Đại số cơ sở

Chia sẻ: Kieu Dinh Tuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

125
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đại số cơ sở', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đại số cơ sở

Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS. Tr n Huyên Ngày 18 tháng 3 năm 2005 Bài 8. Các Bài Toán Ki m Tra Vành Và Vành Con Cũng như k năng ki m tra nhóm, k năng ki m tra vành là m t trong nh ng k năng cơ b n luôn có m t trong các đ thi đ i s cơ s . Trên cơ s k th a các tri th c v nhóm ta có th đ nh nghĩa khái ni m vành như sau : Đ nh nghĩa : Vành là m t nhóm c ng giao hoán (X; +) đư c trang b thêm m t phép toán nhân có tính chât k t h p: ∀x, y, z ∈ X : (xy)z = x(yz) và có tính ch t phân ph i đ i v i phép c ng ∀x, y, z ∈ X : x(y + z) = xy + xz và (y + z)x = yx + zx Như v y : Vành là m t t p X = ø trên đó đã xác đ nh đư c hai phép toán hai ngôi : m t kí hi u theo l i c ng, còn l i kí hi u theo l i nhân th a : 1. (X; +) là nhóm giao hoán. 2. Phép nhân trong X có tính ch t k t h p. 3. Phép nhân phân ph i đ i v i phép c ng. Mu n ki m tra m t t p X cho trư c v i các phép toán đã cho là m t vành, hi n nhiên là chúng ta s ph i l n lư t ki m tra các đi u ki n đ nh nghĩa đã đưa ra trên. 1. Ví d 1: Ch ng minh r ng t p Mn các ma tr n th c vuông c p n là m t vành v i hai phép toán c ng và nhân ma tr n. Gi i Hi n nhiên t ng hay tích c a hai ma tr n th c vuông c p n l i là m t ma tr n th c vuông c p n nên các phép c ng, nhân ma tr n là các phép toán hai ngôi trên Mn . Theo 1
lý thuy t nhóm ta đã có (Mn ;+) là nhóm c ng giao hoán. Theo đ i s tuy n tính ta bi t phép nhân các ma tr n có tính ch t k t h p và có tính ch t phân ph i đ i v i phép c ng ma tr n. V y theo đ nh nghĩa : (Mn ; + ; .) là m t vành. Nh n xét : Khi ki m tra vành X đòi h i trư c h t ph i ki m tra (X;+) là nhóm giao hoán, n u đi u đó đã đư c ki m tra trong ph n nhóm thì ta có th không c n ph i ki m tra l i mà ch nh c r ng đi u đó đã đư c ki m tra trư c đây trong lí thuy t nhóm r i. Cũng như bên nhóm n u như m t đòi h i nào đó trong đ nh nghĩa vành (ch ng h n tính ch t k t h p c a phép nhân...) n u đã đư c đ m b o b i k t qu c a m t chuyên ngành nào đó (ch ng h n đ i s tuy n tính, s h c,...) thì ta cũng ch c n nói l i r ng đi u đó đã có theo chuyên ngành đó mà không c n vi t bi u th c ki m tra chi ti t. Ta nh n xét r ng phép c ng trong vành đã có đ các tính ch t thông d ng : k t h p, giao hoán, có đơn v , t n t i ph n t đ i cho m i ph n t ; trong lúc đó phép nhân ch đòi h i thêm duy nh t tính ch t k t h p. T c là có th b sung thêm cho phép nhân các tính ch t thông d ng còn l i. Khi phép nhân trong vành X có tính ch t giao hoán ta g i vành X là vành giao hoán. Khi phép nhân trong vành X có thêm đơn v (kí hi u 1 hay e) ta g i vành X là vành có đơn v . Vành (Mn ; +; .) ki m tra ví d 1 là vành có đơn v (đơn v c a Mn là ma tr n đơn v E) tuy nhiên không là vành giao hoán. 2. Ví d 2 : Cho X là vành, Z là vành các s nguyên. Trên t p X × Z = {(x, n) : x ∈ X, n ∈ Z} ta xác đ nh các phép toán : (x1 , n1 ) + (x2 , n2 ) = (x1 + x2 , n1 + n2 ) (x1 , n1 )(x2 , n2 ) = (x1 x2 + n1 x2 + n2 x1 , n1 n2 ) Ch ng minh X × Z là vành có đơn v . Vành này có giao hoán không. V i di u ki n nào cho X thì X × Z giao hoán? Gi i : Theo cách xác đ nh phép toán c ng trong X × Z (là phép c ng theo t ng thành ph n !) ta th y (X × Z, +) là tích Decac c a hai nhóm c ng giao hoán (X, +) và (Z, +) nên theo lí thuy t nhóm ta có (X × Z, +) là nhóm c ng giao hoán. V y ta còn ph i ki m tra phép nhân k t h p, và phép nhân phân ph i v i phép c ng. Th t v y : ∀(x1 , n1 ), (x2 , n2 ), (x3 , n3 ) ∈ X × Z : • [(x1 , n1 )(x2 , n2 )](x3 , n3 ) = (x1 x2 + n1 x2 + n2 x1 , n1 n2 )(x3 , n3 ) = (x1 x2 x3 + n1 x2 x3 + n2 x1 x3 + x1 x2 n3 + n3 n1 x2 + n3 n2 x1 + n1 n2 x3 , n1 n2 n3 ) = (x1 , n1 )(x2 x3 + n2 x3 + n3 x2 , n2 n3 ) = (x1 , n1 )[(x2 , n2 )(x3 , n3 )] (1) 2
• (x1 , n1 )[(x2 , n2 ) + (x3 , n3 )] = (x1 , n1 )[(x2 + x3 , n2 + n3 )] = (x1 x2 + x1 x3 + n1 x2 + n1 x3 + +n2 x1 + n3 x1 , n1 n2 + n1 n3 ) = (x1 x2 + n1 x2 + n2 x1 , n1 n2 ) + (x1 x3 + n1 x3 + n3 x1 , n1 n3 ) = (x1 , n1 )(x2 , n2 ) + (x1 , n1 )(x3 , n3 ) (2) • [(x2 , n2 ) + (x3 , n3 )](x1 , n1 ) = [(x2 + x3 , n2 + n3 )(x1 , n1 )] = (x2 x1 + x3 x1 + n1 x2 + n1 x3 + n2 x1 + n3 x1 , n2 n1 + n3 n1 ) = (x2 x1 + n1 x2 + n2 x1 , n2 n1 ) + (x3 x1 + n1 x3 + n3 x1 , n3 n1 ) = (x2 , n2 )(x1 , n1 ) + (x3 , n3 )(x1 , n1 ) (3) Các h th c (1) cho ta phép nhân k t h p, còn các h th c (2) và (3) cho ta tính phân ph i c a phép nhân đ i v i phép c ng. V y (X × Z; +, .) là m t vành. Đơn v trong X là c p (0,1) vì ∀(x, n) ∈ X × Z : (x, n)(0, 1) = (x.0 + n.0 + 1.x, n.1) = (x, n) (0, 1)(x, n) = (0.x + 1.x + n.0, 1.n) = (x, n) N u vành X không giao hoán, t c t n t i x, y ∈ X mà xy = yx. Khi đó xét hai c p (x, 1), (y, 1) ∈ X × Z ta có: (x, 1)(y, 1) = (xy + x + y, 1) = (yx + x + y, 1) = (y, 1)(x, 1) t c vành X × Z không giao hoán. N u vành X giao hoán, khi đó ∀(x1 , n1 ), (x2 , n2 ) ∈ X × Z ta có : (x1 , n1 )(x2 , n2 ) = (x1 x2 + n1 x2 + n2 x1 , n1 n2 ) = (x2 x1 + n2 x1 + n1 x2 , n2 n1 ) = (x2 , n2 )(x1 , n1 ) t c X × Z là vành giao hoán. Như v y X × Z là vành giao hoán ⇔ X là vành giao hoán. Khái ni m vành con c a m t vành cho trư c X dư c đ nh nghĩa m t cách tương t khái ni m nhóm con c a m t nhóm. Đó là t p ø = A ⊂ X, n đ nh đ i v i hai phép toán c ng và nhân trong X, đ ng th i A cùng v i hai phép toán c m sinh t nó là m t vành. Khi đó ta vi t : A ⊂ Tuy nhiên, cũng như trong lý thuy t nhóm, đ ki m tra m t vành con vX ta s s d ng tiêu chu n v vành con đư c phát bi u như sau : Tiêu chu n vành con : Cho vành X, b ph n A = ø c a X là m t vành con c a X ⇔ ∀x, y ∈ A thì x − y ∈ A và xy ∈ A Nói v n t t ø = A ⊂ ⇔ A n đ nh đ i v i phép vX tr và phép nhân. 3. Ví d 3 : cho X là vành. Ta g i tâm c a vành X, t p Z(X) = {a ∈ X : ax = xa, ∀x ∈ X} (a) Ch ng minh Z(X) là vành con c a vành X 3
(b) Tìm Z(Mn ) v i Mn là vành các ma tr n th c vuông c p m. Gi i : (a) Ta ki m tra A ⊂ theo tiêu chu n vành con. vX ax = xa Th t vây, ∀a, b ∈ Z(X) ⇒ bx = xb ∀x ∈ X Do đó : (a − b)x = ax − bx = xa − xb = x(a − b) (ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = x(ab) Vy: a − b ∈ Z(X) và ab ∈ Z(X). Đó là đi u ph i ch ng minh. (b) ∀i, j ∈ {1, 2, . . . , n} g i Eij là ma tr n mà các ph n t trên đư ng chéo chính và t i v trí ij là b ng 1, còn các ph n t còn l i là b ng 0. N u ma tr n A ⊂ Z(Mn ) thì AEij = Eij A, ∀i, j(i = j). T c n u A = (akl )m×n thì :   . . . a1j + a1i . . .  ... ... ...    AEij =   . . . aij + aii . . .  ← dòng i   ... ... ...  . . . anj + ani . . . ↑ c tj   ... ... ... ... ... =  ai1 + aj1 . . . aij + ajj . . . ain + ajn  ← dòng i ... ... ... ... ... ↑ c tj = Eij A (∗) (Th t ra AEij có đư c t A b ng cách c ng c t i vào c t j và Eij A có đư c là t A b ng cách c ng dòng j vào dòng i). Vì hai ma tr n b ng nhau ⇔ các ph n t tương ng b ng nhau nên t h th c (*) ta rút ra :aki = 0 n u k = i và aii = ajj . Các k t lu n trên là đúng cho m i c p ij : i = j. T đó suy ra : aii = a ∈ R, ∀i và aij = 0 n u i = j. V y : A = aE. Hi n nhiên r ng m i ma tr n aE, a ∈ R đ u giao hoán đư c v i b t kì ma tr n X ∈ Mn V y : Z(Mn ) = {aE : a ∈ R}. Chú ý : Cũng tương t như trong nhóm, đôi khi đ ki m tra m t t p h p X = ø v i hai phép toán đã cho là m t vành trong trư ng h p t p X là b ph n c a m t vành đã bi t và phép toán trên X chính là các phép toán c m sinh, thay cho vi c ki m tra tr c ti p ta có th ki m tra X là vành con c a vành đã bi t theo tiêu chu n vành con. 4
4. Ví d 4 : M t ma tr n vuông A = (aij )m×n g i là ma tr n tam giác n u aij = 0 khi i > j. Ch ng T minh r ng t p Mn các ma tr n tam giác l p thành m t vành đ i v i phép c ng và nhân ma tr n. Gi i : T Theo chú ý trên ta ch vi c ch ng minh Mn ⊂ n vM T T hi n nhiên Mn = ø vì E ∈ Mn T ∀A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mn : A − B = C = (cij ) v i cij = aij + bij N u i > j thì aij = 0 = bij ⇒ cij = 0 t c C là ma tr n tam giác. T V y : A − B ∈ Mn AB = C = (cij ) v i cij = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ain bnj N u i > j thì cij = [ai1 b1j + . . . + aij bjj ] + [a1j+1 bj+1j + . . . + a1n bnj ] T v i ai1 = . . . = aij = 0 và bj+1j = . . . = bnj = 0 ⇒ cij = 0 t c A.B ∈ Mn . T T V y theo tiêu chu n vành con : Mn ⊂ n t c Mn là vành. vM 5
Bài T p 1. Cho X là m t nhóm c ng giao hoán. G i End(X) l t p t t c các t đ ng c u f : X → X ; trong End(X) ta đ nh nghĩa các phép toán sau Phép c ng : ∀f, g ∈ End(X) thì f + g : X → X mà ∀x ∈ X : (f + g)(x) = f (x) + g(x) Phép nhân : f g : X → X mà ∀x ∈ X : f g(x) = f [g(x)] (a) Ch ng minh End(X) là vành có đơn v v i hai phép c ng và nhân trên. (b) Cho A là nhóm con c a X. G i N(A) t p t t c các đ ng c u f ∈ End(X) mà f (A) = 0. Ch ng minh N (A) ⊂ End(X). (c) V i m i s nguyên n ∈ Z ta xác đ nh ánh x ϕn : X → X mà ∀x ∈ X : ϕn (x) = nx. Ch ng minh r ng ϕn là t đ ng c u và H = {ϕn : n ∈ Z} là vành con giao hoán có đơn v c a End(X). Có th kh ng đ nh r ng H = Z(End(X)) không, trong đó vành bên ph i đ ng th c là tâm c a vành End(X). 2. Cho các t p ma tr n vuông c p n sau : c (a) Mn = {A = (aij )m×n : ai1 = 0, ∀i = 1, 2, . . . , n} F (b) Mn = {A = (aij )m×n : ai1 = 0 = a1j , ∀i, j = 1, 2, . . . , n} Ch ng minh r ng các t p h p trên đ u là vành v i hai phép toán c ng và nhân các ma tr n. 3. CHo Z là nhóm c ng các s nguyên. Ch ng minh vành các t đ ng c u c a Z, End(Z), là m t vành giao hoán có đơn v , có tính ch t là tích hai ph n t khác 0 là khác 0. 4. Cho X = Z × Z là tích Decac c a nhóm c ng các s nguyên Z v i chính nó. Ch ng minh vành các t đ ng c u nhóm End(Z × Z) là vành không giao hoán. Tìm tâm c a End(Z × Z). 6