CHUYÊN Đ 1 - PH N TÍCH ĐA TH C THÀNH NHÂN TỀ Ấ Ứ Ử
A. M C TIÊU:Ụ
* H th ng l i các d ng toán và các ph ng pháp phân tích đa th c thành nhân tệ ố ạ ạ ươ ứ ử
* Gi i m t s bài t p v phân tích đa th c thành nhân tả ộ ố ậ ề ứ ử
* Nâng cao trình đ và k năng v phân tích đa th c thành nhân tộ ỹ ề ứ ử
B. CÁC PH NG PHÁP VÀ BÀI T PƯƠ Ậ
I. TÁCH M T H NG T THÀNH NHI U H NG T :Ộ Ạ Ử Ề Ạ Ử
Đ nh lí b sung:ị ổ
+ Đa th c f(x) có nghi m h u t thì có d ng p/q trong đó p là c c a h s t do, q làứ ệ ữ ỉ ạ ướ ủ ệ ố ự
c d ng c a h s cao nh t ướ ươ ủ ệ ố ấ
+ N u f(x) có t ng các h s b ng 0 thì f(x) có m t nhân t là x – 1ế ổ ệ ố ằ ộ ử
+ N u f(x) có t ng các h s c a các h ng t b c ch n b ng t ng các h s c a cácế ổ ệ ố ủ ạ ử ậ ẵ ằ ổ ệ ố ủ
h ng t b c l thì f(x) có m t nhân t là x + 1ạ ử ậ ẻ ộ ử
+ N u a là nghi m nguyên c a f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì ế ệ ủ
f(1)
a - 1
và
f(-1)
a + 1
đ u là sề ố
nguyên. Đ nhanh chóng lo i tr nghi m là c c a h s t doể ạ ừ ệ ướ ủ ệ ố ự
1. Ví d 1:ụ 3x2 – 8x + 4
Cách 1: Tách h ng t th 2ạ ử ứ
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 2: Tách h ng t th nh t:ạ ử ứ ấ
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x)
= (x – 2)(3x – 2)
Ví d 2:ụ x3 – x2 - 4
Ta nhân th y nghi m c a f(x) n u có thì x = ấ ệ ủ ế
1; 2; 4
, ch có f(2) = 0 nên x = 2 làỉ
nghi m c a f(x) nên f(x) có m t nhân t là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm cóệ ủ ộ ử
xu t hi n m t nhân t là x – 2ấ ệ ộ ử
Cách 1:
x3 – x2 – 4 =
( ) ( )
( ) ( )
3 2 2 2
2 2 2 4 2 ( 2) 2( 2)x x x x x x x x x x
− + − + − = − + − + −
=
( )
( )
2
2 2x x x
− + +
Cách 2:
( ) ( )
3 2 3 2 3 2 2
4 8 4 8 4 ( 2)( 2 4) ( 2)( 2)x x x x x x x x x x x
− − = − − + = − − − = − + + − − +
=
( )
( )
2 2
2 2 4 ( 2) ( 2)( 2)x x x x x x x
� �
− + + − + = − + +
� �
Ví d 3:ụ f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nh n xét: ậ
1, 5
không là nghi m c a f(x), nh v y f(x) không có nghi m nguyên. Nênệ ủ ư ậ ệ
f(x) n u có nghi m thì là nghi m h u tế ệ ệ ữ ỉ
Ta nh n th y x = ậ ấ
là nghi m c a f(x) do đó f(x) có m t nhân t là 3x – 1. Nênệ ủ ộ ử
f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 =
( ) ( )
( )
3 2 2 3 2 2
3 6 2 15 5 3 6 2 15 5x x x x x x x x x x
− − + + − = − − − + −
=
2 2
(3 1) 2 (3 1) 5(3 1) (3 1)( 2 5)x x x x x x x x− − − + − = − − +
Vì
2 2 2
2 5 ( 2 1) 4 ( 1) 4 0x x x x x− + = − + + = − + >
v i m i x nên không phân tích đ c thành ớ ọ ượ
nhân t n aử ữ
Ví d 4:ụ x3 + 5x2 + 8x + 4
Nh n xét: T ng các h s c a các h ng t b c ch n b ng t ng các h s c a các h ngậ ổ ệ ố ủ ạ ử ậ ẵ ằ ổ ệ ố ủ ạ
t b c l nên đa th c có m t nhân t là x + 1ử ậ ẻ ứ ộ ử
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
Ví d 5:ụ f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2
T ng các h s b ng 0 thì nên đa th c có m t nhân t là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:ổ ệ ố ằ ứ ộ ử
x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)
Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghi m nguyên cũng không có nghi m h u t nênệ ệ ữ ỉ
không phân tích đ c n aượ ữ
Ví d 6:ụ x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997)
Ví d 7:ụ x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1)
= x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)
II. THÊM , B T CÙNG M T H NG T :Ớ Ộ Ạ Ử
1. Thêm, b t cùng m t s h ng t đ xu t hi n hi u hai bình ph ng:ớ ộ ố ạ ử ể ấ ệ ệ ươ
Ví d 1ụ: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2
= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x)
= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9)
Ví d 2:ụ x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2
= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2
= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
2. Thêm, b t cùng m t s h ng t đ xu t hi n nhân t chungớ ộ ố ạ ử ể ấ ệ ử
Ví d 1: ụx7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
Ví d 2:ụ x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1)
Ghi nh :ớ
Các đa th c có d ng xứ ạ 3m + 1 + x3n + 2 + 1 nh : xư7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ;
x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ; … đ u có nhân t chung là xề ử 2 + x + 1
III. Đ T BI N PH :Ặ Ế Ụ
Ví d 1:ụ x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128
= (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đ t xặ2 + 10x + 12 = y, đa th c có d ngứ ạ
(y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
Ví d 2:ụ A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Gi s x ả ử
0 ta vi t ế
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 –
2
6 1
+
x x
) = x2 [(x2 +
2
1
x
) + 6(x -
1
x
) + 7 ]
Đ t x - ặ
1
x
= y thì x2 +
2
1
x
= y2 + 2, do đó
A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x -
1
x
)2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2
Chú ý: Ví d trên có th gi i b ng cách áp d ng h ng đ ng th c nh sau:ụ ể ả ằ ụ ằ ẳ ứ ư
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )
= x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2
Ví d 3:ụ A =
2 2 2 2 2
( )( ) ( +zx)x y z x y z xy yz+ + + + + +
=
2 2 2 2 2 2 2
( ) 2( +zx) ( ) ( +zx)x y z xy yz x y z xy yz
� �
+ + + + + + + +
� �
Đ t ặ
2 2 2
x y z+ +
= a, xy + yz + zx = b ta có
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = (
2 2 2
x y z+ +
+ xy + yz + zx)2
Ví d 4:ụ B =
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4
2( ) ( ) 2( )( ) ( )x y z x y z x y z x y z x y z+ + − + + − + + + + + + +
Đ t xặ4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2
Ta l i có: a – bạ2 = - 2(
2 2 2 2 2 2
x y y z z x+ +
) và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó;
B = - 4(
2 2 2 2 2 2
x y y z z x+ +
) + 4 (xy + yz + zx)2
=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 8 8 8 8 ( )x y y z z x x y y z z x x yz xy z xyz xyz x y z
− − − + + + + + + = + +
Ví d 5:ụ
3 3 3 3
( ) 4( ) 12a b c a b c abc+ + − + + −
Đ t a + b = m, a – b = n thì 4ab = mặ2 – n2
a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 +
2 2
m - n
4
). Ta có:
C = (m + c)3 – 4.
3 2
3 2 2
m + 3mn 4c 3c(m - n )
4− −
= 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2)
= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
III. PH NG PHÁP H S B T Đ NH:ƯƠ Ệ Ố Ấ Ị
Ví d 1: xụ4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nh n xét: các s ậ ố
1,
3 không là nghi m c a đa th c, đa th c không có nghi mệ ủ ứ ứ ệ
nguyên c ng không có nghi m h u tủ ệ ữ ỉ
Nh v y n u đa th c phân tích đ c thành nhân t thì ph i có d ng ư ậ ế ứ ượ ử ả ạ
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
đ ng nh t đa th c này v i đa th c đã cho ta có: ồ ấ ứ ớ ứ
6
12
14
3
a c
ac b d
ad bc
bd
+ = −
+ + =
+ = −
=
Xét bd = 3 v i b, d ớ
Z, b
{ }
1, 3
v i b = 3 thì d = 1 h đi u ki n trên tr thànhớ ệ ề ệ ở
6
8 2 8 4
3 14 8 2
3
a c
ac c c
a c ac a
bd
+ = −
= − = − = −
� �
� �
� � �
+ = − = = −
� �
=
V y: xậ4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
Ví d 2:ụ 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Nh n xét: đa th c có 1 nghi m là x = 2 nên có th a s là x - 2 do đó ta có:ậ ứ ệ ừ ố
2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)
= 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c
4 3 1
2 7 5
2 6 4
2 8
aa
b a b
c b c
c
− = −
=
− = −
� � = −�
� �
− =
� � = −
− =
Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4)
Ta l i có 2xạ3 + x2 - 5x - 4 là đa th c có t ng h s c a các h ng t b c l và b c ch nứ ổ ệ ố ủ ạ ử ậ ẻ ậ ẵ
b ng nahu nên có 1 nhân t là x + 1 nên 2xằ ử 3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)
V y: 2xậ4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)
Ví d 3: ụ
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)
= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3
12 4
10 3
3 5 6
12 2
3 12
ac a
bc ad c
c a b
bd d
d b
=
=
+ = −
=
� �
− =
� � = −
� �
= −
� � =
− =
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)
BÀI T P: Ậ
Phân tích các đa th c sau thành nhân t :ứ ử