intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề: Phương trình-bất phương trình-hệ phương trình vô tỷ

Chia sẻ: Dinh Trang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST
Báo xấu
92
lượt xem 17
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo ôn tập toán

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề: Phương trình-bất phương trình-hệ phương trình vô tỷ

  1. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM PHẦN I  x  4  2  3x  2 2x 2  3x  1 ------------------------------------------------------------------  2x  1  2x 2  3x  1 PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH 2x  1  0 -------------------------------------------------------------------  (2x  1)  2x  3x  1 2 2 CÁC D ẠNG CƠ BẢN 2x  1  0  2 B  0 B  0 4x  4x  1  2x  3x  1 2 ► A B ► A  B A  B A  B 2  1  x   2 1 x   B  0  x0  B  0 2  ► A  B ► A  B  A  0 x  0  x   7 2x 2  7x  0  A  B   A  B2  2  So điều kiện nhậ n x  0  A  0 Vậy: x  0  B  0 ► A B   B  0 x 2  4x  5  3x  17  3.   A  B2   x 2  4x  5  0  TỔNG QUÁT:  3x  17  0 Đối với những những phƣơng trình, bất phƣơng  x 2  4x  5  (3x  17) 2  trình không có dạ ng chuẩn nhƣ trên, ta thự c hiện: - Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa,   x  1  x  5 x  1  x  5  - Chuyển vế sao cho 2 vế đều không âm,     - Bình phƣơng cả hai vế để k hử căn. 17 17  x   x  3 3   VÍ D Ụ - BÀI T ẬP 8x  98x  294  0  2 21 Ví dụ 1: Giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau:  x  4  x  7  x7 4  2x  x 2  x  2 1. Vậy: x  7 x  4  1  x  1  2x 2. x 2  4x  5  3x  17 3. 3x 2  19x  20  4x  4 4. 3x 2  19x  20  4x  4 4. 4x  4  0 4x  4  0 x  12  2x  1  x  3  2  2 5. 3x  19x  20  0 3x  19x  20  (4x  4) 2 x  1 x  1 4  2x  x 2  x  2  1.  4  2 x  2  0  x  5  x   3 13x  51x  4  0    4  2x  x   x  2  2 2  x  1  4 x  2 x  2  x  5    x  1   1  2   x 3  13  x  4 3 x  0  x  3  x  3x  0  Vậy: x  3 4  x  5    x  1  1  x  4 3 x  4  1  x  1  2x 2. 4 Vậy: x  5    x  1  1  x  4  x  4  1  x  1  2x 3 x  4  0  1 Điều kiện: 1  x  0  4  x  x  12  2x  1  x  3 5. 2 1  2x  0   x  12  x  3  2x  1 (*) Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 1
  2. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM x  9  x  12  0  2  Điều kiện:  x  3  0  x  3 4x  6x  54  0 2x  1  0 x  9   9   x   x  3 ( *)  x  12  x  3  2x  1 9  x  2  x  3 2   x  12  x  3  2x  1  2 (x  3)(2x  1) So điều kiện nhậ n x  3  14  2x  2 (x  3)(2x  1) Vậy: x  3  (x  3)(2x  1)  7  x x 2  16 (x  3)(2x  1)  0 5  x 3  2. (2)  x 3 x 3  7  x  0 (x  3)(2x  1)  49  14x  x 2  x  4  x  4  x 2  16  0   x4 Điều kiện:  x  3 x  3  0  1 x   2  x  3 x  3  0 nên quy đồng bỏ mẫu ta đƣợc:  Do  x  7 (2)  x 2  16  8  x  x 2  9x  52  0    x 2  16  0    8  x  0  1  x   2  x  3 8 x  0   1 2  x  7  x   3 x  4   x  16  (8  x) 2  2  x  4  x  13    x  4  x  4   x  8 x  8  So điều kiện 3  x  4 .   x 5 x  8 5  x  8 Vậy: 3  x  4   16x  80  Ví dụ 2: Giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau: So điều kiện nhậ n x  5 Vậy: x  5 6  3  x  9  5x 1. 3 x 3. (x  1) 16x  17  8x 2 15x  23 (3) x  16 2 5  x 3  17 2. Điều kiện: 16x  17  0  x   x 3 x 3 16 3. (x  1) 16x  17  8x 15x  23 2 (3)  (x  1) 16x  17  (x  1) 8x  23   4. (x  3) x  4  x  9 2 2  (x  1) 16x  17  8x  23  0 2x 2  8x  6  x 2  1  2x  2 5.  x  1  51  2x  x 2 1  16x  17  8x  23 6. 1 x  x  1    8x  23  0 6  3  x  9  5x (1)  16x  17  64x 2  368x  529 1. 3 x  3  x  0  x  1 9 x Điều kiện:   9  5x  0  x  1 5  23  x   x  4  (1)  9  x  5x 2  24x  27 8 x  2  x  4  9  x  0  So điều kiện nhậ n x  1 hoặc x  4 81  18x  x  5x  24x  27 2 2 Vậy: x  1 hoặ c x  4 www.mathvn.com Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 2
  3. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM   2 4. (x  3) x 2  4  x 2  9 (4) (5)  (x  1)(2x  6)  (x  1)(x  1)  2 x 1 Điều kiện: x 2  4  0  x  2  x  2  2x  6  x  1  2 x  1   (4)  (x  3) x  4  x  3  0 (*) 2  2x  6  x  1  2 (2x  6)(x  1)  4(x  1)  x  1 Do ta chƣa biết dấu của ( x  3) nên ta chia làm 3  2 (2x  6)(x  1)  x  1 trƣờng hợp:  4(2x  6)(x  1)  (x  1) 2  Trƣờng hợp 1: x  3  7x 2  18x  25  0 ( *)  x  4  x  3 2 x  1  x  3  0   x 1  2 25 x   7 x  4  0   x 3 0  Vậy: x  1 hoặc x  1 2   x  4  x 2  6x  9  51  2x  x 2   x  3  1 (6) 6.  1 x  x  2  x  2  Điều ki ện:   x  3   51  2x  x 2  0 1  2 13  x  1  2 3  6x  13    1  x  0 x  1   x  3 Do ta chƣa biết dấu của (1  x) nên ta chia làm 2 13  x 13  3  x   trƣờng hợp. 6  6  Trƣờng hợp 1: 1  x  0  x  1  Trƣờng hợp 2: x  3 thỏa (*) (6)  51  2x  x 2  1  x  Trƣờng hợp 3: x  3 1  x  0 ( *)  x 2  4  x  3   51  2x  x 2  0  x2  4  x  3 51  2x  x 2  (1  x) 2  x 2  4  0  x  1  x  3  0   x 2  4  x 2  6x  9  1  2 13  x  1  2 13   x  5  x  5   x  2  x  2   1  2 13  x  5   x  3 6x  13  Trƣờng hợp 2: 1  x  0  x  1  (6)  51  2x  x 2  1  x x  2    x2 x 3 1  x  0 13 x   6   51  2x  x  0 2 13 x  1 hoặ c x  3 Vậy: x    6 1  2 13  x  1  2 13   1  x  1  2 13 2x 2  8x  6  x 2  1  2x  2 (5) 5. Vậy: 1  2 13  x  5 hoặc 1  x  1  2 13 2x 2  8x  6  0  Điều kiện:  x 2  1  0  x  1  x  1 2x  2  0   Trƣờng hợp 1: x  1 thỏa (5).  Trƣờng hợp 2: x  1 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 3
  4. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM Ví dụ 3: Giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau:  14x  49  7  0  14x  49  7 x  3  2 x  4  x  2 x 1  1 1.  7 14x  49  0 x  x  14x  49  x  14x  49  14 7 2.    x7 2 14x  98 2 x  7 3 x  2 x 1  x  2 x 1   3. 2 7 Vậy:  x  7 2 x  3  2 x  4  x  2 x 1  1 1.  x  4  2 x  4  1  x 1  2 x 1 1  1 3 x  2 x 1  x  2 x 1  3.     2 2 2  x  4 1  x 1 1 1 3  x 1  2 x 1  1  x 1  2 x 1  1   x  4 1  x  1  1  1 (1) 2     3 2 2 x  4  0  x 1 1  x 1 1  x4 Điều kiện:  2 x  1  0 3  x 1 1  x 1 1  (1)  x  4 1  x 1 1  1 2 3  x  4 1  2  x 1  x 1  1  x 1 1  (3) 2 2  x  1  0 Điều kiện: x 1  0  x  1     x  4  1  2  x  1 1 (3)  x  1  1   x  1  2  x  4  1  2  x  1   1  x 1 1  2  x 1 x  5      VN do x  5  x  4  1  x  1  1  1  x  1  (*)   2  x  1  1  x  4  ( *) luôn đúng nên hệ đúng với mọi x thỏa điều kiện. x  5  Vậy: x  1  x  1  1  x  4  2 x  4  Chú ý: CÁC D ẠNG PHƢƠNG TRÌNH – B ẤT x  5  x  5 PHƢƠNG TRÌNH CHỨ A D ẤU TRỊ T UYỆT ĐỐI    x5  x  4  1 x  5 B  0  A  B  Vậy: x  5 ► A  B  A  B ►A  B   A  B    A  B x  14x  49  x  14x  49  14 ► A  B  (A  B)(A  B)  0 2.  14x  14 14x  49  14x  14 14x  49  14 A  B A  B ► A B ► A B  A  B  A  B  ( 14x  49  7)  ( 14x  49  7)  14 2 2  14x  49  7  14x  49  7  14 (2) 49 Điều kiện: 14x  49  0  x  14 (2) Đặt t  14x  49  7  14x  49  t  7 Phƣơng trình trở thành: t  7  7  t  14  t  t  t  0 www.mathvn.com Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 4
  5. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM x  3  3x  1  2 x  2x  2 (2) 2. GI ẢI PHƢƠNG TRÌNH HỆ QU Ả x  3  0 3x  1  0 ► A B C 3 3 3  x0 Điều ki ện:    x0  A  B  3 3 A.B A 3 B C 3  2x  2  0  A  3 B  3 C t a đƣợc: 3 Thay (2)  3x  1  2x  2  4x  x  3 (*)  A  B  3 3 A.B.C  C  5x  3  2 (3x  1)(2x  2)  5x  3  2 4x(x  3) ► f (x)  g(x)  h(x)  k(x)  (3x  1)(2x  2)  4x(x  3) f (x)  h(x)  g(x)  k(x)  6x 2  8x  2  4x 2  12x Mà có:  f (x).h(x)  g(x).k(x)  2x 2  4x  2  0  Biến đổi phƣơng trình về dạng:  x 1 f (x)  h(x)  k(x)  g(x) Thử lại nhậ n x  1  Bình phƣơng, giải phƣơng trình hệ quả Vậy: x  1 VÍ D Ụ VÀ BÀI T ẬP Ví dụ 1: Giải phƣơng trình sau: Nhận xét:  Do ta chƣa xác định đƣợc 2 vế phƣơng trình x 1  3 x  2  3 x  3  0 3 1. (*) đều dƣơng nên khi bình phƣơng ta chỉ thu đƣợc phƣơng trình hệ quả. x  3  3x  1  2 x  2x  2 2. w  Bài toán vẫn có thể giải theo cách bi ến đổi x3  1 tƣơng đƣơng nhƣng so với cách này thì phứ c tạp.  x 1  x2  x 1  x  3 3. x 3 x3  1 x 1  3 x  2  3 x  3  0 3 1.  x  1  x 2  x  1  x  3 (3) 3. x 3  3 x 1  3 x  2   3 x  3 Điều ki ện: x  1      x  3 3  x 1  3 x  2 3 x3  1 (3)   x  3  x2  x 1  x 1   x 3  2x  3  3 3 x  1 3 x  2 x  1  3 x  2  x  3 3 2  x3  1    x 1  3 x  2   3 x  3 3 2 Ta thay   x 3  x2  x 1  x 1  x 3   3 3 (x  1)(x  2)(x  3)  3(x  2)   x 1  (x  1)(x  2)(x  3)  (x  2)3 3   x2  x 1 x 3  (x  2) (x  1)(x  3)  (x  2) 2   0   x  1  3  (x  2)(1)  0  x 2  2x  2  0   x  1  3 x2  Thử lại nhậ n x  2 Thử lại nhậ n x  1  3 ; x  1  3 Vậy: x  2 Vậy: x  1  3 ; x  1  3 Nhận xét: Nhận xét chung:  Khi thay 3 x  1  3 x  2   3 x  3 ta chỉ nhậ n  Thấy trƣờng hợp phƣơng trình căn bậ c ba và đƣợc phƣơng trình hệ quả do phƣơng trình đầu chƣa phƣơng trình chứa bốn căn bậ c hai nhƣ trên thì ta có biết có nghi ệm hay không? thể nghĩ đến phƣơng trình hệ quả.  Bài toán cũng có thể giải:  Nếu khi giải cách phƣơng trình ở phần trƣớc  3 x 1  3 x  2   3 x  3 cả m thấy khó khă n trong việc giải các điều kiện và sợ     “sót điều kiện” thì ta cũng có thể giải bằng phƣơng 2x  3  3 x  1 x  2 x  1  x  2   x  3 trinh hệ quả sau đó thử lại. 3 3 3 3  Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 5
  6. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM  t  1 CÁC D ẠNG ĐẶT MỘT ẨN PHỤ t 2  3t  4  0   t4 t  4 ► a.f (x)  b f (x)  c  0; a  0. Với t  4  x 2  5x  42  2  x 2  5x  14  0  x  2; x  7 Phƣơng pháp: Đặt t  f (x), t  0 Vậy: x  2 hoặc x  7 ► a( A  B)  b(A  B  2 AB)  c  0 2. 2x 2  15  x 2  5x  6  10x Phƣơng pháp: Đặt t  A  B  2x 2  10x  15  x 2  5x  6  0 a. A  b. AB  c. B  0 n n 2 2 n Điều kiện: x 2  5x  6  0  x  1  x  6  ► a.A  x   bB  x   c A  x  .B  x  Đặt t  x 2  5x  6 (t  0)  A  B  mA 2  nB2  t 2  x 2  5x  6  Phƣơng pháp: Bằng cách đặt ẩn phụ u, v ta đƣa đƣợc  x 2  5x  t 2  6 về dạng phƣơng trình: u 2  uv  v2  0 Bất phƣơng trình trở thành:  B1: Thử trƣờng hợp v = 0 2(t 2  6)  15  t  0  B2: Xét v  0 phƣơng trình trở thành :  3 t   2  t  1 2 u u  2t  t  3  0         0 2  v v t  1 u Đặ t t = phƣơng trình trở thành Với t  1  x 2  5x  6  1 v t 2  t    0  x 2  5x  6  1  x 2  5x  7  0 ►Tham số biến thiên 5  53 5  53 x x 2 2 VÍ D Ụ VÀ BÀI T ẬP 5  53 5  53 Ví dụ 1: Giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau: Vậy: x  x 2 2 1. (x  4)(x  1)  3 x 2  5x  2  6 2x 2  5x  2  2 2x 2  5x  6  1 2. 2x 2  15  x 2  5x  6  10x 3. Điều kiện: 2x 2  5x  6  0 2x 2  5x  2  2 2x 2  5x  6  1 3. 5  73 5  73 x 1 x 3 x x   4. x 1 4 4 x 2 Đặt t  2x  5x  6 (t  0) 2  2x 2  5x  2  t  8 1. (x  4)(x  1)  3 x 2  5x  2  6 Phƣơng trình trở thành:  x 2  5x  4  3 x 2  5x  2  6 t 8  2 t 1  x 2  5x  2  3 x 2  5x  2  0  t  8  1 2 t Điều kiện: x 2  5x  2  0   2  t  8  1 2 t 5  17 5  17 x x 7  3t  0 2 2  4 t  7  3t    t 1 16t  (7  3t) Đặt t  x 2  5x  2 (t  0) 2  t 2  x 2  5x  2 7 Với t  1  2x 2  5x  6  1  x  1; x   2  x 2  5x  t 2  2 7 Phƣơng trình trở thành: Vậy: x  1 hoặc x   2 www.mathvn.com Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 6
  7. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM Ví dụ 2: Giải các phƣơng trình sau: x 1 x 3   4. x 1 x 2 x  1  4  x  x 2  3x  4  5 1. x  0  x  0  x 1 Điều kiện: 2x  3  x  1  3x  2 2x 2  5x  3 16 2. x 1 x Đặ t t  (t  0) x  1  4  x  x 2  3x  4  5 1. x 1  x  1  4  x  (x  1)(4  x)  5 Bất phƣơng trình trở thành: x  1  0 13  1  x  4 Điều ki ện:  t  4  x  0 t 2 Đặ t t  x  1  4  x (t  0)  2t 2  3t  2  0  t 2  x  1  4  x  2 (x  1)(4  x) 1 t t 2 t2  5 2  (x  1)(4  x)  2 1 x 1 Với t    Phƣơng trình trở thành: x 1 2 2 t2  5 x 1 t 5 0  x 1 2 2 t  3 x  0  x  1  t 2  2t  15  0    t 3   t  5 1  x  1 22  5  1  x  0   x  3x  4  2 2 x Với t  2  2 x  0   x 2  3x  4  2   x 2  3x  0   x 1 x  3 x  2 Vậy: x  0 hoặ c x  3 x 1 x  2x  2  0 2x  3  x  1  3x  2 2x 2  5x  3 16 2. x 1 2x  3  0 x  2    0 1 x  2 Điều ki ện:  x  1  0  x  1 x 1 2x 2  5x  3  0 Vậy: 1  x  0 hoặ c 1  x  2  Đặt t  2x  3  x  1 (t  0)  Cách khác:  t 2  3x  4  2 2x 2  5x  3 x 1 x 3    3x  2 2x 2  5x  3  t 2  4 ( *) x 1 x 2 Phƣơng trình trở thành: x  0  x  0  x 1 Điều kiện: t  5 x 1 t  t 2  4  16  t 2  t  20  0    t  4 (loaïi) 2 x x 1  9   ( *)   Với t  5  2x  3  x  1  5  x 1 x 2    3x  2 2x 2  5x  3  52  4 x 1 5 x     2 2x 2  5x  3  21  3x x 1 x 2 1  x  7 2x  2(x  1)  5x(x  1) 2 2  2  0 2(x  1)x  x  146x  429  0 1  x  7 x 2  x  2  0  1  x  0 hoặc 1  x  2    x3 2(x  1)x  x  3  x  143 Vậy: x  3 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 7
  8. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM Ví dụ 3: Giải các phƣơng trình sau: x 1 x 1  22 5 2 x  x 1 x  x 1 2 1. 4 3 (x  2)2  7 3 (4  x 2 )  3 3 (2  x) 2  0 x 1 Đặ t t  (t  0)   2. 2 x  2  5 x  1 2 3 x  x 12 Phƣơng trình trở thành: 3. x 2  3 x 2  1  x 4  x 2  1 t  2 2t  5t  2  0   1 2 t  1. 4 (x  2)  7 (4  x )  3 (2  x)  0 (1) 2 2 2 3 3 3 2 Ta có: 2  x  0  x  2 không là nghi ệm phƣơng x 1 x 1 Với t  2  2 2  4 (VN) (2  x) 2 ta đƣợc: trình. Chia 2 vế cho: 3 x  x 1 x  x 1 2 x 1 x 1  x2 x2 2 1 1 1 Với t   2  (1)  4 3    73 3  0 x  x 1 2 x  x 1 4  2x  2x 2 2 5  37 x2 x Đặ t t  phƣơng trình trở thành: 3 2 2x 5  37 t  1 Vậy: x  4t  7t  3  0   3 2 2 t  Nhận xét: 4  Khó khăn của ta là trong vi ệc phân tích: x2 x 2 2  x 2  2   2(x 2  x  1)  2(x  1) . Với t  1  3 1  1  x  0 2x 2x  Việc này có thể thực hiện dễ dàng do: x2 3 x  2 27 74 3 Với t  3   x x3  1  (x  1)(x 2  x  1) 2x 4 2  x 64 4 91 74  Bằng cách đồng nhất hệ số: Vậy: x  0 hoặc x  (x 2  x  1)  (x  1)2  x 2  2   2(x 2  2) 91 ta dễ dàng chọn  và  .  Cách khác:  Một số khai triển đa thức thành nhân tử : 4 3 (x  2)2  7 3 (4  x 2 )  3 3 (2  x) 2  0  x 3  1   x  1  x 2  x  1 Đặt u  3 x  2 và v  3 2  x Phƣơng trình trở thành:  x 4  x 2  1   x 4  2x 2  1  x 2 4u 2  7uv  3v2  0   x 2  x  1 x 2  x  1 Do v  0 không là nghiệm phƣơng trình. Chia 2 vế cho v  0 ta đƣợc:     x 4  1  x 2  2x  1 x 2  2x  1 u2 u u u3 4 2  7  3  0   1   4x 4  1   2x 2  2x  1 2x 2  2x  1 v v v v4 x2 x 2 u 3. x 2  3 x 2  1  x 4  x 2  1 Với  1  3 1 1 x  0 2x 2x v Điều kiện: x 2 1  0  x  1 x  1 x2 3 x  2 27 74 u 1 3   x Với Ta đặt: u  x 2 , v  x 2  1 (u, v  0) . 2x 4 2  x 64 v 91 Phƣơng trình trở thành : 74 Vậy: x  0 hoặc x  u  3v  u 2  v2 91  u 2  6uv  9v2  u 2  v2   2. 2 x  2  5 x  1 (2) 2 3 v  0  10v  6uv  0   Điều kiện: x  1  0  x  1 v0 3 2 v   3 u (2)  2(x 2  x  1)  2(x  1)  5 (x  1)(x 2  x  1)  5 Do  x 2  x  1  0  chia hai vế cho  x 2  x  1 : Với v  0  x 2  1  0  x 2  1  x  1 Vậy: x  1 www.mathvn.com Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 8
  9. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM Ví dụ 4: Giải các phƣơng trình sau: ĐẶT ẨN PHỤ Đ ƢA VỀ HỆ 1. x 2  2(x  1) x 2  x  1  x  2  0 Phƣơng pháp chung:  x  1 x  2x  3  x  1  Đặt các ẩ n phụ. Tìm mối liên hệ giữa các ẩn 2 2 2. phụ. Kết hợp với phƣơng trình ban đầu của bài toán ta đƣợc hệ phƣơng trình. 1. x 2  2(x  1) x 2  x  1  x  2  0 (1)  Lƣu ý các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình. Điều kiện: x 2  x  1  0  x   Ví dụ 1: Giải các phƣơng trình sau: (1)   x 2  x  1  2(x  1) x 2  x  1  2(x  1)  1  0   1. x 3 25  x 3 x  3 25  x 3  30 Đặt t  x 2  x  1; t  0. phƣơng trình tr ở thành: t  2(x  1)t  2x  1  0, t  0 ,  '  x 2 2 2. 3 1  x  3 1  x  2 t  1 3. 3 2  x  1  x  1   t  1  2x 4. x3  1  2 3 2x  1 Với t  1  x2  x  1  1  x  0; x  1.  3x  1  3  3x  1  3 9x 2  1  1 2 2 3 5. Với t  1  2x  x2  x  1  1  2x   1  2x  0 1. x 3 25  x 3 x  3 25  x 3  30  2  x  x  1  (1  2x) 2 Đặt y  3 35  x 3  x 3  y3  35  1 x  Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau:  2 x0  xy(x  y)  30 3x  5x 2  3  x  y  35 3 Vậy: x  0 hoặc x  1 Đây là hệ đối xứng loại 1. Giải hệ ta tìm đƣợc cặp nghiệm là (2;3) hoặ c (3;2)  x  1 x 2  2x  3  x 2  1 2. Vậy: x  2 hoặc x  3   x  1 x 2  2x  3  x 2  2x  3  2x  2 1 x  3 1 x  2 3 Điều kiện: x 2  2x  3  0  x   2. u  3 1  x  Đặt t  x 2  2x  3 . Phƣơng trình trở thành: Đặ t  .  x  1 t  t 2  2x  2 v  3 1  x  Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau: t  2  t 2   x  1 t  2  x  1  0   u  v  2 t  x 1 2 u  v  2 2 x  1  2 Với t  2  x 2  2x  3  2   u  v  2  u  v 1 x  0 x  1  2    uv  1 Với t  x  1  x 2  2x  3  x 1 Vậy: x = 0. x  1  0  2 (VN) 3. 3 2  x  1  x  1 x  2x  3  x 2  2x  1  Điều ki ện: x 1  0  x  1 Vậy: x  1  2 u  3 2  x  Đặ t  v  x 1 (v  0)  Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau: u 3 + v 2 = 1 u(u 2  u  2)  0   v  1 u u + v = 1  Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 9
  10. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM Ví dụ 2: Giải các phƣơng trình sau:  u  0 x2    u 1  x 1   x 3   u  2 1. 2x 2  4x    x  10 v  1  u  2  2. x  x  1000 1  8000x  1000 2 Vậy: x  2 hoặc x  1 hoặ c x  10 3. 4x 2  7x  1  2 x  2 4 4. 3 81x  8  x 3  2x 2  x  2 4. x3  1  2 3 2x  1 3 Đặt y  3 2x 1  y3  1  2x . 5. 7x 2  13x  8  2x 2 . 3 x(1  3x  3x 2 ) Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau: 6. 4x 2  11x  10  (x  1) 2x 2  6x  2  x 3  1  2y  3  y  1  2x  x 3  x 3  1  2y 1. 2x 2  4x    3 2  x  y  2(y  x) 3  Cách 1:  x 3  1  2y x 3   2x 2  4x  (1) (x  y)(x  xy  y  2)  0 2 2  2 Điều kiện: x  3 . 2  y 3 (Do x 2  xy  y 2  2   x    y 2  2  0 ) (x  1)  2 (1)  2(x  1)2  2   2 4 2  x  1  2y 3  1 x 1  (x  1)2  1  1 . x  y  0 2 2 x  1 2  x 3  1  2x t  y 1  x 1  t  x  1  5 Đặt t  x  1; y  1  1   2. x  y  0 2 2  y  0   2 1  5 Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau: Vậy: x  1 hoặc x  2 1 2 t 1  y   2   y2  1  1 t  3x  1  3  3x  1  3 9x 2  1  1 2 2 3 5.   2 Đặt: u  3 3x  1 và v  3 3x  1 t  y 1  (t  y)(t  y  )  0   Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau:  y  t  1 2 u  v  u.v  1 2 2  2 3 u  v  2 3  2 t 2t 2  t  2  0 t  1  uv  2u  v2 Với t  y    2 t  0 t  y  0 Do đó:   v  2   v2  v  v  2   1 2 1  17 3  17 t x (thỏa).  3v 2  6v  3  0 4 4  3  v  1  0 2 12 t 4t 2  2t  3  0 (t  2 )  1  2   1  v  1  u  1 Với y   t     1 t   1 2 u  3 3x  1  1 t   2    x0 2  v  3 3x  1  1  1  13 5  13 t x (thỏa) Vậy: x  0 4 4 3  17 5  13 Vậy: x  ;x  . 4 4 www.mathvn.com Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 10
  11. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM Cách 2: và có phân tích thành (x2 + a1 x + b1) ( x2 + a2 x + b2) = 0 x 3 2x  4x  2 (1) Lúc đó, bằng đồng nhất hệ số ta có: 2 Điều kiện: x  3 . a 1  a 2  a a a  b  b  b x 3 12 1 2  t  1  x  3  2t 2  4t  2 Đặ t  2 a1b 2  a 2 b1  c Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau: b1b 2  d  2x 2  4x  t  1  Ta thƣờng nhẩ m tìm hệ số a1;a 2 ; b1; b2 (với các 2 2t  4t  x  1  a1;a 2 ; b1; b2 là số nguyên hoặ c hữu tỉ “đẹp”) Đây là hệ đối xứng loại 2. Giải và so điều ki ện ta Trở lại ví dụ trên: 3  17 5  13 8x 4  32x 3  32x 2  x  3  0 nhậ n nghiệm x  ;x  4 4 1 3  x 4  4x 3  4x 2  x   0 Cách 3: 8 8 x 3 3 3 1 3 1 1 3 1 3 2x 2  4x  Ta có:   .  .  .  . 2 8 24 24 24 24 Điều kiện: x  3 . Vậy ta đƣợc các cặ p b1; b 2 2x 2  4x  0 Bằng “một chút nhạy bén” và tính toán ta chọn   x 3  2x  4x   đƣợc hệ số nhƣ bài trên. 2 2   Phƣơng pháp 2: (khả năng bấ m máy tính bỏ túi) 2 Sử dụng phƣơng pháp nhẩ m nghiệm bằ ng máy  x  2  x  0   4 tính. (CALC). x 3 4x  16x  16x  2 3 2 Nhập biểu thứ c: 8x 4  32x3  32x 2  x  3    Chọn các khoả ng nghi ệm và tìm nghi ệm.  x  2  x  0  4  Ta tìm đƣợc các nghiệm. 8x  32x  32x  x  3  0 3 2 (*) A  1.780776406  x  2  x  0 B  0.280776406    2 5 3  2 3 1 C  0.348612181 8  x  2 x  4  x  2 x  2   0 (**)    D  2,151387819  x  2  x  0 Ta có:   A.B  0, 49999  0.5 3  17 5  13 x  x A  B  1.5  4 4 C.D  0.749999  0.75 3  17 5  13 x x C  D  2.5 4 4 Nhận xét: Từ đó, phân tích đƣợc phƣơng trình (*) thành (**) Với hai cách giải cách 1 và cách 2 ta đều chuyển ------------------------------------------------- phƣơng trình về một hệ phƣơng trình đối xứ ng loại 2 Với cách 1 cho ta cách nhìn tổng quát của bài toán. để giải quyết bài toán.  Dạng tổ ng quát của bài toán: Cách 3 cho ta một cách giải tự nhiên nhất khử căn  f (x)   b  a n af (x)  b n bằng cách bình phƣơng hai vế. Vấn đề đặt ra là khi đƣa về phƣơng trình (*) bậ c 4 có nghi ệm không đẹp và Cách gi ải: Đặt t  f (x); y  n af (x)  b ta phải tách thành tích hai phƣơng trình (**). Vậy làm  t n  b  ay  thế nào chúng ta có thể tách đƣợc ??? Có 2 phƣơng Ta có hệ:  n .  y  b  at pháp giải quyết vấn đề này:   Phƣơng pháp 1: (khả năng phản xạ tính toán) Đây là hệ đối xứng loại II với hai ẩ n t và y. Giả sử phƣơng trình bậ c 4: Sáng tạo: Khi thay a, b,f (x) là các số ta có đƣợc các bài toán về phƣơng trình. x4 + a x3 + bx2 + cx + d = 0 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 11
  12. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM 2. x 2  x  1000 1  8000x  1000 (2) (2)  (2x  1)2  3x  2 2(2x  1)  3x 1  y2  3x  2t Điều kiện: x   Đặt t  2x  1; y  2t  3x   8000 y  0 (2)  4x  4x  4000  4000 4000(2x 1)  3999 2 Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau:  (2x  1)2  4001  4000 4000(2x 1)  4001  t 2  3x  2y  2 4001  y  3x  2t Đặt u  2x  1   ; v  1  8000x  0  4000 y  t Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau:  (t  y)(t  y  2)  0    y  t  2 2 u  4001  4000v 2  t 2  2t  3x  0  v  4001  4000u Với y  t    t  0 u 2  4001  4000v   2 4x 2  3x  1  0 u  v  4000(v  u)  2  1  x 1 x   u 2  4001  4000v 4   2 (u  v)(u  v  4000)  0  t 2  3x  2(t  2)  0 Với y  t  2   Do u  v  4000  0 nên  t  2 u  4001  4000v 2  4x 2  11x  7  0 uv0   7  x . 3 x   u 2  4000u  4001  0 4   u  4001 (do u  0 )  2 u  v 7 1 Vậy: x   ; x  . Với u  4001  x  2000 . 4 4 Vậy: x  2000 . Nhận xét: 4 81x  8  x 3  2x 2  x  2 3 3.  Ta có thể thay b trong dạ ng toán tổng quát 3 bằng một biểu thứ c chứa x.  27 27.3x  8  27x  54x 2  36x  54 3 3  Và tƣơng tự ta cũng có thể thay a trong dạng  27 3 27.(3x  2)  46  (3x  2)3  46 tổng quát bằng một biểu thứ c chứa x. Đặt t  3x  2; y  3 27t  46  y 3  27t  46 Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau: 5. 7x 2  13x  8  2x 2 . 3 x(1  3x  3x 2 )  27y  t  46 3 Ta thấy x  0 không là nghi ệm của phƣơng trình.  27t  y  46 Chia hai vế phƣơng trình cho x 3 ta đƣợc: 3  27y  t 3  46 7 13 8 13   2  3  23 2   3 .  27(y  t)  (t  y)  t  ty  y  xx x x x 2 2  1 Đặt t  . Phƣơng trình trở thành: 27y  t 3  46  x  (t  y)  t  ty  y  27   0 8t 3  13t 2  7t  2 3 t 2  3t  3 2 2   (2t  1)3  (t 2  t  1)  2 3 2(2t  1)  t 2  t  1 . Do t 2  ty  y2  27  0 nên x  0 Đặt u  2t 1, v  3 2(2t 1)  t 2  t 1 t  2 27y  t 3  46    Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau: x  3  2 6 t  y  0 t  1 2 6 u 3  t 2  t  1  2v    3  u 3  v3  2v  2u 3 2  v  t  t  1  2u 3 2 6  Vậy: x  0 ; x   (u  v)(u 2  uv  v2  2)  0 3  u  v  2t  1  3 t 2  3t  3 4. 4x  7x  1  2 x  2 (2) 2  8t 3 13t 2  3t  2  0 Điều kiện: x  2 www.mathvn.com Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 12
  13. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM  (t  1)(8t 2  5t  2)  0 NHÂN LƢỢNG LIÊN HIỆP t  1 t  1   5  89 ► Các công thức thƣờng dùng:  2 t  8t  5t  2  0  Biểu thức Biểu thức liên hiệp  Tích 16 AB Thử lại nhậ n ba nghi ệm t. A B A B Với t  1  x  1 AB A B A2  3 AB  3 B2 3 3 3 5  89 16 AB Với t  x A3B A2  3 AB  3 B2 3 3 5  89 16 ► Một số lƣu ý: 16 Vậy: x  1; x  .  Thƣờng dự đ oán nghiệm và dùng nhân lƣợng 5  89 liên hiệp để xuất hiện nhân tử chung.  Cách đánh giá vế trái, vế phải để chứng minh 6. 4x 2  11x  10  (x  1) 2x 2  6x  2 phƣơng trình vô nghiệm.  (2x  3)2  x  1  (x  1) (x  1)(2x  3)  x  1 Ví dụ 1: Giải phƣơng trình, bất phƣơng trình sau: Đặt u  2x  3; v  (x 1)(2x  3)  x 1 , x 2  12  5  3x  x 2  5 1. Khi đó phƣơng trình chuyển về hệ sau: x 3 u 2  x  1  (x  1)v 4x  1  3x  2   2. 2 5  v  x  1  (x  1)u  2x 2  x  21 3.  u  v  (x  1)(v  u) 2 2 (3  9  2x ) 2  (u  v)(u  v  x 1)  0 4. 9(x + 1)2  (3x + 7)(1 - 3x + 4)2 Với u  v  u 2  x  1  (x 1)u  (2x  3)2  x  1  (x  1)(2x  3) x 2  12  5  3x  x 2  5 1.  2x 2  6x  7  0 (VN) Điều kiện: x   Nhận xét ta dễ dàng nhẩm đƣợc x  2 là nghiệm Với u  v  1  x  2x  3  2x 2  6x  2  1  x phƣơng trình nên tách và nhân liên hợp ta đƣợc:  2x 2  6x  2  4  3x x 2  12  4  3x  6  x 2  5  3  4 x  x2  4 x2  4  3 x  2    (VN) 3 x 2  12  4 x2  5  3 7x 2  18x  14  0    x2 x2 Vậy: phƣơng trình vô nghiệm.   x  2    3  0  x  12  4 x2  5  3  2 x  2  x2 x2 x2   3  0  x  12  4 x 5 3  2 2 x2 x2  Do x  12  4 x2  5  3 2 x2 x2    3  0, x   x 2  12  4 x2  5  3 Vậy: x  2 x 3 4x  1  3x  2  2. 5 4x  1  0 2 x Điều ki ện:  3x  2  0 3 Ta có 4x  1  3x  2  0 . Nhân 2 vế cho 4x  1  3x  2 ta đƣợc phƣơng trình: Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 13
  14. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM x 3 2x 2 x 3 ( 4x  1  3x  2)  x  21 3. (3  9  2x ) 2 5  (x  3)( 4x  1  3x  2  5)  0 9  9  2x  0 x    Điều kiện:   x  3 (l) 2 3  9  2x  0   x  0   4x  1  3x  2  5 Ta nhân cả tử và mẫu của vế trái với  4x  1  3x  2  5 ( *) (3  9  2x )2 ta đƣợc :  2 12x 2  5x  2  26  7x (3  9  2x ) 2  x  21 2 26 2  x  3 7 7  9  2x  4  x  4(12x  5x  2)  (26  7x) 2 2 2  9 7  x  và x  0 2 So điều kiện ta đƣợc 26  x 2 2  3 7 9 7  x 2  344x  684  0  x  và x  0 Vậy:  2 2 x2 Vậy: x  2 4. 9(x  1)2  (3x  7)(1  3x  4)2 4 Điều kiện: 3x  4  x  Nhận xét: 3  Từ (*) ta có thể giải bằ ng cách k ết hợp: Ta nhân cả hai vế của phƣơng trình với biểu thứ c (1  3x  4)2 ta đƣợc:  4x  1  3x  2  5  9(x  1)2 (1  3x  4)2  (3x  7).9(x  1) 2  x 3  4x  1  3x  2   9(x  1)2 (1  3x  4)2  3x  7   0 (*)  5    Ta cũng có thể giải bài toán bằ ng cách thêm Trƣờng hợp 1: x  1 thỏa. bớt nhƣ bài toán 1: 4  x  x 3 Trƣờng hợp 2:  4x  1  3x  2  3 ta có:  x  1 5  x 3  4x  1  3  2  3x  2  1 (*)  2 3x  4  2  x  1 . 5 4  x  1 4x  8 4  3x  2 x2 So điều kiện ta đƣợc    3 4x  1  3 2  3x  2 5 4  x  1 Vậy:  1 4 3   x  2  3   0  4x  1  3 2  3x  2 5  Ví dụ 2: Giải phƣơng trình sau: x  2  0  x  2  4 3 1  x  2  4  x  2x 2  5x 1   0 1. (*)  4x  1  3 2  3x  2 5  1  x 2x  x 2  2. 2  1 x2 4 3 1 x   x   ;   nên Do 4x  1  3 2  3x  2 5 3  x  2  3 x  1  3 2x 2  3 2x 2  1 3 3. (*) vô nghi ệm. 4. x 2  x  1  (x  2) x 2  2x  2 Vậy: x  2 x  24  12  x  6 3  Tuy nhiên, cách làm này thì vi ệc chứng minh 5. (*) vô nghi ệm tƣơng đối khó khăn (dành cho bạn đọc). x  2  4  x  2x 2  5x 1 (1) 1. x  2  0 2 x  4 Điều kiện:  4  x  0 (1)  x  2  1  4  x  1  2x 2  5x  3 www.mathvn.com Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 14
  15. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM x 3 x 3 4. x 2  x  1  (x  2) x 2  2x  2    (x  3)(2x  1) x  2 1 4  x 1  x 2  2x  7  3(x  2)  (x  2) x 2  2x  2  0 x  3  0   x 2  2x  7  (x  2)(3  x 2  2x  2  0 1 1    2x  1 (x  2)(x 2  2x  7)  x  2 1 4  x 1   x  2x  7  0 2 x 2  2x  2  3 x  3  0  x2  (x 2  2x  7)(1  )0 1 1    2x  1 (*) x 2  2x  2  3  x  2 1 4  x 1   (x  1)2  1  (x  1)     x 2  2x  7   1  x  2 1  1 0  x 2  2x  2  3     nên (*) vô nghi ệm. Ta có:  1   2x  1  5  x  2x  7  0  x  1  2 2 2  4  x 1  Vậy: x  1  2 2 Vậy: x  3 5. 3 x  24  12  x  6 (5) 1  x 2x  x 2 Điều ki ện: 12  x  0  x  12  2. (2) 1 x2 x (5)  3 x  24  3  12  x  3  0 1 x x 3 3 x  0  0  x 1 Điều kiện:   0 x 12  x  3 (x  24)  3 x  24  9 2 3 3 (2)  (1  x 2 ) 1  x  (2x  x 2 ) x 2  (x  3)( 12  x  3 (x  24)  3 3 x  24  6)  0  x 2 ( 1  x  x )  ( 1  x  2x x )  0 x  3 x 2 (1  2x) 1  x  4x 3   0  1 x  x 1  x  2x x  12  x  3 (x  24)  3 x  24  6  0 (*) 2 3  x 2 (1  2x) (1  2x)(2x 2  x  1) (*) k ết hợp với phƣơng trình đầu ta có:   0 1 x  x 1  x  2x x  12  x  3 (x  24) 2  3 3 x  24  6  0   2x 2  x  1 x2  (1  2x)(  )0  3 x  24  12  x  6  1 x  x 1  x  2x x  3 (x  24) 2  4 3 x  24  0  x  24  1    x  (do biểu thứ c còn lại luôn dƣơng)  x  88  3 x  24  12  x  6 2  1 Vậy: x  24 hoặc x  88 Vậy: x  2 x  2  3 x  1  3 2x 2  3 2x 2  1 3 3.  3 2x 2  3 x  2  3 2x 2  1  3 x  1  0 2x 2  x  1  (2x 2  1) 2  (x  2) 3 2x 2  1  3 (x  2) 2 3 2x 2  x  1  0 4x 4  (x  1) 3 2x 2  3 (x  1) 2 3 x  1  2x  x  1  0   2 x   1  2 1 Vậy: x  1 hoặc x   2 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 15
  16. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ x 2  6x  11  x 2  6x  13 2. Phƣơng pháp: Chủ yếu bằng cách sử dụ ng công cụ  4 x 2  4x  5  3  2 đạo hàm hoặ c sử dụ ng bất đẳng thức để tìm nghi ệm của phƣơng trình.  (x  3)2  2  (x  3) 2  4 Các hƣớng gi ải quyết:  4 (x  2)2  1  3  2  Hƣớng 1:  Chuyển phƣơng trình về dạ ng: f (x)  k (x  3)2  2  (x  3)2  4  4 (x  2)2  1 Mà:  Xét hàm số y  f (x)  2  4  1  3 2  Nhận xét: (x  3) 2  0  Với x  x 0  f (x)  f (x 0 )  k do đó x 0 là Dấu “bằng”xảy ra   (vô lý) x2 0  nghiệm Vậy: phƣơng trình vô nghiệm.  Với x  x 0  f (x)  f (x 0 )  k do đó phƣơng trình vô nghi ệm 7 3. x 2  3x   (x 2  2x  2)(x 2  4x  5)  Với x  x 0  f (x)  f (x 0 )  k do đó 2 phƣơng trình vô nghi ệm Ta có:  Vậ y x 0 là nghiệm duy nhất của phƣơng trình x 2  2x  2  (x  1) 2  1  0  Hƣớng 2: x 2  4x  5  (x  2) 2  1  0  Chuyển phƣơng trình về dạ ng: f (x)  g(x) 7 (x 2  2x  2)  (x 2  4x  5)  Dùng lập luận khẳng định rằng f (x) và g(x) có x  3x   2 nhữ ng tính chất trái ngƣợc nhau và xác định 2 2 Áp dụng bất đẳng thứ c Côsi cho 2 số dƣơng x 0 sao cho f (x 0 )  g(x 0 ) a  x 2  2x  2;b  x 2  4x  5 ta có:  Vậ y x 0 là nghiệm duy nhất của phƣơng trình. ab  Hƣớng 3:  ab 2  Chuyển phƣơng trình về dạ ng f (u)  f (v) 7  Xét hàm số y  f (x) , dùng lậ p luậ n khẳ ng  x 2  3x   (x 2  2x  2)(x 2  4x  5) 2 định hàm số đ ơn điệu Dấu “bằng” xả y ra khi và chỉ khi:  Khi đó f (u)  f (v)  u  v 3 (x 2  2x  2)  (x 2  4x  5)  2x  3  x  Ví dụ 1: Giải phƣơng trình sau: 2 3 Vậy: x= . 3x 2  6x  7  5x 2  10x  14  4  2x  x 2 1. 2 x 2  6x  11  x 2  6x  13 2. 4. 13  x 2  3x  6    x 2  2x  7   2 2  x  4x  5  3  2   2 4     5x 2  12x  33 7 2 3. x 2  3x   (x 2  2x  2)(x 2  4x  5) 2 Áp dụng bất đẳng thứ c Bunhiacôpxki cho 4 số : 4. 13  x 2  3x  6    x 2  2x  7   2 2  a 2  b2  c2  d2   (ac  bd)2     Dấu “bằng” xả y ra khi và chỉ khi: ad  bc   5x 2  12x  33 2 Với a  2;b  3;c  x 2  3x  6;d  x 2  2x  7 2  32   x 2  3x  6    x 2  2x  7   2 2 2     3x  6x  7  5x  10x  14  4  2x  x 2 2 2 1.  2  x 2  3x  6   3  x 2  2x  7  2  3(x  1)2  4  5(x  1)2  9  5  (x  1)2   Điều kiện: D    13  x 2  3x  6    x 2  2x  7   2 2      3(x  1)2  4  5  x  12  9  4  9  5    5x 2  12x  33 Mà:  2 5   x  1  5  2 Dấu “bằng” xả y ra khi và chỉ khi: Dấu “bằng” xả y ra khi  x  1  0  x  1 2 3(x 2  3x  6)  2(x 2  2x  7) Vậy: x  1 www.mathvn.com Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 16
  17. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM  3x 2  9x  18  2x 2  4x  14 3. 3 x  1  3x 2  8x  3 (1) Điều ki ện: x  1  0  x  1  x 2  5x  4  0  x  1; x  4 (1)  3 x  1  3x 2  8x  3  0 Vậy: x  1; x  4 Xét hàm số: y  3 x  1  3x 2  8x  3 trên D   1;   Ví dụ 2: Giải phƣơng trình sau:   3 y'   6x  8 1. 3x 2  9x 2  3 2 x 1   3   4x  2  y ''    6  0, x  D 1 x  x2 1  0 4  x  1 3 4x  1  4x 2  1  1 2. Do đó y '  0 có nhiều nhất 1 nghiệm  y  0 có 3. 3 x  1  3x 2  8x  3 nhiều nhất hai nghiệm. Nhẩm nghi ệm đƣợc x  0; x  3 x 2  2x  3  x 2  6x  11  3  x  x  1 4. Vậy: x  0; x  3   1  x  x 1  0  1. 3x 2  9x 2  3   4x  2  2 x 2  2x  3  x 2  6x  11  3  x  x  1 9x  3    2x  1  (2x  1)  3  2   4.  3x 2  2 2 x 1  0 1 x  3 Điều ki ện:  3  x  0 1 Nhận xét: Phƣơng trình chỉ có nghiệm trong   ;0  2  x 2  2x  3  x  1  3  x  x 2  6x  11 Đặt u  3x; v  2x 1. u, v  0 .  x  1 3  x   2  2  x 1  3  x  2 2 Phƣơng trình trở thành:    u 2  u 2  3  v 2  v2  3  Xét hàm số: y  t 2  2  t  Xét hàm số: f (t)  t  2  t 1 x  1;3 y'   0 t2 3 t 2 2 t 2 2t 3  3t Khi đó:  f '(t)  2   0, t  0 f  x  1  f  3  x   x  1  3  x  x  2 t 4  3t 2 Vậy: 2  x  3 1  f (u)  f (v)  u  v  3x  2x  1  x   5 1 Vậy: x   5 4x  1  4x 2  1  1 2. 4x  1  0 1 x Điều kiện:  2 4x  1  0 2 Xét hàm số: y  4x 1  4x 2  1 1 1  D   ;   2  2 4x 1 y'    0, x  4x  1 4x  1 2 2 Do đó phƣơng trình nếu có nghi ệm thì đó là nghiệm duy nhất. 1 Nhẩm nghi ệm đƣợc x  2 1 Vậy: x  2 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 17
  18. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM PHẦN II PHƢƠNG PHÁP TÍCH SỐ ------------------------------------------------------------------  Bằng cách bi ến đổi đƣa một phƣơng trình về HỆ PHƢƠNG TRÌNH dạng tích ta tính đƣợc x theo y -------------------------------------------------------------------  Thế vào phƣơng trình còn lại giải tìm PHƢƠNG PHÁP THẾ nghiệm.  Từ một phƣơng trình ta đi tính y theo x hoặc x Ví dụ: Giải các hệ phƣơng trình sau: theo y.  Thế vào phƣơng trình còn lại giải tìm x hoặ c y.  xy  x  y  x 2  2y 2  1.   x 2y  y x  1  2x  2y  Ví dụ: Giải các hệ phƣơng trình sau đây:  y 2   5x  4  4  x   2.  2x  3y  1  y  5x  4xy  16x  8y  16  0 2 2  1.  2  x  xy  24  x 3  7x  y3  7y  2 3.  2  x (y  1)(x  y  1)  3x  4x  1 2 x  y  x  y  2 2 2.    xy  x  1  x 2   xy  x  y  x 2  2y 2  (1) 2x  3y  1 1.  1.  2  x 2y  y x  1  2x  2y  x  xy  24  (2) Điều kiện: x  1; y  0  y  2x  1  (1)  x 2  xy  2y2  (x  y)  0  3    x 2  xy    2xy  y2    x  y   0  x 2  x  2x  1   24     3   x  y  x  2y  1  0 2x  1   19 y   x  9  y   3  x  2y  1  0 ( D o có đk có x  y  0 )   3   x  2y  1  x  x  72  0 x  8  y  5  2 Thay vào phƣơng trình (2) ta đƣợc:  19   2y  1 2y  y 2y  2(2y  1)  2y Vậy: nghiệm hệ là  9,   ;  8, 5   3  2y  y  1  2  y  1     y  1  x 2 (y  1)(x  y  1)  3x 2  4x  1 2y  2  0  y  2 ( Do y  0)  (1) 2.   xy  x  1  x Với y  2 ta có x  5 2  (2) Do x  0 không là nghiệm hệ phƣơng trình nên Vậy: nghiệm hệ là (5; 2) x2 1 (2)  y  1  thay vào (1) ta đƣợc: Nhận xét: x  Ta có thể kiểm tra phƣơng trình (1) có nhóm x 2 1  x 2 1  x   3x  4x  1 đƣợc nhân tử chung hay không bằng phƣơng pháp x2 2  x x tham số biến thiên.   x 2  1 2x 2  1   x  1 3x  1 xy  x  y  x 2  2y2   x  1  2x 3  2x 2  x  1   x  1 3x  1  x 2  (y  1)x  2y2  y  0 Ta có:   (y  1)2  8y2  4y  9y2  6y  1   3y  1 2 x  0 Từ đây ta có thể tính đƣợc: x   y hoặ c x  2y 1   x  1 2x  x  2   0   x  1   x  2   y 2   5x  4  4  x   (1) Với x  1  y  1 2.  2  y  5x  4xy  16x  8y  16  0 2  (2) 5 Với x  2  y   Từ phƣơng trình (2) bằng phƣơng pháp tham số biến 2 thiên xem y là ẩ n ta có:  5 Vậy: nghiệm hệ là 1; 1 ;  2;   y2  5x 2  4xy  16x  8y  16  0  2 www.mathvn.com Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 18
  19. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM  ( y  x  4)(y  5x  4)  0 HỆ ĐỐI XỨNG LO ẠI I y  4  x  f (x, y)  0 f (x, y)  f (y, x)  y  5x  4 Dạng:  với  g(x, y)  0 g(x, y)  g(y, x) Với y  4  x thay vào (1) ta đƣợc: S  x  y x  4  y  0 với S2  4P Cách gi ải: Đặt  4  x   5x  4  4  x    2 P  xy  x  0  y  4 Ví dụ: Giả i các hệ phƣơng trình sau: Với y  5x  4 thay vào (1) ta đƣợc  5x  4   5x  4  4  x  2  x  y  xy  5 1.  2  x  y  5 4 2 x   5  y  0   2x  2y x  0  y  4  3  2.  y x 4  x  y  xy  3 Vậy: nghiệm hệ là  0; 4  ;  4;0  ;   ;0   5  x  y  xy  5 1.  2   x  7x  y  7y 3 3 x  y  5 2 3.  2 x  y  x  y  2 2  S  x  y (Điều kiện: S2 – 4P ≥ 0) Đặt:   x 3  y3  7  x  y   0 P  xy    2 S  P  5 x  y  x  y  2 2  Hệ   2  x  y   x 2  xy  y 2  7   0 S  2P  5   P  5  S  x  y  x  y  2 2 2   2 S  2  5  S  5  x  y  x 2  xy  y 2  7  0 (VN)   2  2 P  5  S S  5  P  10 2x  2x  2  x  y  x  y  2 2  2   S  3  P  2 S  2S  15  0  1 5 x  y  Tới đây ta có hai cách giải: 2  Cách 1: Có tổng, tích nên áp dụng định lý Viet đảo:  1 5 x  y  x, y là nghi ệm của phƣơng trình: X2  SX  P  0  2  S  5  P  10 : Vậy: nghiệm hệ là Hệ phƣơng trình vô nghiệm (do S2 – 4P = -15 < 0)  1 5 1 5   1 5 1 5   S 3 P  2   2 ; 2 ; 2 ; 2       x, y là nghi ệm của phƣơng trình: X2  3X  2  0 x  1 x  2  X  1;X  2 nên  ; y  2 y  1 Cách 2: Giải bình thƣờng bẳng phƣơng pháp thế:  S  5  P  10  x  5  y   x  y  5    y  5  y   10 (VN)  xy  10   S 3 P  2 x  y  3   xy  2 x  3  y   y  1 x  2     y  3  y   10 x  2  y  1  Vậy: hệ phƣơng trình có 2 nghiệm là: 1, 2  ,  2,1 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 19
  20. Chuyên đề: PT- BPT - HPT VÔ TỶ www.MATHVN.com CAO HOÀNG NAM  2x HỆ ĐỐI XỨNG LO ẠI II 2y  3  2.  y x HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I f (x, y)  0 f (x, y)  g(y, x)  x  y  xy  3 Dạng:  với   g(x, y)  0 g(x, y)  f (y, x) Điều kiện: xy  0 f (x; y)  g(x; y)  0 Cách gi ải:   2 x 2y f (x; y)  0  49 Hệ   y x ( x  y)h(x; y)  0  x  y  xy  3   f (x; y)  0 2  x 2  y 2   5xy  0 x  y  0 h (x; y)  0    hay  f (x; y)  0 f (x; y)  0  x  y  xy  3  Ví dụ: Giải các hệ phƣơng trình sau: Cách 1: Đƣa về hệ đ ối xứ ng loại 1. Đặt u  x; v  y  x 2  2y 2  2x  y  1.  2 2  u 2  v 2   5uv  0  y  2x  2y  x  2  Hệ    2x  3  4  y  4 u  v  uv  3   2.  Đặt S  u  v;P  uv  2y  3  4  x  4  2  S2  2P  5P  0   x 2  2y 2  2x  y (1) Hệ    1.  2 S  P  3   y  2x  2y  x (2) 2   S  1 u  2 u  1 Trừ từng vế (1) và (2) ta có:    P  2  v  1  v  2  x 2  2y 2  (y 2  2x 2 )  2x  y  (2y  x)  Hệ   2    S   3  x  2y  2x  y 2 u  3  3  u   2  3(x  y)(x  y)  x  y 3    2  2 v 9  P    2  v  3  x  2y  2x  y   2  2 (x  y)(3x  3y  1)  0  x  3   2 3  x  2  x  1  x   x  2y  2x  y 2    3 2  y  1  y  2  y   y  3 3x  3y  1  0 x  y  0  2  2 hoặc 2  x  2y  2x  y  x  2y  2x  y 2 2 Cách 2: Giải trự c tiếp.   3x  1  2  x  y 2  2xy  5xy  0 x  y y  3   2 Hệ   hoặc (vn) 2  x  3x  0  x  y  xy  3  9x  3x  5  0  x  y  0 x  y  1   x  2  x  1    x  y  3  ; xy  2    y  1  y  2  Vậy: hệ có hai nghi ệm (0;0); ( 3;     x  y   3    x  3 3)  3  x    2   y   3 ;  2   2x  3  4  y  4 (1)  9  y  3   xy   2 2.   2  2y  3  4  x  4 (2)  Vậy: H ệ phƣơng trình có 4 nghiệm 3  Điều kiện: x, y    ; 4   2;1 ,  1; 2  ,  3;  3 3  2    ,  ,3   2 2  Trừ từng vế (1) và (2) ta có: www.mathvn.com Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
27=>0