Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện có đáp án môn: Toán 9 (Năm học 2015-2016)

Chia sẻ: Tạ Duy Phương | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

149
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Kì thi học sinh giỏi là kì thi quan trọng đối với mỗi học sinh. Dưới đây là đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện có đáp án môn "Toán 9" năm học 2015-2016 giúp các em kiểm tra lại đánh giá kiến thức của mình và có thêm thời gian chuẩn bị ôn tập cho kì thi sắp tới được tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện có đáp án môn: Toán 9 (Năm học 2015-2016)

PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 2016 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN 9 Ngày thi: 28/10/2015 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 (5 điểm) 1. Rút gọn các biểu thức sau: �x+2 x 1 � x −1 a. A = � � + + �: với x > 0, x 1. �x x − 1 x + x +1 1− x � � 2 b. B = 2017 − ( 3 7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 ) � 14 − 7 15 − 5 � 1 2. Cho x = � + �: và y = 4 + 7 − 4 − 7 − 2 � 3 −1 � � 2 −1 � 7 − 5 Tính giá trị của biểu thức C = x 4 + y15 − 1 Bài 2 (5 điểm). 1. Giải các phương trình sau: a. x 2 + 7 x + 13 = ( x + 7 ) x 2 + 13 b. x 2 8 x +15 + 2 x + 7 = 2 x 5 + x 2 + 4 x 21 2. Tìm x, y, z N thỏa mãn x 2 3 y z. 3. Cho góc nhọn α . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 2020sin 2 α + 2016 cos 2 α − 4sin α Bài 3 (4 điểm). 1. Cho đa thức P(x) = x2 + bx + c với b �Z , c �Z Biết rằng đa thức x4 + 6x2 + 25 và 3x4 + 4x2 + 28x + 5 đều chia hết cho P(x). Chứng minh rằng 2020 chia hết cho P(3). 2. Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương. Bài 4 (5 điểm). 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC (M khác A, C). Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM tại H, cắt tia BA tại O. a. Chứng minh: OA.OB = OC.OH và �OHA = �OBC b. Chứng minh tổng BM.BH + CM.CA không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên AC. 2. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 20152016 Môn: Toán 9 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Bài Nội dung Điểm 1. a. Với x > 0, x 1. Ta có �x+2 x 1 � x −1 � x + 2 x 1 � x −1 A=� + + �: �x x − 1 x + x + 1 1 − x � 2 = � + − �: 0,5 � 3 x + x + 1 x − 1 � 2 � � � x − 1 � �x + 2 + x − x − x − x − 1 � x − 1 =� 0,5 � ( x − 1)( x + x + 1) � �: 2 � � x − 2 x +1 2 2 = . = . ( x − 1)( x + x + 1) x − 1 x + x + 1 0,5 Vậy A=...... 1 b. B = 2017 − ( 3 7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 ) (5đ) Đặt M= 3 7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 Ta có M 3 = ( 3 7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 )3 = 7 + 5 2 + 7 − 5 2 + 33 7 + 5 2 .3 7 − 5 2 ( 3 7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 ) = 14 + 3 3 (7 + 5 2)(7 − 5 2).M = 14 − 3M 0,5 � M 3 + 3M − 14 = 0 � ( M − 2)( M 2 + 2 M + 7) = 0 � M − 2 = 0 ( M 2 + 2 M + 7 > 0, ∀M ) �M =2 Khi đó ta có: B = 2017 – 2 = 2015 0,5 Vậy B = 2015 0,5 2. Ta có : � 14 − 7 15 − 5 � 1 � 7( 2 − 1) 5( 3 − 1) � x= � � + �: =� + .( 7 − 5) � � 2 −1 3 −1 � � � 7 − 5 � 2 −1 3 −1 � � 2 = ( 7 + 5)( 7 − 5) = 7 − 52 = 2 0,75 y = 4 + 7 − 4 − 7 − 2 � 2y = 8 + 2 7 − 8 − 2 7 − 2 2 = ( 7 + 1)2 − ( 7 − 1)2 − 2 =2-2=0 y=0 0,75 Khi đó C = 2 + 0 − 1 = 15 . Vậy C=15 4 15 0,5
1. a. Đặt x 2 + 13 = y (với y 13 ) y = 7 (t/m) Khi đó, ta có: y 2 + 7 x = ( x + 7 ) y � ( y − 7 ) ( y − x ) = 0 � 0,5 y=x + Với y = 7 ta có x 2 + 13 = 7 � x 2 + 13 = 49 � x 2 = 36 � x = �6 x o x o 2 + Với y = x ta có x 2 + 13 = x �� 2 � (loại) 0,75 x + 13 = x 2 13 = 0 (5đ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = 6 0,25 b. x 2 8 x +15 + 2 x + 7 = 2 x 5 + x 2 + 4 x 21 � ( x − 3)( x − 5) + 2 x + 7 = 2 x 5 + ( x − 3)( x + 7) 0,5 (ĐK: x 5 ) � ( x − 5 − x + 7)( x − 3 − 2) = 0 0,25 x = 7 (t/m) 0,5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = 7 0,25 2. Ta có x 2 3 y z x 2 3 y z 2 yz 2 x y z 2 3 2 yz x y z 4 3 x y z 12 4 yz (1) 2 0,25 4 yz x y z 12 TH1. Nếu x y z 0 Ta có 3 (2) vô lý 4x y z ( do x, y, z N nên vế phải của (2) là số hữu tỷ ). 0,25 x y z 0 TH2. x y z 0 khi đó 1 (3) yz 3 x 4 x 4 Giải (3) ra ta được y 1 hoặc y 3 z 3 z 1 0,5 Vậy……. 3. Ta có T = 2020sin 2 α + 2016 cos 2 α − 4sin α = 2016sin 2 α + 2016 cos 2 α + 4sin 2 α − 4sin α 0,25 = 2016(sin 2 α + cos 2α ) + 4sin 2 α − 4sin α = 4sin 2 α − 4sin α + 2016 0,25 = (2sin α − 1) 2 + 2015 2015 0,25 1 minT=2015 khi sin α = � α = 300 . Vậy................................ 0,25 2 1. Ta có : +) x4 + 6x2 + 25 =(x2 + 2x + 5)(x2 2x + 5) 0,5 +) 3x4 + 4x2 + 28x + 5 = (3x2 + 6x + 1)(x2 2x + 5) 0,5 Vì các đa thức x4 + 6x2 + 25 và 3x4 + 4x2 + 28x + 5 đều chia hết cho P(x) = x2 + bx + c nên P(x) là nhân tử chung bậc hai của hai đa thức trên, nên 0,5 P(x) = x2 2x + 5. Khi đó P(3) = 20. Ta có 2020 = 20.101 2020MP(−3) (đpcm) 0,5
3 2. Ta có 10 n 99 21 2n + 1 199. 0,5 (4đ) Mà 2n + 1 lẻ và 2n+1 là số chính phương 2n + 1 { 25; 49; 81; 121; 169} n { 12; 24; 40; 60; 84} 0,5 3n + 1 { 37; 73; 121; 181; 253} . 0,5 Nhận thấy trong các số trên chỉ có 121 là số chính phương. Vậy n = 40 0,5 Hình vẽ O H A M C B K OA OC = � OA.OB = OC.OH 1,0 4 1. a. Chứng minh được ΔOAC ~ ΔOHB (g.g) � OH OB (5đ) OA OC OA OH Theo chứng minh trên ta có = � = OH OB OC OB Xét ∆OHA và ∆OBC ta có : OA OH = OC OB O chung 1,0 � ∆OHA : ∆OBC (c.g.c) � �OHA = �OBC b. Kẻ MK ⊥ BC BM BK + Chứng minh được ΔBKM ~ ΔBHC (g.g) � = � BM .BH = BC.BK (1) BC BH CM CK 0,75 + Chứng minh được ΔCKM ~ ΔCAB (g.g) � = � CM .CA = BC.CK (2) CB CA Từ (1) và (2) suy ra : BM .BH + CM .CA = BC.BK + BC .CK = BC ( BK + CK ) = BC 2 (không đổi) 0,5 Vậy BM.BH + CM.CA không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên AC 2. Hình vẽ A B C H M
Từ A kẻ AH BC tại H Vì AB