Chuyên đề 4: Tích phân - Chủ đề 4.2

Chia sẻ: Phan Tour Ris | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

210
lượt xem 23
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề 4: Tích phân - Chủ đề 4.2 tích phân trình bày các kiến thức cơ bản như định nghĩa, tính chất cơ bản về tích phân và một số bài tập kèm theo có đáp án chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề 4: Tích phân - Chủ đề 4.2

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ 4. TÍCH PHÂN Bài 2. TÍCH PHÂN A - KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b]. Hiệu số F (b) − F ( a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số b ∫ f ( x)dx. f ( x ) ) kí hiệu là a b Ta dùng kí hiệu F ( x) a = F (b) − F (a ) để chỉ hiệu số F (b) − F ( a) . b b ∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a ) . Vậy a b Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi ∫ b f ( x)dx hay a ∫ f (t )dt. Tích phân a đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân b ∫ f ( x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox và hai a b đường thẳng x = a, x = b. Vậy S = ∫ f ( x )dx. a 2. Tính chất của tích phân a 1. ∫ b 2. f ( x)dx = 0 a ∫ b c a b b b b f ( x)dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ( a a 5. ∫ a c 3. a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b ∫ k. f ( x)dx = k.∫ f ( x)dx (k ∈ ℝ) a b a b ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx . a a a B - KỸ NĂNG CƠ BẢN Một số phương pháp tính tích phân Dạng 1. Tính tích phân theo công thức Ví dụ 1: Tính các tính phân sau: 1 dx a) I = ∫ . 3 0 (1 + x ) 1 x b) I = ∫ dx . x +1 0 1 2x + 9 c) I = ∫ dx . x+3 0 1 x dx . 2 0 4− x d) I = ∫ Hướng dẫn giải 1 1 dx d(1 + x) 1 =∫ =− 3 3 (1 + x ) (1 + x) 2(1 + x ) 2 0 0 a) I = ∫ 1 0 3 = . 8 Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 1|THBTN Mã số tài liệu: BTN-CD4 BTN- CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 1 b) I = ∫ 0 CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN 1 x 1   1 dx = ∫  1 −  dx = ( x − ln( x + 1) ) 0 = 1 − ln 2 . x +1 x +1 0 1 1 1 2x + 9 3   dx = ∫  2 +  dx = ( 2 x + 3ln( x + 3) ) 0 = 3 + 6ln 2 − 3ln 3 . x+3 x + 3 0 0 c) I = ∫ ( ) 2 1 1 x 1 d 4− x 1 1 3 d) I = ∫ dx = − ∫ = − ln | 4 − x 2 | = − ln . 2 2 0 2 0 4− x 2 2 4 4− x 0 1 Bài tập áp dụng 1 1 1) I = ∫ x ( x − 1) dx . 3 4 2) I = ∫ 5 0 0 1 ( ) 2 x + 3 x + 1 dx . 16 3) I = ∫ x 1 − x dx . dx 4) I = ∫ 0 x+9 − x 0 . Dạng 2. Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân b b a Sử dụng tính chất b a a ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 2 Ví dụ 2: Tính tích phân I = ∫ | x + 1| dx . −2 Hướng dẫn giải  x + 1, − x − 1, Nhận xét: x + 1 =  −1 ≤ x ≤ 2 − 2 ≤ x < −1 2 −1 2 −2 −2 . −1 Do đó I = ∫ | x + 1| dx = ∫ | x + 1| dx + ∫ | x + 1| dx −1 −1 2 2  x2   x2  = − ∫ ( x + 1) dx + ∫ ( x + 1) dx = −  + x  +  + x  = 5  2  −2  2  −1 −2 −1 Bài tập áp dụng 3 2 1) I = ∫ | x 2 − 4 | dx . 2) I = ∫ | x 3 − 2 x 2 − x + 2 | dx . −4 −1 π 3 3) I = ∫ | 2 − 4 | dx . x 4) I = 0 2 ∫π 2 | sin x | dx . − π 5) I = ∫ 1 + cos 2 xdx . 0 2 Dạng 3. Phương pháp đổi biến số 1) Đổi biến số loại 1 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u = u ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và α ≤ u ( x ) ≤ β . Giả sử có thể viết f ( x) = g (u ( x))u ′( x), x ∈ [a;b], với g liên tục trên đoạn [α ; β ]. Khi đó, ta có b I = ∫ f ( x)dx = a u (b ) ∫ g (u )du. u (a) π 2 Ví dụ 3: Tính tích phân I = ∫ sin 2 x cos xdx . 0 Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 2|THBTN Mã số tài liệu: BTN-CD4 BTN- CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN Hướng dẫn giải Đặt u = sin x. Ta có du = cos xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u (0) = 0; x = π  ⇒ u   = 1. 2 2 π π 2 1 0 0 1 1 3 1 3 Khi đó I = ∫ sin 2 x cos xdx = ∫ u 2 du = u 3 = . 0 Bài tập áp dụng 1 1) I = ∫ x x + 1dx . 2 1 e 2) I = ∫ x x + 1dx . 0 0 e2 1 + ln x dx . x 3) I = ∫ 3 1 4) I = ∫ e dx . 2 x 2 + ln x Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ I=∫ 3 x 3 dx . Đặt t = x + 1 x +1 1 Có 2 Có (ax + b) n dx t = ax + b I = ∫ x( x + 1) 2016 dx . Đặt t = x + 1 3 Có a f ( x ) dx t = f ( x) I =∫4 4 Có f ( x)dx dx và ln x x t= f ( x) 0 1 0 e tan x +3 dx . Đặt t = tan x + 3 0 cos 2 x e ln xdx I =∫ . Đặt t = ln x + 1 1 x (ln x + 1) π t = ln x hoặc biểu thức chứa ln x t = e x hoặc biểu thức I =∫ ln 2 2 x e 3e x + 1dx . Đặt t = 3e x + 1 5 Có e dx 6 Có cos xdx t = sin x I = ∫ 2 sin 3 x cos xdx . Đặt t = sin x 7 Có sin xdx t = cos x I =∫ 8 dx Có cos 2 x t = tan x I =∫4 9 Có dx sin 2 x t = cot x I = ∫π4 x 0 chứa e x π 0 π 0 sin 3 x dx Đặt t = 2cos x + 1 2cos x + 1 π π 1 1 dx = ∫ 4 (1 + tan 2 x) dx 0 cos 4 x 0 cos 2 x Đặt t = tan x π 6 π ecot x ecot x dx = ∫π4 dx . Đặt t = cot x 1 − cos 2 x 2sin 2 x 6 2) Đổi biến số loại 2 Cho hàm số f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [ a; b]. Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α ; β ] sao cho ϕ (α ) = a,ϕ ( β ) = b và a ≤ ϕ (t ) ≤ b với mọ i t ∈[α ; β ]. Khi đó: b ∫ β f ( x )dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt. a α Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng π π 1. a 2 − x 2 : đặt x =| a | sin t; t ∈ − ;     2 2 |a|  π π ; t ∈  − ;  \ {0} sin t  2 2 2. x 2 − a 2 : đặt x = 3.  π π x 2 + a 2 : x = a tan t ; t ∈  − ;   2 2 Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 3|THBTN Mã số tài liệu: BTN-CD4 BTN- CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 a+x hoặc a−x 4. CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN a−x : đặt x = a.cos 2t a+x Ví dụ 4: Tính các tích phân sau: 1 1 dx . 2 0 1+ x a) I = ∫ 1 − x 2 dx . b) I = ∫ 0 Hướng dẫn giải a) Đặt x = sin t ta có dx = cos tdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π 2 2 0 0 2 . π 1 π 0 π Vậy I = ∫ 1 − x 2 dx = ∫ cos t dt = ∫ cos tdt = sin t |02 = 1. b) Đặt x = tan t , ta có dx = (1 + tan 2 t ) dt . Đổi cận: khi x = 0 ⇒ t = 0 ; khi x = 1 ⇒ t = π 4 . π 1 π 4 dx π 4 = ∫ dt = t |0 = . 2 4 1+ x 0 0 Vậy I = ∫ Dạng 4. Phương pháp tính tích phân từng phần Định lí : Nếu u = u ( x ) và v = v( x ) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì b b b ∫ u ( x)v′( x)dx = ( u( x)v( x) ) a − ∫ u′( x)v( x)dx , a a b b b a a a b ∫ udv = uv |a −∫ vdu . Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = ∫ P( x).Q( x)dx hay Dạng hàm P ( x ) : Đa thức sin ( kx )  Q ( x) :  cos ( kx )  * u = P ( x) * dv là Phần còn lại Cách của biểu thức dưới đặt dấu tích phân P ( x ) : Đa thức P ( x ) : Đa thức P ( x ) : Đa thức Q ( x ) : e kx Q ( x ) : ln ( ax + b ) * u = P ( x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân * u = ln ( ax + b ) * dv = P ( x ) dx  1  sin 2 x  Q ( x) :   1  cos 2 x  * u = P ( x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”. Ví dụ 5: Tính các tích phân sau: π 2 a) I = ∫ x sin xdx. 1 e−1 b) I = 0 c) I = ∫ x ln (1 + x 2 ) dx ∫ x ln( x + 1)dx . 0 0 Hướng dẫn giải u = x  du = dx ⇒ .  dv = sin xdx v = − cos x a) Đặt  π 2 Do đó I = ∫ x sin xdx = ( − x cos x ) 0 π π 2 |0 2 π 2 + ∫ cos xdx = 0 + sin x |0 = 1. 0 Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 4|THBTN Mã số tài liệu: BTN-CD4 BTN- CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN 1   du = x + 1 dx u = ln( x + 1)  b) Đặt  ⇒ 2 dv = xdx v = x − 1  2  e−1 I= ∫ 0 = e −1 e−1   x2 − 1 1 e 2 − 2e + 2 1  x 2 x ln( x + 1)dx = ln( x + 1) − ∫ ( x − 1)dx = −  − x  2 0 2 0 2 2 2   e−1 0 e 2 − 2e e 2 − 4e + 3 e 2 − 3 − = . 2 4 4 2x  u = ln (1 + x 2 ) du = x 2 + 1 dx   c) Đặt  ⇒ . dv = xdx v = 1 ( x 2 + 1)    2 1 Ta có: I = 1 1 1 2 1 ( x + 1) ln ( x 2 + 1) − ∫ xdx = ln 2 − 2 x 2 = ln 2 − 1 . 2 2 0 0 0 Bài tập áp dụng π 1 1) I = ∫ (2 x + 2)e x dx . 0 2 2) I = ∫ 2 x.cos xdx . 0 2π 3) I = ∫ 0 x x 2 .sin dx . 2 Chủ đề 4.2 – Tích phân Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com 1 4) I = ∫ ( x + 1)2 e 2 x dx . 0 5|THBTN Mã số tài liệu: BTN-CD4 BTN-