Đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án môn: Toán - Trường THCS Dân Hòa (Năm học 2015-2016)

Chia sẻ: Tạ Duy Phương | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

152
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn và quý thầy cô hãy tham khảo đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án môn "Toán - Trường THCS Dân Hòa" năm học 2015-2016 sau đây nhằm giúp các em củng cố kiến thức của mình và thầy cô có thêm kinh nghiệm trong việc ra đề thi. Chúc các em thành công và đạt điểm cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án môn: Toán - Trường THCS Dân Hòa (Năm học 2015-2016)

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015 2016 TRƯỜNG THCS DÂN HÒA Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có: 01 trang Câu 1: (6 điểm) x y x y x y 2 xy 1.Cho P = : 1 1 xy 1 xy 1 xy a. Rút gọn P b. Tính P khi x = 23 + ( 3 − 1) 6 + 2 2 3 − 2 + 12 + 18 − 128 2.Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100 Câu 2: (4 điểm) ̉ a. Giai ph ương trinh: ̀ 2 x − 3 + 5 − 2 x = 3 x 2 − 12 x + 14 b. Cho x;y;z lµ 3 sè tháa m·n ®iÒu kiÖn: 4x + 2y + 2z - 4xy - 4xz + 2yz - 6y -10z + 34 = 0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = (x- 4) + ( y - 4) + (z - 4) Câu 3: (3 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0 ̀ ́ ́ ớn hơn 1. b) Cho a, b, c la cac sô l Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a 2 2b 2 3c 2 P = + + a −1 b−1 c −1 Câu 4: (6 điểm) Cho AB là đường kính của (O; R), C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vông góc với AB tại H . Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K. a, Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn. b, Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O,R) c, Chứng minh K là trung điểm CH d, Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R. Câu 5: (1 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương x , y , z thoả mãn
x y z 11 8 x 9 y 10 z 100 Hết Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 TRƯỜNG THCS DÂN HÒA MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Bài Nội dung Điể m Bài 1 1. a) Điều kiện để P có nghĩa là : x 0 ; y 0 ; xy 1 ( 6đ) x y x y x y 2 xy P= : 1 1 xy 1 xy 1 xy x y 1 xy x y 1 xy 1 xy x y 2 xy = : 0,5đ 1 xy 1 xy 1 xy x y x y y x x y x y y x x y xy 1 = : 1 xy 1 xy 0,5đ = 2 x 2 y x 1 xy 1 xy 1 x y 1 0,5đ 2 x1 y 2 x = 0,5đ 1 x 1 y 1 x b) Đặt A = ( 3 − 1) 6 + 2 2 3 − 2 + 12 + 18 − 128 Ta có: 18 − 128 = 18 − 8 2 = (4 − 2) 2 0,5đ � 2 + 12 + 18 − 128 = ..... = ( 3 + 1) 2 � 6 + 2 2. 3 − ( 3 + 1) = ... = 3 + 1 0,5đ A = ( 3 − 1)( 3 + 1) = 3 − 1 = 2 x = 23 + 2 = 25 0,5đ Thay x = 25 vào P ta có: 2 25 10 5 P = = = 1 + 25 26 13 0,5đ 2. Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50 0,5đ Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và
101 Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + ... +(503 + 513) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + ... + (50 + 51) (502 + 50. 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 (1) 0,5đ Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + ... + (503 + 1003) Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 0,5đ (2) Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chia hết cho B 0,5đ a) 2 x − 3 + 5 − 2 x = 3 x 2 − 12 x + 14 (1) 3 5 ĐKXĐ: x 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: VT= 2 x − 3 + 5 − 2 x 2(2 x − 3 + 5 − 2 x) = 2 0,5đ Dấu “=” xảy ra khi 2 x − 3 = 5 − 2x ó x= 2 0,5đ Ta lại có: VP = 3 x 2 − 12 x + 14 = 3( x − 2) 2 + 2 2 Dấu “=” xảy ra khi x = 2 0,5đ Bài 2 Do đó VT = VP ó x = 2 ( TMĐKXĐ) vậy S 2 0,5đ ( 4đ) b) 4x + 2y + 2z - 4xy - 4xz + 2yz - 6y -10z + 34 = 0 ⇔ 4x + y + z 4xy 4xz + 2yz + y - 6y + 9 + z - 10z +25 = 0 0,5đ ⇔ ( 2x y z) + ( y 3) + ( z 5) = 0 0,5đ �2 x − y − z = 0 �x = 4 � � 0,5đ � �y − 3 = 0 � �y = 3 �z − 5 = 0 �z = 5 � � VËy ( 4 4) + ( 3 4) + ( 5 4) = 0 0,5đ Bài 3 a) x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0 (1) (3đ) (1) (x2 + 2xy + y2) + (y2 + 3y – 4) = 0 (x + y)2 + (y 1)(y + 4) = 0 (y 1)(y + 4) = (x + y)2 (2) 0,5đ Vì (x + y)2 0 với mọi x, y nên: (y 1)(y + 4) 0 4 y 1 0,5đ
Vì y nguyên nên y { −4; − 3; − 2; − 1; 0; 1} 0,5đ Thay các giá trị nguyên của y vào (2) ta tìm được các cặp nghiệm nguyên (x; y) của PT đã cho là: (4; 4), (1; 3), (5; 3), ( 2; 0), (1; 1). b) P = P = P = P = 0,5đ Do ̣ ́ ̉ . Áp dung bât đăng thưc Côsi cho 2 s ́ ố dương ta co : ́ P 0,5đ ̣ Vây P ́ ̉ Dâu đăng th ưc xay ra khi a = b = c = 2. ́ ̉ 0,5đ Bài 4 Vẽ hình đúng 0,5đ ( 6đ) M C I K A B O H a) Chứng minh OI AC OIC vuông tại I I thuộc đường tròn đường kính OC 0,5đ Lại có CH AB (gt) nên CHO vuông tại H H thuộc đường tròn đường kính OC. Do đó I, H cùng thuộc đường tròn đường kính OC. Hay 4 điểm C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn. 0,5đ b) Ta có: góc ACB = 900 AC ⊥ CB Mà AC OM CB // OM 0,5đ góc AOM = góc OBC (1) Lại có: góc CBO = góc OCB ( vì ∆ OCB cân tại O)
Góc OCB = góc COM ( so le trong) (2) 0,5đ Từ (1) và (2) góc AOM = góc COM ∆ AOM = ∆ COM (c.g.c) góc MCO = góc MAO = 900 MC ⊥ CO MC là tiếp tuyến của (O;R) 0,5đ c) ∆ MAB có KH//MA (cùng vuông góc với AB) KH HB KH AM .HB AM .HB (1) 0,5 đ AM AB AB 2R CM: MAO đồng dạng với CHB MA AO AM .HB AM .HB 0,5 đ CH (2) CH HB AO R Từ (1) và (2) suy ra: CH=2KH CK=KH K là trung điểm của CH 0,5 đ c) Chu vi ACB là PACB =AB+AC+CB=2R+AC+CB 0,5 đ Ta có: ( AC CB )2 0 AC 2 CB 2 2. AC.CB 2 AC 2 2CB 2 AC 2 CB 2 2. AC.CB 2.( AC 2 CB 2 ) ( AC CB ) 2 AC CB 2.( AC 2 CB 2 ) � AC + CB � 2 AB 2 � AC + CB � 2.4 R 2 � AC + CB �2 R 2 PACB 2 R 2 R 2 2 R(1 2 ) 0,5 đ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AC = CB C là điểm chính giữa cung AB Vậy để chu vi ACB đạt giá trị lớn nhất là 2R(1+ 2 ) C là điểm chính giữa cung AB 0,5 đ Ta có : 100 = 8x+9y+10z > 8x+8y+8z = 8(x+y+z) 25 x y z . 2 0,5đ Theo giả thiết x+y+z > 11, do ( x+y+z ) nguyên nên Bài 5 x+y+z =12. ( 1đ x y z 12 x y z 12 Vậy ta có hệ 8 x 9 y 10 z 100 y 2z 4 Từ y + 2z =4 suy ra z =1 (do y,z > 0) Khi z=1 thì y=2 và x=9. Thay x=9; y=2; z=1 thấy thoả mãn yêu cầu bài 0,5đ toán * Chú ý: Hs giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. DUYỆT CỦA BAN GIÁM HIỆU GIÁO VIÊN RA ĐỀ
Nguyễn Thị Hà Nguyễn Thị Thủy