zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Chuyên để Nhị thức Newton và công thức tổ hợp - 1

Chia sẻ: Duong Minh Thong | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:23

Báo xấu

1.315
lượt xem 347
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên để nhị thức newton và công thức tổ hợp - 1', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên để Nhị thức Newton và công thức tổ hợp - 1

Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán 42
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán Lí thuyết I. Công thức Newton Cho hai số thực a, b và số nguyên dương n: II. Tính chất 1.Công thức nhị thức Newton có (n+1) số hạng. k 2.Số hạng thứ k+1 là C n a n −k b k . n −k k C =C 3.Các hệ thức có tính đối xứng theo tính chất . n n 4.Tổng số mũ của a và b luôn bằng n. 5.Các dạng đặc biệt của nhị thức Newton 0 1 2 n (1 + x ) n = C n + C n x + C b x 2 + .... + C n x n 0 1 2 n (1 − x ) n = C n − C n x + C n x 2 − ........ + (−1) n C n x n 0 1 n ( x + 1) n = C n x n + C n x n −1 + ....C b 0 1 n (1 + 1) n = 2 n = C n + C n + .....C n 0 1 2 n (1 − 1) n = 0 = C n − C n + C n − ......( −1) n C n 6.Tam giác Pascal Các hệ số của (a + b) 0 , (a + b)1 .(a + b) 2 ,...., (a + b) n có thể xếp thành một tam giác gọi là tam giác pascal Trong tam giác pascal có hai canh được ghi toàn bằng số 1 các ô còn lại được ghi bằng hằng đẳng thức pascal nghĩa là giá trị của một ô bằng giá trị của ô ngay trên cộng cho ô bên trái của ô ngay trên đó. 43
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán 7.Một số khai triển hay sử dụng 8. Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức Newton. 44
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán 45
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán Các bài toán về nhị thức I. Các bài toán về hệ số nhị thức. Ví dụ 1: Khai triển và rút gọn đa thức: Q ( x ) = ( 1 + x ) + ( 1 + x ) + ... + ( 1 + x ) 9 10 14 Ta được đa thức: Q ( x ) = a0 + a1 x + ... + a14 x 14 Xác định hệ số a9. (Đại học Thuỷ lợi cơ sở II, 2000) Giải Hệ số x9 trong các đa thức ( 1 + x ) , ( 1 + x ) ,..., ( 1 + x ) lần lượt là: 9 10 14 9 5 9 C9 , C10 ,..., C14 Do đó: 1 1 1 1 a9 = C99 + C10 + ... + C14 = 1 + 10 + .10.11 + .10.11.12 + .10.11.12.13 + .10.11.12.13.14 5 9 2 6 24 20 =11 + 55 + 220 + 715 + 2002 = 3003. Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 12 63 A2 x − Ax2 ≤ C x + 10 (ĐHBKHN-2000) 2 x Giải Điều kiện: x là số nguyên dương và x ≥ 3 Ta có: dất phương trình đã cho tương đương với: ( 2 x − 1) 2 x − 6 ( x − 2 ) ( x − 1) ( x − 1) x ≤ + 10 2 3! x ⇔ 2 x ( 2 x − 1) − x ( x − 2 ) ≤ ( x − 2 ) ( x − 1) + 10 ⇔ 3 x ≤ 12 ⇔ x ≤ 4 Vì x là nghiệm nguyên dương và x ≥ 3 nên x ∈ { 3; 4} Ví dụ 3: Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của: 1 + x ( 1 − x )  8 2   (ĐH KA 2004) Giải 46
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán k k k  8 8 f ( x ) = ∑ C  x ( 1 − x )  = ∑ C x  ∑ ( −1) Cki x i  . i k 2 k 2k Cách 1: Ta có:  8 8  i =0  k =0 k =0  i = 0 0 ≤ i ≤ k ≤ 8   k = 4  Vậy ta có hệ số của x8 là: ( −1) C8k Cki thoã 2k + i = 8 ⇒  i  i = 2 i, k ∈ ¥    k = 3  Hệ số trong khai triển của x8 là: ( −1) C84C40 + ( −1) C83C32 =238 0 2 Cách 2: Ta có: f ( x ) = C80 + ... + C83  x 2 ( 1 − x )  + C84  x 2 ( 1 − x )  + ... + C88  x 2 ( 1 − x )  3 4 8       Nhận thấy: x8 chỉ có trong các số hạng: • Số hạng thứ 4: C8  x ( 1 − x )  3 3 2   Số hạng thứ 5: C84  x 2 ( 1 − x )  4 •   Với hệ số tương đương với: A8= C83C32 + C84C40 =238 Ví dụ 4: 12  1 a) Tìm hệ số x trong khai triển  1 + ÷ 8  x b) Cho biết tổng tất cả các hệ sô của khai triển nhị thức ( x + 1) bằng n 2 1024. Hãy tìm hệ số a ( a ∈ N * ) của số hạng ax12 trong khai triển đó. (ĐH HCQG, 2000) Giải a) Số hạng thứ (k+1) trong khai triển là: k k 12 − x  1  ak = C12 x  ÷ = C12 x12−2 k ( 0 ≤ k ≤ 12 ) k x Ta chọn 12 − 2k = 8 ⇔ k = 2 Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x8 và có hệ số là: C12 = 66 2 n b) Ta có: ( 1 + x ) = ∑ Cn x = Cn + Cn x + ... + Cn x k 12 − 2 k 2 k 2n k 12 k =0 Với x = 1 thì: 2 = C + Cn + ... + Cnn = 1024 ⇔ 2n = 210 ⇔ n = 10 n 0 1 n Do đó hệ số a (của x12) là: C10 = 210 6 47
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán Ví dụ 5: Khai triển đa thức: P ( x ) = (1 + 2 x ) = a0 + a1 x + ... + a12 x 12 12 Tìm max ( a0 , a1 , a2 ,..., a12 ) (HVKTQS, 2000) Giải Gọi ak là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra: ak > ak −1 Từ đây ta có hệ phương trình: 2 1  k ≥ 12 − k + 1  2k C12 ≥ 2k −1 C12−1 k k   ⇔ k k k +1 k +1 1≥2  2 C12 ≥ 2 C12  12 − k k + 1  ⇒ max ( a0 , a1 , a2 ,..., a12 ) = a8 = C12 218 = 126720 8 II.Bài toán tìm số hạng trong khai triển Newton. Ví dụ 1: : Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: ( 2 − 3x ) 25 Giải Số hạng thứ 21 trong khai triển là: C25 25 ( −3x ) = C25 25320 x 20 20 20 20 Ví dụ 2: a. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau ( x + xy ) 21 3 20   1 b. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau  x 4 x + ÷  ÷ ( xy ) 2 3   Giải a. Khai triển ( x + xy ) có 21+1=22 số hạng nên có hai số hạng đứng 20 3 giữa là số thứ 11 và 12. • Số hạng thứ 11 là: C21 ( x ) ( xy ) = C21 x y 3 11 10 10 10 43 10 Số hạng thứ 12 là: C21 ( x3 ) ( xy ) = C21 x 41 y11 10 11 11 10 • 20   1 b. Khai triển  x 4 x + ÷ có 20+1=21 số hạng. Nên số hạng đứng  ÷ ( xy ) 2 3   giữa 2 số là số hạng thứ 10 10 10  4   65 20 7  21  − 2 −  2  + 1 = 16 : C20  x ÷  ( xy ) ÷ = C20 x y 10 6 3 3     48
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán ( Với [x] là ký hiệu phần nguyên của x nghĩa là sô nguyên lớn nhất không vượt quá x). Ví dụ 3: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển. 7  1 f ( x ) =  3 x + 4 ÷ với x > 0  x (ĐH Khối D-2004) Giải Số hạng tổng quát trong khai triển: k 77 () 1 7−k −k k 3 12 k ∈ N*, k ≤ 7 ( k ∈ ¥ , k ≤ 7) Tk +1 = C  4 ÷ = C7 x k 3 x 7  x 77 Ứng với số hạng không chứa x ta có: − k = 0 ⇔ k = 4 3 12 Ví dụ 4: Cho khai triển nhị thức: 10 1 2   + x ÷ = a0 + a1 x + ... + a9 x + a10 x . 9 10 3 3  Hãy tìm số hạng ak lớn nhất. (ĐH SPHN-2001) Giải 10 1 2  1n k 1 1k = 10 ∑ C10 ( 2 x ) ⇒ ak = 10 C10 2 k Ta có:  + x ÷ = 10 ( 1 + 2 x ) 10 k 3 3  3 3 k =0 3 Ta có ak đạt được max C10 2k ≥ C10+1 2k +1 ak ≥ ak +1 k k  ⇒ ⇔ k k ak ≥ ak −1 k −1 k −1 C10 2 ≥ C10 2    2k10! 2 k10! 1 2 ≥  k ! 10 − k ! k + 1 ! 9 − k ! 10 − k ≥ k + 1 19 ( )( )( )  22 ⇔ ⇔ ⇔ ≤k≤ 2 ≥ 2 3 3 k 2k10!  2 10! ≥  k 11 − k  k !( 10 − k ) ! ( k − 1) !( 11 − k ) !   ⇒ k = 7 ( k ∈ ¥ , k ∈ [ 0,10] ) 27 7 Vậy max ak = a7 = 10 C10 3 49
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán Bài tập áp dụng Bài 1: (ĐH TK-2002) Gọi a1, a2,…, a11 là các hệ số trong khai triển sau: ( x + 1) ( x + 2 ) = x11 + a1 x10 + ... + a11 Hãy tìm hệ số a5 Bài 2: Tìm hệ số của x5 trong khai triển x ( 1 − 2 x ) + x 2 ( 1 + 3x ) ( Khối D- 5 10 2007) Bài 3: Tìm hệ số của x5y3z6t6 trong khai triển đa thức ( x + y + z + t ) ( Đề 4 20 “TH&TT” -2003) Bài 4: (TT ĐH- chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An) Xác định hệ số của x11 trong khai triển đa thức: ( x 2 + 2 ) ( 3x 3 + 1) biết: n n C2 n − 3C22nn −1 + ... + ( −1) 3k C22n − k + ... + 32 n C2 n = 1024 k 2n n 0 n  1 Bài 5: (LAISAC) Khai triển P ( x ) =  x3 + 2 ÷ ta được  2x  P ( x ) = a0 x + a1 x 3 n −5 3 n −10 + a2 x + ... Biết rằng ba hệ số đầu a0, a1, a2 lập thành 3n cấp số cộng. Tính số hạng thứ x4 ♫ Đọc thêm Áp dụng nhị thức Newton để chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp 1. Thuần nhị thức Newton Dấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng của tổng đó có dạng Cnk a n−k b k thì ta n sẽ dùng trực tiếp nhị thức Newton: ( a + b ) = ∑ Cn a b . Việc còn lại chỉ n k n −k k k =0 là khéo léo chọn a,b. Ví dụ 1: Tính tổng 3 C16 − 3 C16 + 3 C16 − ... + C16 16 0 15 1 14 2 16 Giải Dễ dàng thấy tổng trên có dạng như dấu hiệu nêu trên. Ta sẽ chọn a = 3, b = -1. Khi đó tổng trên sẽ bằng (3-1)16=216 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: C2 n + 32 C22n + 34 C24n + ... + 32 n C22nn = 22 n −1 ( 22 n + 1) 0 ( ĐH Hàng Hải-2000) 50
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán Giải: ( 1 + x ) = C2 n + C2 n x + C2 n x + ... + C2 n x + C22nn x 2 n ( 1) 2n 2 n −1 2 n −1 0 1 22 ( 1− x) = C2 n − C2 n x + C22n x 2 + ... − C2 nn −1 x 2 n−1 + C2 n x 2 n ( 2 ) 2n 0 1 2 2n Lấy (1) + (2) ta được: ( 1 + x ) + ( 1 − x ) = 2 C20n + C22n x 2 + ... + C22nn x 2n  2n 2n   ( 4) + ( −2 ) 2n 2n = 2 C2 n + C22n 32 + ... + C2 n 32 n  0 2n   24 n + 2 2 n ⇔ = C2 n + C2 n 32 + ... + C2 n 32 n 0 2 2n 2 22 n ( 2 2 n + 1) Chọn x = 3 suy ra: ⇔ = C2 n + C2 n 32 + ... + C22nn 32 n 0 2 2 2 n −1 ⇔ 2 (22 n + 1) = C2 n + C2 n 32 + ... + C2 n 32 n 0 2 2n ⇒ ĐPCM 2.Sử dụng đạo hàm cấp 1,2. a.Đạo hàm cấp 1. Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1,2,3,…,n hay n,…,3,2,1 tức là số hạng đó có dạng kCnk hoặc kCnk a n−k b k −1 thì ta có thể dùng đạo hàm cấp 1 để tính. Cụ thể: ( a + x) n = Cn a n + 2Cn a n −1 x + ... + nCn ax n 0 1 n Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được: n( a + x) = Cn a n −1 + 2Cn a n− 2 + ... + nCnn ax n−1 ( 1) n −1 1 2 Đến đây thay x,a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm. Ví dụ 1: Tính tổng Cn − 2Cn + 3Cn − 4Cn + ... + ( −1) n −1 1 2 3 4 n nCn (ĐH BKHN-1999) Giải Ta thấy tổng cần tính có dạng như VP(1). Việc còn lại chỉ cần chọn a=1,x=-1 ta tính được tổng băng 0. Cách khác: Sử dụng đẳng thức kCnk = nCnk−−11 ta tính được tổng bằng: nCn −1 − nCn −1 + nCn −1 + ... + ( −1) nCnn−1 = n ( 1 − 1) n −1 n −1 −1 =0 0 1 2 Ví dụ 2: Tính tổng 2008C2007 + 2007C2007 + ... + C2007 0 1 2007 Giải 51
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán Hệ số trước tổ hợp giảm dần từ 2008,2007,…,1 nên dùng đạo hàm là điều dễ hiểu: ( x + 1) = C2007 x 2007 + C2007 x 2006 + ... + C2007 2007 0 1 2007 Bây giờ nếu đạo lấy đạo hàm thì chỉ được 2007C2007 x 2006 trong khi đó đề 0 đến 2008 do đó ta phải nhân thêm với x vào đẳng thức trên rồi mới dùng đạo hàm: x ( x + 1) 2007 = C2007 x 2008 + C2007 x 2007 + ... + C2007 x 0 1 2007 ⇔ ( x + 1) ( 2008 x + 1) = 2008C2007 x 2007 + 2007C2007 x 2006 + ... + C2007 2006 0 1 2007 Thay x=1 vào ta tìm được tổng là 2009.22006 b.Đạo hàm cấp 2. Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,…,(n-1)n hay (n-1)n,…,3.2,2.1 hay 12,22,…,n2 (không kể dấu) tức có dạng k (k − 1)Cnk a n − k hay tổng quát hơn k ( k − 1) Cn a n − k b k thì ta có thể dùng đạo hàm k đến cấp 2 để tính. Xét đa thức ( a + bx ) n = Cn + Cn a n −1bx + ... + Cn b n x n 0 1 n Khi đó đạo hàm hai vế theo x ta được: bn ( a + bx ) n −1 = Cn a n −1b + 2Cn a n − 2b 2 x... + nCn b n x n −1 1 2 n Đạo hàm lần nữa: b 2 n ( n − 1) ( a + bx n − 2 ) = 2.1Cn a n− 2b 2 + ... + n ( n − 1) Cn b n x n −1 ( 2 ) 2 n Đến đây ta gần như giải quyết xong ví dụ toán chỉ việc thay a,b,x bởi các hằng số thích hợp nữa thôi. Ví dụ 3: Cho f ( x ) = ( 1 + x ) , ( 2 ≤ n ≤ ¢ ) n a.Tính f ′′ ( 1) b.Chứng minh rằng: 2.1Cn + 3.2Cn + ... + ( n − 1) nCn = n ( n − 1) 2 n−2 2 3 n c.Chứng minh rằng: 2.1Cn + 3.2Cn + ... + ( n + 1) pCn + ... + ( n + 1) nCn = n ( n + 1) 2 n−2 1 2 p n (ĐH AN-CS Khối A 1998) Giải a. f ′′ ( x ) = n ( 1 + x ) ⇒ f ′′ ( x ) = n ( n − 1) ( 1 + x ) n −1 n−2 ⇒ f ′′(1) = n(1 + x ) n − 2 b. Ta có 52
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán n n f ( x ) = ( 1 + x ) = ∑ Cn x k = Cn + Cn x + ∑ Cnk x k n k 0 1 k =1 k =2 n f ′ ( x ) = Cn + ∑ kCnk x k −1 1 k =2 n f ′′ ( x ) = ∑ k ( k − 1) Cn x k − 2 k k =2 n ⇒ f ′′ ( 1) = ∑ k ( k − 1) Cnk = 2n − 2 k =1 ⇒ 2.1C + 3.2Cn2 + ... + ( p + 1) Cnp + ... + ( n + 1) nCnn = n ( nĐ 1) 2 2 n−1 ( PCM ) + 1 n c. Xét nhị thức: ( 1 + x ) = Cn0 + Cn x + ... + Cnn x n n 1 Nhân 2 vế của đẳng thức với x ≠ 0 đồng thời lấy đạo hàm cấp 2 hai vế theo biến x ta được: 2n ( 1 + x ) + n ( n − 1) x ( 1 + x ) = 2Cn x + 3.2Cn x + ... + ( n + 1) nCn x n −1 n −1 n−2 1 2 n Cho x=2 ta được ĐPCM. Áp dụng Bài 1:(CĐSP Bến Tre Khối A-2002) Chứng minh rằng: C20 + C20 + ... + C20 = 219 1 1 19 Bài 2:(CĐ Khối T-M-2004)Chứng minh rằng : 32004 + 1 +2 C + ... + 2 = 0 2 1 2004 2004 C C 2004 2004 2004 2 Bài 3:(ĐHKTQD-2000) Chứng minh: ( 2 + x ) = 1.2n−1.Cn + 2.2n−2.Cn2 + 3.2n−2.Cn2 + ... + nCnn = n.3n −1 ( ∀1 ≤ n ∈ ¢ ) n 1 + 22 C2009 22007 + ... + 20092 C2009 21 2008 2 2009 Bài 4: Rút gọn tổng: 1 C2009 2 53
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán 54
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán 55
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán 56
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán 57
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán 58
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán 59
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán 60
Chuyên đề Nhị thức Newton và công thức tổ hợp 10 Toán 61

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.