6 − 3a3 vôùi a baát kì Giaûi a) 2 a 2 − 5a = 2 a − 5a = −2a − 5a = −7 a (vì a < 0) 9
b) 25a 2 + 3a = 5 a + 3a = 5a + 3a = 8a (vì a ≥ 0) c) 9a 4 + 3a 2 = 3a 2 + 3a 2 = 6a 2 d) 5 4a 6 − 3a 3 = 10 a 3 − 3a 3 ⎡10a 3 − 3a 3 = 7a 3 khi a ≥ 0 =⎢ ⎣ −10a − 3a = −13a khi a < 0 3 3 3 14. Phaân tích thaønh nhaân töû a) x2 – 3 b) x2 – 6 c) x2 + 2 3 x + 3 d) x2 − 2 5 x + 5 Höôùng daãn : x2 – 3 = x2 – ( 3 ) 2 = ( x − 3 )( x + 3 ) Giaûi ( )( ) b. x 2 – 6 = x − 6 x+ 6 3 x + 3=( x + 3) 2 c. x2 + 2 5 x + 5= ( x − 5 ) 2 d. x 2 − 2 15. Giaûi phöông trình a) x2 – 5 = 0 b) x2 – 2 11 x + 11 = 0 c) d) ( x + 2) 2 = 2 x + 1 4x 2 = x + 2 Giaûi 2 a. x – 5 = 0 ⇔ x 2 = 5 ⇔ x = ± 5 ( ) 2 b. x2 – 2 11 x + 11 = 0 ⇔ x − 11 = 0 ⇔ x = 11 ⎧⎡2 x = x + 2 ⎪ 4 x2 = x + 2 ⇔ 2 x = x + 2 ⇔ ⎨⎢2 x = − x − 2 c. ⎣ ⎪x + 2 ≥ 0 ⎩ ⎧⎡ x = 2 ⎡x = 2 ⎪⎢ ⎪⎢ ⇔⎨ x=− ⇔⎢ 2 ⎢x = − 2 ⎪⎢⎣ 3 ⎢ ⎣ 3 ⎪ x ≥ −2 ⎩ 2 Keát luaän : x =2 hay x= − 3 10
d. ( x + 2) 2 = 2 x + 1 ⇔ x + 2 = 2 x + 1 ⎧⎡ x = 1 ⎧⎡ x + 2 = 2 x + 1 ⎪ ⎪ ⎢ x = −1 ⎪⎢ ⇔ ⎨ ⎣ x + 2 = −2 x − 1 ⇔ ⎨ ⎣ ⇔ x =1 ⎪ ⎪ 1 ⎩2 x + 1 ≥ 0 x≥− ⎪ ⎩ 2 16. Ñoá: Haõy tìm choã sai trong pheùp chöùng minh sau: 2 2 ⎛ 5⎞ 5 ⎛5⎞ 25 25 1 ⎜ 3 − ⎟ = 3 − 2.3. + ⎜ ⎟ = 9 − 15 + = −6 + = 2 ⎝ 2⎠ 2 ⎝2⎠ 4 44 2 2 ⎛ 5⎞ 5 ⎛5⎞ 25 25 1 ⎜ 2 − ⎟ = 2 − 2.2. + ⎜ ⎟ = 4 − 10 + = −6 + = 2 ⎝ 2⎠ 2 ⎝2⎠ 4 44 2 2 ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ Vaäy : ⎜ 3 − ⎟ = ⎜ 2 − ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 5 5 Khai phöông hai veá ta coù : 3 − = 2− 2 2 5 Coäng hai veá treân cho ta coù : 3 = 2 !!! 2 Giaûi Baøi toùan sai ôû choã khai phöông hai veá, ta coù 2 ⎛ 5⎞ 5 5 5 ⎜ 3 − ⎟ = 3 − = 3 − ( do 3 − > 0 ) ⎝ 2⎠ 2 2 2 2 ⎛ 5⎞ 5 55 2 − ⎟ = 2 − = − 2 (do 2 − < 0 ) ⎜ ⎝ 2⎠ 22 2 Moät baøi töông töï khaùc Chöùng minh 3 = 4. Hoûi SAI ôû ñaâu ? Giaûi söû a + b = c ⇔ ( 4 − 3) ( a + b ) = ( 4 − 3) c ⇔ 4a − 3a + 4b − 3b = 4c − 3c ⇔ 4a + 4b − 4c = 3a + 3b − 3c ⇔ 4 ( a + b − c) = 3( a + b − c) ⇔4=3 11
BAØI TAÄP TÖÏ GIAÛI Baøi 1 Tìm giaù trò cuûa x ñeå moãi bieåu thöùc sau ñaây coù nghóa : a. d. 4− x − x 2 + 4x − 5 1 b. e. − x 2 + 6x + 7 x2 − 4 1 3 c. f. x( x − 1) 8 − x2 Baøi 2 Phaân tích thaønh nhaân töû : a. a − 9 (vôùi a ≥ 0) c. a 2 − 5 b. 7 − 4 a 2 d. 5 − a (vôùi a ≥ 0) Baøi 3 Tính : a. c. 4+2 3 7−4 3 b. 11 + 6 2 d. 27 − 10 2 Baøi 4 Chöùng minh raèng : ⎧2( x − 1) neáu x ≥ 2 a. x + ( x − 2 )2 = ⎨ ⎩2 neáu x < 2 ⎧− 3 neáu x > 3 b. x 2 − 6 x + 9 − x = ⎨ ⎩- 2x + 3 neáu x ≤ 3 Baøi 5 Giaûi caùc phöông trình sau ñaây : a. x 2 − 6x + 9 = 3 x 2 − 6 x + 9 = 2( x − 1) b. c. x 2 − 8 x + 16 = 4 − x d. x 2 − 2x + 1 = x 2 − 1 Höôùng daãn : 12
⎧B ≥ O ⎪ Ñöa veà daïng : A = B ⇔ ⎨⎡A = B ⎪⎢ ⎩ ⎣ A = −B 13