S GIÁO D C ĐÀO T O QU NG TR Ở Ụ Ạ Ả Ị Đ THI TH Đ I H CỀ Ử Ạ Ọ
NĂM 2013
TR NG THPH LÊ L I Môn TOÁN – Kh i A-B-AƯỜ Ợ ố 1
Th i gian làm bài 180 phút, không k phát đờ ể ề
I. PH N CHUNG ( Cho t t c thí sinh )Ầ ấ ả
Câu I ( 2 đi m ). ểCho hàm số :
3
3 1y x x= − −
1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th ả ự ế ẽ ồ ị (C) c a hàm s .ủ ố
2) Vi t ph ng trình đ ng th ngế ươ ườ ẳ d c t ắ(C) t i 3 đi m phân bi t ạ ể ệ A, M, N sao cho
2
A
x=
và
2 2MN =
.
Câu II ( 2 đi m ).ể
1) Gi i ph ng trình : ả ươ
( )
( )
2 2
tan 1 tan 2 3sin 1 0x x x+ + − − =
.
2) Gi i h ph ng trình v i ả ệ ươ ớ
,x y ﾡ
2 2 2
2 2 2 2
2 2 5 2 0
1 2 2 1
x y x y y
y x y xy x x xy y y
− − + − =
+ + − = − + − + + +
Câu III ( 1 đi m ). ể
Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s :ệ ẳ ớ ạ ở ồ ị ố
2 1 ( )
1
x
y C
x
−
=−
, tr c hoành và ti p tuy n c a ụ ế ế ủ (C)
t i giao đi m (C) v i tr c tung .ạ ể ớ ụ
Câu IV ( 1 đi m ).ể
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông c nh 2a , tam giác SAB đ u , tam giác SCD vuông cân đ nh S.ạ ề ỉ
Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a.ể ố
Câu V ( 1 đi m ). ể
Ch ng mimh r ng v iứ ằ ớ
0, 0, 0a b c> > >
thì
II. PH N T CH NẦ Ự Ọ ( Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n A ho c B )ỉ ượ ộ ầ ặ
A. Theo ch ng trình Chu nươ ẩ
Câu VIa ( 2 đi m )ể
1) Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC có đ nh ặ ẳ ọ ộ ỉ
( )
2;1 ,B−
đi m A thu c ể ộ Oy, đi m C thu cể ộ
Ox
(
0
C
x
) góc
ﾡ
30
o
BAC =
; bán kính đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC b ng ườ ạ ế ằ
5
. Xác đ nh to đị ạ ộ
đi m A và C.ể
2) Trong không gian t a đ Oxyz cho m t ph ng ọ ộ ặ ẳ
( )
: 2 1 0P x y z+ − + =
và đi m A(1;1;2). G iể ọ d là
giao tuy n c a 2 m t ph ng ế ủ ặ ẳ (P) và (Oyz). l p ph ng trình m t ph ng ậ ươ ặ ẳ
( )
α
.qua d và cách A m tộ
kho ng b ng 1.ả ằ
Câu VIIa ( 1 đi m )ể
Tìm t pậ h p nh ng đi m bi u di n s ph c z sao cho ợ ữ ể ể ễ ố ứ
3 2
wz i
z i
− −
=+
là m t s th c.ộ ố ự
B. Theo ch ng trình Nâng caoươ
Câu VIb ( 2 đi m )ể
1) Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ Oxy cho đ ng tròn ườ
( )
2 2
: 6 2 6 0C x y x y+ − + + =
và đi m ểA(1;3) ; M tộ
đ ng th ng d đi qua A, g i B, C là giao đi m c a đ ng th ng d v i ườ ẳ ọ ể ủ ườ ẳ ớ (C). L p ph ng trình c a dậ ươ ủ sao
cho
AB AC+
nh nh t.ỏ ấ
2) Trong không gian t a đ ọ ộ Oxyz cho m t c u (S) ặ ầ :
2 2 2
2 4 2 0x y z x y z+ + − − − =
c t các tia ắ
Ox, Oy, Oz l n l t t i A, B, C khác ầ ượ ạ O . Tìm tâm và bán kính đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC.ườ ạ ế
Câu VIIb ( 1 đi m ).ể
Tìm t t các s th cấ ố ư
α
đ b t ph ng trình :ể ấ ươ
2
log log 2 2 os 0
x
x c
α
+ +
có nghi m ệ
1x>
.................................................................. H t.......................................................................ế
H và Tên : .............................................S báo danh ........................................................ọ ố
CÂU ĐÁP ÁN ( G M 4 TRANG)ỒĐI MỂ
Câu I
(2 đi m)ể1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th ả ự ế ẽ ồ ị (C) c a hàm s ủ ố :
3
3 1y x x= − −
T p xác đ nh: ậ ị
D=ﾡ
Đ o hàm: ạ
2
3 3y x
ﾡ= -
Cho
,
2
0 3 3 0 1 1y x x x
ﾡ= - = = = -� �
Gi i h n: ớ ạ
; lim lim
x x
y y
ﾡ - ﾡ ﾡ +ﾡ
= - ﾡ = +ﾡ
Hàm s ĐB trên các kho ng ố ả
( ; 1); (1; )- ﾡ - +ﾡ
, NB trên kho ng ả
( 1;1)-
Hàm s đ t c c đ i ố ạ ự ạ yCĐ = 1t i ạ
CD
1x= -
, đ t c c ti u ạ ự ể yCT = –3 t i ạ
CT
1x=
BBT
Đi m u n: ể ố
( )
0; 1I-
vì:
6 0 0 1y x x y
ﾡﾡ = = = = -� �
.
Giao đi m v i tr c hoành:không có ể ớ ụ
nghi m nguyên ệ B ng giá trả ị
x
1-
0 1 2
y 1
1-
-3 1
Đ th hàm s : hình v bên ồ ị ố ẽ
0,25
0,25
0,25
0,25
.2) Vi t ph ng trình đ ng th ngế ươ ườ ẳ d c t ắ(C) t i 3 đi m phân bi t ạ ể ệ A, M, N sao cho
2
A
x=
và
2 2MN =
.
Nh n xét: n u đ ng th ng d qua A không có h s góc t c ậ ế ườ ẳ ệ ố ứ x = 2 c t ắ(C) nhi u nh t 1 đi mế ấ ể
không th a yêu c u bài toán .Do đó d ph i có h s góc .ỏ ầ ả ệ ố
Vì
2
A
x=
nên
1
A
y=
suy ra ph ng trình d có d ng ươ ạ
( )
2 1y k x= − +
Ph ng trình hoành đ giao đi m d và ươ ộ ể (C) là:
3
2
2
(3 ) 2 2 0
( 2)( 2 1) 0
2
2 1 0 (*)
x k x k
x x x k
x
x x k
− + + − =�
− + − + =�
=
+ − + =
Đ ểd c t ắ(C) t i 3 đi m phân bi t ạ ể ệ A, M, N
(*)
có 2 nghi m phân bi tệ ệ ,
1 2
, 2 ; 2 2x x MN =
Theo vi ét
1 2 1 2
, 2; 1x x x x k+ = − = −
Ta có :
( ) ( )
2 2
2 2
2 1 2 1
8MN x x x x k= = − + −
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 1 2 1 1 2
1 1 4k x x k x x x x
� �
= + − = + + −
� �
Hay
( )
( )
( )
2
8 1 4 4 1k k= + − −
3
2 0k k+ − =�
1k=�
(tho yêu càu bài toán )ả
V y d có pt làậ :
1y x= −
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu II
( 2 đi m)ể1) Gi i ph ng trình : ả ươ
( )
( )
2 2
tan 1 tan 2 3sin 1 0x x x+ + − − =
.
x–ﾡ–1 1
+ﾡ
yﾡ
+ 0 –0+
y1
+ﾡ
–ﾡ–3
Đi u ki n ề ệ
cos 0x
Ph ng trình vi t l i ươ ế ạ
2
2
1 tan
2 3sin 1 tan
x
xx
−
− = +
2
2 3sin os2 2sin 3sin 1 0x c x x x− = − + =� �
1
sin 1 ;sin 2
x x= =�
so sánh đ/k ch n ọ
1
sin 2
x=
( )
5
2 ; 2
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = +� �ﾡ
0,25
0,25
0,25
0,25
2) Gi i h ph ng trình v i ả ệ ươ ớ
,x y ﾡ
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2
2 2 5 2 0 1
1 2 2 1 2
x y x y y
y x y xy x x xy y y
− − + − =
+ + − = − + − + + +
T ph ng trình (2) ta có đ/k : ừ ươ
, 0x y y
( ) ( )
2 2
2 2
1 1y y y x y x y x y+ − − = − + − − − −
Xét hàm s ố
( )
2 2
1f t t t t= + − −
liên tuc
[
)
0;+
có
( )
/
2
12
.2
1
t
f t t
t
t
= − −
+
2
1 1
2 0 0
2
1
t t
t
t
� �
= − − < ∀ >
� �
+
� �
Suy ra hàm s ngh ch bi n ố ị ế
( )
0;+
nên
( ) ( )
2f y f x y x y
= − =�
Thay vào (1) ta có
( )
( )
2
2 1 0 2y x x y− − + = =�
4x=�
V y h có nghi m (xậ ệ ệ ;y) = (4 ; 2)
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu III
(1 đi m)ể3 /Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s :ệ ẳ ớ ạ ở ồ ị ố
2 1 ( )
1
x
y C
x
−
=−
, tr c hoành, và ti p tuy n c aụ ế ế ủ
(C) t i giao đi m (C) v i tr c tung.ạ ể ớ ụ
v t đ c pt tt : ế ượ
1y x= − +
nêu đ c mi ng l y di n tích ượ ế ấ ệ
( ) ( )
1
1
2
1
0
2
2 1
1 1
1
x
S x dx x dx
x
−
� �
= − + − + − +
� �
−
� �
� �
11
2 2
2
1
02
ln 1
2 2
x x
x x x
� � � �
= − − − − + − +
� � � �
� � � �
=
1
ln 2 2
−
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu IV
(1 đi m)ể
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông c nh 2a , tam giác SAB đ u , tam giác SCD vuông cân đ nh S.ạ ề ỉ
Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a.ể ố