Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 16

Chia sẻ: La Minh đức | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

111
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Xin giới thiệu tới các bạn học sinh, sinh viên "Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 16". Đề thi gồm có 10 câu hỏi tự luận có kèm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết với thời gian làm bài 180 phút. Cùng tìm hiểu để nắm bắt nội dung thông tin tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 16

THI THÛ I HÅC NM 2015 SÈ 16 ********** Mæn: To¡n. Thíi gian: 180 phót C¥u 1 (2,0 iºm). Cho h m sè x3 − 6x2 + 3(4 − m2)x + 6m2 − 7 (1), trong â m l tham sè. a) Kh£o s¡t sü bi¸n thi¶n v v³ ç thà cõa h m sè (1) khi m = 1. b) T¼m m º ç thà h m sè (1) ¤t cüc trà t¤i A, B sao cho tam gi¡c OAB vuæng t¤i O. C¥u 2 (1,0 iºm). a) Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh 52x+1 − 26 · 5x + 5 > 0 (x ∈ R). b) T¼m tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n sè phùc z bi¸t |z − 1| = |(1 − i)z|. C¥u 3 (1,0 iºm). T½nh t½ch ph¥n Z 2 √ 2 √ ex + x + ex I= 2x · 1 + 2x dx. 0 C¥u 4 (1,0 iºm). Trong khæng gian vîi h» tåa ë Oxyz, cho m°t ph¯ng (P ) : x − 2y + 2z − 1 = 0 v hai ÷íng th¯ng d1 : x −2 1 = y−3 −3 = , d2 : z 1 x−5 6 y = = 4 z+5 −5 . a) Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng (Q) qua ÷íng th¯ng d1 v vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (P ). b) T¼m iºm M thuëc ÷íng th¯ng d1 v iºm N thuëc ÷íng th¯ng d2 sao cho ÷íng th¯ng M N song song vîi m°t ph¯ng (P ) çng thíi ÷íng th¯ng M N c¡ch m°t ph¯ng (P ) mët kho£ng b¬ng 2. C¥u 5 (1,0 iºm). H¼nh châp S.ABC câ ¡y ABC l tam gi¡c vuæng t¤i B, BC = SA = a, ACB [ = 600 , \ = SAC m°t ph¯ng (SAC) vuæng gâc vîi m°t ¡y. T½nh theo a thº t½ch khèi châp S.ABC v kho£ng c¡ch tø iºm A ¸n m°t ph¯ng (SBC). C¥u 6 (1,0 iºm). a) Gi£i ph÷ìng tr¼nh sin 3x + 3 cos 2x = sin x, x ∈ (−π; π). b) Mët lîp câ 30 håc sinh trong â câ 3 håc sinh l c¡n bë lîp. Chån ng¨u nhi¶n 3 håc sinh tø lîp º l m trüc nhªt lîp håc. T½nh x¡c su§t º trong 3 håc sinh ÷ñc chån câ ½t nh§t mët c¡n bë lîp. C¥u 7 (1,0 iºm). Trong m°t ph¯ng vîi h» tåa ë Oxy, cho h¼nh vuæng ABCD câ iºm B thuëc ÷íng th¯ng d : x + 3y − 6 = 0,iºm E thuëc tia èi cõa tia BA sao cho BA = 2BE , iºm H(7; 3) l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa A tr¶n CE , hai ÷íng th¯ng DH v AB ct nhau t¤i iºm F (16; 0). T¼m tåa ë c¡c ¿nh cõa h¼nh vuæng ABCD. C¥u 8 (1,0 iºm). Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh 2 y    p +√ =1 y + x + y2 4−x+2 (x, y ∈ R). y 3 − y + 4 = 2√x + 1  C¥u 9 (1 iºm). Cho x, y l c¡c sè thüc d÷ìng ph¥n bi»t thäa m¢n x2 + 4y2 ≤ 2(xy + 2). T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc 16 16 5 P = + 4+ . x4 y (x − y)4 Nguy¹n D÷ Th¡i, TTBDKT Cao Thng, 11 èng a, TP Hu¸, D: 0905998369
P N THI THÛ SÈ 16 C¥u 1. Cho h m sè x3 − 6x2 + 3(4 − m2)x + 6m2 − 7 (1), trong â m l tham sè. a) Kh£o s¡t sü bi¸n thi¶n v v³ ç thà cõa h m sè (1) khi m = 1. b) T¼m m º ç thà h m sè (1) ¤t cüc trà t¤i A, B sao cho tam gi¡c OAB vuæng t¤i O. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. a) Vîi m = 1 ta câ y = x3 − 6x2 + 9x − 1. • Tªp x¡c ành: R. • Ta câ y 0 = 3x2 − 12x + 9, x = 1 ⇒ y(1) = 3 y0 = 0 ⇔ x = 3 ⇒ y(3) = −1. • lim y = lim x 1 − + 2 − 3 = ±∞. 3 6 9 1 x→±∞ x→±∞ x x x • B£ng bi¸n thi¶n: x −∞ 1 3 +∞ y0 + 0 − 0 + 3 +∞ y −∞ −1 • H m sè çng bi¸n tr¶n c¡c kho£ng (−∞; 1), (3; +∞). • H m sè nghàch bi¸n tr¶n (1; 3). • ç thà h m sè ¤t cüc ¤i t¤i (1; 3) v ¤t cüc tiºu t¤i (3; −1). • ç thà: y 3 1 3 O x −1 1
b) Tªp x¡c ành: R. y0 = 3x2 − 12x + 3(4 − m2). • Ta câ x = 2 − m ⇒ y(2 − m) = 1 + 2m3 y0 = 0 ⇔ x = 2 + m ⇒ y(2 + m) = 1 − 2m3 . • H m sè câ hai iºm cüc trà ⇔ y0 = 0 câ hai nghi»m ph¥n bi»t ⇔ 2 − m 6= 2 + m ⇔ m 6= 0. • Khi â hai iºm cüc trà cõa ç thà h m sè (1) l A(2 − m; 1 + 2m3), B(2 + m; 1 − 2m3). Tam gi¡c OAB vuæng t¤i O −→ −→ ⇔OA · OB= 0 ⇔ (2 − m)(2 + m) + (1 + 2m3 )(1 − 2m3 ) = 0 ⇔ −4m6 − m2 + 5 = 0 ⇔ m2 = 1 ⇔ m = ±1. • Vªy m = ±1. C¥u 2. a) Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh 52x+1 − 26 · 5x + 5 > 0 (x ∈ R). b) T¼m tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n sè phùc z bi¸t |z − 1| = |(1 − i)z|. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. a) B§t ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng vîi 5 · (5x )2 − 26 · 5x + 5 > 0 x < 1 " 5 x < −1 ⇔ 5 ⇔ x > 1. x 5 >5 Vªy tªp nghi»m cõa b§t ph÷ìng tr¼nh l S = (−∞; −1) ∪ [1; +∞). b) °t z = x + yi, x, y ∈ R. Ta câ M (x, y) v |z − 1| = |(1 − i)z| ⇔ |(x − 1) + yi| = |1 − i| · |x + yi| p √ p ⇔ (x − 1)2 + y 2 = 2 · x2 + y 2 ⇔ x2 + y 2 − 2x + 1 = 2x2 + 2y 2 ⇔ x2 + y 2 + 2x − 1 = 0. Vªy tªp hñp c¡c iºm M biºu√di¹n sè phùc z l ÷íng trán (C) : x2 + y2 + 2x − 1 = 0 câ t¥m I(−1; 0) v câ b¡n k½nh R = 2. C¥u 3. T½nh t½ch ph¥n √ √ 2 ex + x2 + ex 2x · dx. Z I= 0 1 + 2x Ph¥n t½ch-Líi gi£i. Ta câ 2 √ 2√ 2 ex (2x + 1) + x2 x2 dx = dx + dx = A + B. Z Z Z I= ex 0 1 + 2x 0 0 1 + 2x • T½nh A: 2 e 2 x dx = 2e 2 x
= 2(e − 1). Z 1
2 1
A= 0 0 2
• T½nh B : °t t = 2x + 1 ⇒ x = t −2 1 ⇒ dx = 12 dt. êi cªn: x t 0 1 2 5 5 (t − 1)2 1 1 5 · dt = dt Z Z 1 B= t−2+ 1 4t 2 8 1 t
5 1 1 2 1 1 = t − 2t + ln t
= + ln 5.
8 2
2 8 1 Vªy I = 2e − 23 + 81 ln 5. C¥u 4. Trong khæng gian vîi h» tåa ë Oxyz, cho m°t ph¯ng (P ) : x − 2y + 2z − 1 = 0 v hai ÷íng th¯ng d1 : x −2 1 = y−3 −3 = , d2 : z 1 x−5 6 y = = 4 z+5 −5 . a) Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng (Q) qua ÷íng th¯ng d1 v vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (P ). b) T¼m iºm M thuëc d1 v iºm N thuëc d2 sao cho ÷íng th¯ng M N song song vîi m°t ph¯ng (P ) çng thíi ÷íng th¯ng M N c¡ch m°t ph¯ng (P ) mët kho£ng b¬ng 2. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. a) ÷íng th¯ng d1 qua iºm A(1; 3; 0), nhªn u = (2; −3; 1) l m vectì ch¿ ph÷ìng. M°t ph¯ng (P ) −→ câ vectì ph¡p tuy¸n l −→ nP = (1; −2; 2). V¼ (Q) chùa ÷íng th¯ng d1 v vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (P ) n¶n i qua A v câ vectì ph¡p tuy¸n l −→ h−→ −→i n = nP , u = (4; 3; 1). Do â ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng (Q) : 4x + 3y + z − 13 = 0. b) Ta câ M ∈ d1 ⇒ M (2a + 1; −3a + 3; a), N ∈ d2 ⇒ N (6b + 5; 4b; −5b − 5), −→ M N = (6b − 2a + 4; 4b + 3a − 3; −5b − a − 5). • Ta câ ( M∈ / (P ) M N k (P ) ⇔ −→ −→ MN · n = 0 ( (2a + 1) − 2(−3a + 3) + 2a − 1 6= 0 ⇔ (6b − 2a + 4) − 2(4b + 3a − 3) + 2(−5b − a − 5) = 0  3 a 6=  ⇔ 5 6b + 5a = 0. • V¼ M N k (P ) n¶n d(M N, (P )) = d(M, (P )) = |10a3− 6| . Do â " a=0 d(M N, (P )) = 2 ⇔ |10a − 6| = 6 ⇔ 6 a= . 5 • Vîi a = 0 ta câ b = 0 n¶n M (1;3; 0), N (5; 0; −5). • Vîi a = 56 ta câ b = −1 n¶n M 175 ; − 35 ; 65 , N (−1; −4; 0). 3
Vªy M (1; 3; 0), N (5; 0; −5) ho°c M , N (−1; −4; 0). 17 3 6 ;− ; 5 5 5 C¥u 5. H¼nh châp S.ABC câ ¡y ABC l tam gi¡c vuæng t¤i B , BC = SA = a, ACB \ = SAC [ = 600 , m°t ph¯ng (SAC) vuæng gâc vîi m°t ¡y. T½nh theo a thº t½ch khèi châp S.ABC v kho£ng c¡ch tø iºm A ¸n m°t ph¯ng (SBC). Ph¥n t½ch-Líi gi£i. S T C H A K B Gåi H l h¼nh chi¸u vuæng gâc c£u S tr¶n AC , K l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa H tr¶n BC v T l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa H tr¶n SK . • Ta câ   (SAC) ⊥ (ABC)  (SAC) ∪ (ABC) = AC ⇒ SH ⊥ (ABC).  SH ∈ (SAC)  SH ⊥ AC √ AB AB = AC tan ACB \ = a 3 , AC = [ = a , HC = AC−AH = 3a , = 2a , AH = SA cos SAC sin ACB \ 2 2 √ 2 √ [ = a 3 , SABC = 1 BC · BA = a 3 . SH = SA sin SAC 2 2 2 3 Do â VS.ABC = SH · SABC = . 1 3 a 4 • Ta câ d(A, (SBC)) = HC AC · d(H, (SAC)) = · d(H, (SAC)). 4 3 BC ⊥ HK v BC ⊥ SH n¶n BC ⊥ (SHK). Suy ra BC ⊥ HT . M SK ⊥ HT n¶n HT ⊥ (SBC). Th nh thû d(H, (SBC)) = HT. √ • HK = CH sin ACB = \ 3a 3 4 . HT l ÷íng cao cõa tam gi¡c vuæng SHK n¶n √ SH · HK SH · HK 3a 39 HT = =√ = . SK SH 2 + HK 2 26 √ Vªy d(A, (SBC)) = 13 . 2a 39 4
C¥u 6. a) Gi£i ph÷ìng tr¼nh sin 3x + 3 cos 2x = sin x, x ∈ (−π; π). b) Mët lîp câ 30 håc sinh trong â câ 3 håc sinh l c¡n bë lîp. Chån ng¨u nhi¶n 3 håc sinh tø lîp º l m trüc nhªt lîp håc. T½nh x¡c su§t º trong 3 håc sinh ÷ñc chån câ ½t nh§t mët c¡n bë lîp. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. a) Ta câ ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi (sin 3x − sin x) + 3 cos 2x = 0 ⇔ 2 cos 2x sin x + 3 cos 2x = 0 " cos 2x = 0 sin x = − (lo¤i) ⇔ cos 2x · (2 sin x + 3) = 0 ⇔ 3 2 π π π ⇔2x = + kπ, k ∈ Z ⇔ x = + k , k ∈ Z. 2 4 2 Ta câ x ∈ (−π; π) ⇔ k ∈ − 52 ; 23 . M k ∈ Z n¶n k ∈ {−2; −1; 0; 1}. Vªy tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l S = − 4 ; − 4 ; 4 ; 4 . 3π π π 3π b) Gåi Ω l khæng gian m¨u, A l bi¸n cè "trong 3 håc sinh ÷ñc chån câ ½t nh§t mët c¡n bë lîp". T½nh |Ω|: |Ω| ch½nh l sè c¡ch chån 3 håc sinh tø mët lîp câ 30 håc sinh n¶n 3 |Ω| = C30 = 4060. T½nh |ΩA |:Trong sè C303 c¡ch chån 3 håc sinh tòy þ câ C273 c¡ch chån khæng câ c¡n bë lîp n o. Do â sè c¡ch chån 3 håc sinh câ ½t nh§t mët c¡n bë lîp l 3 3 |ΩA | = C30 − C27 = 1135. Vªy x¡c su§t cõa bi¸n cè A l |ΩA | 227 P (A) = = . |Ω| 812 C¥u 7. Trong m°t ph¯ng vîi h» tåa ë Oxy, cho h¼nh vuæng ABCD câ iºm B thuëc ÷íng th¯ng d : x + 3y − 6 = 0, iºm E thuëc tia èi cõa tia BA sao cho BA = 2BE , iºm H(7; 3) l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa A tr¶n CE , hai ÷íng th¯ng DH v AB ct nhau t¤i iºm F (16; 0). T¼m tåa ë c¡c ¿nh cõa h¼nh vuæng ABCD. D C H A B E F 5
Ph¥n t½ch-Líi gi£i. C¡c tù gi¡c ABHC v ADCH còng nëi ti¸p ÷íng trán ÷íng k½nh AC n¶n tù gi¡c DCHB công nëi ti¸p ÷íng trán ÷íng k½nh AC . Do â DHC \ = 900 , BHE \ = DCB \ = 450 . \ = BCD • Ta câ DF : x + 3y − 16 = 0, BH : 3x − y − 18 = 0, B l giao iºm cõa DF vîi BH n¶n B(6; 0). HE l ph¥n gi¡c gâc BHF \ n¶n ta câ BE BH 1 −→ 1 −→ 17 = = ⇒BE= BF ⇒ E ;0 . EF FH 3 4 2 • EA= 2 EB⇒ A(1; 0). −→ −→ • AD : x = 1, D l giao iºm cõa AD vîi DF n¶n D(1; 5) ⇒ C(6; 5). 2 y  +√ =1 (1) Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh  p C¥u 8. y+ x+y √ 4−x+2 2 (x, y ∈ R).  3 y −y+4=2 x+1 (2) Ph¥n t½ch-Líi gi£i.  −1 ≤ x ≤ 4  i·u ki»n: x + y2 ≥ 0 y + px + y 2 6= 0.  Tr÷íng hñp 1: x = 0 . Khi â h» trð th nh 2 y  =1 + (væ nghi»m).  p y+ 4 y2  3 y −y+2=0 Tr÷íng hñp 2: x 6= 0 . Ta câ √ p 2 x + y2 − y y 2− 4−x (1) ⇔ + =1 x x p √ 2 ⇔2 x+y =y 4−x+x √ ⇒ 4x + 4y 2 = 4y 2 − xy 2 + x2 + 2xy 4 − x √ √ ⇒ y 2 + (4 − x) − 2y 4 − x = 0 ⇒ (y − 4 − x)2 = 0 ( √ y≥0 ⇒y = 4−x⇒ x = 4 − y2. Thay x = 4 − y2 v o (2) ta câ p y 3 − y + 4 − 2 5 − y 2 = 0 (3) √ i·u ki»n cõa ph÷ìng tr¼nh (3): 0 ≤ y ≤ 5. Ta câ p (3) ⇔(y 3 − y) + 2 2 − 5 − y 2 = 0 2(y − 1)(y + 1) ⇔(y − 1)(y 2 + y) + p =0 2 + 5 − y2 ! 2 2(y + 1) ⇔(y − 1) y + y + p = 0 (4) 2 + 5 − y2 √ V¼ y2 + y + 2(yp+ 1) 2 >0 vîi måi y ∈ [0; 5] n¶n (4)⇔ y = 1 ⇒ x = 3 (thäa m¢n). Vªy nghi»m 2+ 5−y cõa h» l (x, y) = (3; 1). 6
C¥u 9. Cho x, y l c¡c sè thüc d÷ìng ph¥n bi»t thäa m¢n x2 + 4y2 ≤ 2(xy + 2). T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc 16 16 5 P = + + . x4 y4 (x − y)4 Ph¥n t½ch-Líi gi£i. Ta câ 4xy ≤ x2 + 4y 2 ≤ 2(xy + 2) ⇒ xy ≤ 2. Do â 2 2 16 16 5 4P ≥ x y + 4+ x4 y (x − y)4 2 2 5x2 y 2 x y = 16 + + y2 x2 (x2 + y 2 − 2xy)2 ! x y 2 5 = 16 + −2 + 2 y x x y + −2 y x °t t = xy + xy , t > 2. Ta câ 5 4P ≥ 16t2 + − 32. (t − 2)2 Theo b§t ¯ng thùc Cauchy, ta câ s 1 1 1 2 + 8(t − 2) + 8(t − 2) ≥ 3 3 2 · 8(t − 2) · 8(t − 2) = 12 ⇒ ≥ 44 − 16t. (t − 2) (t − 2) (t − 2)2 Tø â câ 4P ≥ 16t2 − 80t + 188 = 4 (2t − 5)2 + 78 ≥ 88 ⇒ P ≥ 22. Khi x = 2 v y = 1 th¼ P = 22 n¶n gi¡ trà nhä nh§t cõa P b¬ng 22. 7