Đề luyện tập giải tích (2)

Chia sẻ: Nguyễn An | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

272
lượt xem 69
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đây là đề ôn tập do tiến sĩ Đặng Văn Vinh ĐHBK HCM biên soạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề luyện tập giải tích (2)

www.tanbachkhoa.edu.vn Biên soạn: Tiến sỹ Đặng Văn Vinh Thời gian làm bài: 90 phút. Hình thức thi: Tự luận. Thang điểm: câu 1: 1 điểm, các câu còn lại: 1.5 điểm. Đề luyện tập số 11. Câu 1. Vẽ khối Ω giới hạn bởi x + y 2 + z 2 ≤ 2 y , y ≥ x 2 + z 2 . 2 Câu 2. Trên mặt phẳng x + y − 2 z = 0 tìm điểm sao cho tổng khoảng cách từ đó điểm hai mặt phẳng x + 3 z − 6 = 0 và y + 3z − 2 = 0 là nhỏ nhất. ∞ (3n − 1)! Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ 3 3 3 2 n =1 1 ⋅ 2 ⋅⋅⋅ n ⋅ 5 (−5) n ( x + 2) 2 n ∞ Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ n n =1 3 (2n + 1) n + 2 Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ y − x 2 dxdy , trong đó D là miền phẳng giới D hạn bởi −1 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 . Câu 6. Tính tích phân bội ba I = ∫∫∫ ( y + z ) dxdydz , trong đó V là vật thể được giới hạn bởi V z = x + y , x + y = 4, z = 2 + x + y 2 . 2 2 2 2 2 Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ (2 x + y )dydz , với S là phần mặt z = x 2 + y 2 bị cắt bởi mặt S z = 4 , phía trên theo hướng trục Oz. Đề luyện tập số 12. Câu 1. Tính f x' (1,1) của hàm f ( x, y ) = 2 + 4 − x 2 − y 2 và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này như là hệ số góc của tiếp tuyến. Câu 2. Tìm gtln, gtnn của f ( x, y ) = x3 + y 3 − 3 xy trên miền 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 2 ∞ (−1) n Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: ∑ n =1 n + 1 n ∞ (2n + 1)( x − 3) n Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑ n =1 3n3 + n ⋅ ln 3 n Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ max { x, y} dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn D bởi 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4 . Câu 6. Tính tích phân bội ba I = ∫∫∫ xdxdydz , trong đó V là vật thể được giới hạn bởi V x + y 2 + z 2 ≤ 0, x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 . 3 3 3 Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ x dydz + y dxdz + z dxdy với S là mặt phía ngoài của vật S 2 2 2 thể giới hạn bởi x + z ≤ y , 0 ≤ y ≤ 1 . Đề luyện tập số 13. Câu 1. Tính f y' (0,1) của hàm f ( x, y ) = 3 − 2 x 2 − y 2 và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này như là hệ số góc của tiếp tuyến. 1
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất z = ( x + y )e trên miền −2 ≤ x + y ≤ 1 . xy ∞ ( −1) n Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n =1 n + (−1)n 2x + 3 Câu 4. Tìm chuỗi Taylor của f ( x) = 2 , tại x0 = 1 và tìm miền hội tụ của chuỗi này. x − 5x + 6 Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ xy dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi D 2 2 1 ≤ x + y ≤ 4. ( ) 2 Câu 6. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi x 2 + y 2 = 2 xy , z = x + y, z = 0 ( x > 0) . Câu 7. Tính tích phân mặt loại một I = ∫∫ 2 xds với S là phần mặt phẳng x + y + z = 2 nằm trong S hình cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4 . Đề luyện tập số 14. Câu 1. Vẽ khối Ω giới hạn bởi y ≤ 4 − x 2 , y ≥ 1 − x 2 , z ≥ 0, z ≤ 2 x . Câu 2. Một cái hộp (hình hộp chữ nhật, không có nắp phía trên) được làm từ 12m2 bìa carton. Tìm thể tích lớn nhất của cái hộp này. ∞ 1 Câu 3. Tính tổng S = ∑ n =1 n( n + 1)( n + 2) x dt Câu 4. Tìm chuỗi Maclaurint của f ( x) = ∫ và tìm miền hội tụ của chuỗi này. 1− t4 0 2 2 Câu 5. Tính tích phân ∫∫ y dxdy với D là miền x + y ≤ 1, x 2 + y 2 ≥ 1. D 16 9 Câu 6. Tìm diện tích phần mặt cầu x + y + z 2 = 18 nằm trong hình nón x 2 + y 2 = z 2 . 2 2 Câu 7. Tính tích phân mặt loại một I = ∫∫ yds , với S là phần mặt trụ x 2 + y 2 = 4 nằm giữa hai mặt S phẳng z = 0, z = 3 . Đề luyện tập số 15. ∂f ∂ 2 f Câu 1. Cho f = f (3 x + y 2 , e xy ) . Tính , . ∂x ∂x∂y Câu 2. Tìm điểm M trên hình nón z 2 = x 2 + y 2 , sao cho MA là nhỏ nhất, với A(4,2,0). ∞ 2n + 3 Câu 3. Tính tổng ∑ n n =1 5 x+3 Câu 4. Tìm chuỗi Maclaurint của hàm f ( x ) = arctan và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này. x−3 Câu 5. Tính tích phân ∫∫ max { sin x, sin y} dxdy với D là miền 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ π . D 2 ( 2 ) 2 ( ) Câu 6. Tính tích phân đường I = Ñ 2 y + z dx + 2 z + x dy + 2 x + y dz , với C là giao của mặt ∫ C ( ) phẳng x + y + z = 1 và mặt cầu x + y 2 + z 2 = 4 ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz. 2 Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ zdxdy với S là nửa mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 9 , phần y ≥ 0 , S phía ngoài (phía trên theo hướng trục Oy). 2
Đề luyện tập số 16. u ∂2 f Câu 1. Cho f = f (u , v) = arctan , u = u ( x, y ) = 2 x3 + y 2 , v = v( x, y ) = x + 2 y . Tính . v ∂x∂y Câu 2. Cho một hình hộp chữ nhật ở góc phần tám thứ nhất trong hệ trục Oxyz, có 3 mặt nằm trên 3 mặt phẳng tọa độ và một đỉnh nằm trên mặt phẳng x + 2 y + 3 z = 6 . Tìm thể tích lớn nhất. ∞ (−2) n Câu 3. Tính tổng ∑ n +1 n =1 n( n + 2) ⋅ 7 2 ( ) Câu 4. Tìm chuỗi lũy thừa của hàm f ( x ) = ln x + 1 + x và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này.  x2 y2  Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫  D  16 + 9  dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi   x = 0, y = 0, x = 4sin t , y = 3cos t , t ∈ [ 0, π / 2] . Câu 6. Tính tích phân đường I = C 3 zdx + 2 xdy + ydz , với C là giao của mặt phẳng x + z = 2 và mặt ∫ Ñ cầu x 2 + y 2 = 4 theo chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz. 3 3 Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ x dydz + y dzdx , với S là mặt ngoài của nửa trên ellipsoid S 2 2 x z + y2 + = 1, ( z ≥ 0) . 16 9 Đề luyện tập số 17. ( 2 Câu 1. Cho f ( x, y ) = y + ln 3 + 3 x y . Tìm ) ∂f ∂x ∂f (0, 0), (0, 0) . ∂y Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) = e xy ; x3 + y 3 = 16 . ∞ (n − 1) Câu 3. Tính tổng ∑ n =1 2 ⋅ 4 ⋅ 6L (2n) +∞ xdx Câu 4. Sử dụng khai triển Maclaurint của hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi, tính ∫ 0 ex + 1 ( 2 2 ) Câu 5. Tính tích phân ∫∫ sign x − y + 2 dxdy với D 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3 . 0 2 2 ( 2 ) ( ) Câu 6. Tính tích phân đường I = Ñ y + z dx + z + x dy + x + y dz , với C là giao của mặt nón ∫ C ( ) 2 2 2 y 2 + z 2 = x và mặt cầu x + y + z = 4 ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Ox. 3 3 3 .Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy , với S là mặt trong của vật thể S giới hạn bởi 1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4, y ≥ x 2 + z 2 . Đề luyện tập số 18.  x −y 2 2  xy , ( x, y ) ≠ (0, 0) ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂2 f Câu 1. Cho f ( x, y ) =  x 2 + y 2 . Tìm (0, 0), 2 (0, 0), (0, 0), (0, 0) .  ∂x 2 ∂y ∂y∂x ∂x∂y  0, ( x, y ) = (0, 0) Câu 2. Tìm cực trị của hàm f ( x, y ) = 4 x + 6 y với điều kiện x 2 + y 2 = 13 . 3
(−2) n ∞ Câu 3. Tính tổng S = ∑ n n =1 3 ⋅1 ⋅ 3 ⋅ 5L (2n + 1) 1 1 Câu 4. Sử dụng khai triển Maclaurint của hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi, tính ∫ ln dx 0 1− x 2 2 Câu 5. Tìm diện tích miền phẳng giới hạn bởi x + 3 y ≤ 1, y ≥ 0, y ≥ x . 3 xy (2 xy ) ( Câu 6. Tính tích phân I = ∫ x + ye dx + y + xe dy , trong đó C là phần elip ) x2 y 2 + = 1 từ C 16 9 điểm A(4,0) đến B(0,-3) theo chiều kim đồng hồ. 3 Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ ( x − 1) dydz + 3 ydzdx + 5 zdxdy , với S là mặt ngoài của nửa S 2 2 2 dưới mặt cầu x + y + z = 2 x, z ≤ 0 . Đề luyện tập số 19. Câu 1. Vẽ khối Ω giới hạn bởi z = 4 + x 2 , x 2 + y 2 = 2 y, x + y + z = 2 . Câu 2. Tìm cực trị của hàm f ( x, y, z ) = 2 x + 6 y + 10 z với điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 35 . ∞ 1 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ∑ n n = 2 n + ( −1) n x ln(1 + 3t ) Câu 4. Tìm chuỗi Maclaurint của f ( x) = ∫ dt và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này. 0 t Câu 5. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 2 x ≤ x 2 + y 2 ≤ 6 x, y ≤ x 3, y + x ≥ 0 . 2 Câu 6. Tính tích phân đường I = ∫ y dl , C là cung Cycloid x = a (t − sin t ), y = a (1 − cos t ), 0 ≤ t ≤ 2π . C 2 Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ z dxdy , S là mặt trong của nửa mặt cầu S ( x − 1) 2 + ( y − 2 ) + z = 4, z ≥ 0 . 2 2 Đề luyện tập số 20. Câu 1. Tìm vi phân cấp hai của hàm z = z ( x, y ) là hàm ẩn xác định từ phương trình x + y + z = e z . Câu 2. Tìm cực trị của hàm f ( x, y , z ) = x + 2 y + 3 z với hai điều kiện x − y + z = 1 và x2 + y2 = 1. ∞ 2n − 1 Câu 3. Tính tổng ∑ n =1 n 2 ( n + 1) 2 Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑ ∞ ( −1) n −1 ( x + 2)2n n =1 n + n +1 Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ ( x − y )dxdy , trong đó D là miền phẳng giới D hạn bởi đường astroid x = a cos3 t , y = a sin 3 t , 0 ≤ t ≤ π / 2 , và các trục tọa độ. Câu 6. Tính tích phân đường loại một I = ∫ ( x + y ) dl , C là cung bên phải của đường Lemniscate có C phương trình trong tọa độ cực r = a cos 2ϕ , a > 0 . 2 2 Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ yzdydz + zxdxdz + xydxdy , với S là biên của vật thể giới S hạn bởi x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 , định hướng phía trong. 4