intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán – Chuyên đề 23: Phương trình mặt phẳng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST
Báo xấu
2
lượt xem 0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán – Chuyên đề 23: Phương trình mặt phẳng" cung cấp kiến thức về phương trình mặt phẳng trong không gian ba chiều. Các dạng bài tập liên quan đến phương trình mặt phẳng, tìm phương trình mặt phẳng qua điểm và vector, phương trình mặt phẳng vuông góc, cũng như ứng dụng trong bài toán thực tế. Mời các bạn cùng tham khảo các bài tập để rèn luyện kỹ năng giải phương trình mặt phẳng trong kỳ thi tốt nghiệp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán – Chuyên đề 23: Phương trình mặt phẳng

  1. CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 Điện thoại: 0946798489 Chuyên đề 23. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A  3;0;0  , B 1; 2;1 và C  2;  1; 2  . Biết mặt phẳng qua B , C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là 10; a; b  . Tổng a  b là: A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 1 . Câu 2. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm M 1; 2;1 ; N  1;0; 1 . Có bao nhiêu mặt phẳng qua M , N cắt trục Ox , trục Oy lần lượt tại A , B  A  B  sao cho AM  3BN . A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. Vô số. 2 2 2 Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  2    y  3   z  4   2 và điểm A 1;2;3 . Xét các điểm M thuộc  S  sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với  S  , M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là A. 2 x  2 y  2 z  15  0 . B. 2 x  2 y  2 z  15  0 . C. x  y  z  7  0 . D. x  y  z  7  0 2 2 2 Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  2    z  2   9 và hai điểm M  4; 4; 2  , N  6;0;6  . Gọi E là điểm thuộc mặt cầu  S  sao cho EM  EN đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu  S  tại E . A. x  2 y  2 z  8  0 . B. 2 x  y  2 z  9  0 . C. 2 x  2 y  z  1  0 . D. 2 x  2 y  z  9  0 . Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với A 1; 2  , B  2; 3 , C  3;0  . Phương trình đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC là A. x  1 . B. y  2 . C. 2 x  y  0 . D. 4 x  y  2  0 . x 1 y z 1 Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :   và điểm A 1; 2;3  . Gọi  P  là 2 1 1 mặt phẳng chứa d và cách điểm A một khoảng cách lớn nhất. Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ pháp tuyến của  P  ?     A. n  1;0; 2  . B. n  1;0;  2  . C. n  1;1;1 . D. n  1;1;  1 . Câu 7. Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng  P  và  Q  cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm A 1;1;1 và B  0;  2;2  đồng thời cắt các trục tọa độ Ox , Oy tại hai điểm cách đều O . Giả sử  P  có phương trình x  b1 y  c1 z  d1  0 và  Q  có phương trình x  b2 y  c2 z  d2  0 . Tính giá trị biểu thức b1b2  c1c2 . A. 7 . B. 9 . C. 7 . D. 9 . Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  3; 0;1 , B 1;  1;3  và mặt phẳng  P  : x  2 y  2z  5  0 . Đường thẳng  d  đi qua A , song song với mặt phẳng  P  sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d nhỏ nhất. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là  b u  1; b; c  . Khi đó bằng c b b 11 b 3 b 3 A.  11 . B.   . C.   . D.  . c c 2 c 2 c 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  2. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ x y 1 z 2 Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :   và mặt phẳng 1 2 1  P : 2 x  y  2 z  2  0 . Q là mặt phẳng chứa d và tạo với mp  P  một góc nhỏ nhất. Gọi  nQ  a; b; 1 là một vectơ pháp tuyến của Q  . Đẳng thức nào đúng? A. a  b  1. B. a  b  2. C. a  b  1. D. a  b  0. Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A2;1;3, B 6;5;5 . Gọi  S  là mặt cầu đường kính AB . Mặt phẳng  P  vuông góc với AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu  S  và mặt phẳng  P  ) có thể tích lớn nhất, biết rằng  P : 2 x  by  cz  d  0 với b, c, d   . Tính S  b  c  d . A. S  18. B. S  18. C. S  12. D. S  24. Câu 11. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng  P : x  2 y  2z  5  0 . Xét mặt phẳng  Q  : x   2m  1 z  7  0 , với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá của m để mặt phẳng  P  tạo  với mặt phẳng  Q  một góc . 4 m  2 m  4m  1 m  1 A.  . B.  C. . . D.  . m  2 2 m  2m  4 m   2 Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng là  P  : x  2 y  2 z  1  0 và  Q  :  x  2 y  2 z  11  0 và điểm A   2;1;1 . Một mặt cầu di động  S  đi qua điểm A đồng thời tiếp xúc với cả hai mặt phẳng  P  và  Q  có tâm I của nó nằm trên đường cong có độ dài bằng A. 2 2 . B. 2 . C. 4 . D. 2 3 . Câu 13. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm B  2;1; 0  , C  2; 0; 2  , A 1;1;1 . Gọi  P  là mặt phẳng chứa BC và cách A một khoảng lớn nhất. Hỏi vecto nào sau đây là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng  P  ?     A. n   5; 2; 1 . B. n   5; 2;1 . C. n   5; 2; 1 . D. n   5; 2; 1 . Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  2 z  0 và A  2; 2;0  . Viết phương trình mặt phẳng  OAB  biết B thuộc mặt cầu  S  , có hoành độ dương và tam giác OAB đều. A. x  y  z  0. B. x  y  z  0 C. x  y  2 z  0 D. x  y  2 z  0 Câu 15. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng  P  : x  y  z  1  0 và  Q  : 2 x  y  z  6  0 . Viết phương trình mặt phẳng  R  đi qua điểm A  1;0;3 và chứa giao tuyến của  P  và (Q ) . A. 2 x  y  z  1  0 . B. x  2 y  2 z  7  0 . C. x  2 y  2 z  5  0 . D. x  2 y  2 z  5  0 . 2 2 2 Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  1   z  1  9 và điểm A  2;3; 1 . Xét các điểm M thuộc  S  sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với  S  . Hỏi điểm M luôn thuộc mặt phẳng nào có phương trình dưới đây? A. 3x  4 y  2  0 . B. 3x  4 y  2  0 . C. 6 x  8 y  11  0 . D. 6 x  8 y  11  0 . Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P  : x  2 y  z  1  0 ,  Q  : 2 x  y  2 z  4  0 . Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng  P  sao cho điểm đối xứng của M qua mặt phẳng  Q  nằm trên trục hoành. Cao độ của M bằng A. 3 . B. 1 . C. 8 . D. 5 . Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho A(3;0;0), B(0;3;0), C (0;0;3). Gọi ( P) là mặt phẳng chứa cạnh AB và vuông góc với ( ABC ) . (C ) là đường tròn đường kính AB và nằm trong mặt phẳng ( P) . Gọi Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  3. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 S là một điểm bất kỳ nằm trên (C ) , S khác A, B . Khi đó khoảng cách từ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S . ABC đến mặt phẳng (Q) : 2 x  3 y  z  1  0 bằng 7 3 6 3 A. . B. . C. . D. . 14 2 14 14 14 Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng   : 3x  2 y  2 z  7  0 và    : 5 x  4 y  3z  1  0 . Phương trình mặt phẳng  P  đi qua gốc tọa độ đồng thời vuông góc với   và    là A. 2 x  y  2 z  0 . B. 2 x  y  2 z  0 . C. 2 x  y  2 z  1  0 . D. x  y  2 z  0 . 2 2 Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S  :  x  4   y 2   z  3  16 . Từ gốc toạ độ O kẻ tiếp tuyến OM bất kì ( M là tiếp điểm) với mặt cầu  S  . Khi đó điểm M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình nào sau đây? A. 4 x  3z  9  0 . B. 4 x  3z  9  0 . C. 4 x  3z  6  0 . D. 4 x  3 z  15  0 . Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/ Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  4. CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 Điện thoại: 0946798489 Chuyên đề 23. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A  3;0;0  , B 1; 2;1 và C  2;  1; 2  . Biết mặt phẳng qua B , C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là 10; a; b  . Tổng a  b là: A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 1 . Lời giải Gọi tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC là I  x; y; z  . Ta có phương trình  OBC  : x  z  0 . Phương trình mặt phẳng  ABC  : 5 x  3 y  4 z  15  0 . Tâm I cách đều hai mặt phẳng  OBC  và  ABC  suy ra: xz 5 x  3 y  4 z  15  y  3z  5  0     . 2 5 2 10 x  3 y  z  15  0    Nhận xét: hai điểm A và O nằm về cùng phía với   nên loại   . Hai điểm A và O nằm về khác phía    nên nhận    . Thấy ngay một vectơ pháp tuyến là 10; a; b  thì a  3 , b  1 .Vậy a  b  2 . Câu 2. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm M 1; 2;1 ; N  1;0; 1 . Có bao nhiêu mặt phẳng qua M , N cắt trục Ox , trục Oy lần lượt tại A , B  A  B  sao cho AM  3BN . A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. Vô số. Bài giải  Gọi n   A; B; C  , A2  B 2  C 2  0 là vectơ pháp tuyến của mp  P  thỏa yêu cầu bài toán. • mp  P  qua N  1;0; 1 nên phương trình mặt phẳng có dạng: A  x  1  By  C  z  1  0  Ax  By  Cz  A  C  0 . • mp  P  qua M 1; 2;1 suy ra A  2 B  C  A  C  0  A  B  C  0  A  C   B (1). • mp  P  cắt trục Ox tại A  a;0;0  suy ra A.a  A  C  0  A.a  B  0 . B B  a (Do nếu A  0  B  0  C  0 nên A  0 ). Suy ra A  ; 0;0  A  A  B  0 • mp  P  cắt trục Oy tại B  0; b;0  suy ra B.b  A  C  0  B.b  B  0   . b  1 TH1: B  0  A  C  0  A  C . Chọn C  1  A  1 . Phương trình mặt phẳng  P  có dạng: x  z  0 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  5. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  A  B  O  0;0;0  không thỏa yêu cầu. TH2: b  1  B  0;1;0  2  B AM  1    5 ; BN  3  A 2  B AM  3BN  1    5  3  A  B B  B 2 1  A  2  A  1  1    5  9     A 1  B  2 B  3  A  A  B •  1  B   A  C  0 . Chọn A  1  B  1 . A Phương trình mp  P  : x  y  1  0 B •  3  B  3 A  C  4 A . Chọn A  1  B  3  C  4 . A Phương trình mp  P  : x  3 y  4 z  3  0 Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu. 2 2 2 Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  2    y  3   z  4   2 và điểm A 1;2;3 . Xét các điểm M thuộc  S  sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với  S  , M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là A. 2 x  2 y  2 z  15  0 . B. 2 x  2 y  2 z  15  0 . C. x  y  z  7  0 . D. x  y  z  7  0 Lời giải Mặt cầu  S  có tâm I  2;3;4  bán kính r  2. Do AM là tiếp tuyến của mặt cầu  S  nên IM  AM  AM  AI 2  IM 2 Ta có AI  3; IM  2  AM  1. Gọi H là tâm đường tròn tạo bởi các tiếp điểm M khi đó ta có AHM đồng dạng với AMI AH AM AM 2 1 Suy ra   AH   AM AI AI 3   Gọi   là mặt phẳng chứa các tiếp điểm M . Khi đó   có vectơ pháp tuyến là n  AI  1;1;1 nên phương trình có dạng x  y  z  d  0 6d 1  d  5 Do d  A,     AH    6 d 1  3 3  d  7 Vậy 1  : x  y  z  5  0;  2  : x  y  z  7  0 4 Do d  I , 1     2 nên 1  không cắt  S  (loại) 3 2 Và d  I ,  2     2 nên  2  cắt  S  (TM) 3 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  6. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 2 2 2 Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  2    z  2   9 và hai điểm M  4; 4; 2  , N  6;0;6  . Gọi E là điểm thuộc mặt cầu  S  sao cho EM  EN đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu  S  tại E . A. x  2 y  2 z  8  0 . B. 2 x  y  2 z  9  0 . C. 2 x  2 y  z  1  0 . D. 2 x  2 y  z  9  0 . Lời giải Mặt cầu  S  có tâm I 1;2; 2  và bán kính R  3 . Gọi K là trung điểm của MN  K  5; 2; 4  và K nằm ngoài mặt cầu  S  .    Do đó IK   4; 4; 2  , MN   2; 4; 4  , MN  6 và IK  MN .  MN 2  Ta có EM  EN  2  EM 2  EN 2   2  EK 2  2   2 EK  36 .  2  Bởi vậy EM  EN đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi EM  EN và EK lớn nhất.  x  1  2t  Vì IK  MN nên EM  EN thì E thuộc đường thẳng IK :  y  2  2t . z  2  t  Tọa độ giao điểm E của đường thẳng IK với mặt cầu  S  ứng với t là nghiệm phương trình: 2 2 2 1  2t  1   2  2t  2    2  t  2   9  t  1 . Như vậy E1  3;0;3 hoặc E2  1; 4;1 .  Ta có E1 K  3 , E2 K  9 . Suy ra E   1; 4;1  IE   2; 2; 1 , nên phương trình tiếp diện của mặt cầu  S  tại E có phương trình: 2  x  1  2  y  4   1 z  1  0 hay 2 x  2 y  z  9  0 . Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với A 1; 2  , B  2; 3 , C  3;0  . Phương trình đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC là A. x  1 . B. y  2 . C. 2 x  y  0 . D. 4 x  y  2  0 . Lời giải Chọn A Bài toán tổng quát: Gọi d là phân giác ngoài góc A của tam giác ABC .  1     1       Đặt AE  . AB , AF  . AC và AD  AE  AF . AB AC Khi đó tứ giác AEDF là hình thoi (vì AE  AF  1 ). (Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau). Suy ra tia AD là tia phân giác trong góc EAF .  Do đó: AD  d . Nên AD là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d .    AB  1; 1 , AB  2   Áp dụng:      AD  2;0  2 1;0 .  AC   2;2  , AC  2 2  Xem đáp án chỉ có đáp án A có vectơ pháp tuyến là 1;0  . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  7. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ x 1 y z 1 Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :   và điểm A 1; 2;3  . Gọi  P  là 2 1 1 mặt phẳng chứa d và cách điểm A một khoảng cách lớn nhất. Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ pháp tuyến của  P  ?     A. n  1;0; 2  . B. n  1;0;  2  . C. n  1;1;1 . D. n  1;1;  1 . Lời giải Chọn C Gọi H là hình chiếu của A xuống mặt phẳng  P  . Từ H kẻ HM  d . Dễ thấy AM  d . Ta có AH  AM . Suy ra khoảng cách từ A đến  P  lớn nhất khi M  H , hay IM   P  .  x  1  2t   Phương trình tham số của d :  y  t  t    , véc-tơ chỉ phương là u   2;1;1 . z  1 t   M  d  M  1  2t ; t ;1  t   MA   2  2t; 2  t; 2  t  .     MA  u  MA.u  0   2  .  2  2t   1.  2  t   1.  2  t   0  t  0 .  Suy ra M  1; 0;1  MA   2;2;2  .    Do n  1;1;1 cùng hướng với MA nên n  1;1;1 là một véc-tơ pháp tuyến của  P  . Câu 7. Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng  P  và  Q  cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm A 1;1;1 và B  0;  2; 2  đồng thời cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm cách đều O . Giả sử  P  có phương trình x  b1 y  c1 z  d1  0 và  Q  có phương trình x  b2 y  c2 z  d 2  0 . Tính giá trị biểu thức b1b2  c1c2 . A. 7 . B. 9 . C. 7 . D. 9 . Lời giải Chọn B Vì  P  có phương trình x  b1 y  c1 z  d1  0 và  P  đi qua hai điểm A 1;1;1 và B  0;  2;2  1  b1  c1  d1  0 nên ta có   1  3b1  c1  0 1 .   2b1  2c1  d1  0  d   P cắt các trục tọa độ Ox , Oy tại A1  d1 ;0;0  , B1  0; 1 ;0  . Vì hai điểm cách đều O nên ta có  b1  d1 d1   b1  1 . Chọn b1  1 , thay vào 1 ta được c1  4 . b1 Vì  Q  có phương trình x  b2 y  c2 z  d 2  0 và  Q  đi qua hai điểm A 1;1;1 và B  0;  2;2  1  b2  c2  d 2  0 nên ta có   1  3b2  c2  0  2  .   2b2  2c2  d 2  0 Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  8. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12  d  Q cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại A2   d 2 ;0; 0  , B2  0; 2 ; 0  . Vì hai điểm cách đều O nên ta  b2  d2 có d 2   b2  1 . Vì b1  b2 nên ta chọn b2  1 , thay vào  2  ta được c2  2 . b2 Vậy b1b2  c1c2  9. Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  3; 0;1 , B 1;  1;3  và mặt phẳng  P : x  2 y  2z  5  0 . Đường thẳng  d  đi qua A , song song với mặt phẳng P sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d nhỏ nhất. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là  b u  1; b; c  . Khi đó bằng c b b 11 b 3 b 3 A.  11 . B.   . C.   . D.  . c c 2 c 2 c 2 Lời giải Chọn B B d H K Q) A     Gọi  Q  là mặt phẳng đi qua A  3; 0;1 và song song với  P   nQ  nP  1; 2; 2  Phương trình mặt phẳng  Q  : x  2 y  2 z  1  0 . Vì đường thẳng d đi qua A , song song với mặt phẳng  P  nên d   Q  . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của B lên đường thẳng d và mặt phẳng  Q  . Khi đó d  B,  d    BH  BK . Suy ra d  B, d min  BK  H  K .     Gọi  là đường thẳng đi qua B và vuông góc với mặt phẳng  Q   u  nP  1;  2; 2  x  1 t  Phương trình tham số  :  y  1  2t . Lấy H 1  t ;  1  2t ;3  2t    .  z  3  2t  10 Vì H   Q  nên 1  t   2  1  2t   2  3  2t   1  0  t   . 9  1 11 7    26 11 2  26  11 2  Suy ra H   ; ;  . Khi đó AH   ; ;    1; ;   .  9 9 9  9 9 9  9  26 26    11  2  11 2 Suy ra một vec tơ chỉ phương của d là ud  1; ;    b  , c   .  26 26  26 26 b 11 Vậy   . c 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  9. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ x y 1 z 2 Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :   và mặt phẳng 1 2 1  P : 2 x  y  2 z  2  0 . Q là mặt phẳng chứa d và tạo với mp  P  một góc nhỏ nhất. Gọi  nQ  a; b; 1 là một vectơ pháp tuyến của Q  . Đẳng thức nào đúng? A. a  b  1. B. a  b  2. C. a  b  1. D. a  b  0. Lời giải Chọn B   Đường thẳng d đi qua điểm M 0; 1; 2 và có vectơ chỉ phương ud  1; 2; 1.  Theo giả thiết, d  Q  và nQ  a; b; 1 là một vectơ pháp tuyến của Q  nên ta có    ud .nQ  0  a  2b  1  0  a  2b  1. 1   Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến nP  2; 1;  2 .       2a  b  2       Ta có cos  P , Q  cos nP , nQ      3. a2  b2  1 2   Thế 1 vào 2 ta được cos  P, Q   b 5b2  4b  2    Khi góc giữa  P  và Q  nhỏ nhất thì cos  P , Q  đạt giá trị lớn nhất. b b 1 Xét hàm số f b  , có f 'b   0  b  1 . 5b2  4b  2 3 5b 2  4b  2  Bảng biến thiên b 1 Từ đó suy ra với hàm số g b  có max g b  g 1  khi 2 5b  4b  2  3 b  1  a  1 Vậy: a  b  2. Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A2;1;3, B 6;5;5 . Gọi  S  là mặt cầu đường kính AB . Mặt phẳng  P  vuông góc với AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu  S  và mặt phẳng  P  ) có thể tích lớn nhất, biết rằng  P : 2 x  by  cz  d  0 với b, c, d   . Tính S  b  c  d . A. S  18. B. S  18. C. S  12. D. S  24. Lời giải Chọn B Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  10. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 A I D r H P B Cách 1.   Ta có AB   4; 4; 2  . Điểm H thuộc đoạn AB và không trùng với hai đầu mút nên ta giả sử    AH  t AB,  0  t  1 Khi đó tọa độ của điểm H là H  2  4t ;1  4t;3  2t  và AH  tAB  6t . Tâm của mặt cầu là trung điểm của AB có tọa độ I  4;3;4  , bán kính R  IA  3 2 Bán kính đường tròn đáy của nón là r  R 2  IH 2  9  9  2t  1  6 t  t 2 Thể tích khối nón: 3 1 1  t  t  2  2t  32 V   r 2 AH   .36.  t  t 2  .6t  36 t 2  2  2t   36 .     3 3  3  3 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t  2  2t  t  . 3  14 11 13  Khi đó H  ; ;  .  3 3 3   Mặt phẳng  P  qua H , nhận AB làm véc tơ pháp tuyến có phương trình:  14   11  13  2  x    2  y     z    0  2 x  2 y  z  21  0 .          3   3    3  b  2    Do đó: c  1  b  c  d  18.  d  21    Cách 2.   Ta có AB  4;4;2 . Gọi I là trung điểm AB  I 4; 3; 4. Bán kính mặt cầu là R  IA  3 . Giả sử IH  t . Xét điểm H  đối xứng với H qua I thì mặt phẳng qua H , H  cắt mặt cầu với đường tròn có cùng bán kính nên thể tích khối nón sẽ lớn hơn nếu H nằm khác phía A so với điểm I . Khi đó chiều cao của nón là AH  3  t 0  t  3 Bán kính mặt nón là: r  R 2  IH 2  9  t 2 . 1 1 π Thể tích khối nón là: V  π.r 2 .h  π 9  t 2 3  t   t 3  3t 2  9t  27 . 3 3 3 Xét hàm số f t   t  3t  9t  27, có 3 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  11. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ t  1 f ' t   3t 2  6t  9  0   t  3 loai  Bảng biến thiên  max f t   f 1  32 . Khi đó IH  1  AH  4. 0;3  x  2  2t     Đường thẳng AB nhận u 2; 2;1 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình  y  1  2t  z  3  t    Suy ra H 2  2t ;1  2t ;3  t  .  4 t   3 Mà IH  2t  2  2t  2  t 1  1  9t 2 18t  8  0   2 2 2  2 t   3 2  10 7 11  Với t   H  ; ;   AH  2. (loại). 3  3 3 3 4  14 11 13  Với t   H  ; ;   AH  4. 3  3 3 3 14 11 13   Khi đó, mặt phẳng  P  đi qua H  ; ;  và nhận vectơ u 2; 2;1 làm vectơ pháp tuyến nên   3 3 3   có phương trình là  14   11  13  2  x    2  y     z    0  2 x  2 y  z  21  0 .          3   3    3  b  2    Do đó: c  1  b  c  d  18.  d  21    Câu 11. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng  P : x  2 y  2z  5  0 . Xét mặt phẳng  Q  : x   2m  1 z  7  0 , với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá của m để mặt phẳng  P  tạo  với mặt phẳng  Q  một góc . 4 m  2 m  4 m  1 m  1 A.  . B.  . C.  . D.  . m  2 2 m  2 m  4 m   2 Lời giải Chọn C  Ta có vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  là n1  1; 2; 2  .  vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng  Q  là n 2  1; 0; 2m  1 . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  12. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12  1.1  2.0  2  2m  1 2 cos   P  ,  Q    cos   4 12  (2) 2  22 . 11  02   2m  1 2 2  2 4m  1  3 2 4m2  4m  2  64m2  32m  4  72m2  72m  36 m  1  8m 2  40m  32  0   . m  4 Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng là  P  : x  2 y  2 z  1  0 và  Q  :  x  2 y  2 z  11  0 và điểm A   2;1;1 . Một mặt cầu di động  S  đi qua điểm A đồng thời tiếp xúc với cả hai mặt phẳng  P  và  Q  có tâm I của nó nằm trên đường cong có độ dài bằng A. 2 2 . B. 2 . C. 4 . D. 2 3 . Lời giải Chọn D Ta viết lại mặt phẳng  Q  : x  2 y  2 z  11  0 . Ta có hai mặt phẳng  P  và  Q  song song với nhau nên mặt cầu  S  có bán kính: 1 1 11   1 R d  P  ; Q  .  2. 2 2 12   2 2  22 Gọi I là tâm mặt cầu, suy ra I    là mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng  P  và  Q  có dạng:   : x  2 y  2 z  d  0 1  d 11  d d    ,  P    d    ,  Q     d 5 3 3 Vậy   : x  2 y  2 z  5  0 . 2  2  2  5 Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng   , ta có: AH  d  A;      1. 3 Vậy tâm I của mặt cầu  S  thuộc đường tròn tâm H , bán kính r  IA2  AH 2  4  1  3 . Suy ra độ dài đường cong là chu vi đường tròn bằng 2 r  2 3 . Câu 13. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm B  2;1; 0  , C  2; 0; 2  , A 1;1;1 . Gọi  P  là mặt phẳng chứa BC và cách A một khoảng lớn nhất. Hỏi vecto nào sau đây là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng  P  ?     A. n   5; 2; 1 . B. n   5; 2;1 . C. n   5; 2; 1 . D. n   5; 2; 1 . Lời giải Chọn D      Ta có BC   P   BC.n P   0 , với BC   0; 1; 2      Xét đáp án A: n   5; 2; 1  BC.n  4 (loại).     Xét đáp án B: n   5; 2;1  BC.n  0 . Phương trình mặt phẳng  P  đi qua B  2;1; 0  và vtpt  n   5; 2;1 là: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
  13. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 5  x  2   2  y  1  z  0  5 x  2 y  z  12  0 5.1  2.1  1  12 4  d  A,  P     2 2 5  2 1 30     Xét đáp án C: n   5; 2; 1  BC.n  4 (loại).     Xét đáp án D: n   5; 2; 1  BC.n  0 . Phương trình mặt phẳng  P  đi qua B  2;1; 0  và nhận  vtpt n   5; 2; 1 là: 5  x  2   2  y  1  z  0  5 x  2 y  z  8  0 5.1  2.1  1  8 6  d  A,  P     2 2 5  2 1 30 4 6 Vì  nên chọn D. 30 30 Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  2 z  0 và A  2; 2;0  . Viết phương trình mặt phẳng  OAB  biết B thuộc mặt cầu  S  , có hoành độ dương và tam giác OAB đều. A. x  y  z  0. B. x  y  z  0 C. x  y  2 z  0 D. x  y  2 z  0 Lời giải Chọn A Gọi B  x; y; z  và H là trung điểm của OA . Khi đó H 1;1;0  .    BH  OA  x  y  2  0 1 . Do tam giác OAB đều nên OA  OB  x 2  y 2  z 2  8 , kết hợp B thuộc mặt cầu nên có pt: x yz  4 (2)  x y 2 x  2 Từ 1 ,  2   z  2 . Từ đó có  2 2  (do B có hoành độ dương). x  y  4  y  0         OA  2; 2;0  , OB  2;0; 2   OA, OB    4; 4; 4   4 1; 1; 1 .   Vậy ptmp  OAB  : x  y  z  0 . Câu 15. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng  P  : x  y  z  1  0 và  Q  : 2 x  y  z  6  0 . Viết phương trình mặt phẳng  R  đi qua điểm A  1;0;3 và chứa giao tuyến của  P  và (Q) . A. 2 x  y  z  1  0 . B. x  2 y  2 z  7  0 . C. x  2 y  2 z  5  0 . D. x  2 y  2 z  5  0 . Lời giải Chọn C Giao tuyến của  P  và (Q ) là đường thẳng d có vectơ chỉ phương      u   nP , nQ    0 ;  3 ;  3   7 7 Trên đường thẳng d lấy điểm B  ; 1 ;  , 3 3   10  2     khi đó AB   ;1;  , a  3. AB  10 ; 3 ;  2  .  3 3     Mặt phẳng ( R ) có một vectơ pháp tuyến là n  u , a   15 ;  30 ; 30     Khi đó n '  1 ;  2 ; 2  cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( R ) . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  14. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 Phương trình ( R ) : x  2 y  2 z  5  0 . 2 2 2 Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  1   z  1  9 và điểm A  2;3; 1 . Xét các điểm M thuộc  S  sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với  S  . Hỏi điểm M luôn thuộc mặt phẳng nào có phương trình dưới đây? A. 3x  4 y  2  0 . B. 3x  4 y  2  0 . C. 6 x  8 y  11  0 . D. 6 x  8 y  11  0 . Lời giải Chọn B Mặt cầu  S  có tâm I  1;  1;  1 và bán kính R  3 . Do AM là tiếp tuyến của mặt cầu  S  nên IM  AM suy ra AM  AI 2  IM 2 . Ta có AI  5, IM  R  3 . Suy ra AM  AI 2  IM 2  4 Tập hợp các tiếp điểm M tạo thành đường tròn có tâm là H . Khi đó ta có AHM đồng dạng với AMI AH AM AM 2 16 Suy ra   AH   AM AI AI 5 Gọi   là mặt phẳng chứa các tiếp điểm M . Khi đó   có vectơ pháp tuyến là   n  AI   3; 4;0  nên phương trình   có dạng 3 x  4 y  d  0  3 x  4 y  d  0 18  d 16  d  2 Do d  A,     AH    18  d  16   5 5  d  34 Vậy 1  : 3x  4 y  2  0;  2  : 3x  4 y  34  0 9 Do d  I , 1     3 nên 1  không cắt  S  (nhận) 5 41 Và d  I ,  2     3 nên  2  cắt  S  (loại) 5 Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P : x  2 y  z 1  0 ,  Q  : 2 x  y  2 z  4  0 . Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng  P  sao cho điểm đối xứng của M qua mặt phẳng  Q  nằm trên trục hoành. Cao độ của M bằng A.  3 . B. 1 . C.  8 . D.  5 . Lời giải Chọn C Gọi A  a; 0; 0   Ox là điểm đối xứng với M qua mặt phẳng  Q  .  xM  a  2 k  xM  a  2 k      Ta có: AM  k nQ   yM  0   k   yM   k  M  a  2k ;  k ; 2k  .  z  0  2k  z  2k  M  M  k  Gọi I là trung điểm của AM , suy ra: I  a  k ;  ; k   2  M   P   a  2k   2k  2k  1  0   a  2 k  1  0 a  7 Ta có:   k   . I  Q    2  a  k    2k  4  0 4a  9k  8  0 k  4  2 Vậy z M  8 . Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho A(3;0;0), B(0;3;0), C (0;0;3). Gọi ( P) là mặt phẳng chứa cạnh AB và vuông góc với ( ABC ) . (C ) là đường tròn đường kính AB và nằm trong mặt phẳng ( P) . Gọi S là một điểm bất kỳ nằm trên (C ) , S khác A, B . Khi đó khoảng cách từ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S . ABC đến mặt phẳng (Q) : 2 x  3 y  z  1  0 bằng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
  15. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 7 3 6 3 A. . B. . C. . D. . 14 2 14 14 14 Lời giải Chọn A C J I A H B (C) S  Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC không phụ thuộc vị trí điểm S . 3 3  Gọi H  ; ; 0  là trung điểm AB. Suy ra H là tâm của (C ) và CH  AB  CH  (SAB) hay 2 2    3 3  3 CH là trục của đường tròn (C ) . Có CH   ; ; 3   1;1; 2  suy ra CH có phương trình 2 2  2 x  t; y  t; z  3  2t. 3 3  Mặt phằng trung trực đoạn AC đi qua trung điểm J  ;0;  của AC và có VTPT là 2 2  3 3 AC   3; 0;3  3 1;0; 1 nên có phương trình: ( x  )  ( z  )  0 hay ( ) : x  z  0 2 2  Suy ra tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là giao điểm I của CH và ( ) , tìm được 2  3 11 7 I 1;1;1 . Do đó d ( I , (Q ))   4  9 1 14 Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng   : 3x  2 y  2 z  7  0 và    : 5x  4 y  3z  1  0 . Phương trình mặt phẳng  P  đi qua gốc tọa độ đồng thời vuông góc với   và    là A. 2 x  y  2 z  0 . B. 2 x  y  2 z  0 . C. 2 x  y  2 z  1  0 . D. x  y  2 z  0 . Lời giải Chọn B  Mặt phẳng   : 3x  2 y  2 z  7  0 có véc tơ pháp tuyến là n1   3;  2; 2   Mặt phẳng    : 5x  4 y  3z  1  0 có véc tơ pháp tuyến là n2   5;  4;3    Do mặt phẳng  P  đồng thời vuông góc với   và    nên  P  nhận véc tơ n1 và véc tơ n2 làm cặp véc tơ chỉ phương  mặt phẳng  P  có một véc tơ pháp tuyến là:   2 2 2 3 3 2  n  ; ;    6  8;10  9;  12  10    2;1;  2   4 3 3 5 5 4   Mặt phẳng  P  đi qua gốc tọa độ và có véc tơ pháp tuyến là n   2;1;  2  nên phương trình mặt phẳng  P  là 2 x  y  2 z  0 . 2 2 Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S  :  x  4   y 2   z  3  16 . Từ gốc toạ độ O kẻ tiếp tuyến OM bất kì ( M là tiếp điểm) với mặt cầu  S  . Khi đó điểm M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình nào sau đây? Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  16. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 A. 4 x  3z  9  0 . B. 4 x  3z  9  0 . C. 4 x  3z  6  0 . D. 4 x  3 z  15  0 . Lời giải Ta có: Mặt cầu  S  có tâm là I  4; 0;3  , bán kính R  4 .  Ta có: OI   4; 0;3   OI  5 . Vì OM là tiếp tuyến của mặt cầu S  nên ta có: OM  IM  OM  OI 2  IM 2  OI 2  R 2  3 . Suy ra M luôn thuộc mặt cầu  S   có tâm là gốc toạ độ O , bán kính R  3 . Ta có phương trình mặt cầu  S   : x 2  y 2  z 2  9 Vậy M   S    S    tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:  x  4 2  y 2   z  32  16 1   2 . Trừ vế theo vế (1) và (2) ta có pt 4 x  3z  9  0 . 2 2 x  y  z  9   2 Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/ Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
25=>1