ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN – Khối A–B–D–V

Chia sẻ: Phamminh Quang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

180
lượt xem 65
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O (O là gốc toạ độ).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN – Khối A–B–D–V

Trung tâm BDVH & LTĐH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 THÀNH ĐẠT Môn thi: TOÁN – Khối A–B–D–V Đề số 2 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG (7 điểm) 1 3 8 Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x - x2 - 3x + (1) 3 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O (O là gốc toạ độ). Câu II (2 điểm): 1 1) Giải phương trình: (1 - 4 sin 2 x ) sin 3 x = 2 p 2) Giải phương trình: x 2 - 3 x + 1 = - tan x2 + x2 + 1 6 2 5 Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I= ò (x + x 2 ) 4 - x 2 dx -2 Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc 60 0 . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. Câu V (1 điểm): Cho x, y, z là các số dương thoả mãn x 2 + y 2 + z2 = 1 . Chứng minh: x y z 3 3 P= + + ³ y 2 + z2 z2 + x 2 x2 + y2 2 II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y + 2)2 = 9 và đường thẳng d: x + y + m = 0 . Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông (B, C là hai tiếp điểm). 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = 0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2. n Câu VII.a (1 điểm): Tìm hệ số của x 8 trong khai triển nhị thức Niu–tơn của ( x 2 + 2 ) , biết: An - 8Cn + C1 = 49 (n Î N, n > 3). 3 2 n 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x - y - 1 = 0 và hai đường tròn có phương trình: (C1): ( x - 3)2 + ( y + 4)2 = 8 , (C2): ( x + 5)2 + ( y - 4)2 = 32 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2). x y-2 z 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng D: = = và mặt phẳng (P): 1 2 2 x - y + z - 5 = 0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với đường thẳng D một góc 450 . ìlg2 x = lg2 y + lg2 ( xy ) ï Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: í 2 ïlg ( x - y ) + lg x .lg y = 0 î ============================ Trần Sĩ Tùng
Hướng dẫn: I. PHẦN CHUNG Câu I: 2) Giả sử phương trình đường thẳng d: y = m. 1 3 8 PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x - x 2 - 3 x + = m Û x 3 - 3 x 2 - 9 x + 8 - 3m = 0 (1) 3 3 Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho DOAB cân tại O thì (1) phải có x1, – x1, x2 (x1, –x1 là hoành độ của A, B) Þ x1, x2 là các nghiệm của phương trình: ( x 2 - x1 )( x - x2 ) = 0 Û x 3 - x2 x 2 - x1 x + x1 x2 = 0 (2) 2 2 2 ì x2 = 3 ì x1 = ±3 ï 2 19 Đồng nhất (1) và (2) ta được: í x1 = 9 Û ï x2 = 3 . Kết luận: d: y = - ï . ï x 2 x = 8 - 3m í 3 î 1 2 ïm = - 19 ï î 3 Câu II: 1) Nhận xét: cosx = 0 không phải là nghiệm của PT. Nhân 2 vế của PT với cosx, ta được: æp ö PT Û 2sin 3 x (4 cos3 x - 3cos x ) = cos x Û 2sin 3 x .cos3 x = cos x Û sin 6 x = sin ç - x÷ è2 ø p k 2p p k 2p Û x= + Ú x= + 14 7 10 5 3 2) PT Û x 2 - 3 x + 1 = - x 4 + x 2 + 1 (1) 3 Chú ý: x 4 + x 2 + 1 = ( x 2 + x + 1)( x 2 - x + 1) , x 2 - 3 x + 1 = 2( x 2 - x + 1) - ( x 2 + x + 1) 3 Do đó: (1) Û 2( x 2 - x + 1) - ( x 2 + x + 1) = - ( x 2 + x + 1)( x 2 - x + 1) . 3 2 + x +1 = ( + x +1) 2 2 x2 - x + 1 Chia 2 vế cho x x và đặt t = ,t>0 x2 + x +1 é -3 êt =
2 x 2 + (1 - x 2 ) + (1 - x 2 ) 3 2 2 ³ 2 x (1 - x 2 )2 Û 3 2 x 2 (1 - x 2 )2 £ 3 3 2 x 3 3 2 x 3 3 2 Û x (1 - x 2 ) £ Û ³ x Û ³ x (1) 3 3 1 - x2 2 y 2 + z2 2 y 3 3 2 z 3 3 2 · Tương tự ta có: ³ y (2), ³ z (3) z2 + x 2 2 x 2 + y2 2 x y z 3 3 2 3 3 · Từ (1), (2), (3) Þ + + ³ ( x + y 2 + z2 ) = y 2 + z2 z2 + x 2 x2 + y2 2 2 3 Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = . 3 II. PHẦN TỰ CHỌN 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: 1) (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3. Vì các tiếp tuyến AB, AC vuông góc nên ABIC là hình vuông có cạnh bằng 3 Þ IA = 3 2 . Giả sử A(x; –x – m) Î d. IA2 = 18 Û ( x - 1)2 + (- m - x + 2)2 = 18 Û 2 x 2 - 2(3 - m) x + m 2 - 4m - 13 = 0 (1) ém = 7 Để chỉ có duy nhất một điểm A thì (1) có 1 nghiệm duy nhất Û D¢ = -m 2 + 2m + 35 = 0 Û ê . ë m = -5 2) PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax + By + Cz = 0 (với A2 + B 2 + C 2 ¹ 0 ). · Vì (P) ^ (Q) nên: 1. A + 1.B + 1.C = 0 Û C = - A - B (1) A + 2B - C · d ( M ,( P )) = 2 Û = 2 Û ( A + 2 B - C )2 = 2( A2 + B2 + C 2 ) (2) 2 2 2 A +B +C 2 (3) éB = 0 Từ (1) và (2) ta được: 8 AB + 5B = 0 Û ê ë8 A + 5B = 0 (4) · Từ (3): B = 0 Þ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): x - z = 0 · Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 Þ C = 3 Þ (P): 5 x - 8 y + 3z = 0 . 8n(n - 1) Câu VII.a: Ta có: An - 8Cn + C1 = 49 Û n(n - 1)(n - 2) - 3 2 n + n = 49 Û n3 - 7n 2 + 7n - 49 = 0 Û n = 7 . 2 7 ( x 2 + 2)n = ( x 2 + 2)7 = å C7 x 2(7-k ) 2k . Số hạng chứa k x 8 Û 2(7 - k ) = 8 Û k = 3. k =0 Þ Hệ số của x là:8 C7 .23 3 = 280 . 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2). Giả sử I(a; a – 1) Î d. (C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên II1 = R + R1, II2 = R + R2 Þ II1 – R1 = II2 – R2 Û (a - 3)2 + (a + 3)2 - 2 2 = (a - 5)2 + (a + 5)2 - 4 2 Û a = 0 Þ I(0; –1), R = 2 Þ Phương trình (C): x 2 + ( y + 1)2 = 2 . r r r r 2) Gọi ud , uD , nP lần lượt là các VTCP của d, D và VTPT của (P). Giả sử ud = (a; b; c ) (a2 + b2 + c 2 ¹ 0) . r r · Vì d Ì (P) nên ud ^ nP Þ a - b + c = 0 Û b = a + c (1) (· ) · d , D = 450 Û a + 2 b + 2c = 2 Û 2(a + 2 b + c )2 = 9(a 2 + b2 + c 2 ) (2) 2 3 a +b +c 2 2 2 éc = 0 Từ (1) và (2) ta được: 14c2 + 30 ac = 0 Û ê ë15a + 7c = 0 · Với c = 0: chọn a = b = 1 Þ PTTS của d: { x = 3 + t; y = -1 - t; z = 1 · Với 15a + 7c = 0: chọn a = 7, c = –15, b = –8 Þ PTTS của d: { x = 3 + 7t; y = -1 - 8t; z = 1 - 15t . Trần Sĩ Tùng
Câu VII.b: Điều kiện: x > y > 0. ìlg2 x = lg2 y + (lg x + lg y )2 ï ìlg y (lg x + lg y ) = 0 Hệ PT Û í Û í 2 2 ïlg ( x - y) + lg x.lg y = 0 î îlg ( x - y ) + lg x .lg y = 0 ìlg y = 0 ìlg x + lg y = 0 Û í 2 (1) hoặc í 2 (2) îlg ( x - y ) = 0 îlg ( x - y ) + lg x .lg y = 0 ìy = 1 ìx = 2 · (1) Û í Ûí . î x -y =1 îy = 1 ì 1 ì 1 ïy = ì 1 ìx = 2 ïy = x ï ï x ïy = ï · (2) Û í Ûí æ 2 ö Û í x Û íy = 1 ïlg2 æ x - 1 ö + lg x.lg 1 = 0 ç ÷ ïlg2 ç x - 1 ÷ = lg2 x ï x2 = 2 ï ï è xø x ï è x ø î î 2 î î æ 1 ö Kết luận: Hệ có nghiệm: (2; 1) và ç 2; ÷. è 2ø ===================== Trần Sĩ Tùng