Đề thi thử Đại học môn Toán năm 2013 - Đề số 26

Chia sẻ: Nguyen Bich Huyen | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

160
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Là một trong những tài liệu tham khảo hay và hữu ích cho những bạn đang có nhu cầu học tập và ôn thi Đại học - Cao đẳng, đề thi thử Đại học năm 2013 môn Toán sẽ mang đến cho bạn những đề bài và hướng dẫn giải hữu ích nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử Đại học môn Toán năm 2013 - Đề số 26

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 -2013 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 26) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = 8x 4 − 9x 2 + 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình 8cos 4 x − 9cos 2 x + m = 0 với x [0; π ] . Câu II (2 điểm) : Giải phương trình, hệ phương trình: � 1� 3 log x x + y + x 2 − y 2 = 12 1. ( x − 2) � − � = x − 2 ; x 2. � 2� y x 2 − y 2 = 12 Câu III: Tính diện tích của miền phẳng giới hạn bởi các đường y =| x 2 − 4 x | và y = 2x . Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r cho trước. Tính thể tích hình chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nh ỏ. Câu V (1 điểm) Định m để phương trình sau có nghiệm � π� � π� � π� 4sin3xsinx + 4cos � - �os � + � cos 2 � + � m = 0 3x c x − 2x + � 4� � 4� � 4� PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình chuẩn. Câu VI.a (2 điểm) 1. Cho ∆ ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 2 x + y + 1 = 0 và phân giác trong CD: x + y − 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng BC. x = −2 + t 2. Cho đường thẳng (D) có phương trình: y = −2t .Gọi ∆ là đường z = 2 + 2t thẳng qua điểm A(4;0;-1) song song với (D) và I(-2;0;2) là hình chi ếu vuông góc c ủa A trên (D). Trong các mặt phẳng qua ∆ , hãy viết phương trình của mặt phẳng có khoảng cách đến (D) là lớn nhất. Câu VII.a (1 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng 1 1 1 5 + + xy + 1 yz + 1 zx + 1 x+ y+z 2. Theo chương trình nâng cao. Câu VI.b (2 điểm) 1. Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao đi ểm I c ủa hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D.
2. Cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng ∆ có phương trình tham số x = −1 + 2t y = 1 − t .Một điểm M thay đổi trên đường thẳng ∆ , tìm điểm M để chu vi tam giác z = 2t MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu VII.b (1 điểm) Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh � 1 1 2 � b c a� + + � + + : Phương trình đã cho vô nghiệm. 32 81 1. m = : Phương trình đã cho có 2 nghiệm. 32 0,50 81 • 1 m< : Phương trình đã cho có 4 nghiệm. 32 • 0 < m 2 x x−2>0 x
x=2 �= 2 x �= 2 x �log 3 x = 0 � � �� = 1 �x �� = 1 �x � � � 1� � � � � 1 � � �� x=2 0,50 � � � ln � − � 0 x = � − = 1 �� = 3 � x � �x �� 2 � � �� 2 � �� 2 � �>2 x � �x > 2 � � � �x > 2 � � 2 1,00 Điều kiện: | x | | y | u = x2 − y 2 ; u 0 x = −y Đặt ; không thỏa hệ nên xét x − y ta có v = x+ y 1 � u2 � y = �− � v . 2� v � 0,25 Hệ phương trình đã cho có dạng: u + v = 12 u � u2 � � − � 12 v = 2� v � u=4 u =3 hoặc v=8 v=9 0 u=4 x2 − y2 = 4 +� � (I) , v =8 x+ y =8 2 5 u =3 x2 − y 2 = 3 +� � (II) v=9 x+ y =9 Giải hệ (I), (II). 0 , 2 5 Sau đó hợp các kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ phương 0 trình ban đầu là S = { ( 5;3) , ( 5; 4 ) } , 2 5 Sau đó hợp các kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ 1,00 phương trình ban đầu là S = { ( 5;3) , ( 5; 4 ) } III 0,25
Diện tích miền phẳng giới hạn bởi: y =| x 2 − 4 x | (C ) và ( d ) : y = 2x Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): � 0 x � 0 x x=0 � 2 � 2 | x − 4 x |= 2 x �� − 4 x = 2 x 2 � �x �x − 6 x = 0 � x=2 0,25 � � 2 � � 2 �x − 4 x = −2 x � �x − 2 x = 0 � x=6 Suy ra diện tích cần tính: 2 6 S= (x � 2 − 4 x − 2 x dx + ) (x � 2 ) − 4 x − 2 x dx 0 2 2 Tính: I = (| x 2 − 4 x | −2 x ) dx 0 Vì ∀x � 0; 2] , x − 4 x � nên | x 2 − 4 x |= − x 2 + 4 x [ 2 0 0,25 2 4 I= ( −x 2 + 4 x − 2 x ) dx = 3 0 6 Tính K = (| x 2 − 4 x | −2 x ) dx 2 Vì ∀x � 2; 4] , x − 4 x � và ∀x � 4;6] , x − 4 x � nên [ [ 2 2 0 0 0,25 4 6 K = �x − x 2 − 2 x ) dx + �2 − 4 x − 2 x ) dx = −16 . (4 (x 2 4 4 52 1,00 Vậy S = + 16 = 3 3 IV 0,25 0,25 Gọi H, H’ là tâm của các tam giác đều ABC, A’B’C’. Gọi I, I’ là trung điểm của AB, A’B’. Ta có: AB ⊥ IC � AB ⊥ ( CHH ') � ( ABB ' A ' ) ⊥ ( CII ' C ' ) AB ⊥ HH ' Suy ra hình cầu nội tiếp hình chóp cụt này tiếp xúc với hai đáy tại H, H’ và tiếp xúc với mặt bên (ABB’A’) tại
điểm K II ' . Gọi x là cạnh đáy nhỏ, theo giả thiết 2x là cạnh đáy lớn. Ta có: 1 x 3 1 x 3 I ' K = I ' H ' = I 'C ' = ; IK = IH = IC = 3 6 3 3 0,25 Tam giác IOI’ vuông ở O nên: x 3 x 3 I ' K .IK = OK 2 � . = r 2 � x 2 = 6r 2 6 3 h ( Thể tích hình chóp cụt tính bởi: V = B + B '+ B.B ' 3 ) 0 , 4x 2 3 x 2 3 3r 2 3 2 Trong đó: B = = x 2 3 = 6r 2 3; B ' = = ; h = 2r 5 4 4 2 0 2r � 2 3r 2 3 3r 2 3 � 21r 3 . 3 Từ đó, ta có: V = � 3+ 6r + 6r 2 3. �= , 3� 2 2 � 3 2 � � 5 V 1 , 0 0 Ta có: 0 +/ 4sin3xsinx = 2 ( cos2x - cos4x ) ; , 2 � π� � π� � � π� � +/ 4cos � - �os � + � 2 �os � - � cos4x � 2 ( sin 2x + cos4x ) 3x c x = c 2x + = 5 � 4� � 4� � � 2� � 2� π � 1� � π� 1 � +/ cos � + � �+ cos � + � = ( 1 − sin 4x ) 2x = 1 4x � � 4 � 2� � 2� 2 � Do đó phương trình đã cho tương đương: 1 1 2 ( cos2x + sin2x ) + sin 4x + m - = 0 (1) 2 2 � π� Đặt t = cos2x + sin2x = 2cos � - � ều kiện: − 2 t 2x (đi 2 ). � 4�
Khi đó sin 4x = 2sin2xcos2x = t 2 − 1 . Phương trình (1) trở thành: t 2 + 4t + 2m − 2 = 0 (2) với − 2 t 2 0 (2) � t + 4t = 2 − 2m 2 , Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( D) : y = 2 − 2m (là 2 đường song song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ 2 – 2m) và (P): 5 y = t 2 + 4t với − 2 t 2. Trong đoạn � 2; 2 � hàm số y = t 2 + 4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 − 4 2 tại − , 0 � � , t = − 2 và đạt giá trị lớn nhất là 2 + 4 2 tại t = 2 . 2 5 Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 − 4 2 2 − 2m 2 + 4 2 0 , � −2 2 � � 2 . m 2 2 5 VI 2 a , 0 0 1 1 , 0 0 Điểm C � : x + y − 1 = 0 � C ( t ;1 − t ) . CD �+ 1 3 − t � t 0 Suy ra trung điểm M của AC là M � ; �. , �2 2 � 2 5 �+ 1 � 3 − t t 0 Điểm M �BM : 2 x + y + 1 = 0 � 2 � � + + 1 = 0 � t = −7 � C ( −7;8 ) , �2 � 2 2 Từ A(1;2), kẻ AK ⊥ CD : x + y − 1 = 0 tại I (điểm K BC ). 5 Suy ra AK : ( x − 1) − ( y − 2 ) = 0 � x − y + 1 = 0 . x + y −1 = 0 Tọa độ điểm I thỏa hệ: I ( 0;1) . 0 x − y +1 = 0 , Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK tọa độ của K ( −1;0 ) . 2 5 Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: x +1 y = � 4x + 3y + 4 = 0 −7 + 1 8 2
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng ∆ , thì ( P ) //( D) hoặc ( P ) ( D) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có IH IA và IH ⊥ AH . d ( ( D ) , ( P ) ) = d ( I , ( P ) ) = IH Mặt khác ( P) H Trong mặt phẳng ( P ) , IH IA ; do đó maxIH = IA H A . Lúc này (P) ở vị trí (P0) vuông góc với IA tại A. r uur Vectơ pháp tuyến của (P0) là n = IA = ( 6;0; −3) , cùng phương với r v = ( 2;0; −1) . Phương trình của mặt phẳng (P0) là: 2 ( x − 4 ) − 1. ( z + 1) = 2x - z - 9 = 0 . VIIa Để ý rằng ( xy + 1) − ( x + y ) = ( 1 − x ) ( 1 − y ) 0; 0 yz + 1 y + z , và tương tự ta cũng có 2 zx + 1 z + x 5 Vì vậy ta có: 1 � 1 1 1 � x y z , ( x + y + z) � + + � + + +1+1+1 0 � + 1 yz + 1 zx + 1 � yz + 1 zx + 1 xy + 1 0 xy x y z + + +3 yz + 1 zx+y xy + z �1 z y � = x� − − + �5 � + 1 zx + y xy + z � yz � z y � x �− 1 − + �5 � z+ y y+z� =5 vv
Ta có: 0 , 2 uuu r 5 AB = ( −1; 2 ) � AB = 5 . Phương trình của AB là: 2x + y − 2 = 0 . I � d ) : y = x � I ( t ; t ) . I là trung điểm của AC và BD ( nên ta có: C ( 2t − 1; 2t ) , D ( 2t ; 2t − 2 ) . Mặt khác: S ABCD = AB.CH = 4 (CH: chiều cao) 0 4 , � CH = . 2 5 5 Ngoài ra: 4 � 8� � 2� 5 8 | 6t − 4 | 4 t= C � ; �D � ; � , d ( C ; AB ) = CH � = � 3 � 3� � 0 � 3 3 3 5 5 t = 0 � C ( −1;0 ) , D ( 0; −,2 ) 5 � 8� � 2� 5 8 0 Vậy tọa độ của C và D là C � ; �D � ; � ặc, ho � 3� � 3� 3 3 C ( −1;0 ) , D ( 0; −2 ) 2 1 , 0 0 Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + 0 BM. , Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + 2 BM nhỏ nhất. 5 x = −1 + 2t Đường thẳng ∆ có phương trình tham số: y = 1 − t z = 2t . Điểm M �∆ nên M ( −1 + 2t ;1 − t ; 2t ) .
( ) 2 ( −2 + 2t ) + ( −4 − t ) + ( 2t ) = 9t 2 + 20 = ( 3t ) 2 2 2 2 AM = + 2 5 BM = ( −4 + 2t ) 2 + ( −2 − t ) + ( −6 + 2t ) = 9t 2 − 36t + 56 = 2 2 ( 3t − 6 ) 2 + ( ( ) ( ) 2 2 ( 3t ) ( 3t − 6 ) 2 2 AM + BM = + 2 5 + + 2 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ r r ( ) u = 3t ; 2 5 và v = −3t + 6; 2 5 .( ) r ( ) 2 ( 3t ) 2 | u |= + 2 5 Ta có r 0 ( ) 2 ( 3t − 6 ) 2 | v |= + 2 5 , r r 2 Suy ra AM + BM =| u | + | v | và 5 r r r r ( ) u + v = 6; 4 5 �| u + v |= 2 29 r r r r r r Mặt khác, với hai vectơ u , v ta luôn có | u | + | v | | u + v | Như vậy AM + BM 2 29 r r Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u , v cùng hướng 0 3t 2 5 , � = � t =1 −3t + 6 2 5 2 M ( 1;0; 2 ) và min ( AM + BM ) = 2 29 . 5 Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2 ( 11 + 29 ) 0 , 2 5 VIIb 1,00 a+b > c 0 , Vì a, b, c là ba cạnh tam giác nên: b + c > a . 5 c+a >b 0 Đặt a+b c+a = x, = y , a = z ( x, y , z > 0 ) � x + y > z , y + z > x, z + x 2 2 . Vế trái viết lại: a+b a+c 2a VT = + + 3a + c 3a + b 2a + b + c x y z = + + y+z z+x x+ y
Ta có: 2z z x + y > z � z ( x + y + z ) < 2z ( x + y ) � > x+ y+z x+ y . x 2x y 2y 0 Tương tự: < ; < . y+z x+ y+z z+x x+ y+z , 5 x y z 2( x + y + z) Do đó: + + < = 2. 0 y+z z+x x+ y x+ y+z Tức là: � 1 1 2 � b c a� + + �+ +