ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích

Chia sẻ: Ly Tran Hiep | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

192
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi toán olympic dành cho các bạn sinh viên trong các trường đại học, cao đẳng là một trong những tài liệu giúp cho cho các bạn có thêm những trãi nghiệm trong quá trình học tập của mình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích

HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM MATHOLP’04 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Cho dãy số {xn} xác định như sau: xn1 x0  0, xn   (1)n , n  1. 2004 Tính lim xn . 2 n  Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục và dương trên [0, + ). Chứng minh rằng hàm số x  tf (t )dt F ( x)  0 x  f (t )dt 0 đồng biến trên [0, +). Câu 3. Cho 0  a  b. Tính tích phân 1 a) I ( )   bx  a(1  x)  dx.  0 1 b) lim  I ( )  .  0 Câu 4. Xác định các hàm số f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: (i) f ( x)  e2004 x , x  ¡ . (ii) f ( x  y )  f ( x) f ( y ), x, y  ¡ . Câu 5. Cho đa thức P(x) thoả mãn điều kiện P(a)  P(b)  0 với a < b. Đặt M  max P( x) . Chứng minh rằng a  x b b b a)  P( x)( x  a)( x  b)dx  2  P( x)dx, a a b 1  P( x)dx  12 M (b  a) . 3 b) a -------Hết------- 1
ĐÁP ÁN OLYPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích Câu 1. Cho dãy số {xn} xác định như sau: xn1 x0  0, xn   (1)n , n  1. 2004 Tính lim xn . 2 n  Giải. Ta chứng minh công thức (1)n (2004) n  1 xn  . (2004) n 1.2005 h( n) Thật vậy, đặt xn  , ta thu được (2004)n 1 1 1 h( n)  h(n  1)  (1)n . (2004) n 1 n (2004) 2004 Suy ra h(n)  h(n 1)  (1)n (2004)n và n n h(n)  h(0)    h(i)  h(i  1)    (1)i (2004)i . i 1 i 1 Do x0  h(0)  0 nên (1)n (2004)n  1 n 1  (1) (2004)  (2004)n1.2005 . xn  i i (2004)n i 1 Suy ra 2  2004  lim x   2 . n  2005  n   Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục và dương trên [0, + ). Chứng minh rằng hàm số x  tf (t )dt F ( x)  0 x  f (t )dt 0 đồng biến trên [0, +). Giải. Ta c ó x x xf ( x)  f (t )dt  f ( x)  tf (t )dt F ( x)  0 0 . 2   x   f (t )dt  0  Vì f ( x) 0 2   x   f (t )dt  x  2
x x x và x  f (t )dt   tf (t )dt   ( x  t ) f (t )dt  0 với f (t )  0, x  t nên F ( x)  0 khi x > 0. 0 0 0 Do vậy F(x) là một hàm đồng biến trong 0,    . Câu 3. Cho 0< a < b. Tính tích phân 1 a) I ( )   bx  a(1  x)  dx.  0 1 b) lim  I ( )  .  0 Giải. a) Đặt bx  a(1  x)  t , ta có t 1 b  bx  a(1  x)  dx   dt  ba 0 a 1 b 1  a  1 b 1 1  1   t . b  a  1  1 b  a a b) Từ a) suy ra 1  b 1  a  1   1 1  I ( )    1 .  ba  (  1)  Suy ra 1  bb  b  a 1 lim  I ( )  e1  a  .  0 a  Câu 4. Xác định các hàm số f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: (i) f ( x)  e2004 x , x  ¡ . (ii) f ( x  y )  f ( x) f ( y ), x, y  ¡ . Giải. Đặt f ( x)  e2004 x g ( x). Theo giả thiết (i) thì g ( x)  1 với mọi x  ¡ . Thế vào điều kiện (ii), ta thu được e200( x y ) g ( x  y)  e2004 x g ( x)e2004 y g ( y), hay g ( x  y)  g ( x) g ( y), x, y  ¡ . Với x= y= 0 ta thu được  g (0)   g (0) 2   g (0)  1.   g (0)  1  Suy ra 1  g (0)  g ( x  ( x))  g ( x) g ( x)  1, x  ¡ . Do đó g ( x)  1 và f ( x)  e2004 x . Câu 5. Cho đa thức P(x) thoả mãn điều kiện P(a)  P(b)  0 , với a < b. Đặt M  max P( x) . Chứng minh rằng a  x b 3
b b a)  P( x)( x  a)( x  b)dx  2  P( x)dx, a a b 1  P( x)dx  12 M (b  a) . 3 b) a Giải. a) Ta chứng minh b b  P( x)( x  a)(b  x)dx  2 P( x)dx (1) a a Thật vậy, sử dụng công thức tích phân từng phần, ta thu được b b  P( x)( x  a)(b  x)dx    P( x) ( x  a)(b  x) dx  a a b b b    P( x)  (b  x)  ( x  a)  dx   P( x)  (b  x)  ( x  a )  dx  2 P( x)dx. a a a b) Từ (1) ta thu được b b 1  P( x)dx   2  P( x)( x  a)(b  x)dx. a a Suy ra b b 1  P( x)dx  2 P( x) ( x  a)(b  x) dx. a a Vì a  x  b nên ( x  a)(b  x)  ( x  a)(b  x) và b b M M  P( x)dx   ( x  a)(b  x)dx  12 (b  a) . 3 2a a -------o0o------ 4
HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM MATHOLP’05 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005 Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu1. Cho dãy số {xn} (n  1, 2,3,.....) được xác định bởi công thức truy hồi sau: xn1  xn  2, x1  5. Tìm giới hạn 2 xn 1 2 lim( ). n  x1 x2 ...xn Câu 2. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] (a < b) và thoả mãn điều kiện b  f ( x)dx  0. a Chứng minh rằng tồn tại c  (a, b) sao cho c f (c)  2005 f ( x)dx. a Câu 3. Cho số dương a và hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ¡ sao cho f ( x)  a với mọi x  ¡ . Biết rằng  2 0   f ( x)sin xdx  a. 0   Chứng minh rằng khi đó trên đoạn 0,  , phương trình f ( x)  0 có duy nhất nghiệm.  2 Câu 4. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0, 1] và thoả mãn điều kiện 1  x2 1 , x  0,1.  f (t )dt  2 x Hãy chứng minh 1 1   f ( x)  dx   xf ( x)dx. 2 0 0 Câu 5. Giả sử f(x) là hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên ¡ và thoả mãn điều kiện f (0)  f (1)  a. Chứng minh rằng max  f ( x)  8(a  b) , x0,1 với b  min  f ( x). x0,1 Cho một mở rộng kết quả trên đối với đoạn  ,    ¡ . --------Hết-------- 5
ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005 Môn: Giải tích Câu1. Cho dãy số {xn} (n  1, 2,3,.....) được xác định bởi công thức truy hồi sau: xn1  xn  2, x1  5. Tìm giới hạn 2 xn 1 2 lim( ). n  x1 x2 ...xn Giải. Theo giả thiết ta có xn1  4  ( xn  2)2  4  xn  4 xn  xn ( xn  4)  xn xn 1 ( xn 1  4)  2 2 4 2 2 2 22 2  ....  xn xn1...x12 ( x12  4)  21( x1 x2 ....xn ) 2 . 22 Suy ra 2  xn 1  4   21   . ( x1 x2 ...xn ) 2  x1 x2 ...xn  Dễ dàng chứng minh được (vi dụ: bằng qui nạp!) xk  2, k  1. Do vậy 2  xn 1    21. lim  n  x x ...x  1 2 n Câu 2. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] (a < b) và thoả mãn điều kiện b  f ( x)dx  0. a Chứng minh rằng tồn tại c  (a, b) sao cho c f (c)  2005 f ( x)dx. a Giải. Xét hàm số t F (t )  e2005t  f ( x)dx. a Khi đó F (a)  F (b)  0 và t F (t )  2005e2005t  f ( x)dx  e2005t f (t ). a Theo Định lý Rolle, tồn tại c  (a, b) sao cho F (c)  0, nghĩa là c  f ( x)dx  e 2005 c 2005 c 2005e f (c)  0. a Hay từ đây suy ra điều phải chứng minh: c f (c)  2005 f ( x)dx. a Câu 3. Cho số dương a và hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ¡ sao cho f ( x)  a với mọi x  ¡ . Biết rằng 6
 2 0   f ( x)sin xdx  a. 0   Chứng minh rằng khi đó trên đoạn 0,  , phương trình f ( x)  0 có duy nhất nghiệm.  2 Giải. Ta có     2 2 2  f ( x) sin xdx    f ( x)dcosx  cosxf ( x) 02   f ( x)cosxdx 0 0 0   2 2  f (0)   f ( x)cosxdx  f (0)  a  cosxdx  f (0)  a. 0 0 Suy ra  2 f (0)   f ( x)sin xdx  a  0. 0 Giả sử f ( 2)  0. Từ giả thiết f ( x)  a  0 suy ra f ( x) đồng biến trên đoạn 0,  2. Khi đó f ( x)  0 x  0,  2. Do vậy f ( x)sin x  0 x  0,  2 , hay  2  f ( x) sin xdx  0. 0 Mâu thuẫn với giả thiết. Vậy, f ( 2)  0. Kết hợp với điều kiện f ( x) trên đoạn 0, 2 suy ra điều phải chứng minh. Câu 4. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0, 1] và thoả mãn điều kiện 1  x2 1 , x  0,1.  f (t )dt  2 x Hãy chứng minh 1 1   f ( x)  dx   xf ( x)dx. 2 0 0 Giải. Ta có 1 1 1 1 0    f ( x)  x  dx    f ( x)  dx  2  xf ( x)dx   x 2 dx  2 2 0 0 0 0 1 1 1    f ( x)  dx  2 xf ( x)dx  . 2 3 0 0 Suy ra 1 1 1   f ( x)  dx  2 xf ( x)dx  . 2 (1) 3 0 0 Đặt 1  1 A     f (t )dt dx. 0x  7
Ta có 1  1  x2 1 1 1 A     f (t )dt dx   dx  . 0x  2 3 0 Mặt khác 1 1  1 1 1 1 A     f (t )dt dx  x  f (t )dt   xf ( x)dx  xf ( x)dx. 0x  x 0 0 0 Do đó 1 1  xf ( x)dx  3. (2) 0 Thay (2) vào (1) suy ra điều phải chứng minh. Câu 5. Giả sử f(x) là hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên ¡ và thoả mãn điều kiện f (0)  f (1)  a. Chứng minh rằng max  f ( x)  8(a  b) , x0,1 với b  min  f ( x). x0,1 Cho một mở rộng kết quả trên đối với đoạn  ,    ¡ . Giải. Sử dụng giả thiết và áp dụng định lý Rolle, tồn tại c  (0,1) sao cho f (c)  0 . Xét khai triển Taylor của hàm f ( x) tại điểm c: f ( ( x)) f ( x)  f (c)  f (c)( x  c)  ( x  c) 2 . 2 Thay lần lượt giá trị x = 0 và x = 1 vào đẳng thức trên ta thu được f ( (0) 2 a b c. 2 f ( (1) a b (1  c) 2 . 2 Hay 2(a  b) f ( (0))   0. c2 2(a  b) f ( (1))   0. (1  c) 2 Nhân vế với vế hai bất đẳng thức sau cùng ta thu được 4(a  b)2 f ( (0)) f ( (1))   64(a  b) 2 . c (1  c) 2 2 1 (sử dụng bất đẳng thức c 2 (1  c)2  với c [0,1]) . 16 Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Mở rộng đối với đoạn  ,   : 8(a  b) max {f (x)}  (   ) 2 . x ,  Ghi chú: Nếu thí sinh đưa ra đư phản ví dụ khi a=b thì có thể xét thưởng điểm. -------Hết------ 8