Đề thi toán cao cấp 3 trường ĐHSPKT Hưng Yên - đề số 8

Chia sẻ: Nguyen Ngoc Son Son | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

143
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề thi toán cao cấp 3 trường đhspkt hưng yên - đề số 8', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi toán cao cấp 3 trường ĐHSPKT Hưng Yên - đề số 8

TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 08 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1: Cho hàm số: 23 72 12 5 2 z= x − x − y − xy + x − y 3 2 4 8 8 Tìm điểm cực trị của hàm. 1. 11 Tại điểm N ( , ) , hàm z tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm 2. 22 N theo hướng lập với trục Ox một góc 300 . Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất . 3. Biểu diễn trên hình vẽ. Câu 2: Trong không gian Oxyz, dùng tích phân mặt tìm trọng tâm c ủa tam giác ph ẳng đồng nhất ABC với A (0, -3, 0), B (-2, 0, 0) và C (0, 1, 3). I = Ñ x 2 − 2 xy ) dx + ( xy − y 2 + y ) dy ∫( Câu 3: Tính L L là đường cong nối 3 điểm A (-1, 1), B (0, 0), C (1, 1) trong đó đo ạn AB là y = x 2 và đoạn CA là đường thẳng đường thẳng, đoạn BC là đường bằng 2 cách: Cách 1: Tính trực tiếp tích phân đường loại 2. Cách 2: Áp dụng công thức Green. Câu 4: Giải hệ phương trình vi phân:  y ' =3 y +2 z  z ' =−1 y +z +e −2 x 2 thoả mãn điều kiện: khi x=0 thì y=0 và z=0. Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn
Giảng viên ra đề 2: Bài 1:  zx' = 2 x2 − 7 x + 8 − y =0 5 4  z ' =− y − 2 − x = 0 → y = −2 x − 8 y 28 5 4 9 Suy ra z x' = 2 x 2 − 7 x + + 2 x + = 2 x 2 − 5 x + = 0 8 8 8 9 ∆ = 25 − 8. = 16 → ∆ = ±4 8 5+4 9 36 + 4 18 4 → x1 = = → y1 = − − = − = −5 4 4 48 8 5−4 1 24 x2 = = → y 2 = − − = −1 4 4 48 9 1 M1 ( , -5) , M2 ( , -1) 4 4 9 1 M1 ( , -5) M2 ( , -1) 4 4 z xx = 4 x − 7 = r '' 2 -6 z xy = −1 = s '' -2 -1 1 1 1 z '' =−= t - - yy 2 2 2 1 1 1-2. − =3 1-(-6).( − )=-2 s2 - rt 2 2 Không cực trị Có cực trị r = -6 cực đại 1 151 23 y ' 2. z x ( N ) = 2. − 7. + − =− 2 4 282 8 121 N ' 1 /2 zy (N ) = − − − = −1 482 1/2 x π π −23 3 1 −23 = cos + 1.cos = +
23 Hướng thay đổi nhanh nhất là − 8 i − j 3. Bài 2: 1. * Vẽ hình *Tìm toạ độ D để viết phương z C trình mặt phẳng. 3 9 Phương trình đường AC: z = y + B 4 4 y A O 9 Vậy zD = 4 Phương trình mặt phẳng: x xyz + + =1 2 −3 9 4 9 9 3 9 → x − 3y + 4z = 9 → z = − x + y + 2 8 4 4 3 * Phương trình đường thẳng AB: y = − x − 3 2 y 4 x * Phương trình đường thẳng BC: y = + 1 2 2. Diện tích S: 2 C B 2 2 3 9 x = ∫∫ ds = ∫∫ 5 1 +  ÷ +  ÷ dxdy 4 8 S Dxy -2 181 181 181 A = .S Dxy = .4 = . 8 8 2 3.Tính xG   3  2  9 2  ' 0 CB 181 181 ∫∫ xdxdy = ∫∫ 1 +  ÷ +  ÷ ÷xdxdy = ∫∫ ∫ dx ∫ xdy .xdxdy =  4 8 ÷ 8 8 −2 AB   S Dxy Dxy 181  2 x 3  0 181 −8 − 181 181 ∫2 ( 2 x 2 + 4 x ) dx = = + 2 x 2 ÷ 02 = .=  − 8− 8 3 8 3 3  −2 → xG = 3
x +1 0 2 181 181 yG = ∫∫ ∫ dx ∫ dxdy = ydy 8 8 −2 3 Dxy − x −3 2 181  x   3  2 2 0 ∫  = + 1÷ −  − x − 3 ÷  dx 8 −2  2   2    181  16  2 181 = . − ÷ = − 8  3 3 1 yG = − 3 x − +1 2 2 9 9 181 181 3 zG = ∫∫ z. 8∫ ∫ dxdy =  − x + y + ÷dy dx 8 4 8 4 3x Dxy 0 2 2 x 181  9 3 2 9  y =− 2 +1 8 ∫ 8 =  − xy + y + y ÷ y = 3 x dx 4 2 8 0 181 = 2 → zG = 1 I = Ñ x 2 − 2 xy ) dx + ( xy − y 2 + y ) dy ∫( Bài 3: L Trên đoạn AB : y = − x, −1 ≤ x ≤ 0 , nên dy = -dx. Do đó : 0 ∫(x − 2 xy ) dx + ( xy − y + y ) dy = ∫ [(x 2 + 2 x 2 ) − (− x 2 − x 2 − x )]dx I= 2 2 −1 AB 0 0 5 1 517 = ∫ (5 x 2 + x)dx = ( x 3 + x 2 ) = − = −1 3 2 6 3 2 −1 Trên cung BC : y = x 2 , dy = 2 xdx, 0 ≤ x ≤ 1 Do đó: 1 ∫(x − 2 xy ) dx + ( xy − y + y ) dy = ∫ [(x 2 − 2 x 3 ) + ( x 3 − x 4 + x 2 ).2 x ]dx I= 2 2 BC 0 1 −1 6 2 5 1 3 1 2 = ∫ (−2 x 5 + 2 x 4 + x 2 )dx = ( x + x + x) = y 05 3 5 3 0 1 Trên đoạn AC có: y = 1, −1 ≤ x ≤ 1 . Do đó : A C x B -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 -1
∫(x − 2 xy ) dx + ( xy − y 2 + y ) dy I= 2 CA −1 −1 −2 x3 1 1 = ∫ ( x − 2 x)dx = ( − x 2 ) = − − 1 − + 1 = 2 1 3 3 3 3 1 7229 Vậy I = +−= 6 5 3 10 Áp dụng công thức Green ∂P = −2 x P = x 2 − 2 xy ∂y ∂Q =y Q = xy − y 2 + y ∂x Vậy y 1 1 19 25 1 I = ∫∫ ( y + 2 x ) dxdy = ∫ dy ∫ ( y + 2 x )dx = ∫ ( y y + y )dy = ( y 2 + y 2 ) = 0 10 5 2 −y D 0 0 Bài 4:  y ' =3 y + 2 z  z ' =− 1 y + z + e x 2 y '' = 3 y ' + 2 z ' = 3 y ' − y + 2 z + 2e x .x = 3 y ' − y + y ' − 3 y + 2e x .x = 4 y ' − 4 y + 2e x .x → y '' − 4 y ' + 4 y = 2e x .x Phương trình thuần nhất: y '' − 4 y ' + 4 y = 0 Phương trình đặc trưng: λ 2 − 4λ + 4 = 0 → λ1 = λ2 = 2 → y1 = e 2 x → y2 = xe 2 x Phương trình không thuần nhất:
{ c1' e2 x + c2 xe2 x = 0 ' 2 c1' e2 x + c2 ( e2 x + 2 xe2 x ) = 2 e x . x '  c1' + c2' x = 0 → ' ' 1 c1 + c2 ( + x ) = e− x . x  2 1' → c2 = x.e x → c2 = 2∫ x.e − x dx + c2 = 2 ( − x.e − x − e − x ) = − 2 ( x + 1) e − x + c2 * * 2 → c1' = − xc2 = − x.2.xe − x = − 2 x 2e − x ' c1 = −2 ∫ x 2e − x dx = 4 ( x 2 + 2 x + 2 ) e − x + c1 * y = −  − ( x 2 + 2 x + 2 ) e − x + c1*  e 2 x −  2 ( x + 1) e − x + c2  .xe 2 x *     = c1*e 2 x + c2 xe 2 x + ( − x 2 − 2 x + 2 + 2 x 2 + 2 x ) e x * y = ( c1* + c2 x ) e 2 x + ( x 2 + 2 ) e x * Thay vào tìm z ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 z = y ' − 3 y = 2c1* + 2c2 x + c2 e 2 x + 2 x + x 2 + 2 e x − 3 c1* + c2 x e 2 x − 3 x 2 + 2 e x * * * = e2 x ( c2 − c1* + c2 x ) + e x ( − 2 x 2 + 2 x − 4 ) * * 1 * * * 2x ( c2 − c1 + c2 x ) e − ( x 2 − x + 2 ) e x z= 2 Khi x=0, y=0, z=0 → 0 = c1 + 2 → c1 = −2 * * 1* * ( c2 − c1 ) − 2 → c2* = 2 →0= 2 y = 2 ( x − 1) e2 x + ( x 2 + 2 ) e x z = ( 2 + x ) e2 x − ( x 2 − x + 2 ) e x
Thang điểm Bài 1(1.5đ): 1 * PT tìm x,y: y = −2 x − 2 9 2 x2 − 5x + =0 (0.25) 8 9 1 * M1 ( , -5) , M2 ( , -1) (0.25) 4 4 * Tại M1 s2-rt=3 không cực trị (0.25) Tại M2 s2-rt=-2, r=-6 →Cực trị. (0.25) Hàm z sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập 2. với trục Ox một góc 300 . (0.25) 23 Hướng thay đổi nhanh nhất là − 8 i − j 3. (0.25) Bài 2(3đ): *Vẽ hình, (0.5) 9 3 9 *PT mặt phẳng: z = − x + y + (0.5) 8 4 4 3 AB= x + 3 2 x BC’= + 1 2 2 2 3 9 181 181 *Tính diện tích, S= ∫∫ 1 +  ÷ +  ÷ dxdy = .4 = (0.5) 4 8 8 2 Dxy * x +1 C'B 0 0 2 181 181 181 2 ∫2 dx AB xdy = 8 −∫2 dx ∫ ∫ xG = xdy = − → xG = − (1/2) 8− 3 3 3 − x+3 2 C'D 0 181 2 181 1 ∫2 dx AB ydy = − 3 → yG = − 3 ∫ yG = 8− (1/2) 181 181 zG = ... = (1/2) 8 2 → zG = 1 Bài 3(2đ): Trên đoạn AB :
0 7 I = ∫ [(x 2 + 2 x 2 ) − (− x 2 − x 2 − x )]dx = (1/2) 6 −1 Trên cung BC : 1 2 I = ∫ [(x 2 − 2 x 3 ) + ( x 3 − x 4 + x 2 ).2 x ]dx = (1/2) 5 0 Trên đoạn AC có −1 −2 I = ∫ ( x 2 − 2 x)dx = (1/2) 3 1 Áp dụng công thức Green I = ∫∫ ( y + 2 x ) dxdy D (1/2) y 1 1 19 25 1 = ∫ dy ∫ ( y + 2 x )dx = ∫ ( y y + y )dy = ( y 2 + y 2 ) = 0 10 5 2 −y 0 0 Bài 4(3.5đ): * y '' − 4 y ' + 4 y = 2e x .x (1/2) * λ 2 − 4λ + 4 = 0 → λ1 = λ2 = 2 → y1 = e 2 x (1/2) → y2 = xe 2 x * PT hằng số: { c1' e2 x + c2 xe2 x = 0 ' (1/2) 2 c1' e2 x + c2 ( e2 x + 2 xe2 x ) = 2 e x . x ' 1  1 → c1 = −  xe −4 x + e −4 x ÷ (1/2) 2  8 1 c2 = − e −4 x (1/2) 2 1 → y = ( c1 + c2 x ) e 2 x + e −2 x * * (1/2) 8 1 * * * 2x ( c2 − c1 + c2 x ) e − ( x2 − x + 2) e x z= (1/2) 2