ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn TOÁN – Khối A-B-A1 TRƯỜNG THPH LÊ LỢI

Chia sẻ: Nguyen Duy Hau | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

61
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Câu I ( 2 điểm ). Cho hàm số : 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho và . Câu II ( 2 điểm ). 1) Giải phương trình : . 2) Giải hệ phương trình với

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn TOÁN – Khối A-B-A1 TRƯỜNG THPH LÊ LỢI

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 TRƯỜNG THPH LÊ LỢI Môn TOÁN – Khối A-B-A1 Th ời gian làm bài 180 phút, không k ể phát đ ề I. PHẦN CHUNG ( Cho tất cả thí sinh ) Câu I ( 2 điểm ). Cho hàm số : y = x 3 − 3x − 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho x A = 2 và MN = 2 2 . Câu II ( 2 điểm ). ( 1) Giải phương trình : tan x + 1 + tan x ( 2 − 3sin x ) − 1 = 0 . 2 2 ) 2) Giải hệ phương trình với x, y ﾡ x2 y − 2 x2 − 2 y 2 + 5 y − 2 = 0 y 2 + 1 + x − y = 2 xy − x 2 + x 2 − 2 xy + y 2 + 1 + y Câu III ( 1 điểm ). 2x − 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : y = (C ) , trục hoành và tiếp tuyến của (C) x −1 tại giao điểm (C) với trục tung . Câu IV ( 1 điểm ). Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều , tam giác SCD vuông cân đ ỉnh S. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Câu V ( 1 điểm ). 1 1 1 � 1 1 1 � Chứng mimh rằng với a > 0, b > 0, c > 0 thì + + 3� + + � a b c � a + 2b b + 2c c + 2a � II. PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B ) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VIa ( 2 điểm ) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B ( −2;1) , điểm A thuộc Oy, điểm C thuộc Ox ﾡ ( xC 0 ) góc BAC = 30o ; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 5 . Xác định toạ độ điểm A và C. 2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − z + 1 = 0 và điểm A(1;1;2). Gọi d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Oyz). lập phương trình mặt phẳng ( α ) .qua d và cách A một khoảng bằng 1. Câu VIIa ( 1 điểm ) z − 3i − 2 Tìm tập hợp những điểm biểu diễn số phức z sao cho w = là một số thực. z+i B. Theo chương trình Nâng cao Câu VIb ( 2 điểm ) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( C ) : x + y − 6 x + 2 y + 6 = 0 và điểm A(1;3) ; Một 2 2 đường thẳng d đi qua A, gọi B, C là giao điểm của đường thẳng d với (C). Lập phương trình của d sao cho AB + AC nhỏ nhất. 2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 2 z = 0 cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C khác O . Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu VIIb ( 1 điểm ). Tìm tất các số thưc α để bất phương trình : log 2 x + log x 2 + 2cosα 0 có nghiệm x > 1 .................................................................. H ết.......................................................................
Họ và Tên : .............................................S ố báo danh ........................................................ CÂU ĐÁP ÁN ( GỒM 4 TRANG) ĐIỂM Câu I 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x − 3 x − 1 3 (2 điểm) Tập xác định: D = ﾡ 0,25 Đạo hàm: y ﾡ = 3x 2 - 3 Cho y ﾡ = 0 � 3x 2 - 3 = 0 � x = 1 , x = - 1 Giới hạn: x ﾡ - ﾡ y = - ﾡ lim ; lim y = +ﾡ x ﾡ +ﾡ Hàm số ĐB trên các khoảng (- ﾡ ; - 1); (1; +ﾡ ) , NB trên khoảng (- 1;1) Hàm số đạt cực đại yCĐ = 1tại x CD = - 1 , đạt cực tiểu yCT = –3 tại x CT = 1 0,25 BBT x –ﾡ –1 1 +ﾡ yﾡ + 0 – 0 + 1 +ﾡ 0,25 y –ﾡ –3 Điểm uốn: I ( 0; - 1) vì: y ﾡ = 6x = 0 � x = 0 � y = - 1 . ﾡ Giao điểm với trục hoành:không có nghiệm nguyên Bảng giá trị x - 1 0 1 2 0,25 y 1 -1 -3 1 Đồ thị hàm số: hình vẽ bên .2) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho x A = 2 và MN = 2 2 . Nhận xét: nếu đường thẳng d qua A không có hệ số góc tức x = 2 cắt (C) nhiếu nhất 1 điểm không thỏa yêu cầu bài toán .Do đó d phải có hệ số góc . 0,25 Vì x A = 2 nên y A = 1 suy ra phương trình d có dạng y = k ( x − 2 ) + 1 Phương trình hoành độ giao điểm d và (C) là: � x 3 − (3 + k ) x + 2k − 2 = 0 � ( x − 2)( x 2 + 2 x − k + 1) = 0 0,25 x=2 x 2 + 2 x − k + 1 = 0 (*) Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N (*) có 2 nghiệm phân biệt, x1 ,x2 2 ; MN = 2 2 0,25 Theo vi ét x1 ,+ x2 = −2; x1 x2 = 1 − k Ta có : 8 = MN 2 = ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) k 2 = ( k + 1) ( x2 − x1 ) = ( k + 1) �x2 + x1 ) − 4 x1 x2 � ( 2 2 2 2 2 2 � � Hay 8 = ( k + 1) ( 4 − 4 ( 1 − k ) ) � k 3 + k − 2 = 0 � k = 1 (thoả yêu càu bài toán ) 2 0,25 Vậy d có pt là : y = x − 1 Câu II ( 2 điểm) 2 2 ( ) 1) Giải phương trình : tan x + 1 + tan x ( 2 − 3sin x ) − 1 = 0 .
Điều kiện cos x 0 1 − tan 2 x 0,25 Phương trình viết lại 2 − 3sin x = 1 + tan 2 x 0,25 � 2 − 3sin x = cos2 x � 2sin 2 x − 3sin x + 1 = 0 1 0,25 � sin x = 1 ;sin x = 2 1 π 5π 0,25 so sánh đ/k chọn sin x = � x = + k 2π ; x = + k 2π ( k � ﾡ ) 2 6 6 2) Giải hệ phương trình với x, y ﾡ x2 y − 2 x2 − 2 y 2 + 5 y − 2 = 0 ( 1) y 2 + 1 + x − y = 2 xy − x 2 + x 2 − 2 xy + y 2 + 1 + y ( 2) Từ phương trình (2) ta có đ/k : x y, y 0 0,25 ( x − y) +1 − x − y − ( x − y) 2 2 y2 + 1 − y − y2 = Xét hàm số f ( t ) = t 2 + 1 − t − t 2 liên tuc [ 0;+ ) t 1 � 1 � 1 0,25 có f ( t ) = − − 2t = t � / − 2�− < 0 ∀t > 0 t +1 2 .2 t � t +1 2 �2 t Suy ra hàm số nghịch biến ( 0;+ ) nên f ( y ) = f ( x − y ) � x = 2 y 0,25 Thay vào (1) ta có ( y − 2 ) ( x 2 − x + 1) = 0 � y = 2 �x=4 Vậy hệ có nghiệm (x ;y) = (4 ; 2) 0,25 Câu III 2x − 1 (1 điểm) 3 /Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : y = (C ) , trục hoành, và tiếp tuyến của x −1 (C) tại giao điểm (C) với trục tung. vết được pt tt : y = − x + 1 0,25 nêu được miếng lấy diện tích 1 0,25 1 � 2 2 x − 1� S = �− x + 1) − ( dx + ( − x + 1) dx � 0� x −1 � � � 1 2 1 1 � x2 � � x2 2 � 0,25 = � − x − ln x − 1 � + � + x � − − �2 � �2 0 � 1 2 1 = ln 2 − 2 0,25 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều , tam giác SCD vuông cân đ ỉnh S. Câu IV Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. (1 điểm)
Ta có di ện tích đáy hình vuông ABCD : S =4 a2 0,25 Gọi E , F lần lượt trung điểm AB và CD Tam giác SAB đều nên đường cao 2a 3 SE = =a 3 0,25 2 Tam giác SCD vuông cân đỉnh S nên đường cao SF = a Do đó ta có tam giác SEF vuông tại S (vì EF 2 = SE 2 + SF 2 ) Trong tam giác SEF kẻ SH vuông góc EF tại H 0,25 Ta có SH vuông góc mp(ABCD) . 1 1 1 1 1 4 2 = 2 + 2 = 2+ 2 = 2 SH SE SF 3a a 3a 3 a 3 1 1 a 3 2a 3 � SH = . Vậy V = S ( ABCD).SH = .4a 2 . = ( đvt 0,25 2 3 3 2 3 Câu V CMR với a > 0; b> 0; c > 0 thì (1 điểm) 1 1 1 � 1 1 1 � + + 3� + + � a b c � a + 2b b + 2c c + 2a � + Với a > 0, b > 0, c >0 ta có: a + 2 b = a + 2 2b ( 1 + 2 ) ( a + 2b ) = 3 ( a + 2b ) 0,25 (1) �1 + Do � �a + 2 � ( � a +2 b =� + b� �1 �a ) 1 b + 1 � b� ( � a + b + b 9 nên ) 0,25 1 2 9 1 2 3 3 0,25 + (2) .Từ (1) và (2) ta có: + (3) (Với a > 0; b> 0; c > a b a +2 b a b a + 2b 0) 0,25 1 1 1 � 1 1 1 � Áp dụng (3) ta có: + + 3� + + � đpcm) ( a b c � a + 2b b + 2c c + 2a � dấu " = " xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c 1)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B ( −2;1) , điểm A thuộc Oy, điểm C thuộc Câu VIa ﾡ trục hoành ( xC 0 ) góc BAC = 30o ; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 5 . Xác định (2 điểm) toạ độ A và C. Gọi C(c;0) ; A(0;a) ; ta có BC = 2 R sin 30o = 5 0,25 � BC 2 = 5 � ( c + 2 ) + ( 0 − 1) = 5 � c = 0 , c = −4 (loai ) 2 2 0,25 Suy ra C(0 ;0) trùng với điểm O Gọi H hình chiếu vuông góc điểm B trên Oy ta có tam giác BHA một nửa tam giác đều 0,25 Nên BA =2 BH do đó HA = 2 3 � A(0;1 + 2 3) hoặc A(0;1 − 2 3) 0,25 Vậy có A(0;1 − 2 3) , B(-2 ;1) , C(0 ;0) hoặc A(0;1 + 2 3) , B(-2 ;1) , C(0 ;0) 2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − z + 1 = 0 và điểm A(1;1;2). Gọi d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Oyz). Lập phương trình mặt phẳng ( α ) .qua d và cách A một khoảng bằng 1. Phương trình mp(Oyz): x = 0 ; và ) B(0;0;1), C (0, −1; −1) thuộc d , phương trình mặt phẳng ( α ) có dạng : ax + by + cz + d = 0 ( a 2 + b2 + c 2 0 ). Do ( α ) đi qua B, C nên : 0,25 �+ d = 0 c � = −c d 0,25 � �� pt ( α ) là ax + (- 2c)y +cz - c = 0 � b − c + d = 0 � = −2c − b 0,25
a − 2c + 2c − c d ( A,α ) = 1 � 2 = 1 � a − c = a 2 + 5c 2 � − ac = 2c 2 a + 4c + c 2 2 2 0,25 Nếu c = 0, chọn a = 1 � b = 0, d = 0 � ( α ) � pt ( α ) x = 0 Nếu a= - 2c chọn c = 1 thì a= - 2d = -1 , b= - 2 khi đó pt ( α ) : - 2x - 2y + z - 1 = 0 Câu VII a z − 3i − 2 ( 1 điểm) Tìm tập hợp những điểm biểu diễn số phức z sao cho w = là một số thưc . z+i a − 2 + (b − 3)i ( a − 2 + (b − 3)i ) ( a − (b + 1)i ) Gọi z = a + bi (a, b ﾡ ) khi đó w = = 0,25 a + (b + 1)i a 2 + (b + 1) 2 a (a − 2) + (b − 3)(b + 1) + [ a(b − 3) − (a − 2)(b + 1) ] i = là số thưc khi và chỉ khi : 0,25 a 2 + (b + 1) 2 �(b − 3) − (a − 2)(b + 1) = 0 a �a − b − 1 = 0 2 � � 0,25 �� 0 a �� 0a �� −1 b � � −1 b �� Vậy tập hợp đó là đường thẳng 2 x − y − 1 = 0 trừ điểm M(0 ; - 1) 0,25 Câu VIb. 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( C ) : x + y − 6 x + 2 y + 6 = 0 và điểm A(1;3) ; 2 2 (2 điểm) Gọi B, C là giao của đường thẳng d đi qua A với (C).Lập phương trình d sao cho AB + AC nhỏ nhất. Tâm đường tròn I (3; −1), R = 2; IA = 2 5 = d ( I , A) > R = 2 nên điểm A nằm ngoài (C) 0,25 Ta có PA/( C ) = AB.AC = d2- - R2 = 16 ; và AB + AC 2 AB. AC = 2.4 = 8 dấu “=”xẩy ra AB = AC = 4 . Khi đó d là tiếp tuyến của (C), d có dạng a ( x − 1) + b( y − 3) = 0 0,25 � ax + by − a − 3b = 0 3a − b − a − 3a b=0 b=0 b=4 Từ đó ta có d ( I , d ) = 2 � = 2 � 3b 2 = 4ab � chọn 0,25 a +b 2 2 4a = 3b a =1 a=3 Vậy phương trình d : x = 1 , 3 x + 4 y − 15 = 0 0,25 2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x + y + z − 2 x − 4 y − 2 z = 0 cắt các tia Ox, Oy, Oz 2 2 2 lần lượt tại A, B, C khác O . Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. (S) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 6 có tâm w(1;2;1) bán kính R = 6 0,25 2 2 2 (S) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(2;0;0), B(0;4;0), C( 0;0;2) . Gọi I tâm đường tròn (A,B,C) thì 0,25 I giao điểm của d đi qua w và vuông góc mp(ABC),và mp(ABC); Ptmp(ABC) x = 1 + 2t −2 Giải hệ 2 x + y + 2 z − 4 = 0 và y = 2 + t ta được t = suy ra 0,25 9 z = 1 + 2t 2 2 2 5 16 5 �5 � � � �� 5 16 5 I ( ; ; ) và r = IA = 9 9 9 � − 2 �+ � �+ � � = 2 0,25 �9 � � � �� 3 9 9 Câu VIIb. Tìm tất các giá trị α ﾡ để bất phương trình : log 2 x + log x 2 + 2cosα 0 có nghiệm x > 1 (1 điểm)
1 0,25 với x. > 1 ; Bpt tương đương với log 2 x + −2cosα 2 ∀α ﾡ (1) log 2 x 0,25 1 mặt khác log 2 x > 0 nên theo Côsi ta có: log 2 x + 2 (2) 0,25 log 2 x Từ (1) và (2) ta có ∀ x. > 1 : bpt VT = VP = 2 � cos α = −1 � α = π + k 2π ( k � ) khi đó bất phương trình có nghiệm ﾡ log 2 x = 1 � x = 2 . Vậy α = π + k 2π (k ﾡ ) 0,25