Tham khảo tài liệu 'đề luyện thi thử tốt nghiệp - đại học năm 2011 - số 39', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Đề Luyện Thi Thử Tốt Nghiệp - Đại Học Năm 2011 - Số 39
- LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0
www.khoabang.com.vn
________________________________________________________________________________
C©u I.
Cho hµm sè
x 2 + 2xcosα + 1
y= .
x + 2sinα
1) X¸c ®Þnh tiÖm cËn xiªn vµ t©m ®èi xøng cña ®å thÞ.
2) T×m a ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu.
3) T×m a ®Ó tõ gèc täa ®é cã thÓ kÎ ®Õn ®å thÞ 2 tiÕp tuyÕn ph©n biÖt.
C©u II.
1) Gi¶i vµ biÖn luËn theo k hÖ phû¬ng tr×nh
logx (3x + ky) = 2
logy (3y + kx) = 2.
2) T×m m ®Ó víi mäi x
f(x) = (x - 2)2 + 2|x - m| ³ 3.
C©u III. A, B, C lµ 3 gãc cña mét tam gi¸c. BiÕt:
tg A. tg B = p
tg A. tg C = q.
1
1) TÝnh tgA, tgB, tgC khi p = - 2, q = .
2
2) p, q ph¶i tháa m·n ®iÒu kiÖn g× ®Ó bµi to¸n cã nghiÖm ? Khi ®ã h·y viÕt biÓu thøc cña tgA, tgB, tgC theo p vµ q.
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
__________________________________________________________________
C©u I.
1) Ta cã
1 + 4sin α(sin α − cos α)
y = x + 2(cos α − sin α ) + ,
x + 2sin α
vËy ®å thÞ hµm sè cã tiÖm cËn xiªn
y = x + 2 (cosα − sinα).
TiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ lµ x = −2 sinα, mµ t©m ®èi xøng cña ®å thÞ lµ giao ®iÓm hai tiÖm cËn,
vËy cã täa ®é :
x = −2 sinα, y = 2cosα − 4sinα.
2) Hµm sè cã ®¹o hµm :
1 + 4sin α(sin α − cos α )
y' = 1 − ;
(x + 2sin α )2
hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu nÕu ph−¬ng tr×nh y' = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt :
y' = 0 ⇒ (x + 2sin α)2 = 1 + 4sin α(sin α − cos α) ,
ph−¬ng tr×nh nµy cã hai nghiÖm ph©n biÖt nÕu
1 + 4 sinα (sinα - cosα ) > 0 (1)
π
1 + 4sin2 α − 4sin α cos α = 3 − 2 2 cos 2α − ,
V×
4
nªn (1) lu«n lu«n ®−îc nghiÖm ®óng. Thµnh thö víi mäi α hµm sè lu«n lu«n cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu.
3) TiÕp tuyÕn víi ®å thÞ qua gèc ®é nªn cã d¹ng y = kx.
Hoµnh ®é tiÕp ®iÓm lµ nghiÖm cña hÖ :
A
x + 2(cos α − sin α) + x + 2sin α = kx (1)
A
1 − =k (2)
(x + 2sin α)2
trong ®ã A = 1 + 4sin α(sin α − cos α) = 1 + 4sin 2 α − 4sin α cos α
π
= 1 + 2(1 − cos2α) − 2sin 2α = 3 − 2 2 sin 2α + > 0
4
§Æt t = x+ 2sinα, thÕ (2) vµo (1) ta ®−îc (cos α − sin α)t 2 + At − Asin α = 0 (3)
§Ó tháa m·n ®Ò bµi, hÖ (1), (2) ph¶i cã 2 nghiÖm x ⇔ ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm t ≠ 0
cos α − sin α ≠ 0,sin α ≠ 0
⇔ 2
∆ = A + 4Asin α(cos α − sin α ) > 0
∆ = A [A+ 4 sinα (cosα - sinα) ]
= A[1 + 4sin2 α − 4sin α cos α + 4sin α cos α − 4sin2 α ] = A > 0
π π
cosα - sin α ≠ 0 ⇔ 2 cos(α + ) ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ
4 4
sinα ≠ 0 ⇔ α ≠ kπ
π
VËy ®iÒu kiÖn cÇn t×m lµ α ≠ kπ, α ≠ + kπ
4
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
__________________________________________________________________
C©u II .
1) HÖ ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi
x > 0,x ≠ 1,y > 0,y ≠ 1
2 2
x = 3x + ky,y = 3y + kx.
Tõ hai ph−¬ng tr×nh cuèi, suy ra
(x − y) (x + y) = (3 − k) (x − y).
VËy : a) x = y ⇒ x2 = (3 + k)x mµ x > 0 nªn x = y = 3 + k.
NghiÖm nµy chÊp nhËn ®−îc nÕu 3 + k > 0, 3 + k ≠ 1 ⇒ k > −3, k ≠ − 2.
b) x + y = 3 − k. ThÕ vµo ph−¬ng tr×nh ®Çu th× ®i ®Õn
x2 − (3 − k)x − k(3 − k) = 0 (1)
Tr−íc hÕt ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm, ta ph¶i cã
∆ = (3 − k)2 + 4k(3 − k) = (3 − k)(3 + 3k) ≥ 0 ⇔ −1 ≤ k ≤ 3.
Khi ®ã gäi x1 vµ x2 lµ c¸c nghiÖm cña (1). NÕu lÊy x = x1 th× theo hÖ thøc Viet y = 3 − k − x1 = x2 , cßn nÕu lÊy
x = x2 th× y = x1 .
§Ó chÊp nhËn ®−îc c¸c nghiÖm nµy ta ph¶i cã
x1 > 0,x2 > 0 ⇒ 3 − k > 0, − k(3 − k) > 0
2
x1 ≠ 1,x2 ≠ 1 ⇒ 1 − (3 − k) − k(3 − k) = k − 2k − 2 ≠ 0.
Cïng víi ®iÒu kiÖn −1 ≤ k ≤ 3 suy ra −1 ≤ k < 0 , k ≠ 1 − 3 .
§Ó ý r»ng nÕu k = −1 th× x1 = x2 ⇒ x = y, trë vÒ tr−êng hîp a).
KÕt luËn :
α) Víi k > −3, k ≠ −2 hÖ cã nghiÖm x = y = 3 + k.
β) Ngoµi ra nÕu - 1 < k < 0, k ≠ 1 − 3 , hÖ cßn cã hai nghiÖm n÷a :
x = x2,
x = x1,
y = x2 , y = x1,
trong ®ã x1,x2 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) :
γ) NÕu k ≤ −3 th× hÖ v« nghiÖm.
2) §iÒu kiÖn cÇn. V× f(m) = (m − 2)2 ≥ 3 ⇒ hoÆc m ≤ 2 − 3 , hoÆc m ≥ 2 + 3 .
§iÒu kiÖn ®ñ : A) gi¶ sö m ≥ 2 + 3 .
1) XÐt x ≥ m. Khi ®ã
f(x) = (x − 2)2 + 2(x − m) = x2 − 2x + 4 − 2m .
§å thÞ lµ mét parabol cã bÒ lâm quay vÒ phÝa trªn, hoµnh ®é cña ®Ønh xo = 1 , ngoµi miÒn kh¶o s¸t
(x ≥ m ≥ 2 + 3) , vËy
min f(x) = f(m) = (m − 2)2 ≥ 3 (®óng).
x≥ m
2) XÐt x ≤ m. Khi ®ã
f(x) = (x − 2)2 − 2(x − m) = x2 − 6x + 4 + 2m .
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
__________________________________________________________________
§å thÞ lµ mét parabol cã bÒ lâm quay vÒ phÝa trªn, hoµnh ®é cña ®Ønh xo = 3 , trong miÒn kh¶o s¸t
(m ≥ 2 + 3 > 3) , vËy min f(x) = f(xo ) = f(3) = −5 + 2m ≥ 3 ,
x≤ m
suy ra m ≥ 4.
B) Gi¶ sö m ≤ 2 − 3 .
1) XÐt x ≥ m. Khi ®ã nh− trªn f(x) = x2 − 2x + 4 − 2m ,
hoµnh ®é ®Ønh cña parabol xo = 1 n»m trong miÒn kh¶o s¸t (do m ≤ 2 − 3 < 1 ),
vËy min f(x) = f(xo ) = f(1) = 3 − 2m ≥ 3 , suy ra m ≤ 0.
x≥ m
2) XÐt x ≤ m. Khi ®ã còng nh− trªn f(x) = x2 − 6x + 4 + 2m ,
hoµnh ®é ®Ønh cña parabol xo = 3 n»m ngoµi miÒn kh¶o s¸t, vËy
min f(x) = f(m) = (m − 2)2 ≥ 3 (®óng)
x≤ m
VËy ®¸p sè lµ : hoÆc m ≤ 0, hoÆc m ≥ 4.
C©u III. Tr−íc hÕt ta h·y chøng tá r»ng trong mäi tam gi¸c ABC kh«ng vu«ng, ta ®Òu cã :
tgA + tgB + tgC = tgA tgB tgC (1)
Qu¶ vËy, ta cã
tgA + tgB
tgC = − tg(A + B) = , tõ ®ã suy ra (1)
tgAtgB − 1
1) T− (1) suy ra
tg2 A + tgAtgB + tgAtgC = tgAtgBtgAtgC (2)
1 1 1
tg2 A − 2 + = −2. = −1 ⇒ tg2 A = .
hay
2 2 2
1
§Ó ý r»ng tgAtgC = > 0 , vËy tgA, tgC cïng dÊu, mµ trong tam gi¸c kh«ng thÓ cã hai gãc tï, do ®ã tgA > 0
2
1 1
⇒ tgA = , tgB = −2 2 , tgC = .
2 2
2) Trong tr−êng hîp tæng qu¸t, tõ (2) suy ra
tg2 A + p + q = pq ⇒ tg2 A = pq − (p + q) .
§Ó ý r»ng trong tam gi¸c, tang cña mét gãc ph¶i kh¸c 0, do ®ã ph¶i cã c¸c ®iÒu kiÖn
p ≠ 0 , p ≠ 0 , pq > p + q.
Ta h·y chøng tá r»ng ®©y còng lµ ®iÒu kiÖn ®ñ. Qu¶ vËy, nÕu p > 0 th× tgA, tgB cïng dÊu, nh− trªn ta suy ra
tgA > 0, còng vËy nÕu q > 0 còng suy ra tgA > 0.
Thµnh thö
a) NÕu hoÆc p > 0, hoÆc q > 0 th× tgA > 0, vËy
p q
tgA = pq − (p + q) , tgB = , tgC = .
pq − (p + q) pq − (p + q)
b) NÕu p < 0 vµ q < 0, th× tgA < 0 (tgB > 0, tgC > 0).
−p −q
tgA = − pq − (p + q) , tgB = , tgC =
pq − (p + q) pq − (p + q)
- LuyÖn thi trªn m¹ng
www.khoabang.com.vn
_______________________________________________________________
C©u IVa. 1) HiÓn nhiªn bÊt ®¼ng thøc
2n
é æ x öù
f(x) ³ê f ç n ÷ú (1)
ç÷
êë è 2 ÷úû
çø ÷
®óng víi n = 0. Gi¶ sö bÊt ®¼ng thøc (1) ®· ®óng cho n = k. ThÕ th× theo ®iÒu kiÖn b)
2
æxö æx X ö é æ X öù
fç k ÷ = f ç k +1 + k +1 ÷ ³ ê f ç k +1 ÷ú ,
ç÷ ÷ ÷
ç ç
è2 ÷ 2 ÷ ëê è 2 ÷ûú
çø ç ç
÷ ÷ ÷
è2 ø ø
vËy
2 k +1
2k 2. 2 k
é æ x öù éæ x öù éæ x öù
f(x) ³ ê f ç ÷ú ³ êç k +1 ÷ú = êç k +1 ÷ú
ç÷ ÷ ÷ ,
ç ç
ç÷ ÷ ÷
ç ç
÷ ÷ ÷
ëê è 2k øûú ëêè 2 øûú ëêè 2 øûú
tõ ®ã suy ra (1) ®óng cho mäi sè tù nhiªn n.
2) Tõ ®iÒu kiÖn a) suy ra : nÕu |x| < 1 th× f(x) > 0.
B©y giê ta h·y lÊy x Î R tïy ý. Chän sè tù nhiªn n ®ñ lín sao cho
æXö
fç n ÷ > 0
X
|x| < 2n Û ç÷
0,
êë è 2 ÷úû
çø ÷
vËy f(x) > 0 víi mäi x Î R.
3) V× f(x) > 0 víi mäi x Î R, nªn theo b) vµ a):
f(x + h) Î f(x) f(h) ³ (1 + h) f(x) = f(x) + hf(x) Þ hf(x) £ f(x + h) - f(x).
MÆt kh¸c víi |h| < 1, ta cã 1 - h > 0 vËy vÉn theo b) vµ a) :
f(x)
f(x) = f(x + h - h) ³ f(x + h)f(-h) ³ (1 - h) f(x + h) Þ f(x + h) £
1-h
f(x) hf(x)
Þ f(x + h) - f(x) £ .
- f(x) =
1-h 1-h
- LuyÖn thi trªn m¹ng
www.khoabang.com.vn
_______________________________________________________________
Dx . f(x)
4) Víi Dx Î (-1 ; 1), theo 3) Dx . f(x) £ f(x + Dx) - f(x) £ .
1 - Dx
Suy ra
f(x + Dx) - f(x) f(x)
a) nÕu Dx Î (0 ; 1), th× f(x) £ ,
£
Dx 1 - Dx
f(x + Dx) - f(x) f(x)
b) nÕu Dx Î (-1 ; 0) th× f(x) ³ .
³
Dx 1 - Dx
f(x + Dx) - f(x)
Trong c¶ hai trûêng hîp, ta ®Òu cã lim = f(x),
Dx
Dx ® 0
chøng tá ®¹o hµm f’(x) lu«n lu«n tån t¹i vµ f’(x) = f(x) víi mäi x Î R,
f' (t)
= 1 víi mäi t Î R.
hoÆc còng vËy
f(t)
f '(t)
x x
ò dt = ò dt víi mäi x Î R
Do ®ã
f (t)
0 0
f(x)
= x Þ f(x) = f(0) . ex.
Hay ln
f(0)
Theo a) ta cã f(0) ³ 1 + 0 = 1,
vµ theo b) f(0) = f(0 + 0) ³ f2(0). Do vËy f(0) = 1, suy ra
f(x) = ex.
C©u IVb. Dùng thiÕt diÖn qua ®ûêng chÐo BD’ ch¼ng
h¹n. Gi¶ sö thiÕt diÖn nµy c¾t AA’ t¹i M. Gäi O lµ t©m
h×nh lËp phû¬ng. C¸c ®iÓm M vµ O thuéc mÆt chÐo (AA’,
CC’), do ®ã MO kÐo dµi c¾t CC’ t¹i N. V× c¸c cÆp mÆt ®èi
cña lËp phû¬ng song song nªn BM//ND’ vµ BN//MD’, do
®ã thiÕt diÖn MBD’N lµ h×nh b×nh hµnh.
Ta cã : S = dt(BMD’N) = BD’ . MK = d . MK
víi d lµ ®ûêng chÐo cña h×nh lËp phû¬ng. Suy ra S nhá
nhÊt khi MK nhá nhÊt, tøc lµ MK lµ ®o¹n vu«ng gãc
- LuyÖn thi trªn m¹ng
www.khoabang.com.vn
_______________________________________________________________
chung cña AA’ vµ BD’. DÔ thÊy r»ng MoO lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña AA’ vµ BD’, víi Mo lµ trung ®iÓm cña AA’
VËy thiÕt diÖn dùng qua ®ûêng chÐo BD’ vµ trung ®iÓm Mo cña c¹nh bªn AA’ sÏ cho thiÕt diÖn BMoD’No cã diÖn tÝch nhá
nhÊt.
C©u Vb. a) Mçi c¹nh cña tam gi¸c ABC kh«ng thÓ vûît qu¸ ®ûêng
kÝnh cña h×nh trßn chøa tam gi¸c Êy, do vËy nÕu ABC lµ tam gi¸c
vu«ng hay tï, th× h×nh trßn nhá nhÊt chøa tam gi¸c lµ h×nh trßn víi
®ûêng kÝnh lµ c¹nh lín nhÊt cña tam gi¸c.
b) Ta h·y chøng minh r»ng nÕu ABC lµ tam gi¸c nhän, th× h×nh
trßn ngo¹i tiÕp lµ h×nh trßn víi b¸n kÝnh nhá nhÊt chøa tam gi¸c Êy.
Qu¶ vËy, gäi O lµ t©m cña h×nh trßn ngo¹i tiÕp. B¸n kÝnh h×nh trßn
Êy lµ
R = OA = OB = OC.
Trªn h×nh ve, ta kÝ hiÖu A’, B’, C’ lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh BC, CA,
AB.
Xem mét h×nh trßn t©m O’, b¸n kÝnh R’ chøa tam gi¸c ABC. DÜ
nhiªn chØ cÇn xÐt trûêng hîp O’kh«ng trïng víi O. Ta ph¶i cã
R’ ³ max {O’A, O’B, O’C}.
C¸c tia OA’, OB’, OC’ chia mÆt ph¼ng ra 3 phÇn : ®iÓm O’ ph¶i thuéc mét trong c¸c phÇn Êy. Vai trß A, B, C lµ
ngang nhau, nªn cã thÓ coi r»ng O’ thuéc phÇn mÆt ph¼ng ch¾n bëi hai tia OB’ vµ OC’ (H×nh vÏ) (O’ cã thÓ n»m trªn
tia OB’ hay tia OC’).
Ta h·y chøng tá r»ng O’A’ > OA’.
^ ^
Qu¶ vËy, c¸c gãc B vµ C lµ nhän, nªn c¸c gãc A' OC vµ A' OB' lµ tï. Suy ra : O’ n»m ngoµi h×nh trßn t©m A’, b¸n kÝnh
A’O, tøc lµ O’A’ > OA’.
V× A’ lµ trung ®iÓm c¹nh BC, nªn ta cã O’B2 + O’C2 = 2O’A’2 + 2BA’2,
2R2 = OB2 + OC2 = 2OA’2 + 2BA’2,
víi O’A’ > OA’, suy ra O’B2 + O’C2 > 2R2, vËy ph¶i cã O’B > R hoÆc O’C > R Þ R’ > R.
- LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0
www.khoabang.com.vn
________________________________________________________________________________
C©u IVa. Hµm sè f(x) cã tËp x¸c ®Þnh R vµ tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn :
a) f(x) ³ 1 + x víi mäi x Î R,
b) f(x + y) ³ f(x).f(y) víi mäi x, y Î R.
1) Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc x vµ mäi sè tù nhiªn n, ta cã
2n
x
f(x) ↔ f n .
2
2) Sö dông bÊt ®¼ng thøc (1), h·y chØ ra mét kho¶ng më chøa O ®Ó f(x) > 0 trªn kho¶ng ®ã. Tõ c¸c kÕt qu¶ ®· ® îc,
h·y suy ra r»ng
f(x) > 0 víi mäi x Î R.
3) Chøng minh r»ng víi mäi x Î R vµ mäi h Î (- 1 ; 1), ta lu«n cã
h.f(x)
h.f(x) £ f(x + h) - f(x) £ .
l-h
4) Chøng tá r»ng ®¹o hµm f’(x) tån t¹i víi mäi x Î R. Tõ ®ã h·y suy ra r»ng
f(x) = e x .
C©u IVb.
C¾t h×nh lËp phû¬ng b»ng mét mÆt ph¼ng (P) ®i qua mét ®ûêng chÐo cña h×nh lËp phû¬ng. Ph¶i chän mÆt ph¼ng (P)
thÕ nµo ®Ó thiÕt diÖn thu ®ûîc cã diÖn tÝch nhá nhÊt ?
C©u Vb.
ABC lµ mét tam gi¸c cho trûúác. X¸c ®Þnh h×nh trßn cã b¸n kÝnh nhá nhÊt chøa tam gi¸c ®ã.
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
