Së GD & §T thanh ho¸
Tr−êng THPT HËu léc 4
----------***----------
®Ò kiÓm tra chÊt l−îng d¹y - häc båi d−ìng
LÇn 1 - n¨m häc: 2010 - 2011
m«n to¸n, khèi d (Thêi gian lµm bµi 180 phót)
PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7,0 ñiểm)
Câu I (2,0 ®iÓm) Cho hµm sè
4 2
2 1.
y x x
= − +
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ
( )
C
cña hµm sè.
2. T×m to¹ ®é hai ®iÓm
,
P Q
thuéc
( )
C
sao cho ®−êng th¼ng
PQ
song song víi trôc hoµnh vµ
kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm cùc ®¹i cña
( )
®Õn ®−êng th¼ng
PQ
b»ng 8.
Câu II (2,0 ®iÓm)
1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
2cos ( 3sin cos ) 3.
x x x
+ =
2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:
2
2
( 2) 1
2 2 0
x y x
x xy x
+ =
+ + + =
C©u III (1,0 ®iÓm) T×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè:
3
8
2
4
log
1 log ( 1) .
y x
x
=
− − −
C©u IV (1,0 ®iÓm) Cho h×nh chãp tam gi¸c
.
S ABC
cã ®¸y
ABC
lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh
a
,
SA
vu«ng gãc víi ®¸y vµ mÆt bªn (SBC) t¹o víi ®¸y mét gãc b»ng 60
0
. Gäi
I
lµ trung ®iÓm cña SC.
TÝnh thÓ tÝch khèi chãp
.
I ABC
.
C©u V
(1,0 ®iÓm)
Cho hai sè d−¬ng
a b
,
cã tæng b»ng 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt c
ủ
a biÓu thøc:
= + +
+ +
2 2
1 1 1
4 2 4 2
P
ab
a b
.
PhÇn riªng
(3,0 ®iÓm)
ThÝ sinh chØ ®−îc lµm mét trong hai phÇn
(phÇn
A
hoÆc phÇn
B)
A. Theo ch−¬ng tr×nh chuÈn
C©u VI.a
(2,0 ®iÓm)
Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy:
1.
T×m ®iÓm A thuéc trôc hoµnh, ®iÓm B thuéc trôc tung sao cho A vµ B ®èi xøng nhau qua ®−êng
th¼ng
2 3 0
− + =
x y
.
2.
ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (
C
) cã b¸n kÝnh
b»ng 5, tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng
3 4 20 0
x y
+ − =
vµ cã t©m thuéc ®−êng th¼ng
1 0
x y
+ + =
.
C©u VII.a
(1,0 ®iÓm)
Cho tËp hîp X gåm tÊt cc¸c sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau
abc
(víi
, , 6
abc
<
)
. Chän ngÉu nhiªn mét sè trong X. TÝnh x¸c suÊt ®Ó sè ®−îc chän chia hÕt cho 5.
B. Theo ch−¬ng tr×nh n©ng cao
C©u VI.b (2,0 ®iÓm)
Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy:
1.
Cho tam gi¸c ABC cã
)5;2(,)1;1(
−
BA
, ®Ønh C n»m trªn ®−êng th¼ng
4 0
− =
x
vµ träng t©m G
n»m trªn ®−êng th¼ng
0632
=
+
−
yx
. TÝnh ®é dµi ®−êng cao kÎ tõ ®Ønh C cña tam gi¸c.
2.
Cho parabol
(P)
: 2
4
=
y x
. Mét ®−êng th¼ng (d) bÊt kú ®i qua tiªu ®iÓm F cña
(P)
c¾t
(P)
t¹i
hai ®iÓm M vµ N. Chøng minh tÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ M vµ N ®Õn trôc hoµnh lµ kh«ng ®æi.
C©u VII. b
(1,0 ®iÓm)
X¸c ®Þnh
m
®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ hµm sè
2
( 0)
1
1
m
x mx
y
x
≠
+ −
=
−
t¹o
víi c¸c trôc to¹ ®é mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 18.
-------------------- HÕt --------------------
ThÝ sinh kh«ng ®−îc sö dông tµi liÖu. C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.
Hä vµ tªn thÝ sinh: ...................................................... Sè b¸o danh: ........................
Së GD & §T thanh ho¸
Tr−êng THPT HËu léc 4
----------***----------
®¸p ¸n – thang ®iÓm
®Ò kiÓm tra chÊt l−îng d¹y – häc båi d−ìng LÇn 1
n¨m häc: 2010 – 2011- m«n to¸n, khèi d
Câu Nội dung ðiểm
Tổng
I.1
1
0
. TËp x¸c ®Þnh: R
2
0
. Sù biÕn thiªn:
Giíi h¹n:
lim
x
y
→±∞
= +∞
3
' 4 4 , ' 0 0, 1
y x x y x x
= − = ⇔ = = ±
B¶ng biÕn thiªn
x
−∞
-1 0 1
+∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
+∞
1
+∞
0 0
Hµm sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng
(
−∞
;-
1
)
vµ
(
0 ; 1
)
Hµm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (-1 ; 0) vµ (1 ;
+∞
)
§iÓm cùc ®¹i (0 ; 1), hai ®iÓm cùc tiÓu (-1 ; 0) vµ (1 ; 0)
3
0
. VÏ ®å thÞ:
0.25
0.25
0.25
0.25
1.0 ®
I.2
PT ®−êng th¼ng
PQ
cã d¹ng
y = m
. V× ®iÓm cùc ®¹i (0;1) c¸ch
PQ
mét kho¶ng b»ng 8 nªn
m =
9. VËy PT cña
AB
lµ
y =
9
.
Khi ®ã hoµnh ®é
P, Q
tho¶ mfn PT:
4 2
2 8 0 2
x x x
− − = ⇔ = ±
VËy
P
(-2;9)
, Q
(2;9)
hoÆc
P
(2;9)
, Q
(-2;9).
0.5
0.5
1.0 ®
II.1
2cos ( 3sin cos ) 3 3sin2 2 2
sin(2 ) 1 ( ).
6 6
x x x x cos x
x x k k Z
π π π
+ = ⇔ + =
⇔ + = ⇔ = + ∈
0.5
0.5 1.0 ®
II.2
2 2
2 2
2 2
( 2) 1 ( 2 ) 1
2 ( 2 )
x x
x y x xy x x
xy x xy x
⇔
= − = −
+ = + =
+ + + +
§Æt u = xy, v = 2
2
x
x
+
, ta cã hÖ
1 1
2 1
uv u
u v v
= = −
⇔
+ = − = −
Tõ ®ã nghiÖm (x; y) = (-1 ;1).
0.25
0.5
0.25
1.0 ®
III
3
8
2
4
log
1 log ( 1) .
y x
x
=
− − −
§iÒu kiÖn: 3
8
2
4
log
1
1 log ( 1) 0 (*)
x
x
x
>
− − − ≥
Gi¶i (*):
2 2 2
log log ( 1) 1 log [ ( 1)] 1
x x x x
+ − ≤ ⇔ − ≤
( 1) 2 1 2
x x x
⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
KÕt hîp víi x > 1 ta ®−îc ®iÒu kiÖn lµ
1 2
x
< ≤
.
VËy tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè lµ:
(
]
1;2
D=.
0.25
0.25
0.25
0.25
1.0 ®
IV
TÝnh thÓ tÝch khèi chãp
.
I ABC
.
Gäi M, H lÇn l−ît lµ trung ®iÓm BC, AC. DÔ cã
·
0
60
SMA
=
Ta cã
2
3 3
2 4
ABC
a a
AM S= ⇒ =
0
3 3
tan60 ,
2 2 4
a SA a
SA AM IH= = = =
VËy
3
.
1 3
. .
3 16
S ABC ABC
a
V IH S= =
0.25
0.25
0.25
0.25
1.0 ®
V
AD B§T : ,ta cã
( )
P
x y x y ab ab
a b
P
ab ab ab
a b a b ab
+ ≥ = + + +
++ +
⇒ ≥ + + ≥ +
+ + + + +
2 2
2 2 2
1 1 4 1 1 1 2
3 3
4 2 4 2
1 1 2 4 2
3 3 3
1 1
V×
a b
ab P
+
< ≤ = ⇒ ≥ + =
+ +
2
4 2 4
0 1
2 4 1 1 3.1 3
.
Vậy
=
4
min
3
P
khi
vµ chØ
khi
= =
1
a b
.
0.25
0.25
0.25
0.25
1.0 ®
C©u
VI.a.1
Gäi A(a;0), B(0;b). Khi ®ã
( ; )
AB a b
= −
uuur
.
( ) : 2 3 0
∆ − + =
x y
Cã vtcp cña lµ
(2;1)
u=
r
, trung ®iÓm cña AB lµ I(a/2;b/2)
Tõ GT ta cã
2 0
2
. 0
4
3 0
( ) 2
a b a
AB u ab
b
I
− + =
=
=
⇔ ⇔
=
− + =
∈ ∆
uuur r
VËy A(2;0) vµ B(0;4).
0.25
0.25
0.5
1.0 ®
VI.a.2
Gi¶ sö I(t ;-1-t) thuéc (d
2
) :
1 0
x y
+ + =
lµ t©m ®−êng trßn
(
C
)
V× (d
1
) :
3 4 20 0
x y
+ − =
tiÕp xóc víi
(
C
)
nªn :
12 2
3 4( 1 ) 20
( , ) 5
3 4
t t
d I d R + − − −
= ⇔ =
+
TÝnh ®−îc t =1 hoÆc t = -49.
Với
1
1 (1; 2)
t I
= ⇒ −
ta ñược phương trình ñường tròn
( )( ) ( )
2 2
1
1 2 25
C x y
− + + =
Với
1
49 ( 49; 48)
t I= − ⇒ −
ta ñược phương trình ñường tròn
( )( ) ( )
2 2
2
49 48 25
C x y
+ + − =
0.25
0.25
0.25
0.25
1.0 ®
VII.a
Sè phÇn tö kh«ng gian mÉu lµ
( ) 5.5.4 100
n
Ω = =
Gäi A lµ biÕn cè: “Sè lÊy ®−îc chia hÕt cho 5”.
TH1: c = 5. Cã 4.4 = 16 c¸ch chän sè chia hÕt cho 5.
TH2: c = 0. Cã 5.4 = 20 c¸ch chän sè chia hÕt cho 5.
=> sè phÇn tö cña A lµ
( ) 16 20 36
n A
= + =
VËy x¸c suÊt cÇn t×m lµ
( ) 36 9
( ) .
( ) 100 25
n A
P A n
= = =
Ω
0.25
0.25
0.25
0.25
1.0 ®
VI.b.1
)5;2(,)1;1(
−
BA
.
Ta cã
);4(
C
yC =
. Khi ®ã täa ®é G lµ
3
2
3
51
,1
3
421
CC
GG
yy
yx +=
+
+
==
+
−
=
.
§iÓm G n»m trªn ®−êng th¼ng
0632
=
+
−
yx
nªn
0662
=+−−
C
y
vËy
2
=
C
y
, tøc lµ
)2;4(
=
C
.
Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB lµ 4x + 3y
–
7 = 0
ChiÒu cao h¹ tõ ®Ønh C b»ng kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn ®−êng
th¼ng AB:
2 2
4.4 3.2 7 15
3.
5
4 3
+ −
= = =
+
C
h
0.25
0.25
0.25
0.25
1.0 ®
VI.b.2
§T (d) ®i qua tiªu ®iÓm F(1;0) cã d¹ng ax + by
–
a = 0.
To¹ ®é giao ®iÓm M, N cña
(P)
vµ (d) lµ nghiÖm cña hÖ:
2
4
0
y x
ax by a
=
+ − =
=> PT tung ®é giao ®iÓm:
2
4 4 0
ay by a
+ − =
Kho¶ng c¸ch tõ
M, N
®Õn
Ox
lÇn l−ît lµ
1 2
,
M N
h y h y
= =
Theo ®Þnh lý Vi-et ta cã
1 2
. . 4
= =
M N
h h y y
(®pcm).
0.25
0.25
0.25
0.25
1.0 ®
VII.b
Ta cã
1 ( 0)
1
= + + + ≠
−
m
y x m m
x
VËy tiÖm cËn xiªn cã ph−¬ng tr×nh lµ
y = x+m+
1
TiÖm cËn xiªn c¾t
Ox
t¹i
A(-m-
1
;0),
c¾t
Oy
t¹i
B(0;m+
1
)
Tõ gi¶ thiÕt
18
=
OAB
S
nªn
2
. 36 ( 1) 36.
= ⇔ + =
OA OB m
Tõ ®ã
m =
5 hoÆc
m = -
7
.
0.25
0.25
0.5
1.0 ®
-------------------- HÕt --------------------